Аналитический метод решения задач безусловной многомерной оптимизации

Московский Государственный Текстильный Университет им. А. Н. Косыгина Кафедра: МТВМ

Контрольная работа

По дисциплине: Оптимизация технологических процессов

Тема: «Аналитический метод решения задач безусловной многомерной оптимизации»

Москва 2011

В настоящее время выявилась необходимость перехода к широкому применению высокоэффективных машин и технологических процессов, которые обеспечивают комплексную механизацию и автоматизацию производства.

Оптимизация — это целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. По-латински «наилучший» переводится как optimus. Отсюда наилучшее решение называется оптимальным, а задача поиска и выбора наилучшего решения — задача оптимизации.

В данной работе мы рассмотрим пример, в котором используется необходимое и достаточное условие для решения задачи безусловной многомерной оптимизации.

В последнее время выявилась необходимость перехода к широкому применению высокоэффективных машин и технологических процессов, обеспечивающих комплексную механизацию и автоматизацию производства. Для решения этой проблемы важное значение приобретают вопросы развития и внедрения новой техники и гибкой технологии, позволяющей быстро и эффективно перестраивать производство на изготовление новой продукции, широкого применения микропроцессорной техники, компьютеров, роботов, ускорения научно-технического прогресса.

Решение комплексных задач внедрения во всех отраслях народного хозяйства автоматизированных систем управления технологическими процессами, а также систем автоматизации научного эксперимента и систем автоматизированного проектирования текстильных изделий, машин и производств невозможно без применения ЭВМ.

Объем капиталовложений на модернизацию производства настолько велик, что сокращение его даже на доли процента за счет применения оптимальных конструкций машин и эффективной технологии дает значительную экономию средств. Проблема оптимизации технологических процессов и объектов приобрела в последнее время исключительную актуальность. Благодаря использованию оптимальных режимов эксплуатации удается увеличить производительность оборудования, снизить затраты энергии, труда и сырья, что по экономическому эффекту может быть эквивалентно строительству новых предприятий.

Изучение дисциплины «оптимизация технологических процессов» дает возможность выбрать наиболее эффективный математический метод оптимизации и осуществить статистическую оптимизацию с использованием ЭВМ, облегчающей решение сложных оптимизационных задач.

Краткие теоретические сведения

В исследовании технологических процессов производств текстильной промышленности чаще всего встречаются задачи многомерной оптимизации. Примерами таких задач являются:

1. определение оптимальных значений общей вытяжки Е, первой частной вытяжки Е1 и разводки R1 в первой зоне вытягивания в трехцилиндровом двухремешковом вытяжном приборе кольцевой прядильной машины, если известно, что неровнота пряжи и указанные выше управляемые переменные взаимосвязаны функциональной зависимостью С=F (Е, Е1, R1), и необходимо получить пряжу заданной линейной плотности с наименьшей неровнотой при неизменных значениях скорости выпуска пряжи и нагрузок на нажимные валики вытяжного прибора;

2. определение оптимальных значений заправочного натяжения основных нитей Тзапр., угла заступа бзаст, высоты зева hз, положения скала относительно линии заправки hск и плотности ткани по утку Ру на ткацком станке, если известно, что растяжимость ткани по основе ет.о. и указанные выше управляемые переменные взаимосвязаны функциональной зависимостью ет.о.=F (Tзапр, бзаст, hз, hск, Ру), и необходимо получить ткань репсового переплетения заданной поверхностной плотности с наименьшей растяжимостью при неизменных заданных значениях линейной плотности основной и уточной пряжи, плотности ткани по основе, частоты вращения главного вала станка, натяжения уточной нити при прокладывании и др.;

3. определение оптимальных значений скорости петлеобразования хп, глубины кулирования hк, натяжения нити на входе петлеобразующей системы Твх и силы оттягивания полотна Тп на кругловязальной машине, если известно, что растяжимость полотна и указанные выше управляемые переменные взаимосвязаны функциональной зависимостью еп.в.=F (хп, hк, Твх, Тп), и необходимо получить полотно (переплетение — гладь) с наименьшей растяжимостью при неизменных заданных значениях линейной плотности нити и др.

4. определение оптимальных значений глубины прокалывания hпр, плотности прокалывания mпр и скорости оттягивания хо.п.полотна на иглопробивной машине, если известно, что разрывная нагрузка полоски иглопробивного нетканого материала и указанные выше управляемые переменные взаимосвязаны функциональной зависимостью Qп=F (hпр, mпр, хо. п), и необходимо получить нетканое полотно с наибольшей прочностью при неизменных других переменных.

При использовании для решения задач безусловной многомерной оптимизации аналитических методов возникает ряд трудностей. Отметим главнейшие: аналитическое представление целевой функции может быть весьма сложным, что затрудняет отыскание совокупности стационарных точек; с увеличением размерности задачи вычислительная процедура резко усложняется, так как в этом случае возникает необходимость решать систему уравнений, получаемых после приравнивая к нулю частных производных от функции F (Х), по каждой из переменных;

целевой функция экстремум Когда уравнения трансценденты (что часто встречается на практике), решение системы становится серьезной задачей, даже если число уравнений п и не слишком велико.

При решении практических задач оптимизации часто встречаются многоэкстремальные целевые функции. В этом случае система уравнений имеет большое количество решений и отыскание всех решений является совсем не простым делом. Чтобы отыскать множество экстремумов нужного типа (максимума или минимума) в каждой из таких точек, необходимо дополнительно определять знак второй производной функции F (Х).

На практике чаще всего встречаются задачи условной оптимизации (с ограничениями на область допустимых значений управляемых переменных), что создает принципиальную трудность при отыскании экстремумов целевой функции.

При наличии ограничений экстремумы целевой функции могут быть не только в стационарных точках, но и на границе допустимой области управляемых переменных. Координаты краевых точек нельзя определить с помощью необходимого условия экстремума целевой функции, и число таких краевых точек может оказаться бесконечно велико.

Значительное количество практических задач оптимизации обладает той особенностью, что область определения целевой функции является дискретной. Это имеет место, когда управляемые переменные представляют собой объекты (машины, системы, люди и т. д.).

Очевидно, что, если целевая функция задана лишь на дискретном множестве точек, все методы отыскания экстремумов, связанные с необходимостью вычисления производных и таким образом использующие непрерывность функции, оказываются неприемлемыми.

Постановка задачи

Дана функция

Найти экстремум, тип экстремума, значение целевой функции

«Аналитический метод решения задач безусловной многомерной оптимизации»

F (-0.928;1,142;-2,321)=107,75

Выводы

Задачи оптимизации можно решать как с привлечением математических средств, так и без них. В первом случае необходима математическая модель задачи оптимизации. С математической точки зрения оптимизационная модель является задачей на экстремум целевой функции на некотором подмножестве п — мерного пространства управляемых переменных, т. е. задачей на условный экстремум.

Если рассматривать задачу минимизации (или максимизации) целевой функции без учета ограничений, получим задачу безусловной минимизации (максимизации).

До появления вычислительной техники математика рассматривала задачи минимизации дифференцируемых целевых функций. В основе лежала теорема Вейерштрасса о необходимых условиях существования локального минимума. Лагранжем был предложен метод, позволяющий преобразовать задачи условной оптимизации в задачи безусловной минимизации путем увеличения числа варьируемых переменных. Эйлером были рассмотрены оптимизационные задачи, в которых управляемыми переменными являлись функции. Гаусс и Чебышев, изучая проблему аппроксимации, сводили ее к решению некоторой оптимизационной задачи с квадратичной или модульной целевой функцией.

Все эти методы позволяли преобразовывать оптимизационную задачу и сводить ее к другой математической задаче: решению алгебраического или дифференциального уравнения или системы уравнений и анализу получаемых решений.

В данной работе так как все определители положительны, то согласно критерию Сильвестра матрица Гессе положительно определена и найденная точка соответствует минимуму функции F (х1, х2, х3).

При х1=-0,928; х2=1,142; х3=-2,321 значение целевой функции равно 107,75

Список используемой литературы

1. А. Г. Севостьянов, П. А. Севостьянов. «Оптимизация механико-технологических процессов текстильной промышленности». М.: Легпромбытиздат, 1991. — 256 с.