О решении одного класса модельных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с экстремальными свойствами

Актуальность работы. Как известно, многие задачи физики, математики, экологии, экономики и ряда других отраслей естествознания приводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных. Среди них следует отметить в первую очередь книги и статьи: Петровского И. Г. [1], Тихонова А. Н и Самарского А. А. [2], Соболева C.JI. [3,4], Ладыженской О. А. [5], Ладыженской О. А и Уральцевой Н. Н. [6], Ладыженской О. А., Солонникова В. А. и Уральцева Н. Н. [7], Фридмана А. [8], Лионса Ж. Л. [9], Владимирова B.C. [10], Михайлова В. П. [11], Куранта Р. [12], Михлина С. Г. [13,14], АдамараЖ. [15], Арсенина В. Я. [16], Бицадзе А. В. [17,18], Годунова С. К. [19], Миранда К. [20], Стеклова В. А. [21], Смирнова В. И. [22], Филиппова А. Ф. [27], Ильина A.M., Калашникова А. С. и Олейника О. А. [28], Дж. Хейла [29], Кошлакова Н. С., Глинера Э. Б. и Смирнова М. М. [30], Арамановича И. Г. и Левина В. И. [31], Смирнова М. М. [32,33], Ильина В. А. [34], Несиса Е. И. [35] и многих других авторов. Важным классом дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка являются уравнения в частных производных первого порядка, для которых изучаются различные реальные задачи с начальными и краевыми условиями. Уравнениям в частных производных первого порядка (например, уравнение переноса) и задачам, связанным с ними, посвящены многочисленные работы, в частности, книги и статьи: Годунова С. К. [19], Петровского И. Г. [1], Смирнова В. И. [22], Куранта Р. [12], Карташева А. П. и Рождественского Б. Л. [36] и др.

В этих работах изучаются вопросы корректности соответствующих задач в конечномерных и бесконечномерных пространствах, рассматриваются и разрабатываются эффективные методы их решений. Уравнения с частными производными первого порядка от одной неизвестной функции наиболее полно рассматриваются в работе [1]. Основным фактом теории этих уравнений является то, что нахождение всех их решений сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. В данной работе описано это сведение. Сначала рассматривается почти линейное уравнения типа tak (xvx2,., xn)^ + b (xl, x1,., xn, u)= 0 (1) дхк.

При этом допускается, что искомая функция и входит в b (x 1, Xlf., Xn, ll) не линейно. Пусть коэффициенты <2к (л^, Х2 Хп) имеют в рассматриваемой области G пространства непрерывные частные производные 1-го порядка по всем их аргументам, и пусть в этой области X ак >0. Относительно, и) будем к-1 предполагать, что эта функция определена при | U когда точка xl, x1,.)xri>) находится в области G и имеет по всем своим аргументам непрерывные первые производные. Сделанные относительно b (xl, xl,., xn, u) предположения выполняются, в частности, в том случае, когда b{xl, xl,., xn, и) есть линейная функция от и (в этом случае уравнение (1) называется почти линейным) с коэффициентами, которые имеют непрерывные первые производные по всем хк. Напишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений: = 1,2,., И. (2) v m=l.

В силу сделанных относительно ак предположений правые части этих уравнений имеют непрерывные производные по всем хк. Поэтому через каждую точку области G проходит одна и только одна интегральная линия этой системы (S есть параметр, равный длине дуги интегральной линии). Эти линии называются характеристиками уравнения (1). Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений определяются следующим образом. Из предыдущего изложения следует, что система, состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений (2) и уравнения du b +. = = О, (3) ds ^jaf+. + a2n определяет в пространстве (л^л^,., хп, и) семейство интегральных линий, из которых состоят интегральные поверхности U = и (х1,., хп>) уравнения (1) (.v рассматривается как параметр). Аналогично рассматривается квазилинейное уравнении вида.

1 ох.

Это уравнение линейно относительно производных от и, но не относительно самого и. Предполагается, что а1(х,.хп, и) и b (xx,.xn, u) имеют непрерывные частные производные по всем аргументам в некоторой области.

2Л. «&bdquo-Кп „известно пространства (х^.хп, и) и что YjCfi {х^.хп, и)> 0 Пусть 1 какое ни будь решение этого уравнения, имеющее непрерывные первые частные производные и рассматривается вспомогательная система обыкновенных дифференциальных уравнений dxi ai >• • -хп ¦> и (х ?“ -» *т?)) — — 1 9 и ,-——-—, 1 — L, п) где s-некоторой параметр, равный длине дуги проекции интегральной линии на плоскость и- 0. Подстановим это решени u{xv.:>xn) в уравнение (4) и разделим обе части полученного тождества на.

JX Я j (-^i ,—-,-xn, u (xl,., X/J))) тогда получим тождество aXxy.^u) du [ b{xv., xn, u)^dudxt [ b (xv., xn, u) dxt ds Jz^(xv.xn, u) du [ b (xx,., xn, u) ds^ZaJ (x1,., xn, u) at du.

Следовательно, и в случае, когда, а зависит от U т=- можно д/Z² представить как производную от U по некоторому направлению, но теперь это направление зависит не только от Х13., Хп, но и от и .

Задача Коши для уравнения (4) формулируется так же, как и для уравнения (1): требуется найти такое решение уравнения (4), которое на некоторой {п — 1)-мерной поверхности S пространства (xi3., xn) принимает заданные значения. Более общая постановка: через заданную в пространстве (хх,., хп, и) (п — 1)-мерную поверхность S требуется провести пмерную интегральную поверхность уравнения (4).

В работе [1] рассматриваются вопросы расширения понятия решения задачи Коши, чтобы оно существовало при меньших требованиях гладкости на f и коэффициенты уравнения и при этом имела место теорема единственности.

В связи с этим во многих работах по уравнениям в частных производных вводится и обосновывается понятие обобщенного решения для задачи Коши. Обобщенным решением задачи Коши для уравнения (1) или (4) называется функция которая в точках непрерывности удовлетворяет при t = О условию Коши и для которого выполняется некоторое специально полученное интегральное тождество [37,38].

Тенденция математизации экономики, физики и общественных наук порождает новые постановки задач для дифференциальных уравнений. К этим задачам относятся так называемая задача с функциональными условиями. Для уравнения в частных производных первого порядка эти задачи были изучены в работах Вольтера В. [39], Webb G.r. [40], Свирежова Ю. М и Логофета Д. О. [41], Моисеева Н. Н. [42], Busenberg S. [43], Brokate М. [44], Юнуси М. [45−58], и других. Отличительная черта этих задач заключается в том, что неизвестная функция в начальный момент времени является функционалом неизвестного решения. Кроме того, временной д оператор ^ в самом уравнении заменяется на смешанно-временной д д оператор типа Q f + Q, а ' ГДе авозРастное время. Причем, предполагается, что t = a+COftSl.

Исследование корректности интегро-дифференциальных систем, связанных со стационарной численностью популяций модельных биосистем удовлетворяет условиям: cs л +— N = F (N, a, t), 0<�а<�оо5 0 < t < tk9 dt да J.

N (а, 0)= N0(a), 0 < а < со, N (0,0= lB{N{?, t t) d0 < t < tk, и в стационарном случае уравнению dM da F (M, a), 0 < а < оо, М (0)= JВ (М (§),№, (7) где M = (Ml.Mm), М = М (а)~ стационарная численность возраста, а, 0 < а < оо, .FQ, в (-) — т-мерные вектор-функции, характеризующие смертность" и «рождаемость» в биосистеме, являются непрерывными и ограниченными функциями. Под решением этой задачи понимается непрерывная функция М = М (а), 0 < а <оо, которая имеет непрерывную производную и удовлетворяет условиям (7). Для линейной задачи (7) т. е. dM аа.

— F0 (а)М+а (а 0 < а < оо,.

00 где F0(•), BQ (^) — mxmматрицы, а, р-т — мерные векторы, место единственное ограниченное решение имеет.

М (а)=Х (а} - в)'1 р+.

L о.

В работе [59] доказана следующая теорема.

Теорема Неоднородная система (7) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда соответствующая однородная система не имеет ненулевых решений.

Аналогичные результаты имеют место в случае нелинейной задачи при условиях a) F (M, а) = F (M, а) М + а (а), |F (-)| < F0 (а),.

В (М, а)=в (м, а) М+j3Q {а).

0<�а<�оо, VM: 0<�М<�оо,.

ВЙ<�В0{а), где F0 (а), В0 (а) — матрицы порядка т, а — т-мерная векторная функция. В упомянутых работах исследованы также вопросы устойчивости стационарного решения. Показано, что если выполняются условия а) F (-)=F{N, a, t)N, |F (-|.

B (-) = B (N, a, t)N, Щ<�В0(а, 1),.

ОО ОО hQ = max jflFjafa < oo, max \B0dae^ < qQ < oo, ' 0 ' 0.

— - хдВ, ч б) h= В 0, q = const > 0, i = 0,1,.,.

8a 8N a=0 3N 4' то исходная нелинейная задача имеет единственное решение, и система первого приближения для нелинейной задачи для стационарного решения имеет вид.

Yd дЛ и F0 (а)и, 0 < а < оо, dt да J и (а, О) = и0 (а), 0 < а < оо, u (0,t) = ]B0(?)u (?, t) d?, 0.

Fq (я) = ^ I N=M (a)> Во (а) = ^ aw1™™ — - dN и0 {а) = N0 (а) — М (а), 0 < а < оо.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция u (a, t) = X{a)id (t — а), где Х (а) является решением задачи ИХ х (о)=/, аа при любой функции JU = JLl (t) G С1 удовлетворяет первому уравнению системы первого приближения. Подстановка функции U = u (ci, t) r в уравнение рождаемости (3-ое условие) и введение обозначения в (а)= В0(а)х (а) для определения функции /Л = /л (^), дает систему интегральных уравнений типа восстановления B (a)ju (t — a) da о.

Решение данной системы обычно ищется в виде // if) — се ^ 5 где Спостоянный ненулевой вектор, днеизвестный параметр. Тогда имеем с (I-] В (аУ3а da] = О V о J.

Так как С Ф О (С > 0), т. е. ищется ненулевое решение, то определитель последней системы должен равняться нулю, т. е.

Таким образом, рассматриваемое решение представляется в виде Y. C e6, t, где (^-являются корнями последнего j=o характеристического уравнения.

Заметим, что матрица В = J B{a)da называется популяционной о матрицей потенциалов, а число h = биологическим потенциалом биосообщества и вопрос устойчивости нетривиального решения сводится к вопросу h < 1 (или h > 1).

Одним из главных особенностей приложения дифференциальных уравнений к решению практических задач состоит в определении экстремального свойства рассмотренных уравнений по отношению к некоторым параметрам и коэффициентам, входящим в них. Такие уравнения с экстремальным свойством возникают при решении ряда задач моделирования и оптимального управления. При этом само исходное уравнение, описывающее состояние управляемого объекта, обладает экстремальным свойством. Мы будем говорить, что рассматриваемая система (объект) имеет экстремальное свойство, если система будет функционировать наилучшим образом по отношению к некоторым ее параметрам. Функционирование систем с экстремальным свойством было изучено в самых общих предположениях в работах Юнуси М. [60−66].

Согласно работам Юнуси М, общее уравнение с экстремальным свойством характеризирующее состояние некоторого объекта (системы, процесса, субстанции и др.) имеет следующий вид [67−69]: 1.

Lu = max f, a (L и J f, (8) aeA {J=i J где L, Ljнекоторые заданные операторы, характеризирующие изменения состояние объекта с неизвестной плотностью распределения U и (.), А = а = (аг.ат): 0 < а} < 1, Zа/-* = l|, п> s4s> 1, 2. Параметры ОС} могут характеризовать доли наилучшего изменения общего состояния, образовывающиеся из суммы частных изменений объекта. Например, если мы будем рассматривать экономическую систему, то такими долями могут быть доли национального дохода, идущие на капиталовложения и различные отрасли потребления. Мы будем рассматривать частный случай рассмотренного уравнения- (8), а именно случай, когда д.

L, =а,—, /' =, т, L.

J Jdx/ д dt' где a j = a j (^с)-заданные функции своих аргументов. Тогда объектом изучения диссертационной работы будет уравнение предложенное проф. Юнуси: ди = шах<- dt аеА г т.

На. j=i, а ди.

J дх j /.

9).

— т.

0, x = .Е'.

Заметим, что уравнение (9) будет исследоваться в различных случаях, когда Cljявляется константами, когда а} -является переменными функциями и в случае, когда коэффициенты а} -нелинейные функции. Интересным на наш взгляд вопросом является случай с сингулярными коэффициентами. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретической характер и может быть непосредственно применена к решению многих практических задач. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при моделировании эколого-экономических, физических процессов и других процессов, изучаемых в естествознании и обществоведении. С теоретической точки зрения, ценность работы состоит в исследовании уравнения в частных производных первого порядка (типа переноса) с экстремальным свойством и определении класса возможных решений, а также различных постановок задач, связанных с ним. Цель работы состоит в исследовании уравнения в частных производных первого порядка (типа переноса) с экстремальным свойством (9) в различных классах решений и получении явного вида решения в случае, когда коэффициенты являются постоянными, переменными и сингулярными. Отличительная черта данной работы состоит в сведении уравнения (9) к другому уравнению, характеризирующему законы сохранения динамических процессов, связанных с уравнением (9). Научная новизна. Новыми являются следующие результаты:

— для уравнения в частных производных первого порядка (переноса) с экстремальным свойством получено эквивалентное уравнение, характеризирующее законы сохранения динамических процессов, связанных с уравнением (9);

— определение классов допустимых решений уравнения (9) — -получение решения уравнения (9) для различных классов допустимых решений- 1.

— исследование уравнения (9) с сингулярными коэффициентами и определение его решений;

— проведены компьютерное эксперименты с уравнений в частных— производных первого порядка с экстремальным свойством. Методы исследования. Основными методами исследования являются современные методы теории дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа, методы математического* моделирования и компьютерных экспериментов на основе языка высокого уровня MathCAD.

Апробаиия работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры высшей математики Таджикского Технического Университета имени акад. М. С. Осими, кафедры информатики Таджикского государственного национального Университета, объединенном научном семинаре кафедр дифференциальных уравнений и функционального анализа, высшей математики и математического анализа ТГНУ, ежегодных апрельских конференциях ТТУ имени акад. М. С. Осими. и ТГНУ, на Международной конференции «Актуальные проблемы математики и ее приложения», посвященной 10-летию Таджикского государственного университета права, бизнеса и политики, г. Худжанде, 29−31 мая 2003 г., на международной научно-практической конференции «16 сесия Шурой Оли Республики Таджикистан (12 созыва) и ее историческая значимость в развитии науки и образования») 27−28сентября сентября 2002 г., г. Душанбе, на третьей конференции молодых ученых и молодых специалистов (выпуск 3), 14-ноября 2003 г., г. Душанбе, на шестой конференции молодых ученых, посвященной 80-летию г. Душанбе 18−19 июня 2004, на республиканской научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке», посвященной юбилеям -80-летиям Министерства образования Республики Таджикистан и города Душанбе, 23−24 ноября 2004 г., в г. Душанбе.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [70−76].

Обозначения. В главах диссертации использована двойная нумерация, причем первая цифра означает номер параграфа, а вторая номер формулы в этом параграфе. Ссылки на другую главу, например, делается так: формулы (2.1) из главы 2.

Краткое содержание работы.

Первая глава посвящена вопросам построения и обоснования модельных уравнений с экстремальными свойствами на специальных классах возможных решений и представления решения этих уравнений.

1. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальныхуравнений.-М." .Наука, 1970. -279с.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнение математической физики,-М., Наука, * 1972.-736с.

3. Соболев С. Л. Уравнения математической физики.-М.: ГИТТЛ, 1954.-444с.

4. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа вматематической физике.-Л:Изд-во ЛГУ. 1950.

5. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.-:Наука, 1973.

6. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравненияэллиптического типа. М: Наука, 1973.-576с.

7. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уралцева Н. Н. Линейные иквазилинейные уравнения параболического типа, М, Наука, 1967.

8. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.-М.: МИР, 1968.-423с.

9. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Мир, 1972.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.-М, Наука, 1988.512с.

11. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных, М.: Наука, 1976.-391с.

12. Курант Р. Уравнения с частными производными, М.: Мир 1964. -830 с.

13. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. Москва.1977. -431с.

14. Михлин С. Г. Курс математической физики. Москва, 1968. 575с.

15. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частнымипроизводными гиперболического типа. Москва. 1978. -351с.

16. Арсенин В. Я. Математическая физика. Основные уравнения испециальные функции. Москва. 1966. -367с.

17. Бицадзе А. В. О единственности решения задачи Дирихле дляэллиптических уравнений с частными производными. // Успехи матем. наук, 1948, т.3,№ 6 с.211−212.

18. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных.М.:Наука.-1981.-448с.

19. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М, Наука 1971.-416с.

20. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.-М. Мир, 1957.

21. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. -М.: Наука, 1983.-432с.

22. Смирнов В. И. Курс высшей математики Том IV часть вторая, Москва1981.-550с. 23. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям ссингулярными коэффициентами.-Душанбе, Дониш, -1963,-183с.

23. Михайлов Л. Г. Некоторые переопределенные системы уравнений вчастных производных с двумя неизвестными функциями., изд. Дониш, Душанбе, 1986.-116 с.

24. Михайлов Л. Г. Дифференциальные уравнения с сингулярнымикоэффициентами. Труды Межд. Науч. Конф. по диффер. и интеграл, урав. с сингул. коэффициентами, Душанбе, 2003 г., с.4−8.

25. Михайлов Л. Г. Переопределенные системы дифференциальныхуравнений в частных производных с сингулярными коэффициентами. Труды Межд. Науч. Конф. по дифер. и интеграл, урав. с сингул. коэффициентами, Душанбе, 2003 г., с.96−99.

26. Филиппов А. Ф. Об условиях существования решений квазилинейногопараболического уравнения, ДАН СССР, т. 141, № 3 (1961), с.568−570.

27. Ильин A.M., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнениявторого порядка параболического типа.-УМН, 1962,17,3,3−146.

28. Хейл Дж., Теория функционально-дифференциальных уравнений.-М.: Мир, 1984.-421с.

29. Кошлаков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частныхпроизводных математической физики. -М.: Высш.шк., 1970, -710с.

30. Араманович И. Г и Левин. В. И. Уравнения математической физики. Москва 1964,288с.

31. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболическиеуравнения. -М.: Наука, 1966. -292с.

32. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. -М.:Наука, 1970.-295с.

33. Ильин В. А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического ипараболического уравнений, УМН, 15, вып. 2(92), 1960, с. 97−154.

34. Несис Е. И. Методы математической физики. -М.Т977. -199с.

35. Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные дифференциальныеуравнения и основы вариационного исчисления. -М.:Наука, 1986.-272с.

36. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физики. -М.:Наука, 1979, -320с.

37. Маслов В. П. Операторные методы.-М.: Наука 1973. -543с.

38. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.-М:Наука, 1976.-286с.

39. Webb GX. Teory of nonlinear age dependent population dynamics. MarcelDekker, Jnc. N.Y., 1985.-312p.

40. Свирежов Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ.-М.: Наука, 1978.-352с.

41. Моисеев Н. Н. Модели экологии и эволюции .-Математика, кибернетика, 1983, № 10.-30С.

42. Busenberg S., Iannelli, Nonlinear diffusion in age-structured populationdynamics-J.Math. Biology, 1987,№ 33, p.425−440.

43. Brokate M. Pontryagin’s principle for control problems in age-populationdynamics-J.Math. Biology, 1985, № 23, p.71−101.

44. М.Юнуси. Оптимальное управление в некоторых процессахтепломассопереноса.-Д.:Дониш, 1987 г., 132с.

45. М.Юнуси. Решение одного класса интегро-дифференциальных задач и.