Решив эту систему, найдем искомые параметры:
а = -3,869; b = 7,956.
Следовательно, уравнение линейной регрессии Y на X для нашей выборки имеет вид:
y = -3,869x + 7,956.
Видим, что оно очень близко к тому, что было получено непосредственно из рассмотрения диаграммы рассеяния.
Угловой коэффициент прямой линии регрессии Y на X называют выборочным коэффициентом регрессии Y на X и обозначают через :
= а = -3,869x.
Мы нашли наилучший набор параметров, а и b. Эта кривая с параметрами, которые определяются методом наименьших квадратов, и будет искомой линией — линией линейной регрессии. Она нанесена на диаграмму рассеяния на Рис. 8.
Необходимо помнить, что эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.
Искать и строить линию регрессии х = a1 y + b1 не имеет смысла, т.к. при коэффициенте корреляции 1 угол между этими прямыми будет пренебрежимо мал [3, С. 425 — 426].
Рис. 8.
Заключение
При исследовании наличия и тесноты связи между данными случайными величинами были получены следующие результаты:
— на основе визуального анализа диаграммы рассеяния (поля корреляции) сделан вывод о наличии очень сильной связи между ними, практически функциональной в данном диапазоне;
— построена линия тренда («на глаз») и определена её аналитическая форма, как приближение к расчетной линии регрессии;
— расчетным путем проверена эффективность полученной математической модели, и она оказалась достаточно высокой (в районе 5%);
— определены выборочные параметры вариации на несгруппированных рядах, как смещенные, так и не смещенные; сделан вывод о том, что разброс вариантов Y значительно больше, чем Х, но относительный разброс имеет один порядок величины;
— коэффициент корреляции, как и ожидалось после построения диаграммы рассеивания, оказался очень близок к 1;
— составлены корреляционные таблицы и по ним построены для двух рядов данных полигоны, гистограммы относительных частот, эмпирические функции распределения и кумуляты; они, как и ожидалось, оказались подобной формы; т. е. при подобии формы таких кривых можно ожидать сильную линейную корреляцию между величинами;
— сравнение параметров по сгруппированной и несгруппированной выборками показало, что группирование и приписывание соответствующей частости значения варианты в середине интервала группирования вносят некоторые искажения, но средние квадратичные отклонения остаются практически неизменными;
Вычисление параметров лини регрессии методом наименьших квадратов показало, что в случае такой сильной связи величин, как в данной работе, этот метод дает избыточную точность при достаточно трудоемких вычислениях (имеются в виду «ручные» расчеты).
Список источников
1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. — М.: Высш. шк., 2003. — 479 с.
2. Теория статистики с основами теории вероятностей. Учеб. пособие для вузов/Под ред. И. И. Елисеевой. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. — 446 с.
3. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 573 с.
— 114 -95 -79,8 -60,8 -45,6
