Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле

§ 1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле

§ 2. Функция и (x, ч), её функциональное уравнение

§ 3. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость

§ 4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле. Тривиальные нули L-функции Дирихле

§ 5. Нетривиальные нули L-функции Дирихле

5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций

5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции Дирихле 12

§ 6. Обобщенная гипотеза Римана Библиографический список

Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.

В аналитической теории чисел L-функция Дирихле играет такую же роль, как и ж-функция при решении задач теории чисел, а именно задач, связанных с распределением простых чисел в арифметических прогрессиях и в задачах, связанных с оценками арифметических сумм.

Предметом исследования данной курсовой работы является распределение значений L-функций Дирихле, результаты Гурвица о выводе функционального уравнения для L-функции Дирихле и как следствие, показать, что L-функции Дирихле в критической полосе имеют бесконечное число нулей. Эти функции ввел в 1837 г. Густав Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Основные результаты были получены в 1922 году А. Гурвицем.

В данной курсовой работе изложение материала отражает основные свойства L-функций Дирихле и соответствует результатам, полеченным Гурвицем касающимся L-функций Дирихле.

В заключении данной работы приводится гипотеза о распределении нулей дзета-функции, сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия».

§ 1. Характеры Дирихле и L-функции Дирихле

Прежде всего определим характеры по модулю k, равному степени простого числа, и докажем их основные свойства. Характеры по произвольному модулю к определим затем через характеры по модулю, равному степени простого числа; при этом основные свойства последних сохранятся.

Пусть k=р^а, где р> 2 — простое число, б?1. Как известно, по модулю k существуют первообразные корни, и пусть g — наименьший из них. Через ind n будем обозначать индекс числа п, (п, к) = 1, по модулю k при основании g, т. е. число г = г (п) = ind n такое, что

(mod k).

Определение 1.1. Характером по модулю k= р^а, р>2 — простое, б? 1, называется конечнозначная мультипликативная периодическая функция ч (n), областью определения которой является множество целых чисел п, и такая, что где т — целое число.

Из определения характера видно, что функция зависит от параметра т, является периодической по т с периодом ц (k), т. е. существует, вообще говоря, ц (k) характеров по модулю k, которые получаются, если брать т равным 0, 1, …, ц (k) — 1.

Пусть теперь k = 2^б, б? 3. Как известно, для любого нечетного числа п существует система индексов г₀ = г₀(п) и г₁ = г₁(n) по модулю k, т. е. такие числа г₀ и г₁, что Таким образом, числа г₀ и г₁ определяются с точностью до слагаемых, кратных соответственно 2 и 2^б-2.

Определение 1.2. Характером по модулю к = ^2б, б?1, называется функция областью определения которой является множество целых чисел п, определенная одной из следующих формул:

Где m₀, m₁ целые числа.

Из определения 1.2. видно, что функция зависит от параметров т₀ и m₁является периодической по m₀ и m₁, с периодами соответственно 2 и 2^б-2 т. е. существует, вообще говоря, ц (k), =< ц (k^б) характеров по модулю k = 2^б, которые получаются, если брать m₀, равным 0, 1, а m₁ равным 0, 1, …, 2^б-2 — 1.

Ввиду того, что индекс числа или система индексов числа периодические с периодом, равным модулю функции, аддитивные, т. е. индекс произведения (соответственно система индексов произведения) равняется сумме индексов сомножителей (соответственно сумме систем индексов сомножителей), получаем следующие свойства характера ч (п):

1. по модулю k— периодическая с периодом k функция, т. е.

;

2. —мультипликативная функция, т. е.

Очевидно также, что ч (1) = 1.

L-ряды Дирихле — функции комплексного переменного, подобные дзета-функции Римана, введены Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Везде ниже под L-рядом будем понимать L-ряд Дирихле.

Пусть k — натуральное число и ч — какой-либо характер по модулю k.

Определение 1.3. L-функцией называется ряд Дирихле вида:

Ввиду того, что|ч (n)|?1, следует аналитичность L (s, ч) в полуплоскости Re s>l. Для L (s, ч) имеет место аналог формулы Эйлера (эйлеровское произведение).

Лемма 1.1. При Re s > 1 справедливо равенство Доказательство. При X > 1 рассмотрим функцию Так как Re s > 1, то следовательно,

(воспользовались мультипликативностью ч (n) и однозначностью разложения натуральных чисел на простые сомножители). Далее, где у=Re s>l. Переходя в (2) к пределу Х>+?, получим утверждение леммы.

Из (1) находим т. е. L (s, ч)?0 при Re s>l. Если характер ч по модулю k является главным, то L (s, ч) лишь простым множителем отличается от дзета-функции ж (s).

Лемма 1.2. Пусть ч (n) = ч ₀(n) по модулю k. Тогда при Re s> 1

Доказательство леммы следует из (6) и определения главного характера ч₀(n).

Следствие. L (s, ч) — аналитическая функция во всей s-плоскости, за исключением точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным Если характер ч (n) является производным, a ч₁(n) — примитивный характер по модулю k₁, k_tk, отвечающий ч (n), то L (s, ч) лишь простым множителем отличается от L (s, ч₁).

Лемма 1.3. Пусть ч₁— примитивный характер по модулю k₁ и ч — индуцированный ч₁ производный характер по модулю k, k_t? k. Тогда при Re s > 1

Доказательство леммы следует из (1) и свойств ч₁ и ч.

Функцию L (s, ч) можно продолжить в полуплоскость Re s > 1

Лемма 1.4. Пусть ч? ч₀, тогда при Re s>0 справедливо равенство Где Доказательство. Пусть N ?1, Re s>l. Применяя преобразование Абеля, будем иметь Где Переходя к пределу N > +?, получим (8) при Re s>l. Но |S (x)|?ц (k); поэтому интеграл в (3) сходится в полуплоскости Re s > 0 и определяет там аналитическую функцию, что и требовалось доказать.

§ 2. Функция и (x , ч), её функциональное уравнение

Функциональное уравнение будет получено для L (s, ч) с примитивным характером ч; тем самым и в силу леммы 3 L (s, ч) будет продолжена на всю s-плоскость при любом ч. Вид функционального уравнения зависит от того, четным или нечетным является характер ч, т. е. ч (-1)=+1 или ч (-1)=-1

Прежде чем вывести функциональное уравнение для L (s, ч) и продолжить L (s, ч) на всю s-плоскость, докажем вспомогательное утверждение, аналогичное функциональному уравнению для и (х) (см. лемму 3, IV).

Лемма 2.1. Пусть ч — примитивный характер по модулю k. Для четного характера ч определим функцию и (x, ч) равенством, а для нечетного характера х определим функцию и₁(x, ч) равенством Тогда для введенных функций и (x, ч) и и₁(x, ч) справедливы следующие соотношения (функциональные уравнения):

где ф (ч) — сумма Гаусса.

Доказательство. Воспользуемся доказанным в лемме 3, IV равенством где x > 0, б — вещественное.

Имеем что доказывает равенство (6).

Чтобы доказать равенство (7), продифференцируем почленно (8) и заменим x на х/к, б на m/k (указанные ряды можно почленно дифференцировать, так как получающиеся после этого ряды равномерно сходятся). Получим Отсюда, как и выше, выводим Лемма доказана.

§ 3. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость

Получим аналитическое продолжение функции L (s, ч) в область Re s >0.

Лемма 3.1.Пусть ч (n) — неглавный характер по модулю m,

Тогда при Re s > 1 справедливо равенство Доказательство. Пусть N?1, Re s >1. Применяя частное суммирование, будем иметь Где c (x)=S (x)-1. Так как |c (x)|?x, то, переходя к пределу N, получим Что и требовалось доказать.

§ 4. Функциональное уравнение для L-функции Дирихле. Тривиальные нули L-функции Дирихле

Теорема 4.1. (функциональное уравнение). Пусть ч— примитивный характер по модулю k,

Тогда справедливо равенство Доказательство, по—существу, повторяет вывод функционального уравнения для дзета-функции (теорема 1, IV).

Предположим, что ч (-1)=+1. Имеем Умножая последнее равенство на ч (п) и суммируя по п, при Re s > 1 получим Ввиду того, что ч — четный характер, имеем Разбивая последний интеграл на два, производя в одном из них замену переменной интегрирования (х > 1/х) и пользуясь (6), найдем Правая часть этого равенства является аналитической функцией при любом s и, следовательно, дает аналитическое продолжение L (s, ч) на всю s-плоскость. Так как Г (s/2)?0, то L (s, ч) — регулярная всюду функция. Далее, при замене s на 1 — s и ч на, правая часть (10) умножается на, так как ч (— 1)=1 и, следовательно, ф (ч) ф ()= ф (ч) = k. Отсюда получаем утверждение теоремы при д = 0.

Предположим, что ч (—1) = —1. Имеем Следовательно, при Re s > 1

Последнее равенство дает регулярное продолжение L (s, ч) на всю s-плоскость; правая часть его при замене s на 1 — s и ч на, умножается на i ввиду того, что ф (ч) ф ()= —k.

Отсюда получаем утверждение теоремы при д = 1. Теорема доказана.

Следствие. L (s, ч) — целая функция; если ч (—1) = +1, то единственными нулями L (s, ч) при Re s? 0 являются полюсы Г, т. е. точки s = 0, —2, —4, …;

если ч (—1) = —1, то единственными нулями L (s, ч) при Re s? 0 являются полюсы Г т. е. точки s = —1, —3, —5,. .

дирихле тривиальный вейерштрасс риман

§ 5. Нетривиальные нули L-функции Дирихле

Тривиальные нули L-функции Дирихле о (s, ч) — целая функция; если ч (—1) = +1, то единственными нулями L (s, ч) при Re s?0 являются полюсы, т. е. точки s =0, —2. —4, …; если ч (—1) = —1, то единственными нулями L (s, ч) при Re s?0 являются полюсы т. е. точки s = —1,-3, -5,. .

5.1 Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций

Теорема 5.1. Пусть a₁, …, а_п, … — бесконечная последовательность комплексных чисел, причем

0< |a₁|? |a₁| ???|а_n|<…

И lim = 0.

Тогда существует целая функция G (s), которая имеет своими нулями только числа а_п (если среди а_п есть равные, то нуль G (s) будет иметь соответствующую кратность).

Следствие 5.1. Пусть последовательность чисел a₁, …, а_п, … удовлетворяет условиям теоремы 5.1., и, кроме того, существует целое число р > 0 такое, что сходится ряд Тогда функция G₁(s),

удовлетворяет теореме5. 1.

Теорема 5.2. Каждая целая функция G (s) может быть представлена в виде где H (s) — целая функция, а числа 0, a₁, a₂, …, а…,—- нули G (s), расположенные в порядке возрастания их модулей. Если, кроме того, последовательность а_n, п = 1,2,…, удовлетворяет условиям следствия 5.1., то Доказательство. Нули G (s) не могут иметь предельной точки, т. е. их можно расположить в порядке возрастания модулей. По теореме 5.1. построим целую функцию G₁ (s), имеющую своими нулями нули G (s). Полагая

при s? a_n,

видим, что ц (s) — целая функция, нигде не равная нулю, т. е. и логарифм ц (s) — целая функция. Но тогда ц (s) = e^H(s), где H (s) — целая функция. Так же доказывается второе утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 5.3. Пусть G (s) — целая функция конечного порядка б и G (0)?0, s_n — последовательность всех нулей G (s), причем 0 < |s₁|? |s₂|? … ?|s_n|? … Тогда последовательность s_n имеет конечный показатель сходимости в? б, Где p?0— наименьшее целое число, для которого

g (s) — многочлен степени g? б и б = max (g, в) Если, кроме того, для любого с > 0 найдется бесконечная последовательность r₁, r₂, …, r_n, …, r_n +?, такая, что

max |G (s)|>, |s| = r_n, n = 1, 2, …,

то б=в и ряд расходится.

5.2 О бесконечности целых нетривиальных нулей L-функции Дирихле

Из следствия к теореме 4.1 видно, что функция L (s, ч), ч — примитивный характер, имеет в полуплоскости Re s < 0 лишь действительные нули; эти нули являются полюсами или называются тривиальными; тривиальным также называется нуль s = 0. Кроме тривиальных функция L (s, ч) имеет подобно дзета-функции бесконечно много нетривиальных нулей, лежащих в полосе (критическая полоса) 0? Re s? 1.

Теорема 5.1. Пусть ч — примитивный характер. Тогда функция о (s, ч) является целой функцией первого порядка, имеющей бесконечно много нулей с_n таких, что 0? Re с_n? 1, с_n ?0, причем ряд расходится, а ряд сходится при любом е > 0. Нули о (s, ч) являются нетривиальными нулями L (s, ч).

Доказательство. При Re ?½

Последняя оценка |о (s, ч)| в силу функционального уравнения (9) из § 4 и равенства справедлива также при Re s +?, по теореме 5.3 получаем первое утверждение теоремы. Так как L (s, ч)?0 при Re s>l, то из следует, что о (s, ч) ?0 при Re s < 0, т. о. нули о (s, ч) являются нетривиальными нулями L (s, ч), лежащими в полосе 0? Re s? l. Теорема доказана.

§ 6. Обобщенная гипотеза Римана

Функция ж (s) определена для всех комплексных s?1, и имеет нули для отрицательных целых s = —2, —4, —6 … Из функционального уравнения

и явного выражения

при Re s >1 следует, что все остальные нули, т. е. нетривиальные, расположены в полосе 0? Re s? 1 симметрично относительно критической линии. Гипотеза Римана утверждает, что:

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную .

Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, то есть L-функций Дирихле

Библиографический список

1. А. Л. Карацуба, Основы аналитической теории чисел // 2-е над.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. -240 с.

2. С. М. Воронин, А. А. Карацуба, Дзета-функция Римана // М.: Физматлит. 1994. -376с.