Структурная устойчивость управляемости на поверхностях с краем

Активное развитие математической теории управления началось в 50-х годах прошлого века, когда задачи управления реальными объектами привели к необходимости развития методов их решения. При этом сначала анализируется сама возможность управлять объектом, то есть его управляемость, а затем проводится поиск оптимальной траектории по выбранному критерию качества.

Анализ управляемости объекта может быть локальным — вблизи его изучаемого состояния — и нелокальным, когда исследуется возможность перевода из заданного состояния в другое. Часто говорят не об одном начальном состоянии, а о некоторой их совокупности (стартовом множестве).

Локальная управляемость объектов в его заданном состоянии изучалась с самого начала возникновения теории управления. Одним из классических результатов здесь является критерий Калмана управляемости афинных систем в нуле и его обобщение на случай нелинейных систем (см. [18]). Задача описания в целом множества всех точек, где система локально управляема, была сформулирована в работе А. Д. Мышкиса в 1964 году (см. [21]).

Управляемая система называется локально транзитивной в точке фазового пространства, если для любой окрестности этой точки существуют другая окрестность V этой точки и некоторое время Т > 0 такие, что любые два состояния системы из окрестности V переводятся одно в другое допустимым движением системы за время не превосходящее Т и без выхода из первой окрестности. Если такая окрестность существует для любого Т > 0, то будем говорить о локальной транзитивности за малое время. Зоной локальной транзитивности (за малое время) системы называется объединение всех точек, где система локально транзитивна (за малое время, соответственно). Например, дифференцируемая полидинамическая система локально транзитивна в точке за малое время, если в этой точке из допустимых скоростей системы можно сформировать положительный базис, что было показано в работах H.H. Петрова (см. [23], [241).

Локальная транзитивность типичных гладких управляемых систем на поверхностях без края была полностью изучена A.A. Давыдовым (см. [6], [8|, [9], [10], [11]), а недавно существенное продвижение здесь было получено В. М. Закалюкиным и А. Н. Курбацким для некоторых классов трёхмерных систем (см. [15], [16], [17], [19|, [20]).

Анализ нелокальной управляемости систем — более трудная задача по сравнению с изучением локальной управляемости. Для типичных гладких систем на компактных ориентируемых поверхностях без края этот анализ проведён A.A. Давыдовым с использованием достижений качественной теории динамических систем и методов теории особенностей (см. [27]). Естественным является вопрос: насколько результаты по анализу управляемости типичных систем на гладких ориентируемых поверхностях остаются справедливыми и для поверхностей с гладким краем?

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты:

1) классификация типичных особенностей зон локальной транзитивности гладких управляемых систем на поверхностях с краем в точках края;

2) классификация типичных особенностей множества достижимости гладких управляемых систем на ориентируемых компактных поверхностях с краем в точках края;

3) теоремы об устойчивости зон локальной транзитивности, множеств достижимости и их особенностей для типичных гладких управляемых систем на ориентируемых компактных поверхностях с краем.

В первой главе проведена классификация типичных особенностей зон локальной транзитивности гладких управляемых систем на гладкой поверхности М с краем и доказана их устойчивость. Сначала анализируется простейший случай бидинамических систем.

Теорема 1.2.1. Зона локальной транзитивности типичной бидинамической системы на М не имеет точек на краю и устойчива к малому шевелению этой системы, то есть зона локальной транзитивности любой достаточно близкой системы переводится в зону локальной транзитивности исходной системы диффеоморфизмом поверхности близким к тождественному.

Под типичной системой (или системой общего положения) мы понимаем систему из некоторого открытого всюду плотного множества в пространстве гладких систем, снабжённом тонкой гладкой (или достаточно гладкой) топологией Уитни.

Затем рассматривается случай полидинамических систем и общий случай. Для полидинамических систем и нелинейных систем общего вида на краю могут появляться точки зоны локальной транзитивности.

Теорема 1.2.2. Для типичной полидинамической системы при фи > 3 ростки в точке д-обгона на краю семейства предельных линий и поверхности М будут С°°-диффеоморфны росткам в нуле соответственно семейства предельных линий системы с тремя полями скоростей либо а) (±1, х) и (Х (х, у), 1), либо Ь) (±1, ж) и (Х (х, у). —1), и области х > к (у), с некоторыми гладкими функциями X и к, к (0) = 0 Ф к). При этом локальная транзитивность в этой точке есть только в случае Ь).

Теорема 1.2.3. Для типичной системы при dim U ф 0 в регулярной нуль-точке на краю ростки семейства предельных линий и поверхности М будут, С°°-диффеоморфны росткам в нуле соответственно семейств фазовых кривых уравнения (у1)2 = х и области у > к (х) с некоторой гладкой функцией к, к (0) = 0 ^ к'{0). При этом локальная транзитивность в этой точке есть только при к'(0) > 0.

Оказалось, что как и в случае без края особенности зоны локальной транзитивности и сама эта зона устойчивы к малому шевелению типичной системы. Справедлива.

Теорема 1.2.4. Для, типичной управляемой системы на поверхности с краем зона локальной транзитивности любой достаточно близкой к ней системы переводятся в зону локальной транзитивности исходной системы близким к тождественному диффеоморфизмом фазового пространства.

В этих теоремах о зонах локальной транзитивности и их типичных особенностях речь идёт о типичности в достаточно гладкой тонкой топологии, ибо компактность поверхности в них не предполагается. Доказаны эти теоремы в § 1.3.

Вторая глава посвящена изучению типичных особенностей на краю положительной орбиты (множества достижимости) замкнутого стартового множества, оказывающегося внутри этой орбиты. При этом дополнительно предполагается ориентируемость и компактность М. Понятно, что для типичных систем на краю не могут наблюдаться особенности поля предельных направлений коразмерности 2 и выше, а лишь особенности коразмерностей 0 и 1. Классификация этих особенностей получается на основе изученных в первой главе типичных особенностей поля предельных направлений и результатов A.A. Давыдова об устойчивости семейств особых предельных линий типичных систем на ориентируемых компактных поверхностях. Структурная устойчивость особых предельных линий управляемых систем имеет место и для систем на ориентируемых компактных поверхностях с краем, только здесь перечень особых линий шире. В него дополнительно попадают линии, выходящие из особых точек поля предельных направлений на краю (по аналогии с классической теорией [1], [3], [22], [27], [28], [29]).

Предложение 2.2.1. Для типичной управляемой системы на ориентируемой компактной поверхности с краем множество её особых предельных линий структурно устойчиво.

Это позволяет получить классификацию типичных ростков границы множества достижимости в точках края (вне края список типичных роствков тот же, что и в классификации A.A. Давыдова [27]):

Теорема 2.2.1. Пусть для типичной бидинамической системы на ориентируемой компактной поверхности М орбита 0+ стартового множества содержит его замыкание в своей внутренности. Тогда росток границы дО+ в каждой из её точек z Е дМ равен.

1) одному из трёх ростков, если z — точка крутой области: либо a)(dM, z) — либо b) {rj'(z) U (дМ П 0+), z) — где rj^(z) не касается края в этой точке, либо ещё c) {t]^(z) U (<9МПО+), z), где r]^(z) касается края с первым порядком касания;

2) одному из двух ростков, если z — точка границы крутой области: а) (dM.z). если вблизи точки z входящая предельная линия в эту точку лежит в 0+, либо.

Ь) (г]^(г) и (дМ П 0+), г), если вблизи точки г входящая предельная линия в эту точку не лежит в 0+, где выходящая предельная линия из этой точки.

Теорема 2.3.2. Пусть для типичной системы на ориентируемой компактной поверхности М орбита 0+ стартового множества содержит его замыкание в своей внутренности. Тогда росток границы дО+ в каждой из её точек г 6 дМ равен либо.

1) одному из трёх ростков из теоремы 2.2.1, если г — точка крутой области, либо.

2) одному из двух ростков a) (дМ, г), если в этой точке система является локально транзитивной или входящая предельная линия в эту точку лежит в 0± либо b) (г)*(г) и (дМ ПО+), г), если в этой тючке система не является локально транзитивной, а входящая предельная линия в эту точку не лежит в 0+, если г — точка границы крутой области, либо ещё.

3) (дМ, г), если г — точка зоны локальной транзитивности, но не тючка границы крут, ой области.

После этого мы получаем нормальные формы этих ростков и получаем классификацию типичных особенностей множества достижимости.

Точку г границы положительной орбиты стартового множества, лежащую на краю М, будем называть особой точкой типа г, г = 0 -г 3, если росток замыкание этой орбиты в этой точке совпадает с ростком в нуле множества у > д (х) с функцией д из соответствующего столбца второй строки Таблицы 1 после выбора подходящей гладкой системы локальных координат с началом в этой точке. Справедлива следующая теорема.

1 0 1 2 3.

9 (я) / —х, х < 0.

0 Ы х|х| < х3/2,х > 0 к.

Таблица 1. Особенности границы достижимости на краю.

Теорема 2.2.3. Пусть для типичной системы на ориентируемой компактной поверхности М орбита 0+ стартового множества содержит замыкание этого множества в своей внутренности. Тогда в каждой точке г 6 дО+ П дМ граница этой орбиты имеет одну из особенностей типа г, г = 0-^3. При этом росток самой орбиты в этой точке имеет одну из соответствующих особенностей второго столбца Таблицы 2, и такие особенности возможны при числе значений управляющего параметра, указанном в третьем столбце этой таблицы.

Тип Особенность фи.

0 У >0 > 2.

1 а) у > |.т| Ь) {-у > -х, х < 0} и {у > х, х > 0} > 2.

2 У > хх > 2.

3 {у > -X, X < 0} и {у > х3/2, х > 0} а&tradeи ф о.

Таблица 2. Особенности множества достижимости на краю.

Эти теоремы сформулированы в § 2.2, а их доказательства приведены в § 2.3.

Третья глава посвящена изучению новых типичных особенностей множества достижимости на краю для систем на ориентируемой компактной поверхности с краем в случае, когда стартовое множествогладко вложенная кривая. Основные результаты сформулированы в § 3.1, а в § 3.2 приведены их доказательства.

Теорема 3.1.1. (см. 121?) Пусть стартовое множество 5 есть гладко вложенная кривая на ориентируемой компактной поверхности М. Тогда для типичной системы росток границы дО+ в каждой из точек z стартового множества S, не лежащей на краю, равен либо sl)(S, z) — либо s2) (г)~(z)U (SrdO+), z), где в точке z нет касания предельных линий со стартовым множеством, либо ещё s3) (77+(2) U [S П дО+), z), где rj^(z) касается множества S с первым порядком касания.

Теорема 3.1.2. Пусть стартовое множество S есть гладко вложенная кривая на ориентируемой поверхности компактной М, не касающаяся края. Тогда для типичной системы росток границы дО+ в каждой из точек z стартового множества S, лежащей на краю М, равен одному из пяти ростков либо s4) (dM, z), либо s5) ((S П дО+) U {дМ П 0+), z), либо s6) (rjf (z) и {дм П 0+), z), либо s7) {r)+{z) U (SH дО+), z), л, ибо ещё s8) {t)i (z) U r]2(z)>z), где в каждой особой точке из типов s6, s7, s8 предельная линия не касается края поверхности, г = 1, 2.

Точку границы множества достижимости, лежащую на стартовом множестве, будем называть особой точкой типа г, г = 0 -г 2, если вблизи этой точки замыкание этой орбиты совпадает в подходящей гладкой системе локальных координат х, у с началом в этой точке с соответствующим множеством у > д{х) (или у < д (х) в случае г = 1) с функцией д из второй строки Таблицы 3. i 0 1 2.

0 N х|х|.

Таблица 3. Особенности границы достижимости.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1.3. Пусть стартовое множество 5 есть гладко вложенная кривая на ориентируемой компактной поверхности М, не касающаяся края. Тогда множество достижимости 0+ типичной системы в каждой из точек своей границы на стартовом множестве имеет одну из особенностей типа г, г = 0−4-2. При этом росток 0+ в эт, ой точке имеет одну из соответствующих особенностей второго столбца Таблицы 4, а росток дО+ имеет одну из особенностей третьего столбца этой таблицы, и такие особенности возможны при числе значений управляющего параметра, указанном в четвёртом столбце.

Типа Особенность 0+ Особенность дО+ #?/.

0 у >о 81), 84) > 2.

1 a) У > N b) у < |ж| с) {у < -х, х < 0} и {у < х, х > 0} эб), эб), 87), 58) ь2) э2) > 2.

2 У > хх вЗ) > 2.

Таблица 4. Особенности множества достижимости.

Автор диссертации выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А. А. Давыдову за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также участникам семинара «Нелинейный анализ и его приложения» за продуктивные обсуждения результатов работы.

1. Андронов А. А, Понтрягин Л. С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т.14, № 5. С.247−250.

2. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971. — 240 с.

3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений // М.: Наука, 1978, 304С.

4. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения// Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. 5: Динамические системы 1. М.: ВИНИТИ, 1985, с. 7−149.

5. Брур Х. В., Дюмортье Ф., ван Стрин С., Такенс Ф. Структуры в динамике. Конечномерные динамические системы // пер. с англ.- под ред. Л. М. Лермана. М.- Ижевск, 2003.

6. Давыдов А. А. Особенности границы достижимости в двумерных управляемых системах // УМН. 1982. Т.232−233. С. 78−96.

7. Давыдов А. А. Нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной в окрестности его особой точки // Функц. анализ и его прил. 1985. Т. 19, № 2. С. 1−10.

8. Давыдов A.A. Особенности полей предельных направлений двумерных управляемых систем // Матем. сборник. 1988. -Т. 136 (178), вып. 4. — С. 478−499.

9. Давыдов A.A. Структурная устойчивость управляемых систем на ориентируемых поверхностях // Матем. Сб. 1991. Т.182, Вып. 1. С. 3−35.

10. Давыдов A.A. Локальная управляемость типичных динамических неравенств на поверхностях // Тр. МИАН. 1995. Т. 209. С. 84−123.

11. Давыдов А. А и Гришина Ю. А. Структурная устойчивость простейших динамических неравенств // Труды МИАН, Т.256 (2007), С. 89−101.

12. Давыдов А. А и Закалюкин В. М. Управляемость нелинейных систем: типичные особенности и их устойчивость // Успехи математических наук, 67:2(404) (2012), 65−92.

13. Закалюкин В. М и Курбацкий А. Н. Особенности огибающих семейств плоскостей в теории управления // Труды МИАН им В. А. Стеклова т. 262 (2008), 73−86.

14. Закалюкин В. М и Курбацкий А. Н. Выпуклые оболочки кривых и особенности множества транзитивности в R3 // Современные проблемы математики и механики, издательство МГУ, т. 4, вып. 2 (2009), 3−23.

15. Закалюкин В. М и Курбацкий А. Н. Выпуклые оболочки кривых и поверхностей и особенности зоны транзитивности в R3 // Труды МИАН. Т. 268 (2010), С. 284−303.

16. Р. Калман, П. Фарб, М.Арбиб. Очерки по математической теории систем // М. УРСС, 2004, 398 С.

17. Курбацкий А. Н. Особенности зоны транзитивности поверхностей с краем в R3 // Успехи математических наук, т. 65, вып. 3 (2010), 199 200.

18. Куржанский A.B., Варайя П. О проблеме достижимости при постоянно действующих возмущениях // Докл. РАН., 2000., т.372, N4., С.446−450.

19. Мышкис А. Д. О дифференциальных неравенствах с локально ограниченными производными // Зап. мех.-мат. фак. и Харьк. мат. о-ва. 1964. Т. 30. С. 152−163.

20. Ж. Палис, В. ди Мелу. Геометрическая теория динамических систем: Введение // Пер. с англ.—М. Мир, 1986.—301 с.

21. Петров H.H. Локальная управляемость автономных систем // Дифференц. уравнения. 1968. — Т. 4, № 7. — С. 1218−1232.

22. Петров Н. Н. Об управляемости автономных систем // Дифференц. уравнения. 1968. — Т. 4, № 4. — С. 606−617.

23. Хи Дык Мань. Устойчивость локальной транзитивности типичной управляемой системы на поверхности с краем // Труды МИАН. 2012. Т. 278. С. 269−275.

24. Хи Дык Мань. Локальная транзитивность управлямой системы на многообразии с краем // Международная конференция по математической теории управления и механике, Суздаль, 1−5 июля 2011: тезисы докладов. М.: МИАН, 2011. — с. 213−215.

25. A. A. Davydov. Qualitative theory of control systems // American Mathematical Society. 1994. Vol. 141, 147.

26. M. M. Peixoto. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1 (1960), 101−120.

27. M. C. Peixoto and M. M. Peixoto. Structural stability in the plane with enlarged boundary conditions // An. Acad. Brasil. Ci. 31 (1959), 135−160.