Субгармонические функции, допускающие оценку на последовательности точек вещественной оси

1°. К постановке и истории вопроса. Пусть ffz) — целая функция экспоненциального типа С и выполнено условие.

7^CJ, (O.I) где сО > О — некоторое число. Пусть.

ОО) j (x)2dx < во. (0.2).

— оо.

Тогда имеет место известная формула В. А. Котельникова [2.2]: оо.

С= - ОО * 6J ' где ряд в (0.3) сходится, во-первых, равномерно на каждом компакте В КОМПЛеКСНОЙ ПЛОСКОСТИ, ВО-ВТОрЫХ, В L, fоо, ooj^ причем оо ОО pfttilf (K%)*.

— ОО — оо.

Таким образом, функция определяется своими значениями на достаточно густой последовательности точек вещественной оси, а именно, на последовательности равноотстоящих точек.

0.5) если для С7 и CJ выполнено условие (0.1).

При этом L 00J — норма функции ffaj весьма простым образом, по формуле (0.4), выражается через значения jYАКЬ, а сама /fei восстанавливается по ^А^) рядом.

0.3). Условие (0.1) можно рассматривать как условие «достаточной густоты» последовательности Хк вида (0.5) (являющейся арифметической прогрессией с разностью л = ~). со.

Разложения целых функций в ряды Лагранжа вида (0.3) рассматривал еще Уиттекер в 1914 году [2.l]. В. А. Котельников в 1933 году [2.2] впервые обратил внимание на фундаментальное значение разложения (0.3) для теории передачи информации, сформулировав следующее принципиальное положение: для возможности восстановления на приемном конце канала связи сообщения, описываемого функцией с ограниченным (содержащимся в (-сг><^г)) частотным спектром, достаточно передавать лишь значения j (кл) этой функции (называемые отсчетами) через равные интервалы времени, А, если, А .

Си.

Из формулы (0.4) вытекает, что если J-j и — две целые функции, удовлетворяющие (0.1) и (0.2), и последовательности fi М и { jz (^-к)} (в метрике t), то и сами функции J~2 (%) близки в L (-<*>> 00). На это можно смотреть как на факт устойчивости в задаче о восстановлении целой функции z) по последовательности ее значений if (л J. Задача о восстановлении по в случае L 2 -метрики и равноотстоящих отсчетов решается просто благодаря возможности использовать Lтеорию рядов и интегралов фурье. Однако как с точки зрения теории функций, так и с точки зрения приложений представляет интерес рассмотрение метрик, отличных от L, прежде всего метрик L ^ при 0 ^ Р и L, а также неравноотстоящих отсчетов. Соответственно при изучении вопросов устойчивости нужны соотношения типа (0.4) для таких метрик и таких систем отсчетов. Конечно, при р Ф 2 точное равенство вида (0.4) для Lметрики выполняться не будет, но при соответствуадих предположениях справедливы неравенства оо.

— ОО lfMIPc&*Cg?lf (W)r (0.6).

КС Z sup lfM*Csuplf (*p)j.

— оо 4. СС. оо KG Z '.

0.7) где С ^ 00 — величина, не зависящая от целой функции f из рассматриваемого класса (выделение множителя — в формуле.

0.6) целесообразно по аналогии с (0.4)).

Оценка вида (0.7) была получена М. Картрайт [2.з] в 1936 году, а оценка (0.6) — М. Планшерелем и Г. Пойа [2.4] в 1937 году. В формулировке этих результатов фигурирует не сам тип С функции J, а лишь рост этой функции по мнимой оси. Напомним, что для целой функцииf (z) экспоненциального типа ее индикатор роста (9) определяется как i £-«оо 2.

На рост рассматриваемых целых функций налагается условие.

V’XMS hf (.fj^CT (0.8) где 0 + - некоторое число. В формулировках участвует также число СО > О, связанное с С неравенством < { (0.9).

6J.

Теорема (М.Картрайт, [2.3]). Цусть f (z) — целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (0.8), и выполняется условие (0.9). Тогда справедливо неравенство (0.7), где С * 00 — величина, не зависящая от f, а зависящая с лишь от отношения —-. со.

Теорема (М.Планшерель-Г.Пойа, [2.4]). Пусть целая функидя экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (0.8), и выполняется условие (0.9). Тогда при 0 ^ Р * 00 справедливо неравенство (0.6), где С^ 00 — величина, не зависящая от f, а зависящая лишь от р и отношения^у •.

Подчеркнем, что в этих теоремах конечность величин в левых частях неравенств (0.6) и (0.7) априори не предполагается, а следует из конечности соответствующих величин в их правых частях.

Пусть С^ (cj) ~ наименьшее значение величины С «при котором неравенство (0.7) выполняется для каждой целой функции f Ы) экспоненциального типа, удовлетворяющей неравенству (0.8) очевидно, С^ зависит лишь от отношения)• Известно, что С^) — + 00 при ^ О ' Бернштейн [2.б] установил асимптотическое соотношение J ^ — тс со-о приг- -*- {-О)• При (7= СО неравенство (0.7) не выполняется со ни при каком С ^ 00, а из ограниченности последовательности I f (ине следует ограниченностьff х) на вещест.

Ке ** п /<г венной оси. Если обозначить через Lp (/ наименьшее значение величины С «при которой неравенство (0.6) выполняется для каждой целой функцииf (%) экспоненциального типа, удовлетворяющей условию (0.8), то поведение Ср (qj) при ^ 1 ~ О различно для р > i и для р 1. Если р ^ i, то Ср ПРИ §, и при С-СО неравенство.

0.6) не выполняется ни при какой константе С ^ 00. Если же р> 1 • «СР (Ъ) — Cp (i)*<�™ (при g—i- 0) t и неравенство (0.6) для такого р выполняется с константой 0 = = Ср (Л для всякой целой функции j (z) экспоненциального типа, удовлетворяющей условию (0.8) при С = CJ и априорному условию конечности интеграла в левой части (0.6) (из конечности суммы I f (I ^ при С — сд не следует конечность инкеЪ теграла в (0.6)).

Известны многочисленные обобщения и аналоги теорем Картрайт и Планшереля-Дойа для целых функций: [2.5] - [2.ю], [2.15] — [2.17], [2.20] .

В ряде работ теоремы Картрайт и Планшереля-Пойа обобщались на случай «неравноотстоящих узлов» Ак, и получались оценки, аналогичные (0.6) и (0.7): о.

— оо.

5 {(xnpdz*C?f (fiK). <�°-10) ке Z sup If Ml ± С sup If (А^) I. (o.ii).

— oo4 я-юо к € 7L.

На узлы Лк обычно налагается условие.

Lnf lA^-AJscf>0, (o.i2) т Ф п называемое условием «отделимости» .

Даффин и Шеффер в 1945 году [2. б], показали, что если.

IAK- (0.13) и выполнено условие отделимости (0.12), то при С7 CJ неравенство (0.11) будет выполняться для всех удовлетворяющих условию.

0.8) целых функций j-fe) экспоненциального типаконстанта С^оо в (0.11) в этом случае зависит, конечно, не только от С и СО, но и от L и J1. Н. И. Ахиезер и Б. Я. Левин в 1952 году [2.8] показали, что от условия отделимости (0.12) можно освободиться, добавив взамен этого к условию (0.13) еще необходимое в этом случае условие ограниченности всех разделенных разностей (для значений функщш j-(z) в точках Лк) до определенного порядка, зависящего от L. Эти результаты основаны на обобщении формулы (0.3) на случай неравноотстоящих узлов интерполяции. Системы точек {Я^.], для которых выполняются неравенства вида (0.10) и (0.11), можно выделять не только геометрическими условиями, такими как (0.13), но и теоретико-функциональными условиями. Так, Б. Я. Левин в 1957 году [2.9] показал, что если CO (Z) = P (Z) +L Qfe) < Р и Ы — вещественные целые функции) есть целая функция класса Ц^ { А^} % ~ множество корней функции Р (%), j-fz) — целая функция экспоненциального типа, причем при некотором? > О то для любого h>0 sup {(x)Vco (x-Lk)U С sup If^M^a^r.

— ooz.3⁰⁰ KC Z 7 где С ^ 00 не зависит от? (С зависит от CJ, ?, h). Тео.

ICOjS рема Картрайт получается отсюда при Cd (Z)= ie = - Sin 60Z + + L COS CJ 2″. Сформулированное утверждение является обобщением более раннего результата Н. И. Ахиезера [2.7]. Б. Я. Левин показал также [2.10], что если.

U ю к&euro-. Z ~ множество корней некоторой целой функции ФШ «типа синуса», причем м-?) а — целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (0.8), то (при дополнительном условии отделимости (0.12)) мяре. (i, выполнено неравенство (0.10), где не зависит от | (интеграл в (0.10) слева предполагается априори конечнымесли hj (-, то конечность интеграла в (0.10) можно заранее не предполагать, она следует из конечности суммы в (0.10) справа).

В работах В. Н. Логвиненко [2.16] и [2.17] получены теоремы типа теоремы Картраит для целых функций многих переменных. Его метод использует неравенство С. Н. Бернштейна для производных и некоторый аппроксимационный процесс. Результаты В. Н. Логвиненко относятся, в частности, и к целым функциям одного переменного, но в этом случае менее точны, чем теорема М.Картрайт.

Цри р-2 оценка вида (0.10) тесно связана с вопросом о базисности в системы экспонент. Вопросу о базисности этой системы, начиная с Винера и Пэйли [l.6], посвящено много работ. В известном смысле окончательные результаты здесь получены в работе Б. С. Павлова [2.1в] и последующей работе С. В. Хрущева [2.19 ] .

Для целых и субгармонических функций известны результаты, дающие информацию о субгармонической функции в зависимости от ее поведения на множестве, не являющемся дискретным [2.1l] - [2.14], [2.15], [2.20], [2.22] - [2.24] .

Развитый Б. Я. Левиным метод субгармонических мажорант [2.I1J — [2.I4] дал возможность для субгармонических в (Р функций {v (Z)} экспоненциального типа, не превосходящего С, установить неравенства вида sup v (x) ^ C (Б. Я. Левин также показал, что этот результат сохраняет силу для плюрисубгармонических функций, удовлетворяющих при некотором Oz. СГ^оо условию о v (z), (0.15) .

.

Urn supUJ-±L-? сг.

Z?l+. + lZnl -, oo E IZfl.

Впоследствии В. Э. Кацнельсон [2.20J, используя технику теории субгармонических функций, доказал неравенства вида (0.14) в более общей ситуации для полисубгармонических в (С функций irfe)}f удовлетворяющих условию (0.15) и ограниченных на относительно плотном по мере Лебега множестве Е с jR П (при этом в левой части (0.14) X € IR П).

Другое многомерное обобщение (0.14) принадлежит М. Бенедиксу [2.2l] .

Для класса логарифмически полисубгармонических в функций [ufz)}, удовлетворяющих условию (0.15) с lr (Z) ~ friUfe) В. Э. Кацнельсон [2.20] получил оценку с С и (х) dz ±-Се 1 u (0i)dz> Rn Е где Е^ R — относительно плотное по мере Лебега множество, С>0, * 00 зависят лишь от П., L, 6.

В последнее время возрос интерес к распространению на субгармонические и сГсубгармонические функции результатов, извеетных ранее для аналитических функций ([1.5], [l.7j). Это позволило глубже проникнуть в природу таких результатов и получить их плодотворные обобщения. Однако теоремы, дающие оценки целых функций по их поведению на дискретной последовательности, на субгармонические функции до настоящего времени распространить не удавалось.

2°. Цель исследования. В большинстве известных до сих пор способов получения теорем Картрайт, Планшереля-Пойа и их обобщений, в которых норма целой функции jна вещественной оси оценивается сверху через норму последовательности «использовались методы и средства теории аналитических функций: интерполяционные ряды, контурное интегрирование, вычеты, соображения двойственности для пространств Харди, теория целых функций класса Р, неравенство С. Н. Бернштейна для производных. В то же время в формулировки таких теорем входят лишь модул и f (x), If ГА к) I значений функции, а не сами эти значения. Поэтому представляется естественным дать чисто субгармонические доказательства таких теорем и получить их субгармонические аналоги.

Отметим, что неравенства, противоположные неравенствам (0.10) и (0.11), то есть неравенства вида оо.

Г iaK) P*C lf (x)lfic/x (0.16).

K€Zоо sup UfAJj^C sup IfCxJl (0.17) Z 1 K x&R легко получаются посредством «субгармонических» соображений. Неравенство (0.17) — тривиальное следствие теоремы Фрагмена-Линде-лефа (которая является «чисто субгармонической»): fOU)? exp[G3rnXK}-sup lffx) l9 так что если sap I От Лк | ^ H * (0.18) К.

Г oCH то неравенство (0.17) выполняется с о = с. Если помимо условия (0.18) выполняется еще и условие отделимости (0.12), то неравенство (0.16) может быть получено следующим образом. Вследствие субгармоничности функции I | ^.

J> так как кружки — } попарно не пересекаются и содержатся в полосе [z: 3 т. Z H±J* то, а так как при условии (0.8) справедливо неравенство о.

1lj (x+?if)pdx±e.

— оо то имеет место неравенство (0.16) с.

H + f I.

У — 2 ^ пд1 о.

Целью исследования, проводимого в диссертации, является: I) разработка базирующихся на теории субгармонических функций и теории потенциала методов оценки модуля | / (%) | целой функцииf в комплексной плоскости через модули ее значений | J СЯК) | на последовательности точек вещественной оси;

2) получение для логарифмически субгармонических в комплексной плоскости функций теорем типа теорем Картрайт и Планшереля-Пойа.

Если Ы (%) — логарифмически субгармоническая в С функция, то ее экспоненциальным типом называется величина ги= еш Ajga, а индикатор роста hu (О) определяется как и 1-гсхэ ?

Непосредственная переформулировка теоремы Картрайт на логарифмически субгармонические функции имеет вид: пусть U (%,) -логарифмически субгармоническая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условиям где GG (0, 00 j и для числа СО > О выполнено условие С^- СО • Тогда справедливо неравенство.

SUp ШХ) ?= С sup.

ЗС (£ JR К<£ Z.

Сформулированное утверждение неверно, каково бы ни было соотношение между СГ и СО. Причиной, влекущей ложность этого утверждения, является, например, возможность наличия малых атомных компонент у меры djj. (%) ^ (tri и (%)), ассоциированной по Риссу с субгармонической функцией (п.и (%). Наличие у меры djj-fz) сколь угодно малого атома, сосредоточенного в точке.

ЫИ, приводит к равенству и (ME) — П — распределяя ато-со со мы меры djJ. по точкам ¦, южно добиться того, что U (о (кЕ Ж) «а и (х)ф о И U (z) имеет малый рост: бГ ^ G (за счет малости атомов можно добиться сколь угодно малого роста). Рассмотрим пример. Пусть С, и) — заданные положительные числа. Выберем э£} О * ^ -gj > и положим и (%) = I Sincoz]^.

Имеем и (2)ФОU () = О (К €:%) 0~и = а* СО.

Следовательно, С7~и ^ С.

Таким образом, при формулировке для субгармонических функций теорем типа теорем Картрайт и Планшереля-Пойа для целых функций нужно налагать какие-то ограничения на соответствующую ассоциированную меру.

3°. Структура диссертации и ее основные результаты. Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе разрабатывается базирующийся на теории потенциала метод, называемый методом потенциалов сравнения, для получения теорем о субгармонических функциях типа теорем Картрайт и Планшереля-Пойа о целых функциях. Основным результатом первой главы является следующая теорема.

1. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. — 515 с.

2. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИГТЛ, 1956. — 632 с.

3. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.-Л.: ГИГТЛ, 1941. — 388 с.

4. Ронкин Л. И.

Введение

в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971. — 430 с.

5. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир, 1980. — 304 с.

6. Patey R.E.A.C., Witnii N. Fouviei tiansfoims in the compiex domain N.Y.y 1934.

7. Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи. Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. Изд. Управления связи РККА, 1933.

8. Caitwiigkt M. U On certain intecjial junctions of oidei one.- Quatt.^ of Math., Oxford1936, v. 7, p. 46−5 $.

9. PPanckeiai M. Potya G-. Fonctions entities ei in-teyiaies, de F outlet mudtip Ies. M. Co mm .Math. Иг2vet., 1937;1938, v. Ю, p. UO-i6?

10. Бернштейн C.H. Перенесение свойств тригонометрических полиномов на целые функции конечной степени. Изв. АН СССР, сер. матем., 1948, т. 12, № 5, с. 421−444.

11. Duf$in Schaeffei А. С. Powei seties with, боип ded coefficients. Ame^.Q. Maih. i946.v.67, р. Ш-iS*.

12. Ахиезер Н. И. 0 целых трансцендентных функциях конечной степени, имеющих майоранту на последовательности точек вещественной оси. Изв. АН СССР, сер. матем., 1952, т. 16, с. 353−364.

13. Ахиезер Н. И., Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями конечной степени. Записки матем. отд. физ.-мат. факультета ХГУ и Харьк. мат. об-ва, 1952, т. 23, с. 5−26.

14. Левин Б. Я. Обобщение теоремы Картрайт о целой функции конечной степени, ограниченной на последовательности точек. -Изв. АН СССР, сер. матем., 1957, т. 21, № 4, с. 549−558.

15. Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа. Математическая физика и функциональный анализ (сборник трудов ФГИНТ АН УССР), Харьков, 1969, № I, с. 136 —146.

16. Левин Б. Я. Субгармонические мажоранты и их приложения. -В кн.: Тезисы докладов. Всесоюзная конференция по теории функций комплексного переменного. Харьков, 1971, с.117−120.

17. Левин Б. Я. О некоторых приложениях специальных конформных отображений. В кн.: Вопросы математики. Сборник научных трудов № 510. Ташкент, 1976, с. 140−147.

18. Левин Б. Я. Мажоранты в классах субгармонических функций и их приложения. I. Препринт ФГИНТ АН УССР, Харьков, 1984, № 18−84, с.

19. Левин Б. Я. Мажоранты в классах субгармонических функций и их приложения. П. Препринт ФГИНГ АН УССР, Харьков, 1984, J& 19−84, с.

20. Логвиненко В. Н., Середа Ю. Ф. Эквивалентные нормы в пространстве целых функций экспоненциального типа. Теория функций, функциональный анализ и их приложения, Харьков, 1974, вып. 20, с. I02-III.

21. Логвиненко В. Н. Об одном многомерном обобщении теоремы М.Картрайт. ДАН СССР, 1974, т. 219, № 3, с. 546−549.

22. Логвиненко В. Н. Теоремы типа М. Картрайт и вещественные множества единственности для целых функций. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков, 1975, вып. 22, с. 85−100.

23. Павлов Б. С. Базисность системы экспонент и условие Макен-хоупта. ДАН ССОР, 1979, т. 247, Jfc I, с. 37−40.

24. Хрущев С. В. Теоремы возмущения для базисов из экспонент и условие Макенхоупта. ДАН СССР, 1979, т. 247, № I, с. 44−48.

25. Кацнельсон В. Э. Эквивалентные нормы в пространствах целых функций. Математический сборник, 1973, т. 92(134), № 1(9), с. 34−54.

26. Benedicks М. Positive haimontc functions i/aac-shiny on the loundatu of certain domains in Rn-Abkiv foz таШтаЫ, 1980, vol. /.

27. Панеях Б. П. Некоторые неравенства для функций экспоненциального типа и априорные оценки для общих дифференциальных операторов. Успехи матем. наук, 1966, т. 21, № 3, с. 75−114.

28. Лин В. Я. Об эквивалентных нормах в пространстве суммируемых с квадратом целых функций экспоненциального типа. -Математический сборник, 1965, т. 67(109), № 4, с. 586−608.

29. VotUbCj A.L. Thin and bkick jamdus of tationai factions. — Le-ctutBS noies in fYlcLthernatCcs} Spitnyei-Vetiacj, Beihny i921, № 864,p. 440−420.

30. Безуглая Л. И. О субгармонических функциях комплексного переменного, ограниченных на последовательности точек вещественной оси. I. Теория функций, функциональный анализ.