Значит, для любого целого число делится на .
Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать дальше корни многочлена, степень которого уже на 1 меньше: если, то данный многочлен P (x) будет выглядеть так:
(2.20).
Т.о., один корень найден и дальше находят уже корни многочлена, степень которого на 1 меньше степени начального многочлена. Иногда таким методом — называется понижением степени — находят все корни данного многочлена.
Теорема Безу, примеры:
Найти остаток от деления многочлена на двучлен .
Теорема Безу, примеры решения:
Исходя из теоремы Безу, искомый остаток соответствует значению многочлена в точке. Тогда найдем, для этого значение подставляем в выражение для многочлена вместо. Получаем:
(2.21).
Ответ: Остаток = 5.
Схема Горнера — это алгоритм деления (деление схемой Горнера) многочленов, записываемый для частного случая, если частное равно двучлену .
Построим этот алгоритм:
Предположим, что — делимое.
— частное (его степень, вероятно, будет на удиницу меньше), r — остаток (т.к. деление осуществляется на многочлен 1-ой степени, то степень остатка будет на единицу меньше, т. е. нулевая, таким образом, остаток это константа).
По определению деления с остатком P (x) = Q (x) (x-a) + r. После подстановки выражений многочленов получаем:
(2.22).
Раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях, после чего выражаем коэффициенты частного через коэффициенты делимого и делителя:
Удобно вычисления сводить в такую таблицу:
В ней выделены те клетки, содержимое которых участвует в вычислениях на очередном шаге.
Схема Горнера примеры:
Пусть надо поделить многочлен на двучлен x-2.
Составляем таблицу с двумя строками. В 1 строку выписываем коэффициенты нашего многочлена. Во второй строке будем получать коэффициенты неполного частного по следующей схеме: в первую очередь переписываем старший коэффициент данного многочлена, далее, дабы получить очередной коэффициент, умножаем последний найденный на а=2 и складываем с соответствующим коэффициентом многочлена F (x). Самый последний коэффициент будет остатком, а все предыдущие — коэффициентами неполного частного.
(2.23).
Заключение
.
Следовательно, можно подвести следующие итоги.
В процессе работы автор познакомился с историей развития проблемы решения уравнения третьей степени.
В рамках проведенного исследования было рассмотрено несколько способов решения кубических уравнений, в том числе, с использованием формулы Кардано. Были изучены различные нюансы применения этого метода, а также проведено исследование зависимости получаемых результатов от знака кубического дискриминанта.
Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что осознанно занимает место формулы Кардано в решении некоторых уравнений третьей степени. Автор убедился в том, что формула решения уравнения третьей степени существует, но из-за её громоздкости она не популярна и не очень надежна, так как не всегда достигает конечного результата.
В дальнейшем можно рассматривать такие вопросы: как узнать заранее, какие корни имеет уравнение третьей степени; можно ли кубическое уравнение решить графическим способом, если можно, то как; как оценить приближенно корни кубического уравнения.
Существует довольно много проблем в различных научных областях, решение которых сводится к изучению методов решения уравнений третьей и выше степеней. Таким образом, можно сделать вывод, что актуальность проведенного исследования заключается в практическом применении рассмотренных методов, а также созданного программного обеспечения как при изучении некоторых тем математики, физики в школе и ВУЗах, так и при решении прикладных задач из различных областей.
Список использованных источников
.
Беклемишев Д. Б. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Высшая школа, 2009.
Бобков Н. К. Элементы дискретной математики. — Москва:
2008.
Бугров Я.С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление.,-М: Высшая школа, 2007.
Бугров Я.С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. ,-Москва: Высшая школа, 2007.
Бугров Я.С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М: Высшая школа, 2008.
Винокуров В.А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Известия РАН. Серия: матем. — 2000.
— Т. 64, № 4. — С. 47−108.
Высшая математика для экономистов. Под редакцией Кремера Н.Ш.- Москва: ЮНИТИ, 2009.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, 5-е изд. перераб. и доп. — М: Высшая школа. -2008, 478с.
Зайцев И. А. Высшая математика. — М: Высшая школа. -2007, 400с.
Кудрявцев В.А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. — М.: Наука, — 2007, 656с.
Нефедов В.Н., Осипов В. А. Курс дискретной математики. -Москва:
2009.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1, 12-е изд. — М: Наука. -2007, 526с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2, 12-е изд. — М: Наука. -2008, 575с.,.
Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1983. — 352с.
Шипачев В. С. Высшая математика. М.: Высшая школа, — 2007, 479с Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И., Шумов А. С. Краткий курс высшей математики, т.2, 2-е изд. перраб. и допол. — М.: Высшая школа — 2008. — 328с.
