О точности аппроксимации нормальным распределением и асимптотическими разложениями в терминах псевдомоментов

1 Неклассические оценки скорости сходимости в ЦПТ в Rd 22.

1.1 Формулировка результатов.23.

1.2 Обсуждение.24.

1.3 Доказательство.27.

2 Неклассические оценки точности аппроксимации короткими асимптотическими разложениями Эджворта в К1 56.

2.1 Формулировка результатов.57.

2.2 Доказательство.58.

3 Неклассические оценки точности аппроксимации асимптотическими разложениями Бергстрема в R1 76.

3.1 Формулировка результатов.78.

3.2 Доказательство.79.

А Вспомогательные леммы 93.

Литература

96.

Обозначения.

Для х, у € ж| — евклидова норма х, (х, у) — скалярное произведение х и у.

Для V = (%) G Rdxd V | — определитель V, tr V — след V, У|| — максимальное собственное значение V, VlJ | — алгебраическое дополнение к элементу г^.

Id ~ единичная матрица размера d х d Для, А С Md, х е и е > О ж, Л) = ini[х-у, уйА.

А£ = {х €: р (яг, Л) < е}, Ве (х) = {*}', А'£ = {х е, А: Ве{х) С А}.

Для функции /: —> Ж, имеющей непрерывную производную порядка к, х е Md и h е Шк д (Е т= 1.

Для неотрицательно определенной симметрической матрицы V? Rdxd Nv, Фу и т/у — нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей V, соответствующая ему функция распределения и плотность. Кроме этого, будем использовать обозначения N, Ф и rj для N/d, Ф/[(и ijid соответственно, если размерность d понятна из контекста.

Цх* ~ свертка двух конечных обобщенных мер //А и на W.d. fx — характеристическая функция случайного вектора X.

X = Y означает, что случайные векторы X и Y имеют одинаковое р аспредел ение. с, с, (г € N) — положительные постоянные. Через с (.), будем обозначать величины, зависящие лишь от аргументов, указанных в скобках. Значения постоянных с, с (.) в разных местах могут быть различны.

Рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. ., Хп с общей функцией распределения F таких, что.

EXi = О и, а = EXl е (О, оо) здесь и далее мы используем в обозначениях в одинаково распределенном случае нижний индекс i, чтобы сохранить общность с обозначениями в общем случае). Обозначим через.

F[n] функцию распределения нормированной суммы Xi,., Хп,.

FW (x) = • (л)" 1 • (Хг +. + Хп) < ж).

Тогда, в соответствии с центральной предельной теоремой, для всех х € Ш. имеет место сходимость.

FM (x) —> Ф (ж). (1) п—>оо.

Первая оценка скорости этой сходимости принадлежит А. М. Ляпунову [59], [60], показавшему, что.

Ф ад,.

Г. Крамеру [49] удалось убрать логарифмический множитель при дополнительном предположении, что характеристические функции слагаемых удовлетворяют так называемому условию Крамера, limsup |/i (i)| < 1, ©.

ItHoo исключающему, например, дискретные распределения. Наилучший результат был независимо получен Э. Берри [43] и К.-Г. Эссееном [52], которые избавились от последнего предположения. Знаменитое неравенство Берри-Эссеена имеет вид sup Ф (Х)| < -JL. Щ1у (2) жек Vn ai где порядок сходимости у/п не может быть далее улучшен без дополнительных предположений. Это демонстрирует следующий пример. Пример 1. Пусть п б 2N. Рассмотрим независимые одинаково распределенные случайные величины ., Хп такие, что.

Р (Хг = 1) = Р (Х, = -1) = ½.

Тогда EXi = 0, а = 1, а — дискретная функция распределения со скачком в точке 0, равным р («?хк = о) =.

4fc=1 J п JL п/2у 2″ '.

Используя формулу Стирлинга, получим.

Н (0)ф (0)| > п.

Кп/2 J 2″ +! vW откуда следует, что в окрестности точки 0 функцию нельзя аппроксимировать никакой непрерывной функцией с точностью, превышающей.

Обобщения неравенства Берри-Эссеена на многомерный случай, на случай независимых, но не обязательно одинаково распределенных слагаемых, а также аналогичные оценки при более слабых моментных условиях (когда абсолютный третий момент не существует, но существует абсолютный момент меньшего порядка) были получены, в частности, К.-Г. Эссееном [53], X. Бергстремом [39], [40], [42], М. Кацем [56], В. В. Сазоновым [65], В. И. Ротарем [18] и А. Бикялисом [4]. См. также обзоры в [54], [16] и [25]. Поскольку всегда.

E|Xi|3 1, то правая часть (2) может быть мала лишь за счет п. Это означает, что неравенство Берри-Эссеена учитывает только один фактор, обуславливающий близость функций и Ф — большое число слагаемых п. Однако уже П. Леви [58] было замечено, что sup |F[nlO) — Ф (ж)| < п ¦ sup Fi (x) — Ф (Т2(ж)|, xSR жек откуда следует, что функции F^ и Ф могут быть близки и при небольших 7?, если распределение самих слагаемых близко к нормальному. В частности, если случайные величины Х,., Хп нормально распределены, то = Фи левая часто неравенства (2) равна нулю для всех п > 1, в то время как правая часть лишь убывает к нулю как с/у/п.

Оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме, принимающие во внимание не только первый, но и второй из указанных факторов, называются неклассическими. Первая такая оценка была получена В. М. Золотаревым [6], где для учета близости функций F и Фа2 он использовал абсолютный третий псевдомомент,.

3,1 = J M3|FiФ^ки-с). (3) R вместо абсолютного третьего момента Х. Результат В. М. Золотарева имел следующий вид: s|fW (x)-4(1)1 (4).

Заметим, что в случае нормального распределения слагаемых z/3)1 = 0, и, следовательно, правая часть неравенства (4) также равна нулю. Кроме этого, важно отметить, что всегда зд < 3 — Ej^xl3.

Порядок сходимости 771/8 в оценке (4) не является оптимальным. Первая неклассическая оценка с правильным порядком сходимости была получена В. Паулаускасом [12]. Он показал, что sup jФ (Ж)| < ° • max ted (^)¼). (5) жбК Vn V а1 V ' /.

Если ^зд/о-! < 1, то правая часть (5) примет вид с/у/п • (изд/сг^)¼. Поскольку этот случай представляет из себя наибольший интерес, то естественно поставить вопрос о том, можно ли повысить показатель ¼. Следующий пример, построенный В. М. Золотаревым [70], показывает, что при п = 1 этого сделать нельзя.

Пример 2. Пусть е > 0. Рассмотрим случайную величину Х с функцией распределения F, определенной следующим образом ад =.

½, if 0 < х < ае, Ф (е), if ае < х < е, Ф (х), if х > е, и Fi (x) = 1 — Fi (—х) для х < 0. Здесь a G (0,1) — единственное решение уравнения.

2.

ЧФ (х) = (ае)2 ¦ J <*Ф (ж).

J1 о о.

Заметим, что при таком определении а.

Тогда для е < 1 получим sup — Ф (аО| > = as) = [ d<$>(x) > с, ¦ е, хек ^ * J о в то время как? 1/3,1 = (ае)3 • 2 J <1Ф (х) + 2 J х3йФ{х) < с2 • е4. о о.

Следовательно, sup | Fx (ж) — Ф (.т)| > 4 т? •.

Однако, показатель псевдомомента в оценке (5) может быть существенно повышен при п > 1. В. В. Ульяновым [28] было показано, что sup |FHW — ФМ1 < «. max (Ъ. (6) хек Vn, а 4 ai ' J.

Следующий пример, обобщающий пример 2, демонстрирует, что показатель min (n/4,1) в (6) неулучшаем при п < 4.

Пример 3. Рассмотрим независимые случайные величины Ху,.:., Хп, имеющие общую функцию распределения Fx из примера 2. Тогда для е < 1 sup|Flnl (.r) — Ф (ж)| > |FW (aeVn) — Ф (аеу/п) >i (P (X1 = as))" ci-е)" cl • Ы/с2)п/ где ci и С'2 — постоянные из примера 2.

Теперь перейдем к рассмотрению более общего случая, а именно — откажемся от условия, что слагаемые Х,., Хп распределены одинаково. Обозначим через Fk функцию распределения Хк и предположим, что а2к = ЕХ1<�оо, к = 1,., п и si = at +.. + а2п > 0.

Как и ранее, пусть F^ обозначает функцию распределения нормированной суммы случайных величин Х,., Хп, х) = Р {s~l ¦(Х1 +. + Хп)<�х).

Для к — 1,., п введем 3-й псевдомомент Хк, J x3Fk;

V\ = к=1 а! +. + а3п.

С. В. Нагаевым и В. И. Ротарем [9] была получена оценка sup^N (3) ф (х) < с. тах (ъ,. Ь3А, (8) x6R sn ysn/ J обобщающая результат В. Паулаускаса (5) для одинаково распределенного случая (заметим, что тогда L = 1/у/п = пу/п • erf). В. В. Ульянов [28] позднее улучшил эту оценку. Он показал, что вчр^Нф — Ф (а:)| < с — max (Ц, ^V¹'2^. jrx/a-a+a—Л, (9) хбМ sn ^Sn') где.

Q =.

7? +. + а2п maxi.

10).

Поскольку q > 1, то всегда.

½- (1 — 2~q) > ¼.

Однако, если Хг,., Хп имеют одинаковое распределение, то q = п и из (9) получим оценку xeR Vn al х<71/ J которая не является оптимальной при п > 2 в силу (6). Добавим также, что В. В. Ульяновым [29] было объявлено следующее улучшение (9) 1>-А /Ы'Л min (g/4,l) г 1″ '{Х) — ь с • max [ жбК supFM (x) — Ф (х-)| < с • шах (% (Щ) tpr si si / очевидно обобщающее результат (6).

Теперь перейдем к многомерному случаю. Пусть d б N и для начала рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов ., Хп со значениями в JR.'1 с общим распределением Qi таких, что.

EXi = 0 и.

Щ = Cov (Xi) > 0. Введем 3-й псевдомомент вектора E^Xi,.

Рз, 1 = J (И) и обозначим через Q^ распределение нормированной суммы случайных векторов ., Хп, т. е.

• Sx)-1 • (Xi +. + Xn) e A) для борелевских, А С Md.

Первая неклассическая оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме была получена В. Паулаускасом в [13], где оценивалось максимальное отклонение распределения Q^ от стандартного нормального распределения N на классе d-мерных интервалов. В данной работе нас будут интересовать оценки близости и N на классе С выпуклых борелевских подмножеств В. Паулаускасом [14] было показано, что sup|QW (A)-N (^)| <^-тах (27з)Ь^/4). (12) лес л/п.

Очевидно, (12) обобщает результат (5) того же автора. Позднее В. В. Сазонов [66] улучшил показатель псевдомомента ¼ в (12), иолучив оценку sup QM (A) — N (>4)1 < ^ • max (F3li,^(^3)).

АеС у/п.

В. В. Ульянову [28] удалось далее повысить этот показатель. Он доказал, что sup IQM (A) — N (>1)| < ^ ¦ max (v3)l,(13) лес Vn где к{п, d) = min (l, ^з) • (14).

Очевидно, результат В. В. Ульянова (б) для d = 1 вытекает из (13). Кроме этого, заметим, что tc (n, d) = 1 при п > 4.

Следующее многомерное обобщение примера 3 демонстрирует оптимальность показателя K,{n, d) при nd/(d + 3) < 1 (см. также [67]). Пример 4. Пусть е > 0 и положим.

В = {ж е Rd: х < е}.

Рассмотрим последовательность независимых случайных векторов Х, ., Хп с общим распределением Qi, где d.

Qi (A) = N (А П Вс) + — ЩВ) ¦ 53(1А (ае • е5) + 1А (-ае ¦ е,)) з=1 для любого борелевского, А € Здесь ел,., с ({ - единичные векторы в, а а Е (0,1) — решение уравнения.

У |z|2N (cto) = (ас)2 -N (5). в.

Очевидно,.

EXi = 0 и = J х ¦ xTQ1(dx) = Id.

M.d.

Предположим, что е < 1. Тогда sup IQ™(A) — N (j4)| > i • • ae • ег}).

-(Qi ({ae-ei}))n ¦ (N (B)/(2d)r Ci (d, n) ¦ ?

Aec nd,.

I/3,i = (ae)3 • N (B) + J |z|3N (tb) < e3 • 2N (S) < c2(d, n) d+3.

Следовательно, supQM (A) — N (4)| > Cl (d, n) ¦ (РглЫа, лес.

Наконец, перейдем к наиболее общему случаю и рассмотрим последовательность независимых случайных векторов Xi,., Хп со значениями в Ш.'1 таких, что.

EXfc = 0, Е|Х*|а<�оо, к = 1,., п.

Обозначим через Qk распределение Х^ и положим.

ЕI = Cov (Xfc).

Предположим, что ntl и обозначим через Q^ распределение нормированной суммы ., Хп,.

QW{A) = P ((v^ • Е)-1 • (X! +. + хп) € А) для любого борелевского, А С Кроме этого, положим lE-^IQfc-N^Kcfe) (15) и определим 1/3 как сумму псевдомоментов 7/зд,., 1? з)П.

Первая неклассическая оценка близости распределений Q^ и /V в рассматриваемом общем случае была получена В. Паулаускасом [14], который показал, что suP|QH (^) -ЩА) < c (d) ¦ 4. (16) лес n^nJ.

Если слагаемые ., Хп распределены одинаково, то оценка примет вид supQ[n]{A) — N (A)| < ^ • (IT) лес п1'*.

Как следует из (13), порядок убывания п-1/8 не является правильным.

Кроме этого, показатель псевдомомента ¼ меньше оптимального для п > 1, см. (14).

Первый результат для общего случая с правильным порядком сходимости 1/л/п, в частном случае одинаково распределенных слагаемым был получен В. И. Ротарем [19], [20]. Фактически, объединенная с результатом В. Паулаускаса (16) оценка В. И. Ротаря может быть записана в следующем виде sup IQM (A) — N (A)| < C (d) ¦ max V®. £1−5:(5Л. (18).

AeC п/п пл/пУ J.

Мы не приводим здесь определений величин х, q и L (см. раздел 1.2). Отметим лишь, что всегда х (я) Е [¼, 1/3) и L € [1/у^ 1].

Во второй главе настоящей работы мы получаем оценку с асимптотически наилучшим на настоящий момент показателем суммы псевдомоментов, см. теорему 1.1 и [32]. А именно, мы показываем, что sup |<2[" ](Л) — N (, l)| < c (d) ¦ max (^Ох (<�г). Ь1-х (я) (19) лес ns/n пу/п/) с L и q определенными соответственно формулами (7) и (10), в которых of, ., заменены на sf,., s2n с s| = trCov (E1X*.), и ~ 1.

3 12 • 2 LsaJ '.

Мы доказываем, что.

1/з~Ш>12^+ДГ'М%/з-х (,)) (20) для достаточно больших q, откуда следует, что разность 1/3 — х (я) экспоненциально больше при g —" оо, чем разность 1/3 — x (l).

Результаты В. В. Ульянова для одномерных слагаемых (9) и для многомерных одинаково распределенных (13) указывают на то, что показатель суммы псевдомоментов х{я) не является оптимальным в общем случае. Мы предполагаем, что оценка (18) имеет место с показателем.

Xq) € [¼, 1], причем х*(о) — 1 Для достаточно больших значений q.

В заключение введения ко второй главе отметим, что для учета близости распределений слагаемых к нормальным распределениям в неклассических оценках наряду с псевдомоментами используются и другие характеристики — например, разностные моменты и идеальные метрики (см. напр. [70], [22], [28] или, подробнее, [69]). Кроме этого, неклассические оценки рассматривались и в более общих пространствах, в частности в работах В. М. Золотарева [7], В. Паулаускаса [15] и В. В. Сенатова [22] -[25].

Как уже отмечалось в начале этой главы, оценка (2) асимптотически неулучшаема. Однако, в частных случаях возможен более быстрый порядок сходимости, чем п-½. Для более точной аппроксимации функции рЫ строятся ее асимптотические разложения по степеням гГх1~.

Рассмотрим разложения Эджворта, которые берут свое начало уже с работ П. JI. Чебышева [48] и Ф. И. Эджворта [51].

Пусть Х., Хп — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с общей функцией распределения Fi, имеющих моменты любого порядка и таких, что.

ЕХ = О и aj = EXf > 0.

Обозначим через fi характеристическую функцию случайной величины Х и для reN определим ее кумулянт порядка г,.

1 dr, «, ft. где под log здесь и далее понимается главное значение логарифма. В частности,.

7i, x = 0, 72,1 = а2, 7зд = ЕХг3, 74,1 = ЕХ* - За4.

Формальное разложение логарифма характеристической функции нормированной суммы (л/п • cti)-1^! +. -г Хп) приводит к следующему формальному разложению соответствующей ей функции распределения и).

Г=1.

Здесь Pr — полином степени 3 г с коэффициентами, зависящими от 73>1) ., 7г+2,1 i, а показатели функции Ф интерпретируются как ее производные. К примеру,.

Р:(-Ф (®)) =.

7з, 1 «Ф (3)Н.

Заметим, что равенства =. = ог+2 = 0 влекут за собой Рг = 0.

Первый результат, устанавливающий сходимость разложения (21), был получен Г. Крамером [49]. Пусть к > 3, Предположим, что E|Xi|fc < оо, а характеристическая функция /i удовлетворяет условию ©. Тогда sup ceR.

Г=1 c (FbA-)-n-^-2)/2 (22).

К.-Г. Эссеен [53] уточнил (22), показав, что lim n (fc 2)/2 • sup 00 3, eR.

ФИ r=l 0.

23) в сделанных выше предположениях.

Оценки точности аппроксимации функции F^ асимптотическими разложениями в классическом случае формулируются в терминах абсолютных моментов слагаемых. Приведем, к примеру, следующий результат Л. В. Осипова [11]. Пусть к > 3 и EpTxl* < оо. Тогда sup ieR fc-2.

F[n](x) — Ф (ж) — ]Г.

— Ф (х)) r=l П.

72 (24) a¹ где Sn = Sn (k, F) сходится к нулю экспоненциально быстро, если для характеристических функций слагаемых выполнено условие Крамера ©. Близость функции FH и ее асимптотических разложений в оценке (24) обеспечивается только лишь за счет большого числа слагаемых п. Однако, эти функции могут быть близки и при небольших значениях п, если распределение слагаемых близко к нормальном}'. В частном случае нормально распределенных Х,., Хп все кумулянты порядка г > 3 равны нулю, и, следовательно, левая часть оценки (24) также равна нулю. Правая же часть (24) лишь сходится к нулю как. Для учета второго фактора в задаче аппроксимации асимптотическими разложениями так же, как и в задаче приближения нормальным распределением, могут рассматриваться неклассические оценки.

Во второй главе мы получаем оценку в терминах псевдомоментов для так называемых коротких (при г = 1) асимптотических разложений Эджворта. Мы показываем, что если E|Xi|3 < оо, то.

F™{x) — Ф (ж) — Рх (—Ф (ж))/л/п < К1/п + к2/п2 + 6п, (25) где 1 кг = щ + г/42,.

2 определяется величинами oi, и<�±д и E|Xi|3, а 5п = Sn (Fi) убывает к нулю экспоненциально быстро, если характеристические функции слагаемых удовлетворяют условию Крамера. Приведенная оценка сформулирована в следствии 2.1. В теореме же 2.1 мы получаем более общую оценку — для случая независимых, но необязательно одинаково распределенных слагаемых.

В третьей главе мы рассматриваем асимптотические разложения Берг-стрема и получаем неклассические оценки точности аппроксимации разложениями длины s, если абсолютный момент слагаемых порядка (s — 2) конечен. Аналогично предыдущей главе, результаты данной главы относятся к общему случаю независимых слагаемых.

Отметим, что неклассические оценки точности аппроксимации асимптотическими разложениями для одинаково распределенных слагаемых были получены А. Миталаускасом и В. Статулявичусом [8]. Таким образом, оценки глав 2 и 3 являются первыми неклассическими результатами для общего случая независимых слагаемых.

Асимптотические разложения Эджворта в общем случае независимых слагаемых, а также классические оценки точности аппроксимации ими были получены в частности Г. Крамером [50], В. Статулявичусом [26], П. Сурвилой [27], В. Пипирасом и В. Статулявичусом [17]. Многомерные обобщения разложений Эджворта и соответствующие оценки см., например, в работах Р. Ранга Рао [63], [64], Б. фон Бара [33], А. Бикялиса [3] и Р. Н. Бхаттачарии [44] — [46]. Мы ссылаемся на книги В. В. Петрова [16] и Р. Н. Бхаттачарии и Р. Ранга Рао [5] за обзором и дальнейшими результатами. Добавим, что асимптотические разложения были получены и для случайных величин со значениями в более общих пространствах — см., например, работы В. Бенткуса [1], [2], В. В. Ульянова [30], С. В. Нагаева и В. II. Чеботарева [10], С. А. Богатырева, В. В. Ульянова и Ф. Гетсе [47], а также обзор в [34].

Коротко остановимся на методах доказательства. Для доказательства теорем 1.1 и 2.1 мы пользуемся представлением разности математических ожиданий E (/?(Xi +. + Хп) — Е<p{Z), где ip: —> С — достаточно гладкая функция, a Z — стандартный нормальный вектор, предложенным В. Бенткусом [35]. В главе 1 это представление используется для класса сглаженных индикаторных функций (рл выпуклых множеств, А С Rd, и оно комбинируется с методом композиций, который был введен X. Бергстремом [38], [39], [40] и далее развивался В. В. Сазоновым [65], [66], В. Паулаускасом [12],[13], [14], В. В. Ульяновым [28], [68] и др. В главе 2 мы пользуемся описанным представлением для.

1. Бенткус В. (1984), Асимптотические разложения в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве, Лит. матем. сб., 24, 3, 29−50.

2. Бенткус В. (1984), Асимптотические разложения для сумм независимых случайных элементов пространства Гильберта, Лит. матем. сб., 24, 4, 29−48.

3. Бикялис А. (1968), Асимптотические разложения для плотностей и распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов, Лит. матем. сб., 8, 405−421.

4. Бикялис А. (1971), О центральной предельной теореме в Ш. к. I, Лит. матем. сб., 11, 27−58.

5. Бхаттачария Р. Н., Ранга Рао Р. (1982), Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения, Наука, Москва.

6. Золотарев В. М. (1965), О близости распределений двух сумм независимых случайных величин, Теория вероятн. и ее примен., 10, 519 526.

7. Золотарев В. М. (1976), Аппроксимация распределений сумм независимых случайных величин со значениями в бесконечномерных пространствах, Теория вероятн. и ее примен., 21, 741−758.

8. Миталауекас А., Статулявичус В. (1976), Асимптотическое разложение в случае устойчивого аппроксимирующего закона, Лит. ма-тем. сб., 16, № 4, 149−166.

9. Нагаев С. В., Ротарь В. И. (1973), Об усилении оценок типа Ляпунова (случай близости распределений слагаемых к нормальному), Теория вероятн. и ее примен., 18, 109−121.

10. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. (1993), О разложении Эджворта в гильбертовом пространстве, Тр. ин-та матем. СО РАН: Предельные теоремы для случайных процессов и их применения, 20, 170−203.

11. Осипов JI. В. (1967), Асимптотические разложения в центральной предельной теореме, Вестн. ЛГУ., 19, 45−62.

12. Паулаускас В. (1969), Об одном усилении теоремы Ляпунова, Лит. матем. сб., 9, 323−328.

13. Паулаускас В. (1969), Об оценке скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. I., Лит. матем. сб., 9, 329−343.

14. Паулаускас В. (1969), Об оценке скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. И., Лит. матем. сб., 9, 791−815.

15. Паулаускас В. (1976), О скорости сходимости в центральной предельной теореме в некоторых банаховых пространствах, Теория вероятн. и ее примен., 21, 775−791.

16. Петров В. В. (1987), Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, Наука, Москва.

17. Пипирас В., Статулявичус В. (1968), Асимптотические разложения для сумм независимых случайных величин, Лит. матем. сб., 8, 137— 151.

18. Ротарь В. И. (1970), Неравномерная оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме, Теория вероятн. и ее примен., 15, 647−665.

19. Ротарь В. И. (1977), Неклассические оценки скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. I, Теория вероятн. и ее примен., 22, 774−790.

20. Ротарь В. И. (1978), Неклассические оценки скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме. II, Теория вероятн. и ее примен., 23, 55−66.

21. Сазонов В. В., Ульянов В. В. (1995), Асимптотические разложения вероятности сумме независимых случайных величин попасть в шар гильбертового пространства, УМН, 50, 203−222.

22. Сенатов В. В. (1985), О зависимости оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме от ковариационного оператора слагаемых, Теория вероятн. и ее примен., 30, 354−357.

23. Сенатов В. В. (1989), Об оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве, Теория вероятн. и ее примен., 34, 412.

24. Сенатов В. В. (1992), Об оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме в многомерных пространствах, Теория вероятн. и ее примен., 37, 759−762.

25. Сенатов В. В. (1997), Качественные эффекты в оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме в многомерных пространствах, Тр. Мат. ин-та РАН, т. 215, 10−239.

26. СтатулявичусВ. (1965), Предельные теоремы для плотностей и асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных величин, Теория вероятн. и ее примен., 10, 645−659.

27. СурвилаП. (1965), Асимптотические разложения для функций распределения нормированной суммы независимых случайных величин, Лит. матем. сб., 5, № 1, 143−155.

28. Ульянов В. В. (1978), К уточнению оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме, Теория вероятн. и ее примен., 23, 684−688.

29. Ульянов В. В. (1979), Оценки скорости сходимости по вариации в центральной предельной теореме для разнораспределенных слагаемых, Теория вероятн. и ее примен., 24, 662−663.

30. Ульянов В. В. (1986), Асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных величин в Н, Теория вероятн. и ее примен., 31, 31−46.

31. Ярославцева Л. С. (2006), Неклассическая оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме, Вестн. Моск. унив., сер. 15 Вычисл. матем. и киберн., 2, 25−31.

32. BentkusV., Gotze F., Paulauskas V., Rachkauskas A. (2000), The accuracy of Gaussian approximation in Banach spaces, in: Gamkrclidzc R. V. (ed.) et al., Limit theorems of probability theory, Springer, Berlin, 25−111.

33. Bentkus V. (2003), A new approach to approximations in probability theory and operator theory, Lithuanian Math. J., 43, 367−388.

34. Bentkus V. (2003), On the dependence of the Berry-Esseen bound on dimension, J. Stat. Plann. and Inference, 113, 385−402.

35. Bentkus V. (2005), A Lyapunov type bound in Theory Probab. Appl., 49, 311−323.

36. Bergstrom H. (1944), On the ccntral limit theorem, Scand. Aktuarietidskrift., 27, 139−153.

37. Bergstrom H. (1945), On the central limit theorem in the space Mfc, к > 1, Scand. Aktuarietidskrift., 28, 106−127.

38. Bergstrom H. (1949), On the central limit theorem in the case of not equally distributed random variables, Scand. Aktuarietidskrift., 32, 37— 62.

39. Bergstrom H. (1951), On asymptote expansions of probabilty functions, Scand. Aktuarietidskrift., 34, 1−34.

40. Bergstrom H. (1969), On the central limit theorem in Rfc. The remainder term for special Borel sets. Z. Wahrscheinlichkeitstheor. Verw. Geb., 14, 113−126.

41. Berry A. C. (1941), The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates, Trans. Amer. Math. Soc., 49, 122−136.

42. Bhattacharya R. N. (1968), Berry-Esseen bounds for the multidimensional central limit theorem, Bull. Am. Math. Soc., 75, 285−287.

43. Bhattacharya R.N. (1971), Rates of weak convergence and asymptotic expansions for classical central limit theorems, Ann. Math. Stat., 42, 241−259.

44. Bhattacharya R.N. (1972), Recent results on refinements of the central limit theorem, Proc. 6th Berkeley Symp. Math. Statist. Prob. II: Probability theory, Univ. California Press, Berkeley, Calif., 453−484.

45. Bogatyrev S. A., Gotze F., Ulyanov V. V. (2006), Non-uniform bounds for short asymptotic expansions in the CLT for balls in a Hilbert space, J. Multivar. Anal., 97, 2041;2056.

46. Chebyshev P. L. (1890), Sur deux theoremes relatifs aux probabilites, Acta Math. 14, 305−315.

47. Cramer H. (1928), On the composition of elementary errors, Scand. Aktuarietidskrift., 11, 13−74 and 141−180.

48. Cramer H. (1937), Random variables and probability distributions, Cambridge Tracts in Mathematics, 36.

49. Edgeworth F. Y. (1905), The law of error, Cambridge Philos. Trans., 20, 36−66 and 113−141.

50. Esseen C-G. (1942), On the LiapunofT limit of error in the theory of probability, Ark. Mat. Astr. och FYs., 28A, 19.

51. Esseen C-G. (1945), Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace-Gaussian law. Acta. Math., 77, 1125.

52. Hall P. (1982), Rates of convergence in the central limit theorem, Research Notes in Mathematics, 62, Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London.

53. Hsu P. L. (1945), The approximate distribution of the mean and variance of a sample of independent variables, Ann. Math. Stat., 16, 1−29.

54. Katz M. L. (1963), Note on the Berry-Esseen theorem, Ann. Math. Stat., 34, 1107−1108.

55. Laplace P. S. (1812), Theorie Analytique de Probabilites, 1st ed., Veuve Courcier, Paris.

56. Levy P. (1937), Theorie de I’addition des variables aleatoires, Gauthier-Villars, Paris.

57. Lyapunov A. M. (1900), Sur une proposition de la theorie des probabilities, Bull. Acad. Imp. Sci. St. Petersbourg, 13, 359−386.

58. Lyapunov A. M. (1901), Nouvelle forme du theoreme sur la limite de probability Mem. Acad. Imp. Sci. St. Petersbourg. Classe Plivs. Math., 12, 12.

59. Moivre A. (1730), Miscellana Analytica Supplementum, London.

60. Nazarov F. (2003), On the Maximal Perimeter of a Convex Set in IRn with Respect to a Gaussian Measure, Lect. Notes Math., 1807, 169−187.

61. Ranga Rao R., (1960), Some problems in probability theory, D. Phil., Thesis, Calcutta University.

62. Ranga Rao R., (1961), On the central limit theorem in Bull. Am. Math. Soc., 67, 359−361.

63. Sazonov V. V. (1968), On the Multi-dimensional Central Limit Theorem, Sankhya Ser. A, 30, 181−204.

64. Sazonov V. V. (1972), On a bound for the rate of convergence in the multidimensional central limit theorem, Proc. 6th Berkeley Symp. Math. Statist. Prob., II, 563−581.

65. Sazonov V. V. (1981), Normal approximation some recent advances, Springer-Verlag. Berlin-New York.

66. Sazonov V. V., Ulyanov V. V. (1982), On the accuracy of normal approximation, J. Multivar. Anal., 12, 371−384.

67. Senatov V. V. (1998), Normal Approximation: New Results, Methods and Problems, VSP, Utrecht.

68. Zolotarev V. M. (1968), Exactness of an approximation in the central limit theorem, Proc. Second Japan-USSR Symp. Probab. Theory, Lect. Notes Math., 330, 531−543.103 L/.