Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме при ослабленных моментных условиях

Объект исследования. Суммы случайных величин традиционно являются одним из основных объектов исследования в теории вероятностей. Интерес к схеме суммирования случайных величин особенно усилился в связи с созданием и развитием теории ошибок измерений, основы которой были заложены П.-С. Лапласом, предложившим считать ошибку наблюдения результатом суммарного эффекта большого числа независимых элементарных ошибок.

Вторая причина привлечения внимания к схеме суммирования — это появление большого числа линейных прикладных и теоретических задач в экономике, физике, технике, страховании и других областях, где суммы независимых случайных величин оказываются удобными и легко интерпретируемыми математическими моделями для описания количественных характеристик стохастических ситуаций.

К сожалению, точные и пригодные для вычислений формулы образуют в теории вероятностей скорее исключение, нежели правило. В полной мере это касается операции сложения независимых случайных величин, которой соответствует операция свертки их распределений. Это обстоятельство приводит к тому, что, за редкими исключениями, даже при известных функциях распределения слагаемых вычисление в явном виде функции распределения их суммы становится крайне затруднительным, а при неизвестных распределениях слагаемых невозможным. В тех же случаях, когда функцию распределения суммы удается выписать явно, она оказывается малопригодной для практических вычислений ввиду того, что ее сложность растет с ростом числа слагаемых. Для таких функций прямые вычисления уже для сумм нескольких десятков слагаемых становятся невозможными, в то время как в практической деятельности часто приходится иметь дело с суммами сотен и тысяч слагаемых.

Указанное обстоятельство порождает необходимость использования аппроксимаций распределения суммы независимых случайных величин, которые должны быть пригодны для непосредственных вычислений и обеспечивать требуемую точность приближения.

Классическим подходом здесь является использование асимптотической аппроксимации, вид которой определяется соответствующей предельной теоремой, описывающей изменение распределения суммы независимых случайных величин при увеличении числа слагаемых в ней. Предельные теоремы составляют ядро теории вероятностей. Здесь уместно процитировать Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова, которые в книге [4] отметили, что познавательная ценность теории вероятностей раскрывается только предельными теоремами, и В. М. Золотарева, который в книге [7] написал, что содероюание теории вероятностей в ее большей и, возмоэюио, самой важной для приложений части составляют. предельные теоремы.

В. М. Золотарев [7] выделяет три уровня практической значимости предельных теорем. К теоремам первого уровня он относит такие утверждения, которые при заданных ограничениях на слагаемые описывают класс возможных предельных законов для сумм и для каждого возможного предельного закона описывают необходимые и достаточные условия сходимости к нему распределений сумм.

Теоремы второго уровня составляют утверждения, описывающие скорость сходимость в предельных теоремах и устанавливающие правильный порядок убывания погрешности при увеличении числа слагаемых. При этом оценка погрешности может содержать постоянные с неизвестными числовыми значениями и иметь невыявленную структуру, зависящую от характеристик распределений слагаемых.

Наконец, к теоремам третьего уровня В. М. Золотарев относит такие, в которых оценка погрешности имеет явное выражение, вплоть до числовых значений входящих в нее постоянных и предоставляет принципиальную возможность находить конкретные значения оценки погрешности при любом числе слагаемых.

Среди всех предельных теорем теории вероятностей особое место занимает центральная предельная теорема (ЦПТ), описывающая эффект сближения функции распределения суммы независимых случайных величин с нормальной функцией распределения.

Открытие ЦПТ связано с именами А. де Муавра, П.-С. Лапласа, Р. Эдрсйна и К.Гаусса. ЦПТ обосновывает возможность аппроксимации х со распределения суммы независимых случайных величин, обычно недоступного исследователю, нормальным распределением. Важным преимуществом применения ЦПТ является отсутствие необходимости знать точные выражения для распределений суммируемых величин, вполне достаточным оказывается знание лишь некоторых числовых характеристик этих распределений.

ЦПТ устанавливает, что при некоторых условиях распределение суммы случайных величин сходится к нормальному закону при неограниченном возрастании количества слагаемых. Однако в реальных выборках число слагаемых конечно. При этом ясно, что при применении нормальной или какой бы то ни было другой аппроксимации в рассматриваемую задачу неизбежно вносятся некоторые искажения, в связи с чем естественно возникает вопрос о величине допускаемой при этом ошибки как факторе, напрямую обуславливающем целесообразность применения самой аппроксимации. Решающую роль в таком случае играет задача построения легко вычислимых аналитических оценок точности нормального приближения, зависящих от основных числовых характеристик распределений слагаемых в сумме и их числа.

Об оценках, в которых вся используемая информация о распределениях слагаемых в сумме случайных величин составляет только знание нескольких их первых моментов, будем говорить как о момептиых оценках. В работе будут рассматриваться моментиые оценки скорости сходимости в ЦПТ, а также их некоторые обобщения, не усложняющие, впрочем, их практическую вычислимость.

Выбор именно таких оценок в качестве объекта исследования ни в коем случае не является случайным. Безусловно, оценки в терминах дзета-метрик (см., например, [30]) или псевдомоментов (см., например, [20]) могут быть значительно точнее оценок, рассматриваемых в данной работе, однако для возможности их применения необходима полная информация о распределении слагаемых. Даже в случае наличия такой информации, сложность их вычисления часто не слишком уступает сложности нахождения (возможно, с использованием современной вычислительной техники) функции распределения суммы случайных величин, что делает аппроксимацию бессмысленной с практической точки зрения. Напротив, оценки, рассматриваемые в диссертации, просты с вычислительной точки зрения и позволяют получить хорошие результаты даже в случае, когда мало что известно о природе слагаемых, а имеются лишь их числовые реализации в конкретном эксперименте, то есть в ситуации, являющейся типичной при решении задач математической статистики.

Задача изучения точности нормальной аппроксимации привлекала внимание многих исследователей. В частности, над ней работали А. М. Ляпунов, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хиичин, П. Леви, Г. Крамер, Б. В. Гнеденко, Ю. В. Прохоров, К.-Г. Эссеен, И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник, В. Феллер, В. М. Золотарев, В. В. Сазонов, В. В. Петров, Л. В. Осипов, П. Холл, К. Хейди и другие выдающиеся математики.

Вопросы, связанные с оценками точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин, широко освещены в научной литературе, в частности, им уделено большое внимание в книге Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова [4], в монографиях И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [8], Р. Н. Бхаттачария и Р. Ранга Pao [3], В. В. Петрова [22, 24], В. М. Золотарева [7] и В. В. Сенатова [59, 27].

История задачи. Относительно случайных слагаемых Xi, A2,. мы будем предполагать, что они независимы и удовлетворяют условиям.

ЕХк = тк, DXk — ак < оо, ке N. (1).

Обозначим также.

Wn = Xx +. + Хш B2n = DWn = a? +. + al Wn = WnZ^ Fn (x) = P (Wn.

Положим.

An (x) = IFn (x) — Ф (ж)|, xeR, n e N.

Центральная предельная теорема утверждает, что, если последовательность случайных величин удовлетворяет условию (1) и для любого е > 0 выполнено требование.

1 п.

2ЦХк-тк)21(Хк-тк^?Вп)^Ъ при п -> оо, (2) п к=i то последовательность функций распределения стандартизованных сумм Wn равномерно сходится к стандартной нормальной функции распределения с ростом числа слагаемых:

Ап = sup Ап (х) —> 0 при п —у оо. хеш.

Как известно, в общем случае справедливость лишь условия (1) не гарантирует выполнения ЦПТ. Среди дополнительных условий, которые были бы достаточными, требование (2), называемое условием Лиидебер-га, является наиболее общепринятым, поскольку при некоторых естественных условиях оно является не только достаточным, но и необходимым.

Условие (1) является достаточным для справедливости ЦПТ в случае одинаково распределенных слагаемых. К сожалению, даже в этом случае его недостаточно для конструирования стремящихся к нулю с ростом п оценок равномерного расстояния Дп, поскольку, согласно результату В. К. Мацкявичюса [12], если слагаемые удовлетворяют только лишь условию (1), то сходимость в ЦПТ может быть как угодно медленной. В связи с этим используются различные дополнительные требования к суммируемым случайным величинам помимо условий (1). Пожалуй, наибольшее освещение в литературе приобрела постановка задачи, в которой предполагается существование какого-либо конечного абсолютного момента порядка, превосходящего второй: ЩХк — тк2+* < оо, бе (0- 1], к е N. (3).

Заметим, что это требование обеспечивает выполнение условия Линде-берга, а значит, и ЦПТ. Определим (центральное) ляпуновское отношение порядка 2 + 5 как.

1 «.

2+5,п = X] п к=1.

При выполнении условия (3) известна оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме вида.

Дп < Со (<5)½+5,71, (4) где положительное число Со (<5) зависит только от 5 (см., например, известную книгу В. В. Петрова [22]).

Случай 5 = 1 изучен лучше всего. В этой ситуации (4) превращается в так называемое неравенство Берри-Эсссена.

Д&bdquo- < С0(1)Ь3)7г, впервые доказанное в 1941;1942 годах независимо Э. Берри [35] для случая одинаково распределенных слагаемых и К.-Г. Эссееном [38]. При.

О < 6 < 1 его можно вывести из полученной в 1945 году Эссеепом [39] оценки.

А" < Л1(6)(Ь2+5,п + (1²+6,п)1/5), справедливой для необязательно одинаково распределенных слагаемых, где зависит только от 5. Неравенство (4) также можно вывести из оценки доказанной в 1963 году М. Кацем [44] для одинаково распределенных слагаемых, и обобщенной позже на случай разпораспределепных слагаемых В. В. Петровым [21], где А2 — положительная конечная абсолютная постоянная и д (х) — вещественная функция аргумента такая, что.

• функция д (х) четна;

• функция д{х) неотрицательна при всех х и д{х) > 0 при х > 0;

• функция д{х) не убывает при х > 0;

• функция х/д (х) не убывает при х > 0.

В частности, неравенство (5) справедливо с д (х) —.

Однако, чтобы пользоваться неравенством Берри-Эссеена на практике для оценивания точности нормальной аппроксимации, необходимо иметь конкретные численные оценки абсолютной копстаны, входящей в него. История отыскания значения этой константы чрезвычайно интересна и богата результатами (хорошие исторические обзоры даны в [9, 10, 45, 32]). В последнее время усилиями В. Ю. Королева, И. Г. Шевцовой, И. С. Тюрина, С. В. Нагаева и В. И. Чеботарева верхнюю оценку для Со (1) удалось существенно снизить.

В 2010 году И. Г. Шевцовой [33], а затем И. С. Тюриным в 2011 году [31] получены соответственно оценки.

С0(1) ^ 0.5600 и С0(1) < 0.5591.

Для случая же одинаково распределенных слагаемых И. Г. Шевцовой [60] получена оценка СЬ (1) ^ 0.4748. Нижняя оценка Со (1) получена Эссеепом [40]. Таким образом, относительно Со (1) в настоящий момент известно, что.

0.4097. = с0(1) < 0.5591.

6у27Г.

Наилучшие на сегодняшний день верхиие оценки констант Со (5) при О < 8 < 1 получены в работах М. Е. Григорьевой и И. Г. Шевцовой [6, 5] (см. таблицы, А и В).

С0(0.9) < 0.6283 Со (0.8) ^ 0.6374 Со (0.7) ^ 0.6530 Со (0.6) ^ 0.6751 С0(0.5) ^ 0.7048 С0(0.4) ^ 0.7433 Со (О.З) ^ 0.7927 С0(0.2) < 0.9069 С0(0.1) < 0.9741.

Таблица А: Оценки констант Со{5) в общем случае.

С0(0.9) ^ 0.5383 С0(0.8) ^ 0.5723 Со (0.7) ^ 0.6026 Со (0.6) ^ 0.6276 Со (0.5) ^ 0.6413 С0(0.4) ^ 0.6342 Со (О.З) ^ 0.6195 Со (0.2) ^ 0.6094 С0(0.1) ^ 0.6028.

Таблица В: Оценки констант Со{5) для случая одинаково распределенных слагаемых.

В работе [И] в общем случае была получена оценка, являющаяся структурным уточнением неравенства (4):

0.3197 о, п к=1 тогда как для случая одинаково распределенных слагаемых в статьях [10, 45] приводится та же оценка с константой 0.3041. Для случая 5 = 0 известна тривиальная оценка.

Д&bdquo- < 0.5409 приведенная, например, в [3]. Для этого случая в 1966 году Л. В. Осипов [17] доказал, что существует такая конечная положительная абсолютная постоянная что также см. [24], глава V, § 3, теорема 7). История последнего неравенства довольно интересна. Пожалуй, впервые в более-менее явном виде оно встречается в работе Ю. П. Студнева [29], где отмечено, что его можно легко вывести из результата более ранней работы [28]. В работе Л. В. Осипова на самом делее доказано немного более общее неравенство. В 1968 г. то же неравенство было независимо доказано В. Феллером [41], который, используя метод характеристических функций, показал, что Аз ^ 6.

В работах [55, 56] Л. Падитц показал, что в (6) справедлива оценка Аз < 4.77. В 1986 году в работе [57] он же отметил, что с учетом леммы 12.2 из монографии [3] с помощью техники, использованной в работах [55, 56], верхнюю оценку константы А3 можно снизить до Аз < 3.51.

В 1984 г. А. Барбур и П. Холл [34[ доказали неравенство (6) методом Стейна и, упоминая цитированный выше результат Феллера, констатировали, что этот метод позволил им получить лишь оценку Аз ^ 18 (хотя в указанной работе ими доказана только оценка Аз ^ 22). В 2001 г. Л. Чен и К. Шао опубликовали не содержащую ссылок на упомянутые выше работы Падитца [55, 56, 57] работу [36], в которой с помощью метода Стейна неравенство (6) было доказано с константой Аз = 4.1.

Неравенство (6) примечательно тем, что для своего выполнения не требует существования моментов выше второго, то есть справедливо даже при отсутствии сходимости к нормальному распределению (если слагаемые распределены неодинаково). При этом оно тесно связано с условием Липдеберга. Действительно, выберем произвольное 0 < е ^ 1. Тогда.

Справедливость условия Линдеберга означает не что иное, как сходимость к нулю второго слагаемого в последнем выражении при любом е > 0. Нетрудно понять, что это влечет в свою очередь сходимость к нулю оценки (6) при увеличении п. Таким образом, неравенство (6) связывает скорость сходимости в ЦПТ с критерием сходимости. В книге [63] В. М. Золотарев называет такие оценки естественными (см. раздел 2.3 в [63]).

Рассмотренные выше оценки скорости сходимости распределений сумм независимых случайных величин к нормальному распределению, устанавливаемые неравенством Берри-Эссеена (4), и его обобщениями равномерны по х. Но поскольку как допредельная, так и предельная функции функции распределения, должно выполняться, например, соотношение.

Ап (х) —У 0 при х —> оо при каждом фиксированном п. Это обстоятельство не учитывается в равномерных оценках. Вместе с тем точность нормальной аппроксимации для функций распределения сумм случайных величии именно при больших значениях аргумента представляет особый интерес, например, при вычислении рисков критически больших потерь. В диссертации большое внимание сфокусировано на неравномерных оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме.

Вопрос о зависимости остаточного члена в центральной предельной теореме от х рассматривался еще в работе Г. Крамера [37] для распределений с экспоненциально убывающими хвостами, то есть таких, что Еехр{а|Хй|} < оо для некоторого, а > 0. Для распределений же, удовлетворяющих рассматриваемым моментным условиям, по-видимому, исторически первая оценка величины Ап (х) была получена К.-Г. Эссееиом [39] в 1945 году для случая 6 = 1 и одинаково распределенных слагаемых и имела вид у/п 1 + |аз где /?з — третий центральный абсолютный момент слагаемых, А^/Зз) зависит только от Д}. В работе Л. Д. Мешалкина и Б. А. Рогозина [13] с помощью неравенства сглаживания, отличного от неравенства сглаживания, использованного Эссееном, было доказано существование абсолютной постоянной А$ такой, что при всех ж 6 I и п ^ 1.

А (тах{1птг, 1п (2 + х)} п[х) ^ у/Е ' 1 + № а также существование абсолютной постоянной Aq такой, что при всех п ^ 1 sup (l + х2) Ап (х) < A6L^nжеЕ.

Результаты работ [39] и [13] затем были усилены и обобщены в работах С. В. Нагаева [15] (для случая одинаково распределенных слагаемых и 6 = 1) и А. Бикялиса [1] (для случая необязательно одинаково распределенных слагаемых и 0 < 8 ^ 1), где было показано, что существуют такие положительные конечные числа С ($), что sup (1 + |z|2+i) An (s) < C (6)L2+s, n. (7) zeR.

Вопрос о «правильности» (точности) устанавливаемого оценкой (7) порядка по п и х изучался в работах JI.B. Осииова и В. В. Петрова [18],.

A. Бикялиса [2], К. Хейди [42], Т. Накаты [48], Р. Михеля [46],.

B.В.Петрова [25], Л. В. Розовского [26].

Впервые верхние оценки для С (5) были получены в работах JI. Па-дитца [51, 52, 53, 54] для необязательно одинаково распределенных слагаемых. В частности, в своей первой работе на эту тему [53], опубликованной лишь в 1978 г., для С (1) им была получена оценка, превосходящая 1955. Затем в [54] приведены оценки.

С (0.9) < 820.4, С (0.7) ^ 569.5, С (0.5) ^ 376.7,.

С (О.З) ^ 241.4, С (0.1) < 151.3.

В [52] было показано, что С (1) ^ 114.7. В работе Р. Михеля [47] для случая одинаково распределенных слагаемых было показано, что (7(1) < Со (1) + 8(1 + е), что с учетом оценки для Со (1), полученной в работе [10], влечет неравенство С{ 1) ^ 30.2247. В работе В. Тысиака [62] для случая 5 = 1 и необязательно одинаково распределенных слагаемых была получена оценка С (1) ^ 32.88. Для 0 < S < 1 в той же работе получены оценки, приведенные в таблице С.

С (0.9) ^ 29.83 С (0.8) ^ 27.21 С (0.7) ^ 25.06.

С (0.6) ^ 23.41 С (0.5) ^ 21.94 С (0.4) ^ 20.58.

С (О.З) ^ 19.32 С (0.2) ^ 18.17 С (0.1) ^ 17.05.

Таблица С: Оценки констант С (5) в общем случае.

Ш. А. Мирахмедов [14] утверждал, что результат Михеля С (1) ^ Со (1) + 8(1 + е) справедлив и в общем случае произвольно распределенных слагаемых. Однако вычисления в работах [62, 14] содержали неточности (см. замечания в [19] и [58]). В [19] Падитц и Мирахмедов получили оценку (7(1) ^ 32.153. В 1986 г. Падитц [57] показал, что.

С (1) ^ 31.935.

Наконец, недавно для случая одинаково распределенных слагаемых авторы статьи [16] получили таблицу Б и оценку С (1) ^ 18.1139.

С (0.9) < 17.2651 (7(0.8) ^ 16.1524 С (0.7) ^ 15.0866.

С (0.6) < 14.0576 (7(0.5) < 13.0258 С (0.4) ^ 11.9605.

С (О.З) ^ 10.9675 С (0.2) < 10.0561 С (0.1) < 9.2114.

Таблица Б: Оценки констант С (5) в случае одинаково распределенных слагаемых.

Для случая 6 = 0 в 1979 г. в статье В. В. Петрова [23] было показано, что при выполнении условий (1) существует конечная положительная постоянная Сд, гарантирующая выполнение неравенства.

Ап (х) <

1=1 I.

ЕХЩЩ > (1 + 1×1)5″).

1 +1″ ЕХ{Ч (Щ < (1 + х) Вп) (8).

1 + 1*1)3 В1.

Этот результат был получен в [23] как простое следствие неравенства (1+1®1)вп.

Л^ (1+Сх)Щ? / > ^ п о доказанного в работе [1]. В 2001 году Чен и Шао [36] передоказали неравенство (8) методом Стейна. Верхним оценкам константы Св посвящены работы [49, 61, 50]. Примечательно, что эти оценки зависят от значения х. В частности, в [50] приведена оценка С в ^ 76.17, а также показано, что С в ^ 39.39, если х ^ 14.

В уже упоминавшейся работе [23] В. В. Петров также доказал неравномерный аналог неравенства (5).

А" (^а+1 (10).

По-видимому, проблема оценивания значения константы Ср никем никогда не изучалась.

Актуальность темы

исследования. В отличие от классического неравенства Берри-Эссеена и его обобщений, неравенства (5), (6), (8) и (10) позволяют получить оценки скорости сходимости в ЦПТ в случае, когда у слагаемых отсутствует моменты порядка больше второго, в частности, в ситуации, когда распределение слагаемых имеет так называемые тяжелые хвосты. Примером такого распределения может являться распределение Парето. Распределения с тяжелыми хвостами часто встречаются в задачах анализа экспериментальных данных в физике, в частности, в физике плазмы, в задачах анализа данных о трафике в информационных, телекоммуникационных и вычислительных системах, в задачах анализа финансовых и экономических данных и т. д. Более того, на практике, даже если можно сформулировать разумные предположения о типе распределений слагаемых, не всегда возможно гарантированно указать порядок существующих моментов. Наконец, часто возникают ситуации, когда вообще нет никаких оснований для тех или иных предположений о типе распределения слагаемых, и при анализе данных вопрос о существовании моментов нужного порядка приходится решать, руководствуясь нестрогими эмпирическими критериями или правилами вроде экспериментально устанавливаемой стабилизации выборочных моментов нужного порядка. Естественно, что при использовании в таких ситуациях нормальной аппроксимации необходимо довольствоваться минимально возможными условиями справедливости ЦПТ типа условия Линдеберга. Поэтому вопрос о точности нормальной аппроксимации при минимально возможных условиях приобретает особую важность.

Цель работы. Как вытекает из сказанного выше, задача изучения точности аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин весьма популярна и достаточно хорошо изучена. Однако, как отмечено в книге В. М. Золотарева [7], из многих сотен, если не тысяч, предельных теорем, которыми располагает, в настоящее время теория вероятностей, лишь немногие мооюио отнести к третьему уровню, тогда как в наше время, когда теория вероятностей и, в частности, теория предельных теорем достигли глубокого и всестороннего развития, когда математики получили на вооруоюение мощные компьютеры, теория вероятностей долэ/сна уделять значительно больше внимания результатам третьего уровня. Именно теоремам третьего уровня и посвящена данная диссертация. Более конкретно, целыо работы является построение или уточнение конкретных оценок точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величии при ослабленных моментных условиях, когда от слагаемых требуется лишь существование моментов второго порядка или моментов вида ЕХ2д (Х), где д — произвольно медленно возрастающая функция.

В частности, целью работы является исследование реальной точности неравенств типа Осипова-Феллера и Каца-Петрова, а также их неравномерных аналогов, за счет отыскания или уточнения конкретных числовых значений абсолютных констант, входящих в эти неравенства. При этом необходимо уточнить значения константы в неравномерном аналоге неравенства Берри-Эссеена, справедливом при существовании моментов третьего порядка (неравенстве Бпкялиса-Нагаева), так как эти значения являются параметрами оптимизационных вычислительных процедур, используемых для вычисления констант в неравенствах Осипова-Феллера и Каца-Петрова, а также их неравномерных аналогах.

Целыо исследования также является изучение зависимости значений констант в указанных неравенствах от дополнительных условий качественного типа, например, условия симметричности распределений слагаемых и условия совпадения распределений слагаемых, чтобы с помощью количественных результатов получить качественные выводы о степени адекватности нормальной аппроксимации в разных условиях.

Содержание исследования. Кратко опишем содержание исследования и структуру диссертации.

1. А. Бикялис. Оценки остаточного члена в центральной предельной теореме. — Литовский математический сборник, 1966, т. 6, вып. 3, с. 323−346.

2. А. Бикялис. О точности аппроксимации распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин нормальным распредедением. Литовский математический сборник, 1971, т. И, вып. 2, с. 237−240.

3. Р. Н. Бхаттачария, Р. Ранга Рао. Аппроксимация нормальным распределением. М.: Наука, 1982, 286 с.

4. Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949, 264 с.

5. М. Е. Григорьева, И. Г. Шевцова. Уточнение неравенства Каца-Бер-ри-Эссеена. Информатика и ее применения, 2010, т. 4, вып. 2, с. 78−85.

6. В. М. Золотарев. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986, 415 с.

7. И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965, 524 с.

8. В. 10. Королев, И. Г. Шевцова. О верхней оценке абсолютной постоянной в неравенство Берри-Эссеепа. Теория вероятностей и ее применения, 2009, т. 54, выи. 4, с. 671−695.

9. В. Ю. Королев, И. Г. Шевцова. Уточнение неравенства Берри-Эссее-на с приложениями к пуассоновским и смешанным пуассоновским случайным суммам. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2010, т. 17, вып. 1, с. 25−56.

10. В. Ю. Королев, И. Г. Шевцова. Новая моментная оценка скорости сходимости в теореме Ляпунова. Теория вероятностей и ее применения, 2010, т. 55, вып. 3, с. 577−582.

11. В. К. Мацкявичюс. О нижней оценке скорости сходимости в цеп-тральной предельной теореме. Теория вероятностей и ее применения, 1983, т. 28, вып. 3, с. 565−569.

12. Ш. А. Мирахмедов. Об абсолютной постоянной в неравномерной оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме. -Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат. наук, 1984, вып. 4, с. 26−30.

13. С. В. Нагаев. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений. Теория вероятностей и ее применения, 1965, т. 10, вып. 2, с. 231−254.

14. Ю. С. Нефедова, И. Г. Шевцова. О неравномерных оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме. Теория вероятностей и ее применения, 2012, т. 57, вып. 1, с. 62−97.

15. W. Hoeffding. The extrema of the expected value of a function of independent random variables. Ann. Math. Statist., 1948, vol. 19, p. 239−325.

16. M. Katz. Note on the Berry-Esseen theorem. Annals of Math. Statist., 1963, vol. 39, № 4, p. 1348−1349.

17. R. Michel. On the accuracy of nonuniform Gaussian approximation to the distribution functions of sums of independent and identically distributed random variables. Z. Wahrsch. verw. Geb., 1976, Bd. 35, № 4, S. 337−347.

18. R. Michel. On the constant in the nonuniform version of the Berry-Esseen theorem. Z. Wahrsch. verw. Geb., 1981, Bd. 55, S. 109 117.

19. T. Nakata. A nonuniform bound on convergence to normality for independent random variables. Advances in Applied Probability, 1977, vol. 11, № 2, p. 285−286.

20. K. Neammanee. On the constant in the nonuniform version of the Berry-Esseen theorem. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2005, vol. 12, p. 1951—1967.

21. K. Neammanee and P. Thongtha. Improvement of the non-uniform version of the Berry-Esseen inequality via Paditz-Shiganov theorems. -Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 2007, vol. 8, iss. 4, art. 92.

22. L. Paditz. Abschatzungen der Konvergenzgeschwindigkeit im zentralen Grenzwertsatz. Wiss. Z. der TU Dresden, 1976, vol. 25, p. 1169−1177.

23. L. Paditz. Abschatzungen der Konvergenzgeschwindigkeit zur Normalverteilung unter Voraussetzung einseitiger Momente. Math. Nachr., 1978, vol. 82, p. 131−156.

24. L. Paditz. Uber eine Fehlerabschatzung im zentralen Grenzwertsatz. -Wiss. Z. der TU Dresden, 1979, vol. 28, № 5, p. 1197−1200.

25. L. Paditz. Bemerkungen zu einer Fehlerabschatzung im zentralen Grenzwertsatz. In: Wiss. Z. Hochschule fur Verkehrswesen «Friedrich List», 1980, Bd. 27, № 4, S. 829−837.

26. L. Paditz. On error-estimates in the central limit theorem for generalized linear discounting. In: Math. Operationsforsch. u. Statist., Ser. Statistics, 1984, Bd. 15, № 4, S. 601−610.

27. L. Paditz. Uber eine Fehlerabschatzung im zentralen Grenzwertsatz. In: Wiss. Z. Hochschule fur Verkehrswesen «Friedrich List». Dresden. 1986, vol. 33, № 2, p. 399−404.

28. L. Paditz. On the analytical structure of the constant in the nonuniform version of the Esseen inequality. Statistics (Berlin: Akademie-Verlag), 1989, vol. 20, № 3, p. 453−464.

29. V. V. Senatov. Normal Approximation: New Results, Methods and Problems. Utrecht: VSP, 1998.

30. I. Shevtsova. On the absolute constants in the Berry-Esseen type inequalities for identically distributed summands. ArXiv.org e-print archive, 2011, URL: http://arxiv.org/pdf/llll.6554.pdf (16.10.2012).

31. P. Thongtha and K. Neammanee. Refinement of the constants in the non-uniform version of the Berry-Esseen theorem. Thai Journal of Mathematics, 2007, vol. 5, p. 1−13.

32. W. Tysiak. Gleichma? ige und nicht-gleichma?ige Berry-Esseen-Abschatzungen. Dissertation, Wuppertal, 1983.

33. V. M. Zolotarev. Modern Theory of Summation of Random Variables. Utrecht: VSP, 1997, 412 pp.

34. M.E. Григорьева, C.B. Попов. О неравномерных оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме. Системы и средства информатики, 2012, т. 22., вып. 1, с. 180−204.

35. M. E. Григорьева, С. В. Попов. О верхней оценке абсолютной постоянной в неравномерном аналоге неравенства Берри-Эссеена для неодинаково распределенных слагаемых. Доклады АН, 2012, т. 445, выи. 4, с. 1−3.

36. В. Ю. Королев, C.B. Попов. Уточнение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме при отсутствии моментов порядков, больших второго. Теория вероятностей и ее применения, 2011, т. 56, вып. 4, с. 797−805.

37. В. Ю. Королев, C.B. Попов. Уточнение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме при ослабленных моментных условиях. Доклады АН, 2012, т. 445, вып. 3, с. 1−6.

38. С. В. Попов. Уточнение неравномерных оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме при существовании моментов не выше второго. Информатика и ее применения, 2012, т. 6, вып. 1, с. 7−11.

39. V. Korolev, S. Popov. On the universal constant in the Katz-Petrov and Osipov inequalities. Discussiones Mathematicae Probability and Statistics, 2011, vol. 31, p. 29−39.

40. V. Korolev, S. Popov. On the absolute constants in the Katz-Petrov-Osipov inequalities. Abstracts of XXIX International Seminar on Stability Problems for Stochastic. Models, Moscow, Institute of Informatics Problems, RAS, 2012, p. 39−42.