Интегральные характеристики векторных полей

Курсовая работа Интегральные характеристики векторных полей Москва 2014

Содержание векторный поле ротор интеграл Введение

1. Криволинейные интегралы и их вычисление

2. Поверхностные интегралы и их вычисление

3. Поток векторного поля

4. Циркуляция и ротор векторного поля

5. Теорема Гаусса-Остроградского

6. Теорема Стокса

7. Вопросы и задачи Список использованной литературы и источников

Введение

В первой главе мы ввели дифференциальные характеристики полей: градиент, дивергенцию, ротор. В этой главе рассмотрим интегральные характеристики полей и выясним физический смысл дивергенции и ротора. Введем эти понятия безотносительно к системе координат, а также сформулируем ряд теорем, которые широко используются в приложениях. В первую очередь, это теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса. Кратко напомним также методы вычисления криволинейных и поверхностных интегралов.

1. Криволинейные интегралы и их вычисление Рассмотрим некоторое скалярное поле. Пусть в пространстве задана некоторая кривая АВ, которая определяется уравнениями

где t — некоторый параметр. Разобьем линию АВ на маленькие отрезки .

Составим сумму

.

Здесь — длина отрезка (скаляр).

Определение 1. Криволинейным интегралом первого рода называется предел интегральной суммы

.

Криволинейные интегралы первого рода часто называют интегралами по длине. Если кривая задана параметрически, то элемент длины определяется формулой

.

Для плоской кривой, заданной уравнением, дифференциал длины имеет вид

.

Выясним физический смысл криволинейного интеграла первого рода. Если — линейная плотность вещества (масса единицы длины), то криволинейный интеграл по кривой АВ позволяет определить массу кривой АВ.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл вдоль параболы от точки А (0,0) до точки В (2,4).

Решение.

Ответ:

.

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

где L — окружность радиуса R.

Решение. Введем полярную систему координат (замена переменных)

.

После подстановки этих выражений в интеграл получим

.

Ответ:

.

Криволинейный интеграл первого рода можно вычислять также от векторной или тензорной функции

.

Здесь вычисляются три интеграла от соответствующих координат вектора. Аналогично можно ввести криволинейный интеграл первого рода от тензорной функции, вычисляя соответствующий интеграл от каждой компоненты тензора.

Рассмотрим теперь векторное поле и заданную кривую АВ, которую разобьем на маленькие отрезки длиной. Выберем направление от, А к В и будем считать отрезки направленными (векторами). На каждом отрезке можно задать скалярное произведение .

Определение 2. Криволинейным интегралом второго рода называется предел интегральной суммы Криволинейные интегралы второго рода часто называют интегралами по координатам. Их можно записывать в виде

.

Если функция задает силу в точке М, то криволинейный интеграл определяет работу, которую совершает эта сила при перемещении материальной точки по кривой АВ.

Криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой называют циркуляцией векторной функции и обозначают символом

.

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии .

Решение. Сделаем рисунок.

Произведем вычисления

.

Ответ: 2.

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл вдоль эллипса. Обход контура интегрирования производится по часовой стрелке.

Решение. Сделаем рисунок После вычислений получим

.

Ответ: .

Данный интеграл является циркуляцией векторного поля.

2. Поверхностные интегралы и их вычисление Рассмотрим некоторое скалярное поле. Пусть в пространстве задана поверхность S, которая описывается уравнением. Разобьем поверхность на маленькие элементы площадью, внутри каждого элемента выберем точку .

Составим интегральную сумму

.

Определение 1. Поверхностным интегралом первого рода называется предел интегральной суммы

.

Поверхностные интегралы первого рода часто называют интегралами по поверхности. Если поверхность задана уравнением, то элемент поверхности определяется формулой и вычисление поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению двойного интеграла

.

Если функция задает поверхностную плотность электрического заряда на поверхности S, то поверхностный интеграл первого рода позволяет определить суммарный заряд поверхности S.

Пример 1. Вычислить интеграл по поверхности

где поверхность S — часть плоскости, лежащая в первом октанте.

Решение. Сделаем рисунок.

Выполним вычисления

,

Ответ: .

Рассмотрим элемент поверхности и его проекции на координатные плоскости Запишем вектор элемента поверхности в виде

.

Определение 2. Поверхностным интегралом второго рода называется предел интегральной суммы Поверхностный интеграл второго рода называют также поверхностным интегралом по координатам. Учитывая формулу для вектора площади можно записать его в виде

.

Вычислять этот интеграл можно, рассматривая проекции поверхности на координатные плоскости и вычисляя затем соответствующие двойные интегралы.

Пример 2. Вычислить поток вектора через верхнюю часть поверхности, ограниченной плоскостями .

Решение. Поверхность представляет собой параболоид, накрывающий квадратный цилиндр с образующими, параллельными оси z. Сделаем рисунок проекции этой поверхности на плоскость xy.

Вычисления:

Ответ: .

3. Поток векторного поля Рассмотрим постоянное векторное поле и некоторую плоскую площадку S.

Вектор нормали к площадке обозначим п. Введем вектор, т. е. будем рассматривать площадь как вектор.

Определение 1. Потоком постоянного вектора F через площадку S называется величина

.

Нетрудно показать, что если в качестве вектора F выбрать скорость движения жидкости, то поток определяет количество жидкости, протекающей через площадку S за единицу времени.

Обобщим понятие потока. Пусть задано произвольное векторное поле и некоторая поверхность S. Разобьем поверхность на малые элементы и составим сумму

.

Эта величина является интегральной суммой для функции по поверхности S. Предел этой интегральной суммы называют поверхностным интегралом второго рода.

.

Определение 2. Потоком вектора F через поверхность S называется величина

.

Если функция F задает поле скоростей, то поток определяет количество жидкости, протекающей через заданную поверхность в единицу времени.

Часто требуется определить поток вектора через замкнутую поверхность. Интегралы по замкнутой поверхности обычно записывают в виде

.

Рассмотрим векторное поле, заданное в трехмерном пространстве. Около некоторой точки М опишем замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V.

Теорема 1. Если векторная функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки М, то существует предел

.

Упрощенное доказательство этой теоремы приведено ниже.

Отметим, что этот предел не зависит от способа стягивания области V в точку М, а зависит только от положения точки.

Определение 3. Дивергенцией векторного поля называется величина

.

Дивергенция означает расходимость. Это определение дивергенции отличается от того, которое мы давали в первой главе, и является более общим. Здесь, в частности, ничего не говорится о выборе системы координат, т. е. это определение справедливо в любой системе координат.

Теорема 2. Если векторная функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки М, то в декартовой прямоугольной системе координат дивергенция этой функции определяется формулой

.

Доказательство. В качестве элемента объема выберем прямоугольный параллелепипед со сторонами длиной, направленными параллельно координатным осям.

Рассмотрим поток вектора F через грани, перпендикулярные оси z. Вектор для верхней площадки имеет вид, для нижней -. Суммарный поток через верхнюю и нижнюю площадки определяется выражением

.

Аналогично получим

.

Подставим эти значения в формулу для дивергенции

.

Теорема доказана. Из этой теоремы следует, что оба определения дивергенции эквивалентны. Приведенное доказательство можно рассматривать как упрощенное доказательство теоремы 1.

4. Циркуляция и ротор векторного поля Рассмотрим векторное поле, заданное в трехмерном пространстве и выделим в этом пространстве некоторую замкнутую кривую.

Определение 1. Циркуляцией векторного поля называется криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой

.

Пример 1. Пусть стационарное вращательное движение жидкости вокруг оси Ох задано вектором угловой скорости. Рассмотрим в пространстве, заполненном вращающейся жидкостью, векторное поле линейной скорости жидкости. Вычислить циркуляцию векторного поля F вдоль окружности l:

.

Решение. Сделаем рисунок.

Вычислим векторное поле

.

Следовательно,

.

Итак, циркуляция пропорциональна угловой скорости щ, площади круга S и является удобной характеристикой для описания вращательного движения жидкости.

Введем еще одну величину, описывающую вращательные свойства векторного поля. Около некоторой точки М опишем замкнутый контур l, лежащий в некоторой плоскости Р и ограничивающий площадь S.

Вычислим циркуляцию вектора F вдоль контура l и разделим ее на площадь S

.

Теорема 1. Если векторная функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки М, то существует предел

.

(без доказательства).

Отметим, что этот предел не зависит от способа стягивания контура в точку М, а зависит только от положения точки и ориентации плоскости Р в пространстве.

Определение 2. Ротором векторного поля называется вектор, проекция которого на направление орта равна пределу

.

Ротор описывает вращательные свойства векторного поля. При изменении направления орта значение проекции изменяется. Это определение отличается от того, которое было дано в предыдущей главе. На самом деле эквивалентность обоих определений вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2. Если векторная функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки М, то в декартовой прямоугольной системе координат ротор этой функции определяется формулой

.

(без доказательства).

Приведенное в этом параграфе определение ротора является более общим и не зависит от выбора системы координат.

5. Теорема Гаусса-Остроградского Рассмотрим несколько теорем, связывающих криволинейные, поверхностные и тройные интегралы.

Теорема 1 (Гаусса-Остроградского). Поток векторного поля через поверхность S, ограничивающую область V, равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля

.

Доказательство. Разобьем всю область интегрирования на маленькие параллелепипеды По определению дивергенции

.

Сложим записанные выражения для всех элементов разбиения

.

Для соседних элементов потоки взаимно сокращаются После сложения останутся только потоки через внешнюю, ограничивающую тело поверхность. Совершая предельный переход, получим

.

В развернутой форме эта теорема принимает вид

.

Эта теорема является обобщением используемой в электростатике теоремы Гаусса. Покажем, что правая часть записанной формулы определяет электрический заряд, заключенный в объеме, ограниченном заданной поверхностью. В электростатике мы доказали теорему Гаусса для напряженности электрического поля

.

Используя теорему Гаусса-Остроградского, можно записать

.

Отсюда следует уравнение, связывающее напряженность электрического поля с плотностью зарядов, создающих это поле

.

Это одно из основных уравнений электростатики.

Пример 1. Вычислить поток векторного поля через поверхность цилиндра,. Поверхность расположена в первом октанте.

Решение. Сделаем рисунок и приведем два решения этой задачи: непосредственное вычисление потока и использование теоремы Гаусса-Остроградского.

Первое решение. Учитывая форму векторного поля, нетрудно видеть, что ненулевой поток вектора происходит через верхнюю грань и искривленную боковую поверхность.

, .

Покажем на рисунке разложения вектора на компоненты, нормальные к криволинейной и плоской поверхностям.

Найдем поток через искривленную поверхность. Имеем:

,

.

Эта формула определяет поток векторного поля через боковую поверхность цилиндра.

Найдем поток векторного поля через верхнее основание цилиндра. Имеем

,

.

Второе решение. Решим эту задачу, используя теорему Гаусса-Остроградского

.

Оба решения, естественно, совпадают.

6. Теорема Стокса Важную роль в различных физических приложениях играет теорема Стокса, которая связывает циркуляцию вектора по замкнутому контуру с потоком ротора этого векторного поля по некоторой поверхности.

Рассмотрим векторное поле и замкнутый контур L. Натянем на этот контур некоторую поверхность, которую будем считать достаточно гладкой. Разобьем поверхность на маленькие четырехугольники.

Теорема 1 (Стокса). Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого поля по поверхности, натянутой на этот контур

.

Доказательство. По определению ротор в точке (см. рис.) определяется формулой

.

Просуммируем эти выражения по всем площадкам.

.

На рисунке показаны циркуляции по соседним контурам. Из рисунка видно, что интегралы по границе между контурами взаимно сокращаются. После суммирования останутся только криволинейные интегралы по внешней границе L.

Совершая предельный переход в соответствующих интегральных суммах, получим

.

В развернутом виде эту формулу можно записать Отметим, что обход контура должен совершаться против часовой стрелки, если смотреть со стороны внешней нормали. При этом выбор поверхности S не играет роли, важно лишь, чтобы эта поверхность опиралась на контур L.

Пример 1. Вычислить интеграл

где контур интегрирования L — окружность .

Решение. Вычисление интеграла выполним двумя методами: 1) непосредственно; 2) используя теорему Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу .

Первое решение. Сделаем рисунок.

Перейдем к полярным координатам Подставим функции и их дифференциалы в интеграл и произведем вычисления.

Второе решение. Используем теорему Стокса для решения этой задачи. Найдем ротор и применим теорему Стокса

.

Оба метода дают один и тот же результат.

7. Вопросы и задачи

1. В чем состоит различие между криволинейными интегралами первого и второго рода?

2. В чем состоит различие между поверхностными интегралами первого и второго рода?

3. Докажите справедливость равенства

.

4. Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой от точки А (0,0) до точки .

5. Вычислить криволинейный интеграл вдоль кривой от точки А (0,1) до точки .

Список использованной литературы и источников

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, М.: МГУ, 1999, 798 с.

2. Кальницкий Л. А., Добротин Д. А., Жевержев В. Ф. Специальный курс высшей математики для вузов, М.: «Высшая школа», 1976, 390 с.

3. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.: Наука, 1985, 384 с.

4. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В. С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

5. Красильников О. М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

6. Супрун И. Т., Абрамова С. С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.