Теоремы о минимуме модуля и множество Фату целой функции с лакунами

§ 1. Краткая история вопроса и исследуемые проблемы.

Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнений, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Существенный вклад в развитие данного направления внесли такие математики, как Э. Борель, А. Виман, Полна, а также У. Хейман, В. Фукс, Т. Ковари, А. Ф. Леонтьев, М. Н. Шеремета, A.M. Гайсин и другие.

Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих условию.

ОС 1 <00. (0.1).

В этом случае говорят, что последовательность {рп} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция.

00 f (z)=^cnzn (0.2) п=1 имеет лакуны Фейера, если последовательность S (f) = {п: сп ф 0, п ^ 1} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (0.2) есть лакунарный степенной ряд вида оо f (z) = YlanZPn (Рп G N' 0 < ^ t оо, ап — сРп Ф 0). (0.3) п=1.

Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [1]. Е.

Этот интересный факт и другие соображения всегда наводили на мысль о наличии у целых функций /, заданных рядами (0.3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение многих лет (см. обзор, например, в [2]). Отметим, что условие (0.1) естественно появляется в случае, когда изучаются целые функции вида (0.3) в самой общей ситуации, то есть без никакого ограничения на рост.

Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями.

Естественно возникает задача об изучении асимптотики степенных рядов или рядов Дирихле в зависимости от их роста на тех или иных неограниченных континуумах, отличных от плоскости. Одна из таких задач, где в качестве континуума берется кривая, для рядов (0.3) впервые была рассмотрена Полна в [3]. При этом предполагалось, что сумма ряда имеет конечный порядок.

Им же в [3] была сформулирована гипотеза: если сумма / ряда (0.3) имеет конечный порядок и п = о (рп) при п —> оо, то.

1пш (г, /) lim -———— = 1, г->.оо тМ (г, j) где М (г, /) = max f (z) и т (г, /) = min f (z). z=r z=r.

Гипотеза Полиа была доказана Фуксом [4]. Однако оставался открытым вопрос о существенности условия п = о (рп) при п —> оо. Для целых функций, конечного и конечного нижнего порядка задача полностью решена Скаскивым О. Б. в [5]. В работе ГайсинаА.М. [6] эти результаты полностью перенесены на целые ряды Дирихле с положительными показателями, где предложен новый подход к данной задаче.

Задача Полиа, когда функция f (z) имеет бесконечный нижний порядок, представляет собой сложную проблему. При различных достаточных условиях на последовательность {рп} эта задача была решена Т. Ковари [7], У. Хейманом [8], СкаскивымО.Б. [9]. Наконец, в [10] было найдено существенно слабое, но достаточное условие на последовательность {рп}, при выполнении которого вне некоторого исключительного множества нулевой логарифмической плотности при г —у ос верно асимптотическое равенство.

1п М (г,/) = (1 + о (1)) 1п га (г, /). (0.4).

В настоящей диссертации ставится задача: найти неулучша-емые условия на последовательность {рп}, при выполнении которых для любой функции / вида (0.3) выполнялось бы равенство типа (0.4).

Другая задача связана: с, исследованием множества Фату целой трансцендентной функции бесконечного порядка, представленной рядом (0.3). Здесь проблема состоит в том, чтобы найти оптимальные условия на {^п}, при которых любая компонента множества Фату целой функции вида (0.3) ограничена.

Исследование множеств Фату 7 Г (/) для функций вида (0.3) теснейшим образом связано с первой задачей и с рядом известных классических проблем. В течение всего XX века появилось огромное количество статей, касающихся значений Пикара, борелевских и асимптотических значений, направлений Жюлиа, проблем о связи максимума и минимума модуля, а также распределения значений целых функций с различными лакунарными условиями (см., например, работы [1]-[17], где содержится достаточно полная информация по данным вопросам).

Задачей об ограниченности компонент множества Фату целой трансцендентной функций (конечного и бесконечного) порядка с лакунами определенного вида занимался Ванг [18]. В его работе указаны достаточные условия на последовательность {рп}, при выполнении которых множество Фату функции вида (0.3) не имеет неограниченных компонент. Тот факт, что эти условия непосредственно связаны с асимптотическим поведением суммы ряда (0.3), позволяет применить результаты исследований по предыдущей задаче, и снова возникает вопрос о возможности максимально усилить соответствующие теоремы.

В настоящей диссертации первая из поставленных задач для целых трансцендентных функций произвольного роста, заданных рядами (0.3), решена полностью. Оказывается, первая задача допускает более общую постановку (как для рядов (0.3), так и для рядов Дирихле). Она заключается, д. том, что (для рядов (0.3)) величина ш (г, /) определяется по некоторым «незначительно деформированным окружностям». В этом случае найдены необходимые и достаточные условия на последовательность {рп} для того, чтобы для любой функции / вида (0.3) было справедливо равенство типа (0.4).

А этот результат оказался существенным для получения ответа и на вторую задачу. Отметим, что в обоих случаях на рост исследуемой функции никаких ограничений не накладывается.

Для интерпретации условий теорем дано наглядное геометрическое описание основных характеристик распределения точек последовательности показателей ряда (0.3), а также ряда Дирихле, применяемых в подобных исследованиях.

Показано, что условие лакунарности по Фейеру является и необходимым для того, чтобы для любой целой функции / вида (0.3) каждая компонента множества Фату была ограничена.

Доказанные в диссертации основные теоремы обобщают и усиливают все ранее известные результаты, в том числе Гайсина A.M. [10], а также Ванга [18].

Основные результаты диссертации опубликованы в [19]—[22].

Все результаты данной работы получены под непосредственным руководством A.M. Гайсина, которому выражаю глубокую признательность.

1. Fejer L. Uber die Wurzel vom kleinsten absoluten Betrage einer algebraischen Gleichung // Math. Ann. — 1908. — P. 413−423.

2. Гайсин А. M. Оценки роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых // Матем. сб. — 2003. — Т. 194, № 8. С. 55−82.

3. Polya G. Untersuchungen uber Luchen und Singularitaten von Potenzreihen // Math. Z. 1929. — Vol. 29. — P. 549−640.

4. Fuchs W. H. J. Proof of a conjecture of G. Polya concerning gap series // Illinois J. Math. 1963. — Vol. 7. — P. 661−667.

5. Skaskiv О. B. On the Polya conjecture concerning the maximum and minimum of the modulus of an entire function of finite order given by a lacunary power series // Anal. Math. — 1990. — Vol. 16, no. 2. P. 143−157.

6. Гайсин A. M. Об одной гипотезе Полна // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. — Т. 58, № 2. — С. 73−92.

7. Kovari Т. A gap theorem for entire functions of infinite order // Michigan Math. J. 1965. — Vol. 12, no. 2. — P. 133−140.

8. Hayman W. K. Angular value distribution of power series with gaps 11 Proc. London Math. Soc. 1972. Vol. 24, no. 3. — P. 590 624.

9. Скаств О. Б. Припущения Макштайра про вщсутшсть сюн-ченних асимптотичних значень у щло'1 функци з лакунами Фейера // Вюник Льв1вського университету. Сер1я механжо-математична. — Т. 28. 1987. — С. 80−81.

10. Гайсин А. М. Об одной теореме Хеймана // Сиб. матем. журн. 1998. — Т. 39, № 3. — С. 501−516.

11. Biernacki M. Sur les equations algebriques contenant des parametres arbitraires / / Bull. Int. Acad. Polon. S ci. Lett. Ser. A. — 1927. Vol. III. — P. 542−685.

12. Anderson J. M., Clunie J. Entire functions of finite order and lines of Julia // Math. Z. 1969. — Vol. 112. — P. 59−73.

13. Kovari T. On the Borel exceptional values of lacunary integral functions 11 J. Analyse Math. 1961. — Vol. 9. — P. 71−109.

14. Macintyre A. J. Asymptotic paths of integral functions with gap power series // Proc. London Math. Soc. — 1952. — Vol. 2, no. 2. — P. 286−296.

15. Sons L. R. An analogue of a theorem of W.H.J. Fuchs on gap series 11 Proc. London Math. Soc. 1970. — Vol. 3, no. 21. — P. 525 539.

16. Anderson J. M., Binmore K. G. Coefficient estimates for lacunary power series and Dirichlet series II // Proc. London Math. Soc. — 1968. Vol. 3, no. 18. P. 49 68.

17. Murai T. The deficiency of entire functions with Fejer gaps // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1983. — Vol. 33, no. 3. — P. 39−58.

18. Wang Y. On the Fatou set of an entire function with gaps // Tohoku Math. J. 2001. — Vol. 53, no. 1. — P. 163−170.

19. Гайсин A. M., Рахматуллина Ж. Г. Вещественные последовательности, лакунарные в смысле Фейера // Уф. матем. журн. 2010. — Т. 2, № 2. — С. 27−40.

20. Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Поведение минимума модуля ряда Дирихле на системе отрезков // Уф. матем. журн. — 2010.-Т. 2, № З.-С. 37−43.

21. Рахматуллина Ж. Г. Множество Фату целой функции с лакунами Фейера // Уф. матем. журн. — 2011.— Т. 3, № 3.— С. 120−126.

22. Гайсин А. М., Рахматуллина Ж. Г. Оценка суммы ряда Дирихле через минимум модуля на вертикальном отрезке // Матем. сб. 2011. — Т. 202, № 12. — С. 23−56.

23. Littlewood J. Е. A Mathematician’s Miscellany.— London: Methuen, 1957.

24. Besicovitch A. S. Uber die Beziehung zwischen dem Maximum und Minimum des Modulus einer ganzen. Funktion von der Ordnung < 1 // Bull. Acad. Sc. Russ. — 1924. — P. 17−28.

25. Polya G. On the minimum modulus of integral functions of order less than unity // J. London Math. Soc. 1926. — Vol. 1. — P. 7886.

26. Еременко А. Э., Любич M. Ю. Динамика аналитических преобразований // Алгебра и анализ. — 1989. — Т. 1, № 3. — С. 1−70.

27. Baker I. N. The iteration of polynomials and transcendental entire functions // J. Austral. Math. Soc. Ser. A.— 1981. Vol. 30.-P. 483−495.

28. Bhattacharyya P. Iteration of analytic functions: Ph.D. thesis. — University of London, 1969.

29. Stallard G. M. The iteration of entire functions of small growth // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1993. — Vol. 114. — P. 43−55.

30. Anderson J. M., Hinkkanen A. Unbounded domains of normality // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. — Vol. 126. — P. 3243−3252.

31. Титчмарш E. Теория функций. — M.: Наука, 1980. — 463 с.

32. Юсупова Н. Н. Асимптотика рядов Дирихле заданного роста: Дисс.. канд. физ.-мат. наук. — Уфа: БашГУ, 2009.

33. Евграфов М. А. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле // УМЕ. 1962. — Т. 17, № 3(105). — С. 169−175.

34. Гайсин А. М. Оценка ряда Дирихле, показатели которого нули целой функции с нерегулярным поведением // Машем, сб. — 1994. Т. 185, № 2. — С. 33−56.

35. Красичков-Терновский И. Ф. Интерпретация теоремы Берлинга-Мальявена о радиусе полноты // Матем. сб. — 1989. — Т. 180, № 3. — С. 397−423.

36. Хейман У. К. Мероморфные функции. — М.: Мир, 1965. — 287 с.

37. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. — М.: Наука, 1976.

38. Коровкин П. П. Неравенства. — М.: Наука, 1983. — 72 с.

39. Cioranescu I., Zsido L. A minimum modulus theorem and applications to ultra differential operators // Arkiv for matematik. — 1979. — Vol. 17, no. 1. P. 153−166.

40. Кацнелъсон В. Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением // Функц. анализ и его прил. — 1976. — Т. 10, № 4. С. 35−44.

41. Красичков И. Ф. Оценки снизу для целых функций конечного порядка // Сиб. матем. журн. — 1965. — Т. 6, № 4. — С. 840−861.

42. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. — М.: Го-стехиздат, 1956. — 632 с.

43. Korevaar J., Dixon М. Interpolation, strongly nonspanning powers and Macintyre exponents // Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. ~ 1978. Vol. 40, no. 2. — P. 243−258.

44. Berndtsson B. A note on Pavlov — Korevaar — Dixon interpolation 11 Nederl. Akad. Wet. Indag. Math. 1978. — Vol. 40, no. 4. -P. 409−414.

45. Гайсин A. M. Асимптотическое поведение суммы целого ряда Дирихле на кривых // Исследования по теории приближений, Уфа, ВИЦ УрО АН СССР. 1989. — С. 3−15.

46. Гайсин А. М. Условие Левинсона в теории целых функций. Эквивалентные утверждения // Матем. заметки. — 2008. — Т. 83, № 3. С. 350−360.

47. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. — М.: Наука, 1970.

48. Стрелиц Ш. И. Асимптотические свойства аналитических решений дифференциальных уравнений. — Вильнюс: Минтис, 1972.

49. Гайсин А. М. Асимптотические свойства функций, заданных рядами экспонент: Дисс.. докт. физ.-мат. наук. — Уфа: Ин-т ма-тем. с ВЦ УНЦ РАН, 1994.

50. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985.

51. Бойчук В. С. О некоторых свойствах уточненного порядка // Сиб матем. журн. 1979. — Т. 20, № 2. — С. 229−236.

52. Шеремета М. Н. Асимптотические свойства функций, заданных степенными рядами и рядами Дирихле: Дисс.. докт. физ.-мат. наук. — Львов: Львовский гос. ун-т им. Ив. Франко, 1985.

53. Шеремета М. Н. Аналоги теоремы Вимана для рядов Дирихле // Матем. сб. 1979. — Т. 110 (152), № 1. — С. 102−116.

54. Seidman Т. I., Gowda М. S. Norm dependence of the coefficient map on the window size // Math. Scand1993.— Vol. 73.— P. 177−189.

55. Binmore K. G. A density theorem with an application to gap power series // Trans. Amer. Math. Soc.— 1970.— Vol. 148, no. 2.— P. 367−384.

56. Redheffer R. M. Completeness of sets of complex exponentials // Advances in Mathematics. — 1977. — Vol. 24. — P. 1−62.

57. Turan P. Eine neue Methode in der Analysis und deren Anwendungen. — Budapest: Akademiai Kiado, 1953.

58. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. — М.: Наука, 1980.

59. Говоров Н. В. Об оценке снизу функции, субгармонической в круге // Теория функций, функц. анал. и их прил., Харьков. — 1968. — № 6. — С. 130−150.

60. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала, — М.: Наука, 1966.

61. Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. 238 с.

62. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1984. — 320 с.

63. Milnor J. Dynamics in one complex variable: Introductory lectures. — Friedr. Vieweg & Sohn. Braunschweig, 1999.

64. Baker I. N. The domains of normality of an entire function // An. Acad. Sci. Fen. Ser. A. I. Math. 1975. — Vol. 1. — P. 277−283.