Применения метода усреднений и теории пространств Орлича к уравнениям вязкой жидкости

В диссертации излагается применение теории пространств Орлича и метода усреднений к решению краевых задач, возникающих в нелинейном движении вязких жидкостей. Рассматриваются следующие вопросы.

• Аппроксимация слабого предела в пространствах Орлича и уравнения Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости.

• Теорема существования и единственности энтропийного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка.

• Существование обобщенного решения краевой задачи для двумерных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости в приближении мелкой воды.

1. Модель Навье-Стокса сплошной среды.

В механике сплошной среды одной из наиболее известных и интересных является модель Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости, которая имеет вид (см. [1],[2]): div (pu) = О, Pift +(u-V)u) = divP + pf. В системе (1) приняты следующие обозначения: р— плотность жидкости, й— скорость, /— заданные внешние массовые силы, Р— тензор напряжений, операторы div и V суть дивергенция и градиент по пространственным переменным х, a t— время. В декартовой системе координат г— я.

П др компонента вектора divР равна где п— число пространственных j=i J переменных.

Исследование разрешимости системы (1) началось с результатов о локальном по времени существовании и единственности классических решений. Это работы J. Serrin’a [3] 1959 года и J. Nash’a [4] 1962 г. Первый поставил основные начально-краевые задачи для уравнений вязкой сжимаемой жидкости и доказал единственность их классических решений. Второй установил локальное существование классического решения задачи Коши. Несколько усовершенствовали эти результаты N. Itaya [5] в 1970 г. и Вольперт с Худяевым [6] в 1974 году. Для смешанных задач разрешимость в малом получена A. Tani [7] в 1972 году и В.А. Солонни-ковым [8] в 1976;м.

Первые результаты о глобальной разрешимости (1) появились на рубеже 1960;70-х годов и затрагивали одномерные движения с плоскими волнами (см. Я. И. Канель [9]), для более общей модели теплопроводной жидкости, это работы А. В. Кажихова, В. В. Шелухина, N. Itaya, В. А. Вайганта, и других авторов [9]-[20] (см. также книгу С. Н. Антонцева, А. В. Кажихова, В. Н. Монахова [21] и литературу, указанную в ней). Глобальная разрешимость многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды является на данный момент очень актуальной проблемой далекой от своего полного решения. Поэтому важное значение имеет каждый результат, касающийся того или иного подхода к многомерному случаю. Одним из подходов является изучение более простых моделей. Наиболее известные из них — это квазистационарная модель и модель в приближении Стокса. Эти приближения исследуются в публикациях С. Bernardi and O. Pironneau (1991 год) [22], А. В. Кажихова [23], А. Е. Мамонтова [24], В. А. Вайганта [25], Lu Min, A.V. Kazhikhov and Seiji Ukai [26] и др.

Для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости (газа), без каких-либо упрощений, вопрос о глобальной разрешимости рассматривался в работах М. Padula [27], P.L. Lions [28],[29], В. А. Вайганта и А. В. Кажихова [30], Е. Feireisl [31] и некоторых других.

В океанографии используется приближение уравнений Навье — Стокса, называемое приближением мелкой воды. Оно получается из общей системы при помощи ассимптотического анализа в предположении, что в области течения глубина много меньше ширины. Подробнее о таком анализе можно прочитать, например, в [32]. Приближение мелкой воды в нашем случае заключается в замене уравнения для вертикальной составляющей скорости на уравнение гидростатики. Первым кто предложил этот приём был, по-видимому, Н. Е. Кочин [33].

В трехмерном случае, когда по одной из координат закон сохранения импульса имеет гидростатический вид, а давление постоянно, разрешимость этой задачи была исследована В. И. Сухоносовым [34]. В случае несжимаемой жидкости задача корректности модели мелкой воды рассматривалось в работах [35]-[37]. Несмотря на успехи описанные выше для общей системы уравнений Навье-Стокса сжимаемой среды, разрешимость уравнений приближения мелкой воды в этом случае пока изучена мало.

Что касается проблемы разрешимости уравнений вязкой несжимаемой однородной жидкости, которые получаются из (1) в предположении р = const, то этой модели посвящено большое число работ. Одни из первых были работы J. Leray [38]-[40], о существовании классических решений (опубликованы в 1933;34 годах). Е. Hopf [41] в 1950 установил существование в целом по времени слабого решения, но класс, в котором были построены решения, оказался слишком широким, чтобы показать единственность. Указать классы, в которых имеется единственность, удалось О. А. Ладыженской. В начале 1960;х гг. В. А. Солонников и К. К. Головкин усовершенствовали результаты Е. Hopf’а (см. [42]-[43]). О. А. Ладыженская доказала существование и единственность в. целом по времени решений краевых задач для двумерной системы уравнений вязкой несжимаемой жидкости [44]-[45], трехмерной с осевой симметрией [46] и глобальную разрешимость трехмерной системы общего вида с вязкостью, являющейся растущей функцией от инвариантов тензора скоростей деформаций [47]. Эти результаты изложены в монографии О. А. Ладыженской [48].

2. Квазилинейное гиперболическое уравнение первого порядка.

Многочисленные применения в математической физике имеет скалярный закон сохранеия.

Изучению этого квазилинейного уравнения первого порядка посвящено множество работ (см. например, [49]-[52]). О результатах для систем таких уравнений можно ознакомиться в [54]-[56].

Кружковым С.Н. в [49] была построена нелокальная теория обобщенных решений задачи Коши для уравнения (2) в классе ограниче-ных измеримых функций. От функций /г требовалось, чтобы они были непрерывны вместе с производными /w, ftuXj, flXiXj, а функции /ш (£, х, и) и /гхг (^, х, и) ограничены в области определения. В работе [50] изучена задача Коши для (2) в классе локально — суммируемых функций в предположении, что /г (и) не зависят явно от ж и являются равномерно непрерывными в R. Что существенно ограничивает рост рассматриваемых нелинейностей.

Математические проблемы механики сплошных сред всегда сопряжены с задачами математического анализа, общей теорией дифференциальных уравнений и другими разделами математики. Теория пространств Орлича также имеет применение в задачах механики см. [20], [24], [57].

Пространства Орлича-это нормированные пространства, частным случаем которых являются пространства Лебега Lp. Впервые были введены В. Орличем в [58]. В настоящее время они применяются в различных разделах математики. Наиболее подробно и систематически пространства Орлича были впервые описаны в [59] Красносельским М. А. и Ру-тицким Я. Б. Ими же были доказаны многие основные положения общей теории данных пространств. Выяснилось, что пространства Орлича во многих отношениях подобны пространствам Лебега. В этой же книге авторы показали преимущество использования этих пространств при изучении некоторых нелинейных уравнений. О современном положении теории пространств Орлича можно судить по работам С. И. Похожаева [60], A. Cianchi [61], Б. В. Трушина [62].

Диссертация состоит из трех глав, каждая из которых разбита на разделы. Нумерация определений, формул, утверждений и т. п.- своя в каждой главе.

В первой главе доказано, что слабый предел некоторой последовательности функций в пространстве Орлича может быть аппроксимирован в сильном смысле подпоследовательностью усредненных функций с радиусом усреднения, стремящимся к нулю достаточно медленно. Аппроксимация такого рода может быть использована для усиления сходимости последовательности приближенных решений уравнений в частных производных. В частности, для доказательства существования решений уравнений Навье-Стокса в [48] строится слабо сходящаяся последовательность решений. Указано, в каком смысле решения удовлетворяют уравнениям после усреднения. Следует отметить, что результаты этой главы являются обоснованием метода сглаживания, возникающего в вычислительной математике.

Глава два посвящена исследованию квазилинейного уравнения первого порядка. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Коши для (2) в предположении, что начальные данные принадлежат некоторому пространству ОрличаДм, а рост функций /г (£, х, и) ограничивается функцией порождающей это пространство. И, тем саз) мым, получены достаточные для существования решения ограничения на рост функций /г (?:с, у).

В третьей главе доказана глобальная разрешимость начально — краевой задачи для модели двумерной вязкой сжимаемой жидкости, в приближении мелкой воды: др д, , д, ч ди ди дич др. др ду р = р{р), дположительная константа. Движение происходит в ограниченной области Q = {(ж, у)|0 < х < 1,0 < у < h}. Краевые условия на границе О, выражаются соотношениями их=о = их=1 = О, — — I — п vy=0 = vy=h = 0.

В начальный момент t = 0 распределение горизонтальной составляющей скорости и плотности предполагается известным: u|t=o = щ (х, у), причем ро (х, у)~строго положительная и ограниченная функция:

0 < т < р0(х, у) < М < оо.

Все результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре академика РАН В. Н. Монахова и член — корреспондента РАН П. И. Плотникова, на семинаре профессора А. В. Кажихова, на.

5) и.

Международной научной студенческой конференции в 2000 г., на Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» Новосибирск, в 2004 г. и опубликованы в работах [69]-[73].

Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору А. В. Кажихову за ценные советы и поддержку в работе.

1. Седов Л. И. Механика сплошной среды / / т.1, М., Наука, 1970, 492 с.

2. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа / / М., Наука, 1970, 904 с.

3. Serrin J. On the Uniquiness of Compressible Fluid Motion / / Arch. Rational.Mech. Anal. 1959 v.3 № 3 p.271−299.

4. Nash J. Le problem de Cauchy pour les equations differentielles d’un fluide general / / Bull.Soc. Math/ France 1962 v90 № 4 p.487−491.

5. Itaya N. The Existence and Uniquiness of the Solution of the Equations Describing Compressible Viscous Fluid Flow./ / Proc. Jap. Acad. 1970, v46 № p.379−382.

6. ВоАъперт А. И., Худяев С. И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений./ / Мат. Сб. 1972 Т.87 № 4 с.504−528.

7. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion/ / Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1977. V.13 № 1. p.193−253.

8. Капель Я. И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа./ / Дифф. уравнения, 1968. № 4, с.721−734.

9. Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation/ / J. Math. Kyoto Univ. 1974. v.14, № 1, p.129−177.

10. Кажихов А. В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа./ / Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1976, Вып. 24, с.45−61.

11. Кажихов А. В., Шелухин В. В. Однозначная разрешимость «в целом» по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа./ / Прикл. математика и механика. 1977. т.41, № 2, с.282−291.

12. Белов С. Я. Разрешимость «в целом» по времени задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости./ / Краевые задачидля уравн. гидродинамики. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1981, с. З-14(Дин. сплош. среды, вып.50).

13. Шелухин В. В. Периодические течения вязкого газа./ / дин. неод. жидк. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1979. с.80−102(Дин. сплош. среды, вып.42).

14. Вайгант В. А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа. / / Матем. проблемы мех-ки сплош. сред. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1990. с.3−21 (Дин. сплош. среды, вып.97).

15. Вайгант В. А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа./ / Задачи механики сплош. среды со своб. границами. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1991. с.31−52 (Дин. сплош. среды-Вып.Ю1).

16. Веггао da Veiga Н. The stability of one-dimentional stationary flows of compressible viscous fluids/ / Ann. Inst. Henri Poincare, Anal. Non lineare, 1990, v.7, № 4,p.259−268.

17. Secchi P. On the stationary motion of compressible viscous fluids./ /Universita di Trento. Dipartamento di matematica 1991 (preprint 354).

18. Valli A., Zajaczkowski Ж. Л/.Navier-Stokes equations for compressible fluids: global existense and qualitative properties of the solutions in the general case./ /Comm. Math. Phys., 1986, vl03, p.259−296.

19. Padula M. Existence and uniquiness for viscous steady compressible motions/ / Arch. Rat, Mech. Anal., 1987, v97, № 2, p.89−102.

20. Антонцев C.H., Кажихов А. В., Монахов B.H. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей./ / Новосибирск, Наука, Сиб. отд., 1983, 315 с.

21. Bernardi СPironneau О. On the shallow water equation at low Reynolds number./ /Comm. Partial. Differential Equations, 1991. v.16,№ 1, p.59−104.

22. Кажихов А. В. Уравнения потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Существование, единственность и стабилизация решений./ / Сиб. мат. журн. 1993. Т.34. № 3. с.70−80.

23. Мамонтов А. Е. Пространства Орлича в проблеме существования глобальных решений многомерных уравнений вязкой сжимаемой нелинейной жидкости./ / Диссертация на соискание ученой степени кандидата наук. Новосибирск. 1997. 78с.

24. Вайгант В. А., Кажихов А. В. Глобальные решения уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. / / Дифферен. уравнения. 1994. Т.ЗО. № 6. С.1010−1022.

25. Ьи Мгп, A.V. Kazhikhov, Seiji Ukai Global solutions to the Cauchy problem of the Stokes approximation equations for two-dimensionalcompressible flow. / / Science Bull, of Josai Univ. Sp. Issue. 1998. № 5. p.155−174.

26. Padula M. Existece of global solutions for two-dimentional viscous compressible flows./ / J. Func. Anal. v.69. № 1. p.1−20.

27. Lions P.L. Existence globale de solutions pour les equations de Navier-Stokes compressible isentropiques./ / C.R. Acad. Sci. Paris. 1993 v.316. p.1335−1340.

28. Lions P.L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Compressible Models, (v.2) / / Oxford, 1998, 349p.

29. Вайгант В. А., Кажихов А. В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости./ / Докл. РАН. 1997, т.357, № 4, с.445−448.

30. Feireisl Е. On the data dependence of solutions to the Navier-Stokes equations of compressible flow./ / Inst. Math. Czech. Acad. 1998.

31. Lewandowski R. Analyse Mathematique et Oceanographie./ / Massone. 1997.

32. Кочин H.E. Об упрощении уравнений гидромеханики для случая общей циркуляции атмосферы. / / Труды ГГО, вып. 4, 1936.

33. Сухоносов В. И. О разрешимости в целом трехмерной задачи динамики атмосферы. / / В сб.: Численные методы механики сплошной среды, т. 11, № 4, Новосибирск, 1980.

34. Brech D., Gullen-Gonzales F., Masmoudi N., Rodrigues-Bellido M.A. On the uniquiness for the two-dimensional primitive equation. / / Adv. Diff. Eqs. 2001.

35. Bresch D., Kazhikhov A., Lemoine J. On the two-dimensional hydrostatic Navier-Stokes equations./ / Universite Blaise Pascal, preprint.

36. Gullen-Gonzales F., Masmoudi N., Rodrigues-Bellido M.A. Anisotropic estimates and strong solutions of the primitive equations./ / Diff. Int. Eq. 14. 11(2001), 1381−1408.

37. Leray J. Etude de diverses equations integrales non lineaires et de quelque problemes que pose l’hydrodynamique/ / J. Math. Pures Appl., serie 9, 12 (1933), p.1−82.

38. Leray J. Essai sur les mouvements plans d’un liquide visqueux que limitent des parois/ / J. Math. Pures Appl., serie 9, 13(1934), p.331−418.

39. Leray J. Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace/ / Acta Math.63(1934), p. 193−248 .

40. Hopf E. Uber die Anfagswertaufgabe fur die hydrodynamischen Grundgleichungen/ / Math. Nachrichten, 4,(1950;51), p.213−231.

41. Головкин К. К. О решениях нестационарной краевой задачи для уравнений Навье-Стокса./ / Тр. МИАН СССР, 59(1960), 100−114.

42. Солонников В. А. Оценки решений нестационарной линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса./ / Тр. МИАН СССР, 70 (1964), 213−317.

43. Ладыженская О. А. Решение «в целом» краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в случае двух пространственных переменных./ / ДАН СССР, 123 (1958), 427−428.

44. Ладыженская О. А. О единственности и гладкости обобщенных решений уравнений Навье-Стокса./ / Зап. науч. сем. ЛОМИ 5(1967), 169−185.

45. Ладыженская О. А. Об однозначной разрешимости в целом трехмерной задачи Коши для уравнений Навье-Стокса при наличии осевой симметрии./ / Зап. науч. сем. ЛОМИ, 7(1968), 155−177.

46. Ладыженская О. А. О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов скоростей./ / Зап. Науч. Сем. ЛОМИ, 1968, 7, с.126−154.

47. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. / / М., Наука, 1970, 288 с.

48. С. Н. Кружков, Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными,/ / Матем. сб., нов. сер., 81, вып. 2 (1970), 228−255.

49. Е. Ю. Панов, О задаче Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе локально-суммируемых функций,/ / Успехи мат. наук, 220, № 1 (1988), 205−206.

50. П. А. Андреянов, Задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в классе локально-суммируемых функций,/ / Вестник МГУ, № 6, 1971, 42−47.

51. С. Н. Кружков, П. А. Андреянов, К нелокальной теории задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка в классе локально-суммируемых функций,/ / ДАН СССР, 220, № 1 (1975), 23−26.

52. A. Meirmanov, The Stefan problem, / / Berlin-New York, Walter De Gruyter, 1992.

53. Bressan A. Hyperbolic systems of conservation lawsthe one-dimensional Cauchy problem./ /Oxford: Oxford Univ. Press, 2000.

54. De-Xing Kong. Formation and propagation of singularities for 2*2 quasilinear hyperbolic systems./ / Trans. Amer. Soc. 2002. v.354, N8. p.3155−3179.

55. Похожаев С. И. О многомерных скалярных законах сохраненияю./ / Мат. Сб. 2003, т. 194. № 1, с.147−160.

56. Кажихов А. В., Шелухин В. В. Метод верификационной компактности./ / Актуальные проблемы современной математики. Т.2, 1996, изд-во НГУ, с.51−60.

57. Orlicz W. Uber eine gewisse Klasse von Raumen vom typus B, / / «Bull, intern. Acad. Pol. Ser. A» Cracovie, 1933.

58. Красносельский M.A. Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича./ / М. Физматгиз, 1958, 272 с.

59. Похожаев С. И. О теореме вложения Соболева в случае pl=n./ / Докл. научн. техн. конф. МЭИ. Секц матем. М: Изд. МЭИ. 1965, с.158−170.

60. Cianchi A. A sharp embedding theorem for Orlicz-Sobolev spaces. / /Indiana Univ. Math. J. 1996. V.45. p.39−65.

61. Трушин Б. В. Вложение пространства Соболева в пространство Орлича для области с нерегулярной границей./ / Мат. заметки.

62. Kazhikhov А. V. Approximation of Weak Limits via Method of Averaging with Applications to Navier-Stokes Equations./ / The Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Methods, Varenna, 2001 pp. 197−204.

63. R.J. DiPerna and P.-L. Lions Ordinary differential equations, Sobolev spaces and transport theory./ / Invent. Math., 98(1989), p. 511−547.

64. Смирнов В. И. Курс высшей математики т5. / / Москва 1959 г.

65. Matsumura A., Nishida Т. The initial value problem for the equation of motion of viscous and heat-conductive gases. / / J. Math. Kyoto Univ., 1980, v. 20, № 1, p.67−104.

66. Ладыженская О. А. Уралъцева H.H.Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа./ / М. Наука, 1973, 576 с.

67. Didier Brech, Alexandre Kazhikhov, Jerome Lemoine On the two-dimensional hydrostatic Navier-Stokes equations. / / Univ.B.Pascal, preprint.

68. Гатапов Б. В. Усреднение уравнений Навье-Стокса. / / Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» Новосибирск, 2000 г.

69. Гатапов Б. В. Об аппроксимации слабого предела в пространствах Орлича. / / Вестник НГУ, сер. «Математика, механика, информа-тика» Т.1, 2001 г., в.2, с.31−37.

70. Гатапов Б. В. Задача Коши для квазилинейного уравнения первого порядка в пространствах Орлича. / / Вестник НГУ, сер. «Математика, механика, информатика» Т.2, 2002 г., в. З, с.3−10.

71. Гатапов Б. В., Кажихов А. В. Модель сжимаемой вязкой жидкости в приближении мелкой воды. / / Тезисы докладов Всероссийской конференции «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение.» Новосибирск, 2004 г.