Аналитическая геометрия

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Институт бизнеса, информационных технологий и финансов

Кафедра «Гуманитарных и естественнонаучных дисциплин»

УТВЕРЖДАЮ:

Первый проректор МИБИФ

_______ С.Б. Лапшинов

«__"__________20___ г.

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Дисциплина — Математика

Составитель — к.ф.-м.н. Н.А. Соколов

Данное учебное пособие предназначено для студентов МИБИФ всех специальностей. Рекомендовано к изучению кафедрой ГиЕН МИБИФ

Иваново 2010

1. МЕТОД КООРДИНАТ. ОСОНОВНЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ

1.1 Задачи на прямой линии

Ось координат

Направленный отрезок

Величина отрезка

Длина отрезка

Основное геометрическое тождество

Координата точки на прямой

Расстояние между точками на прямой

Пример 1 (расстояние между точками на прямой)

1.2 Задачи на плоскости

Прямоугольная декартова система координат

Расстояние между точками на плоскости

Полярные координаты и их связь с декартовыми координатами

Таблица взаимосвязи ПДСК и полярной системы координат

Пример 2 (нахожденние расстояния между двумя точками)

Вычисление площади произвольного треугольника в ПДСК

Деление отрезка в данном отношении

Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении

Пример 3 (о нахождении координат точки, делящей

отрезок в данном отношении)

Пример 4 (о координатах точки пересечения медиан)

Уравнение линии

Линия

Пример 5 (о получении уравнения траектории)

Классификация плоских линий

Плоская линия

Алгебраические линии

Линия порядка n (линия n-го порядка)

Трансцендентная линия

1.3 Уравнение прямой на плоскости

Угловой коэффициент

1.3.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пример 6 (уравнение прямой с угловым коэффициентом)

Пример 7 (сравнение скорости возрастания функций)

1.3.2 Методы получения уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пример 8 (получение уравнения прямой)

Угол между двумя прямыми

Условие параллельности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

Пример 9 (о нахождении проекции точки на прямую)

1.3.3 Другие формы уравнения прямой

Общее уравнение прямой

Уравнение прямой в отрезках

Нормальное уравнение прямой

Отклонение и расстояние точки от прямой

Теорема об отклонении точки от прямой

Приведение прямой к нормальному виду (нормализация уравнения прямой)

Пример 10 (нахождение длины стороны треугольника)

Пример 11 (нахождение уравнения стороны треугольника)

Пример 12 (нахождение уравнения стороны треугольника)

Пример 13 (нахождение угла между прямыми)

Пример 14 (нахождение уравнения прямой, перпендикулярной данной)

Пример 16 (длина высоты)

2. ОСНОВНЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2.1 Окружность

Определение окружности

Пример 17 (координаты центра и радиус окружности)

2.2 Эллипс

Определение эллипса

Связь между полуосями и координатами фокусов эллипса

Каноническое уравнение эллипса

Замечание о каноничности уравнения

Эксцентриситет эллипса

Связь между фокальными радиусами и эксцентриситетом эллипса

Пример 18 (получение уравнения эллипса)

2.3 Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

Связь между полуосями и координатами фокусов гиперболы

Эксцентриситет гиперболы

Пример 19 (о нахождении уравнения гиперболы)

Пример 20 (прямая и гипербола)

3. ВЕКТОРЫ

3.1 Алгебраическая интерпретация векторов

Пример 21 (алгебраический вектор)

Скалярное произведение векторов

Замечание к определению скалярного произведения

Угол между векторами

Пример 22 (скалярное произведение и общая цена выпущенной продукции)

Пример 23 (о количестве сырья, необходимого для выпуска продукции)

3.2 Геометрическая интерпретация векторов

Ортононормированный базис в ПДСК

Разложение вектора по ортонормированному базису

Нахождение координат вектора

Пример 24(координаты вектора на плоскости)

Свободные векторы

Пример 25 (свободные векторы)

3.3 Основные арифметические действия над векторами

Длина вектора

Скалярное произведение (координатная форма)

Угол между векторами

Условие ортогональности векторов

Сумма (разность) векторов

3.4 Векторное произведение векторов

Правило буравчика

Условие коллинеарности векторов

Геометрический смысл векторного произведения

Свойства векторного произведения

Пример 26 (раскрытие скобок в выражении с векторами)

Пример 27 (вычисление площади параллелограмма)

3.5 Векторные произведения ортов

Векторное произведение в координатной форме

Пример 28 (площадь треугольника)

3.6 Смешанное произведение векторов

Правая тройка векторов

Смешанное произведение векторов

Геометрическое свойство смешанного произведения векторов

Условие компланарности векторов

Смешанное произведение для векторов, заданных в координатной форме

Условие компланарности для векторов, заданных в координатной форме

Пример 29 (вычисление объема пирамиды)

4 УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Поверхность

Линия в пространстве

4.1 Плоскость, как поверхность первого порядка

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору

Пример 30 (получение уравнения плоскости)

Общее уравнение плоскости

Неполные уравнения плоскости

Уравнение плоскости в отрезках

Угол между двумя плоскостями

Условие перпендикулярности двух плоскостей

Условие параллельности двух плоскостей

1. МЕТОД КООРДИНАТ. ОСОНОВНЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ

1.1 Задачи на прямой линии

Ось координат

Прямую линию с указанием начала отсчета, положительного направления отсчета и масштаба назовем осью координат.

Рис.1

координаты прямая плоскость вектор

Направленный отрезок

Отрезок на оси называется направленным, если известно, какая из точек отрезка является началом, а какая концом отрезка.

С каждым направленным отрезком связаны две числовые характеристики: длина отрезка и величина (разницу между этими характеристиками необходимо четко представлять, поскольку непонимание имеющейся разниы приводит к путанице и ошибкам при решении задач).

Величина отрезка

Величина отрезка может быть как положительной, так и отрицательной: если направление отрезка противоположно положительному направлению оси, то его величина отрицательна; если направление отрезка сонаправлено с положительным направлением оси, то его величина положительна.

Длина отрезка

Длина отрезка всегда положительна и равно абсолютному значению (модулю) величины отрезка.

Обозначения: величина —; длина — .

Основное геометрическое тождество

При любом взаимном расположении несовпадающих точек А, В и С выполняется тождество

Координата точки на прямой

Если всю ось обозначить Ох, а через x₁ — величину отрезка Оx₁, то точка А, находящаяся в точке x₁, (Рис.2) будет иметь координату x₁: А (x₁).

Рис.2

В аналитической геометрии точка считается заданной, если заданы ее координаты.

Расстояние между точками на прямой

Пусть заданы точки М (x₁) и М (x₂), тогда расстояние между ними определяется как

Из координат конца вычитаются координаты начала отрезка, а результат берется по абсолютной величине.

Пример 1 (расстояние между точками на прямой)

Найти расстояние между точками М₁(- 2) и М₂(3) (Рис.3).

Рис.3

Решение:

В нашем случае x₁ = - 2, x₂ = 3, откуда

Т.е. длина отрезка Обратите внимание: здесь и далее длины и площади измеряются или в единицах, или в единицах в квадрате (аналитическая геометрия знает, что такое единица длины и понятия не имеет ни о метрах, ни о дюймах!).

1.2 Задачи на плоскости

Прямоугольная декартова система координат

Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные оси координат, точкой пересечения которых является точка начала отсчета и определено, какая из осей является первой, а какая второй, то говорят, что в пространстве задана прямоугольная система координат (далее для ее названия будем использовать аббревиатуру — ПДСК)

Рис.4

Расстояние между точками на плоскости

Пусть на плоскости заданы точки М₁(x₁; y₁) и М₂(x₂; y₂), найти расстояние между ними, т. е. найти

Рис.4

Т.к. треугольник М₁М₂В прямоугольный, то из теоремы Пифагора следует, что

а т.к.

то окончательно получаем, что

Полярные координаты и их связь с декартовыми координатами

Пусть точка М на плоскости задана так, что (см. Рис.5)

Рис.5

Где точка 0 — полюс, луч 0А — полярная ось, — полярный радиус, ц — полярный угол (полярный угол, как и во всей математике отсчитывается против часовой стрелки от положительного направления оси — в нашем случае от направления полярной оси).

Если совместить две системы координат (полярную и ПДСК) так, чтобы: они имели общее начало — точку 0, положительное направление полярной оси совпало с положительным направлением оси 0x (см. Рис.6), то будет понятно — как связаны ПДСК и полярная системы координат.

Рис.6

Для большего удобства переходов ПДСК-полярная и обратно сформируем таблицу.

Таблица взаимосвязи ПДСК и полярной системы координат

Пример 2 (нахожденние расстояния между двумя точками)

Найти расстояние между точками

Решение:

Координаты точек заданы в полярных координатах, а выражение для нахождения получено для точек, заданных в ПДСК, а потому, прежде всего, необходимо выразить координаты точек в ПДСК.

Из таблицы взаимосвязи полярных и декартовых координат получаем, что для точки

или, координаты точки М в ПДСК — .

Аналогично находим и координаты точки N:

или, координаты точки N в ПДСК — .

А вот теперь, окончательно, используя результат «расстояние между двумя точками на плоскости», получаем, что

Вычисление площади произвольного треугольника в ПДСК

Пусть в ПДСК задан произвольный треугольник ABC: А (x₁, y₁), B (x₂, y₂) и C (x₃, y₃), тогда площадь треугольника S_ABC определяется выражением

Поскольку точки могут быть пронумерованы в произвольном порядке, знак определителя может изменяться. В силу чего существует правило: результат берется по абсолютной величине (по модулю).

Деление отрезка в данном отношении

Прежде всего, о смысле выражения «деление отрезка в данном отношении».

Пусть точка В делит отрезок А₁А₂ (см. Рис.7)

Рис.7

Тогда, т. е., если, то. Но если отрезок «прочитать» по-другому: не А₁А₂, а А₂А₁, то

Откуда важный вывод: при разбиении отрезка в отношении л, важно как устроена дробь

т.е. важно, в каком направлении читается отрезок: А₁А₂, или А₂А₁.

Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении

Пусть точка В (x; y) делит отрезок А₁А₂ [A₁(x₁; y₁) и A₂(x₂; y₂)] в отношении л, тогда

.

Следствие: если точка В делит отрезок А₁А₂ пополам, т. е. л = 1 (почему?), то

.

Пример 3 (о нахождении координат точки, делящей отрезок в данном отношении)

Известно, что точки А (- 2; 5) и В (4; 17) — концы отрезка АВ. Внутри этого отрезка находится точка С, расстояние которой от, А в два раза больше расстояния от В. Найти координаты точки С (x; y).

Решение:

По условию задачи, откуда

.

Тогда

или, окончательно,

Ответ: С (2; 13).

Пример 4 (о координатах точки пересечения медиан)

Треугольник АВС задан координатами вершин: А (x₁; y₁), B (x₂; y₂) и C (x₃; y₃). Найти координаты точки пересечения медиан треугольника.

Рис.8

Решение:

Для нахождения координат точки М использует свойство точки пересечения медиан: эта точка разбивает отрезок СD в отношении 2:1, считая от вершины С,

Уравнение линии

Уравнением данной линии назовем такое уравнение F (x; y) = 0, которому удовлетворяют координаты x и y любой точки, принадлежащей этой линии, и не принадлежат точки, не удовлетворяющие уравнению (удовлетворяет уравнению — значит координаты, точки, будучи подставленными в уравнение, обращают уравнение в тождество).

Линия

Линия, определяемая данным уравнением, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Замечание

Уравнение F (x; y) = 0 показывает также, что величины x и y зависимы: выбор некоторого значения x тут же определяет соответствующее ему значение y.

Пример 5 (о получении уравнения траектории)

Получить уравнение траектории точки М, которая в любой момент движения находится вдвое ближе к точке А (2; 0), чем к точке В (8; 0).

Решение

При выведении уравнения линии (или, что-то же самое, уравнения траектории движения точки) прежде всего вводим точку М с «бегущими» координатами x и y (M (x; y) такую, что в любой момент времени точка М: во-первых, принадлежит искомой линии; во-вторых, удовлетворяет условиям сохранения расстояний до фиксированных точек с заданными координатами.

Тогда, по условию задачи

Т.о. траекторией движения точки (искомой линией) является окружность радиуса 4 с центром в точке (0; 0).

Классификация плоских линий

Плоская линия

Линия, каждая, из точек которой принадлежит некоторой (общей для всех) плоскости называется плоской линией (плоской кривой.

Алгебраические линии

Линия называется алгебраической, если в некоторой ПДСК она определяется уравнением

F (x; y) = 0,

в котором функция F (x; y) = 0 представлена алгебраическим полиномом, т. е. суммой слагаемых вида a_kvx^ky^v, где k и v целые неотрицательные числа, a_kv — постоянные.

Линия порядка n (линия n-го порядка)

Алгебраическая линия называется линией порядка n, если в некоторой ПДСК она определяется уравнением, являющимся полиномом порядка n.

Трансцендентная линия

Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной (например все тригонометрические функции, функции показательные и т. д.)

1.3 Уравнение прямой на плоскости

Угловой коэффициент

Угловым коэффициентом k для прямой назовем тангенс угла наклона этой прямой по отношению к оси Ox (см. Рис.9)

Рис.9

Напомним правило отсчета углов в аналитической геометрии: все углы отсчитываются от положительного направления оси Ox против часовой стрелки.

С учетом сказанного

k = tg (б),

или, если прямая проходит через точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂)

откуда может быть получено

1.3.1 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть точка M (x; y) принадлежит прямой, а b — величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox (Рис. 10), тогда из определения углового коэффициента получаем (убедитесь самостоятельно) уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = b + k•x.

Рис.10

Эта форма уравнения прямой, очевидно, наиболее часто употребляется в различных приложениях, поскольку она очень наглядна и легко анализируема.

Пример 6 (уравнение прямой с угловым коэффициентом)

Представить эскизы прямых:

1) y = 2 + 3x;

2) y = - 2 + 3x:

3) y = - 2 — 3x:

4) y = 2 — 3x.

Решение:

Прямая № 1 пересекает ось Oy в точке 2, коэффициент при x (он равен +3) — больше нуля, следовательно, эта прямая является функцией возрастающей.

Прямая № 2 пересекает ось Oy в точке — 2, коэффициент при x (он равен +3) — больше нуля, следовательно, эта прямая является функцией возрастающей.

Прямая № 3 пересекает ось Oy в точке — 2, коэффициент при x (он равен — 3) — меньше нуля, следовательно, эта прямая является функцией убывающей.

Прямая № 4 пересекает ось Oy в точке 2, коэффициент при x (он равен — 3) — меньше нуля, следовательно, эта прямая является функцией убывающей. (см. Рис. 11)

Рис.11

Как видно из примера, уравнение прямой с угловым коэффициентом позволяет мгновенно сказать возрастает или убывает данная функция. Если угловой коэффициент больше нуля (положителен), то функция возрастает, если меньше нуля (отрицателен), то убывает. Более того, эта форма уравнения прямой сказать, какая функция возрастает быстрее: чем больше значение углового коэффициента, тем быстрее функция возрастает — см. Пример 7.

Пример 7 (сравнение скорости возрастания функций)

Две прямые заданы своими уравнениями:

1) y = 3 + 10x и 2) y = 3 + 2x.

Какая из данных прямых возрастает быстрее и почему? Представить эскиз обеих прямых.

Решение: быстрее возрастает прямая № 1, потому что ее угловой коэффициент (10) больше, чем угловой коэффициент примой № 2 (2).

Эскиз прямых представлен на рисунке 12.

Рис.12

1.3.2 Методы получения уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть прямая проходит через две данные точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂), тогда для нахождения уравнения прямой используется выражение

Пример 8 (получение уравнения прямой)

Получить уравнение прямой, проходящей через точки M₁(3; 1) и M₂(5; 4). Представить эскиз.

Решение:

Итак, имея ввиду последний результат, определяемся со значениями входящих в него величин:

x₁ = 3; y₁ = 1;

x₂ = 5; y₂ = 4,

тогда

Т.е. ответ на первую часть задачи — уравнение прямой имеет вид

В силу чего, эскиз получается мгновенно: ось Oy пересекается в точке, а эскиз — на рисунке 13

Рис.13

Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами:

y = b₁ + k₁•x и y = b₂ + k₂•x ,

(см. рисунок 14)

Рис.14

тогда угол б между ними определяется выражением

Замечание: при этом находится значение наименьшего из четырех углов, образованных пересекающимися прямыми.

Из приведенного выражения существует два весьма важных следствия: условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Условие параллельности двух прямых

Две прямые, определенные уравнениями с угловым коэффициентом

y = b₁ + k₁•x и y = b₂ + k₂•x,

параллельны при условии

k₁ = k₂.

(Что для нас не удивительно — см. пример 11: прямые 1,2 и 3.4).

Условие перпендикулярности двух прямых

Две прямые, определенные уравнениями с угловым коэффициентом

y = b₁ + k₁•x и y = b₂ + k₂•x,

перпендикулярны при условии

k₁•k₂ = -1 или .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

Если известно, что прямая проходит через данную точку M (x₁; y₁) c данным угловым коэффициентом k, то для нахождения уравнения этой прямой используется выражение

y = y₁ + k•(x — x₁).

Пример 9 (о нахождении проекции точки на прямую)

Найти проекцию точки Р (4; 9) на прямую, проходящую через точки А (3; 1) и В (5; 2).

Решение:

Прежде всего: найти проекцию точки, это значит найти координаты «тени» этой точки на прямую.

Задача решается в три шага:

— находится уравнение прямой, проходящей через точки, А и В;

— находится уравнение прямой, проходящей через точку Р, перпендикулярно прямой АВ;

— находятся координаты точки пересечения прямой, проходящей через точку Р и прямую АВ.

Шаг 1

Уравнение прямой АВ ищем посредством выражения для нахождения уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

Шаг 2

Искомая прямая проходит через точку Р (4; 9) с угловым коэффициентом, определяемым из условия перпендикулярности прямых (поскольку точка, являющаяся проекцией точки Р на прямую АВ есть результат пересечения прямой перпендикулярной прямой АВ, проходящей через точку Р).

Тогда угловой коэффициент искомой прямой k:

и, используя выражение для нахождения уравнения прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом

y — 9 = -2•(x — 4) > y = - 2•x + 17.

Т.о., искомая прямая определяется уравнением

y = - 2•x + 17.

Шаг 3

Проекцию точки Р на прямую АВ находим как результата пересечения найденной прямой и прямой АВ

Решая полученную систему окончательно находим ответ:

координаты точки пересечения (7; 3).

1.3.3 Другие формы уравнения прямой

Общее уравнение прямой

Общим уравнением прямой называется уравнение вида

A•x + B•y + C = 0.

«Общим» это уравнение называется потому, что из него можно получить все три формы уравнения прямой.

Так, например можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом:

т.е., в этом случае угловой коэффициент .

Общее уравнение прямой потому и называется «общим», что из него можно получить не только уравнение с угловым коэффициентом, но и еще две формы уравнения прямой, каждая из которых оказывается полезной при решении своего класса задач.

Итак, пусть дано общее уравнение прямой

A•x + B•y + C = 0,

причем, тогда

вводя обозначения

откуда окончательно получаем

Уравнение прямой в отрезках

где a и b — величины отрезков (откуда и название!), отсекаемых прямой соответственно на оси Ox и оси Oy (cм. Рис.15).

Рис.15

Нормальное уравнение прямой

Рассмотрим рисунок 16

Рис.16

На рисунке — отрезок ОР — нормаль (откуда и название — «нормальное уравнение прямой») проведенная из начала координат до пересечения с прямой (угол ОРВ — прямой); угол б образован нормалью к прямой и положительным направлением оси Ox; длина отрезка ОР = р.

Тогда нормальное уравнение прямой имеет вид

Отклонение и расстояние точки от прямой

Если точка, то подстановка ее координат в общее уравнение прямой

A•x + B•y + C = 0,

не даст нам верного равенства:

A•x^* + B•y^* + C 0.

И это все, а вот подстановка тех же координат в нормальное уравнение прямой

Величина называется отклонением точки от прямой, причем (что очень важно) имеет место

Теорема об отклонении точки от прямой

Если точка М^*(x^*; y^*) прямой не принадлежит, то ее отклонение от прямой определяется выражением

Причем

— - расстояние от точки до прямой;

— если то точка М^* и начало координат расположены по разные стороны прямой;

— если, то точка М^* и начало координат расположены по одну сторону от прямой.

Приведение прямой к нормальному виду (нормализация уравнения прямой)

Для приведения общего уравнения прямой

A•x + B•y + C = 0

к нормальному виду используется процедура нормализации:

Шаг 1

Вычисление нормирующего множителя

Правило выбора знака нормирующего множителя:

-знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена в общем уравнении прямой.

Шаг 2

Умножение общего уравнения прямой на нормирующий множитель:

Замечание: после Шага 2 получили нормальное уравнение прямой, т. е. множители при x и y — это значения косинуса и синуса соответственно, а потому они не могут быть больше единицые (по абсолютной величине).

Пример 10 (нахождение длины стороны треугольника)

Треугольник АВС задан своими вершинами А (- 4; 8), В (5; - 4) и С (10; 6) (рис.17). Найти длину стороны АВ.

Рис.17

Решение

Для вычисления длины стороны используем выражение для нахождения расстояния между двумя точками

Ответ: длина стороны треугольника АВС равна 15 ед.

Пример 11 (нахождение уравнения стороны треугольника)

Для треугольника из Примера 10 найти уравнение стороны АВ.

Решение

«Уравнение стороны» — это уравнение прямой, проходящей через точки, А и В. Для его создания используем выражение для нахождения уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

Тогда

откуда общее уравнение искомой прямой

.

Ответ: уравнение стороны АВ имеет вид .

Пример 12 (нахождение уравнения стороны треугольника)

Для треугольника из Примера 10 найти уравнение стороны АС.

Решение

Рассуждая так же, как и в примере 10.2 получаем, что

откуда общее уравнение искомой прямой

Пример 13 (нахождение угла между прямыми)

Используя данные Примера 10 найти величину внутреннего угла, А треугольника АВС.

Решение

Найти величину внутреннего угла, А треугольника АВС — это значит найти угол между прямыми АВ и АС, а для этого мы имеем выражение для нахождения угла ц между прямыми

Для нахождения искомой величины нам необходимо представить уравнения прямых АВ и АС в виде уравнений прямой с угловым коэффициентом (имея общее уравнение это всегда можно сделать).

Итак, общее уравнение прямой АВ

;

уравнение прямой АС

Откуда, разрешая оба уравнения относительно y, получаем, что

— прямая АВ:

— прямая АС:

Т.о.

Используем приведенный выше результат, получаем ответ

Откуда

Ответ

Угол между прямыми АВ и АС равен радиан, или 45 градусов.

Пример 14 (нахождение уравнения прямой, перпендикулярной данной)

Используя данные Примера 10 найти уравнение высоты СD.

Решение

Как видно из рисунка 17 «найти уравнение высоты СD» означает — найти уравнение прямой, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ. Для решения поставленной задачи используем

1) выражение для нахождения прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом;

2) условие перпендикулярности двух прямых:

1) y = y_С + k_CD•(x — x_С);

2) k_AB•k_СD = -1 или .

Откуда

Ответ

Уравнение высоты СD имеет вид

Пример 16 (длина высоты)

Используя данные Примера 10 найти длину высоты СD.

Решение

Для решения поставленной задачи существует два метода, рассмотрим оба.

Первый метод решения

Метод состоит из двух шагов:

1) нахождение точки D — точки пересечения прямых CD и АВ;

2) нахождение длины отрезка CD.

Итак,

Шаг 1

т.к. точка D принадлежит одновременно и прямой АВ, и прямой CD ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям прямых, и, следовательно, являются решением системы уравнений

.

Решаем полученную систему любым понятным способом, находим, что

Шаг 2

Находим длину отрезка СD

Второй метод решения

Метод основан на замечательном свойстве нормального уравнения прямой: при подстановке в это уравнение координат точки, не принадлежащей прямой, получаем результат по абсолютной величине равный расстоянию от точки до прямой (см. нормальное уравнение прямой).

Метод состоит из двух шагов:

Шаг 1

Приводим уравнение прямой

к нормальному виду:

— вычисляем нормирующий множитель

Т.к. свободный член входит в общее уравнение прямой со знаком «+», у нормирующего множителя выбираем знак минус:

Умножаем на него общее уравнение прямой АВ

Обратите внимание: множители при x и y меньше единицы — это значения синуса и косинуса угла между нормалью к прямой и положительным направлением оси Ox.

Шаг 2

Подставляем в полученное нормальное уравнение прямой координаты точки С:

Ответ

Ответ тот же: расстояние от точки С до прямой АВ 10 единиц, но второй путь гораздо короче.

2. ОСНОВНЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Ниже будут рассмотрены основные линии второго порядка: окружность, эллипс и гипербола; а также задачи, связанные с этими линиями и прямой.

2.1 Окружность

Определение окружности

Окружностью называется плоская линия, каждая из точек которой равноудалена от данной, называемой центром окружность.

Окружность описывается алгебраическим выражением второго порядка

где точка С (a; b) — центр окружности, r — радиус окружности.

Вообще любое выражение вида

x² + y² + l•x + m•y + n = 0,

определяет окружность, если

l = -2a, m = - 2b, n = a² + b² — r².

При этом, если

— l² + m² — 4n = 0, то указанное уравнение определяет точку ;

— l² + m² — 4n < 0, то указанное уравнение не имеет геометрического смысла, поскольку определяет мнимую окружность.

Пример 17 (координаты центра и радиус окружности)

Найти координаты центра окружности

2•x² + 2•y² — 8•x + 5•y — 4 = 0.

Решение

Для того, что бы множитель при x² и y² были равны единице, делим обе части равенства на 2 и перегруппировываем члены выражения

Достроим выражения в фигурных и квадратных скобках до полных квадратов, прибавив к фигурным скобкам 4, а квадратным (одновременно прибавляя те же величины и справа):

Ответ

Исходное уравнение определяет окружность с центром в точке и радиусом

2.2 Эллипс

Проделаем мысленный эксперимент (желающие могут попробовать проделать это реально): возьмите два гвоздя (кнопки) и вбейте их в ровную поверхность на некотором расстоянии, привяжите к ним нерастяжимую нить длиной больше расстояния между фокусами (см. Рис.18).

Рис.18

А теперь возьмите карандаш, натяните им нить и двигайте карандашом так, что бы нить всегда была натянута, а карандаш оставлял след на поверхности. Попробовали… Что получилось? — Если то, что изображено на рис. 19, то это эллипс.

Рис.19

Определение эллипса

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от данных двух фиксированных точек плоскости (вот они наши гвоздики из эксперимента!) есть величина постоянная. Причем необходимо, что бы эта постоянная была больше расстояний между фокусами (а вот и наша нерастяжимая нить!) — смотри рис.20

Рис.20

На рисунке 20

— точки F₁(- c; 0) и F₂(c; 0) — фокусы эллипса;

— и — соответственно левый и правый фокальные радиусы;

— 0a — большая полуось эллипса;

— 0b — малая полуось эллипса.

— точка М — «бегущая» точка, которая в любой момент движения принадлежит эллипсу.

При этом выполняется условие

2•a > 2•c.

Связь между полуосями и координатами фокусов эллипса

Каноническое уравнение эллипса

Каноническим уравнением эллипса называется алгебраическое выражение второго порядка

Замечание о каноничности уравнения

Каноническим оно называется потому, что описывает эллипс, расположенный каноническим образом: симметрично относительно и оси Ox, и оси Oy. Эллипс, расположенный любым другим способом: или так, как на Рис. 21,

Рис.21

или так, как на Рис. 22,

Рис.22

будет по-прежнему описываться алгебраическим выражением второго порядка, но имеющем менее изящную форму.

Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния между фокусами к длине его большой полуоси

Определение не вполне наглядное и информативное, куда как более наглядным оно становится при использовании связи между полуосями и координатами фокусов:

Тогда

откуда получаем другую форму вычисления эксцентриситета

Откуда сразу же видно, что при равенстве большой и малой полуосей (a = b — при превращении эллипса в окружность) эксцентриситет равен нулю. Т. е. окружность — это эллипс с нулевым эксцентриситетом!!!

Или — эксцентриситет показывает степень «сплюснутости» эллипса: чем больше он отличается нуля, тем более он сплюснут!

Связь между фокальными радиусами и эксцентриситетом эллипса

r₁ + r₂ = 2•a

r₁ = a + е? x

r₂ = a — е? x.

Пример 18 (получение уравнения эллипса)

Получить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки

Решение

В данном случае «получить каноническое уравнение эллипса» — значит, найти конкретные значения a и b (большой и малой полуосей). Радует то, что точек у нас две и неизвестных то же две, т. е. может быть получена система алгебраических уравнений: подставляем координаты первой точки в одно уравнение эллипса, а второй точки — во второе

Т.о., искомое каноническое уравнение эллипса

2.3 Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная. Причем указанная разность берется по абсолютному значению и необходимо, что бы она была меньше расстояния между фокусами и не равна нулю. (См. Рис.23)

Рис.23

На рисунке:

— - левый фокальный радиус;

— - правый фокальный радиус;

— (- с; 0) — координаты левого фокуса (точки F₁);

— (с; 0) — координаты правого фокуса (точки F₂);

— - действительная полуось гиперболы;

— - мнимая полуось гиперболы;

— точка (а; 0) — правая вершина гиперболы;

— точка (- а; 0) — левая вершина гиперболы;

— прямые — асимптоты гиперболы.

Названия полуосей не случайны: точки гиперболе принадлежат, а точки — гиперболе не принадлежат (потому и ось — мнимая), но мнимая полуось, хотя и не является частью гиперболы, вполне определяет ее форму, поскольку именно между асимптотами гиперболы и располагаются ветви ее.

Каноническое уравнение гиперболы

(смотри замечание о каноничности уравнения).

Связь между полуосями и координатами фокусов гиперболы

При этом важным является выражение, связывающее действительную, мнимую полуось и координату фокуса (сравните с формой аналогичной связи для параметров эллипса)

.

Эксцентриситет гиперболы

Пример 19 (о нахождении уравнения гиперболы)

Эксцентриситет гиперболы равен. Найти каноническое уравнение гиперболы, если точка гиперболе принадлежит.

Решение

Прежде всего, что ищем конкретно? — Ищем значения a и b в каноническом уравнении гиперболы. Неизвестных величин две, следовательно, и уравнений для их нахождения должно быть два.

Первое уравнение получим из того факта, что нам известен эксцентриситет гиперболы и известна связь между полуосями и координатами фокуса гиперболы:

.

Это первое равенство, а второе получим, используя тот факт, что точка М гиперболе принадлежит, т. е., ее координаты обращают каноническое уравнение гиперболы в тождество:

и, окончательно, получаем

Ответ

Искомая гипербола описывается каноническим уравнением

x² — y² = 1.

Пример 20 (прямая и гипербола)

Через точку М (0; - 1) и правую вершину гиперболы

3•x² — 4•y² = 12

проведена прямая. Найти вторую точку пересечения прямой с гиперболой.

Решение

Задачу будем решать в два шага:

— найдем уравнение прямой;

— найдем координату точки пересечения прямой и гиперболы.

Шаг 1

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку М (0; - 1) и правую вершину гиперболы необходимо знать координаты правой вершины гиперболы. Найдем вторую точку из уравнения гиперболы, приведя данное уравнение к каноническому виду, зная при этом, что в каноническом уравнении важно все: равно выражение именно единице, а в самом выражении — значения действительной и мнимой полуоси — это знаменатели дробей, в которых числители x² и y².

Откуда в уравнении гиперболы a = 2, b =, или координаты правой вершины М₂(2; 0). А вот теперь ищем уравнение прямой, проходящей через две данные точки М и М₂

Шаг 2

Ищем координаты точек пересечения найденной прямой и данной гиперболы. Эти координаты удовлетворяют обоим уравнениям, т. е. являются решением системы уравнений

Решаем полученное уравнение и находим, что x₁ = - 4, x₂ = 2.

Подставляем найденные x₁ и x₂ во второе уравнение системы и находим координаты точек пересечения прямой с гиперболой N₁(- 4; -3) и N₂(2; 0).

Не трудно убедиться (проверьте самостоятельно) что точка М гиперболе не принадлежит, а значит, точек пересечения будет две.

Ответ

Точки пересечения прямой и гиперболы — N₁(- 4; -3) и N₂(2; 0).

3. ВЕКТОРЫ

Представление о векторах как о направленном отрезке на много менее эффективно и продуктивно, чем алгебраическая интерпретация векторов.

3.1 Алгебраическая интерпретация векторов

Упорядоченный одномерный упорядоченый массив из n чисел x₁, x₂, x₃…x_n называется n-мерным вектором, сами числа x₁, x₂, x₃…x_n при этом называются координатами вектора.

Пример 21 (алгебраический вектор)

Некоторое предприятие специализируется на выпуске n видов продукции. За некоторый период выпущено x₁ единиц продукции первого типа, x₂ единиц второго типа и т. д. Т.о. образован вектор

X = (x₁, x₂, x₃…x_n).

Вектор X при этом называется вектором выпуска продукции.

Как только мы определили вектор упорядоченный одномерный массив чисел, так сразу же мы дали себе право рассматривать вектор как матрицу размерности или. А это дает нам право применять к ним всю мощь матричной алгебры: понятия равенства, суммы или разности, произведение вектора на число и их свойства не надо рассматривать вновь, достаточно вспомнить, как это делалось в разделе «Линейная алгебра».

Но операцию умножения имеет смысл рассмотреть особо.

Скалярное произведение векторов

Пусть векторы X и Y заданы в алгебраической форме, тогда их скалярным произведением назовем число равное сумме произведений соответствующих координат, т. е. если

X = (x₁, x₂, x₃…x_n)

Y = (y₁, y₂, y₃…y_n),

т.о., скалярное произведение X•Y определяется выражением

Замечание к определению скалярного произведения

Очень часто скалярное произведение векторов и определяют как

где — длины векторов, а ц угол между векторами, откуда, как следствие определяется угол между векторами.

Угол между векторами

Казалось бы, вполне симпатичное определение, но… Такое определение работоспособно, как правило, только для векторов, определенных как «направленный отрезок»: длину измерили линейкой, а угол — транспортиром. А как быть с алгебраическим вектором (чаще всего именно он используется в не инженерно-физических задачах), где координат может быть много и никакой линейкой их длину не измерить?! Вот здесь-то и становится необходимым то определение скалярного произведения, которое дали мы.

Пример 22 (скалярное произведение и общая цена выпущенной продукции)

Пусть некоторое предприятие выпустило партию товара n видов в количествах x₁, x₂, x₃,…, x_n каждого вида. Цена единицы каждого вида товара равна y₁, y₂, y₃,…, y_n рублей. Какова цена всей партии товара?

Решение

Идея решения понятна: умножить цену единицы каждого вида товара на количество этих единиц, а потом все эти произведения сложить. Но уже здесь видна продуктивность данного выше определения скалярного произведения векторов: сумма произведений соответствующих координат. А потому сформируем два вектора:

— вектор X = (x₁, x₂, x₃,…, x_n) — вектор выпуска продукции;

— вектор Y = (y₁, y₂, y₃,…, y_n) — вектор цен за единицу каждого вида товара.

Тогда цена всей партии товара найдется как скалярное произведение X•Y.

Ответ

Цена всей партии товара равна

Пример 23 (о количестве сырья, необходимого для выпуска продукции)

Предположим, что некоторое сырье используется для производства n видов продукции так, что для выпуска продукции i-го вида требуется m_i единиц данного сырья. Найти полную потребность q предприятия в сырье в сырье данного вида.

Решение

Сформируем два вектора:

— вектор M = (m₁, m₂, …, m_n) — вектор норм расхода на каждый вид продукции;

— вектор P = (p₁, p₂, …, p_n) — вектор-план выпуска продукции.

Тогда q определится как скалярное произведение M•P.

Ответ

Полная потребность производства в сырье данного вида определится как

3.2 Геометрическая интерпретация векторов

Ортононормированный базис в ПДСК

Если заданы векторы такие, что

— все три имеют общим началом начало координат;

— каждый из векторов сонаправлен ;

— (см. Рис.24)

Рис.24

Теперь понятно, что значит «ортонормированный»:

— «орто» — все три вектора взаимно перпендикулярны или, что тоже самое, ортогональны;

— «нормированный» — все они «нормированы на единицу», т. е. имеют одинаковую, равную единице длину.

А вот «базис» означает то, что любой вектор может быть представлен в виде суммы проекций на соответствующие оси, т. е. может быть произведено разложение вектора по ортонормированному базису.

Разложение вектора по ортонормированному базису

Любой вектор в ПДСК может быть разложен на сумму его проекций на оси координат:

где a_x, a_y, a_z — величины проекций вектора на соответствующие оси координат. Уж, коль скоро, речь идет о «величине», то она, как и величина отрезка, может быть и положительной и отрицательной. Наряду с термином «величина проекции» используется и термин «координата вектора». Второй термин вполне приемлем, но, в отличии от первого часто создает путаницу. Разберемся с этой путаницей раз и (мы надеемся!) навсегда.

Нахождение координат вектора

Найти координаты вектора, если M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂). Для того, что бы найти величину проекции на ось необходимо вычесть из координат конца координаты начала вектора. В нашем случае

Нагляднее всего это продемонстрировать с вектором на плоскости.

Пример 24(координаты вектора на плоскости)

Найти координаты вектора, если он имеет своим началом точку М₁, а концом точку М₂, если он изображен на Рис. 25.

Рис.25

Решение

Из чертежа видно, что точка М₁ имеет координаты x₁ = 3, y₁ =2, т. е. М₁(3; 2) и точка М₂(10; 5), тогда вектор имеет координаты

или, окончательно

Ответ

Свободные векторы

Свободный вектор — вектор, который вполне определен своими координатами: он не привязан ни к какой точке пространства и при параллельном переносе (с сохранением направления и длины) его координаты не изменяются. Если вектор задан в координатной форме, то никто не скажет, где он расположен.

Пример 25 (свободные векторы)

На рисунке 26 представлены три вектора. Один из них — вектор уже был рассмотрен в Примере 24.

Рис.26

Не трудно убедиться в том, что

3.3 Основные арифметические действия над векторами

Здесь и далее предполагается, что векторы заданы в координатной форме

Длина вектора

Длина вектора определяется выражением

Скалярное произведение (координатная форма)

Угол между векторами

Если ц — угол между векторами, то

Условие ортогональности векторов

Два вектора ортогональны при условии равенства нулю их скалярного произведения

Сумма (разность) векторов

3.4 Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов называется вектор, обозначаемый символом (или), который определяется условиями

1., где ц — угол между векторами ;

2. вектор такой, что одновременно;

3. вектор ориентирован по отношению к сомножителям по правилу буравчика.

Правило буравчика

Вектор, как результат векторного произведения ориентирован по отношению к сомножителям так же, как координатная ось Oz по отношению к осям Ox и Oy (cм. Рис. 27). Т. е., при вращении от первого сомножителя ко второму буравчик ввинчивается в направлении вектора .

Рис.27

Условие коллинеарности векторов

Если векторы коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых) т. е. угол между ними или 0, или 180⁰, то их векторное произведение равно нулю

Геометрический смысл векторного произведения

Если векторы приведены к общему началу (что параллельным переносом возможно сделать всегда, поскольку мы работаем только со свободными векторами), то длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах (см. Рис.28).

Рис.28

Свойства векторного произведения

1. Свойство антикоммутативности

2. Свойство ассоциативности по отношению к скалярному множителю л

4. Распределительное свойство относительно операции сложения

Пример 26 (раскрытие скобок в выражении с векторами)

Раскрыть скобки в выражении

Решение

Пример 27 (вычисление площади параллелограмма)

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если

;

;

Решение

Прежде всего, площадь параллелограмма, построенного на векторах и, определяется как

.

Т.е. найдем векторное произведение векторов c и d, а потом длина полученного вектора численно будет равна искомой площади параллелограмма.

Шаг 1

Ищем векторное произведение, при этом активно используем свойства векторного произведения

Шаг 2

Ищем, собственно площадь

3.5 Векторные произведения ортов

При нахождении векторных произведений ортов в ПДСК полезным окажется рисунок 29

Рис.29

Векторное произведение в координатной форме

Пусть векторы заданы в координатной форме

Тогда

Вычисляя последний определитель методом разложения по элементам первой строки, получаем, что

Пример 28 (площадь треугольника)

Вычислить площадь треугольника, заданного своими вершинами А (2; 2; 2), В (4; 0; 3) и С (0; 1; 0).

Решение

Идея решения основана на том, что площадь треугольника АВС — это половина площади параллелограмма, а площадь параллелограмма со сторонами АВ и АС — модуль векторного произведения векторов АВ и АС. Коль скоро так, решение ищем в три шага

— находим векторы АВ и АС;

— находим векторное произведение найденных векторов;

— находим длину найденного вектора;

— половина найденной длины — искомая площадь.

Шаг 1

«Найти вектор» — это значит найти его координаты:

вектор АВ

Шаг 2

Векторное произведение векторов АВ и АС

При нахождении площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, используем тот факт, что наши векторы — свободные векторы, а потому мы всегда параллельным переносом сможем свести их к общему началу.

Шаг 3

Находим площадь параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, т. е. длину векторного произведения, т. е., длину вектора

Шаг 4

Искомая площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС

Ответ

Площадь треугольника АВС равна

3.6 Смешанное произведение векторов

Правая тройка векторов

Правой тройкой векторов назовем тройку векторов, подчиняющуюся правилу буравчика, т. е., для трех векторов имеют место равенства

Помочь запомнить это поможет рисунок 30

Рис.30

Т.е., вектор умножаем векторно на вектор — получаем вектор и т. д.

Не трудно убедиться в том, что и векторы ортонормированного базиса в ПДСК образуют правую тройку векторов.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов назовем число, определяемое выражением

Т.е., в одном произведении смешаны сразу два: векторное и скалярное — вектор-результат векторного произведения умножается на вектор скалярно (вот почему в итоге получаем число).

Геометрическое свойство смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах, взятому со знаком «+», если эта тройка правая и со знаком «- «, если эта тройка «левая» (не правая).

Условие компланарности векторов

Векторы компланарны (расположены в одной плоскости), если их смешанное произведение равно нулю:

Смешанное произведение для векторов, заданных в координатной форме

Для векторов

смешанное произведение определяется выражением

Откуда

Условие компланарности для векторов, заданных в координатной форме

Пример 29 (вычисление объема пирамиды)

Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A (2; 2; 2), B (4; 3; 3), C (4; 5; 4) и D (5; 5; 6).

Решение

Идея задачи основана на том факте, что объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, а потому алгоритм решения

— находим векторы AB, AC и AD;

— находим смешанное произведение найденных векторов (это будет объем параллелелепипеда);

— находим 1/6 от найденного объема — это и будет искомый объем.

Шаг 1

Находим векторы AB, AC и AD

Шаг 2

Вычисляем объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD

Шаг 3

Вычисляем V_{пирамид}. С учетом того, что получаем

Ответ

Объем пирамиды ABCD равен

4 УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Поверхность

Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению F (x; y; z) = 0.

Линия в пространстве

Если уравнения F (x; y; z) = 0 и Ф (x; y; z) = 0 определяют некоторую поверхность, то линия L (x; y; z) = 0 может быть определена как геометрическое место точек общих для обеих поверхностей (линия пересечения поверхностей)