Дискретная математика

Министерство образования и науки Российской Федерации Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева Новомосковский институт Издательский центр

T.П. Тюрина, В.И. Емельянов

Дискретная математика

(часть 3)

Учебное пособие Новомосковск 2004

• Часть 3. Элементы алгебры логики 3
• 3.1 Введение в алгебру логики 3
• 3.2 Основные функции алгебры логики 5
• 3.3 Формулы алгебры логики 9
• Контрольные вопросы 12
• 3.4 Законы алгебры логики и следствия из них 12
• Контрольные вопросы 16
• 3.5 Логические функции многих переменных 16
• 3.6 Построение формул алгебры логики по заданной таблице истинности 18
• Контрольные вопросы и упражнения 26
• 3.7 Некоторые замкнутые классы (классы Поста). Понятие базиса 26
• Контрольные вопросы и упражнения 34
• 3.8 Методы минимизации логических функций 34
• Контрольные вопросы 39
• 3.9 Неполностью определенные логические функции 40
• 3.10 Формы представления булевых функций 41
• 3.10.1 Семантические деревья 42
• 3.10.2 Бинарные диаграммы решений (БДР) 45
• 3.11 Построение логических схем 45
• Контрольные вопросы 45
• 3.12 Логические конечные автоматы 46
• 3.12.1 Процессы 50
• 3.12.2 Конечные автоматы 52
• Контрольные вопросы 55
• БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 60

Часть 3. Элементы алгебры логики

3.1 Введение в алгебру логики

Алгебру логики иначе еще называют алгеброй высказываний, логикой высказываний. Алгебра логики начала формироваться в 19 веке в трудах английского математика Дж. Буля.

Прежде всего, благодаря труду английского логика Джорджа Буля «Математический анализ логики», был достигнут подлинный прогресс науки, называемый математической логикой. Он перенёс на логику законы и правила математических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.

В трудах Джорджа Буля и О. де Моргана математическая логика представлена как своеобразная алгебра — алгебра логики (алгебра высказываний).

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Джордж Буль (1815−1864) родился в Линкольне (Англия). Сын сапожного мастера. Окончил только начальную школу и дальнейшие знания приобретал самоучкой. С 1849 г. Буль — профессор математики в Куинс — колледже в Корке (Ирландия), где преподавал до конца жизни. Буля почти в равной степени интересовали логика, математический анализ, теория вероятностей, этика Б. Спинозы, философские работы Аристотеля и Цицерона. Он считается несомненным создателем современной символической (математической) логики.

Огастес де Морган (1806−1871) родился в Индии в семье полковника английских войск. Получил образование в Кембриджском университете. Был профессором математики Лондонского университета. Математику и логику де Морган назвал азами точного знания и выражал сожаление, что математики не более заботятся о логике, чем логики о математике. Сам он стремился сблизить обе науки, и его главной заслугой явилось построение логики по образу и подобию математических наук. Независимо от Дж. Буля он открыл основные идеи алгебры логики.

«Логика Буля» основывается на отношении эквивалентности, при котором правая часть равенства всегда содержит ровно столько же «истин», сколько и левая.

Высказывание — это имеющее смысл языковое выражение (повествовательное предложение), относительно которого в данной ситуации можно утверждать, что оно либо истинно, либо ложно, т. е. каждому высказыванию можно приписать истинное значение И (истина) или Л (ложь), но не то и другое одновременно.

Примеры:

1. НГТУ — крупнейший «вуз Новосибирска».

2. «Снег зелёный».

3. Р= «Чтобы подключиться к Интернету с домашнего компьютера, необходим модем и соответствующее ПО».

4. Крокодилы летают очень низко.

«А ты любишь информатику?» — это предложение не является высказыванием.

Уравнение 2+х=4 не является высказыванием. Однако, всякий раз, придавая переменной х определенное числовое значение, будем получать высказывание. Используя частицу «не», а также союзы «и», «или», связки «если …, то…», «тогда и только тогда, когда…» и т. п., можно из одних высказываний строить другие высказывания.

Изучением высказываний занимается Булева алгебра, в которой предполагается, что уже имеется некоторый запас высказываний, для каждого из которых известно истинно оно или ложно. Такие высказывания называют элементарными высказываниями. Из элементарных высказываний могут быть построены сложные с помощью операций алгебры логики.

Знаки логических операций называют логическими связками (или просто связками). Логические связки могут быть одноместные (унарные), двухместные (бинарные), трехместные (тернарные) и т. д.

В алгебре логики логические операции чаще всего описываются при помощи таблиц истинности, содержащих все наборы значений переменных и значения функции этих наборов. Алгебра логики не занимается обоснованием того, почему тому или иному элементарному высказыванию приписано значение истины или лжи. Этот вопрос решается за пределами алгебры логики.

Например: сумма углов в треугольнике — 180 градусов. Алгебра логики отвлекается и от смысловой содержательности высказывания. Она интересуется только одним свойством сложных высказываний: быть истинным (True — 1) или ложным (False — 0).

3.2 Основные функции алгебры логики

Основной задачей теории булевых функций является разработка систематического метода построения сложных функций из более простых. Этот метод основан на изучении свойств булевых функций.

Основными символами алгебры высказываний являются:

а) пропозиционные переменные Р1, Р2, Р3, …;

б) одноместная связка — () и двуместные связки (и), (или),, , ;

в) скобки ().

Переменная, значениями которой являются высказывания, называется пропозиционной переменной.

Пусть А, В-некоторые элементарные высказывания.

Определим новое высказывание В (т. е. не А), будем называть его отрицанием (инверсия:, В), представим таблицы значений функции отрицания:

Рассмотрим наборы истинных значений элементарных функций на наборах аргументов:

Таблица 1

Несмотря на то, что булевых функций от любого заданного числа m двоичных переменных конечное число, их слишком много, чтобы иметь запас преобразователей для любых встретившихся отображений. Рассмотрим сначала все возможные функции от одной двоичной переменной. Их четыре, две из них — константы (0 и 1), одна — тождественная функция и только одна — функция отрицания (функция НЕ) — является нетривиальной.

Очевидно, что число различных булевых функций от m переменных равно 2 в степени. При m = 2 это число 16, то есть всего функций от двух переменных 16, однако наиболее практически применимых из них меньше.

Суперпозиция двоичных функций может быть записана как формула, которую называют логической формулой.

Пример.

Логическая формула задает функцию от трех переменных как суперпозицию функций одной и двух переменных.

Для уменьшения числа скобок вводятся приоритеты операций. Наиболее приоритетна функция отрицания. Затем идет конъюнкция, после нее — дизъюнкция. Все другие функции имеют равный приоритет, меньший, чем у дизъюнкции. Очевидно, что скобками можно установить желаемый порядок операций. Вышеприведенная формула может быть эквивалентно записана так:. Отметим, что используют и другое распределение приоритетов, в частности, полагая импликацию менее приоритетной, чем все другие функции.

Логическая формула дает возможность построить соответствующий функциональный преобразователь, если мы имеем «элементарные» или «базисные» преобразователи. Для реализации преобразователя f примера выше необходимо иметь элементы, реализующие отрицание, дизъюнкцию, конъюнкцию и сложение по модулю два (см. рис. 1).

На этом рисунке представлен пример синтаксической структуры формулы — графическое представление формулы.

Рис. 1. Синтаксическая структура формулы

Очевидным образом по формуле можно построить табличное представление функции f.

Таблица 2

Суперпозицией нескольких простых булевых функций можно построить более сложную функцию, в частности, булеву функцию от большего числа переменных. Поставим вопрос: можно ли суперпозицией фиксированного набора функций представить любую булеву функцию от любого числа переменных? Удивительно, но ответ на этот вопрос положителен.

Штрих Шеффера является отрицанием конъюнкции, стрелка Пирса — отрицание дизъюнкции, сумма Жегалкина — отрицание эквивалентности.

М. Жегалкин (1869−1947) — российский математик и логик, один из основоположников современной математической логики.

Чарльз Пирс (1839−1914) — американский логик, математик и естествоиспытатель. Основоположник семиотики, родоначальник прагматизма.

3.3 Формулы алгебры логики

Из логических переменных можно составлять различные конструкции, которые образуют формулы алгебры логики.

Пусть — некоторое множество логических переменных. По индукции определим понятие формулы алгебры логики:

1) любая логическая переменная является формулой (атомарной);

2) если и — формулы, то выражения и другие, представленные в табл. 1, являются формулами;

3) никаких других формул, кроме построенных в пунктах 1 и 2, нет.

Если формула построена из логических переменных, лежащих в множестве {x₁, x₂,…, x_n}, то будем писать {x₁, x₂,…, x_n}.

Таблицы истинности также называются интерпретациями логических операций и составляют семантику формул (т. е. придание смысла формулам) в отличие от синтаксиса формул (т. е. формальных законов их построения, данных в определении формулы).

На множестве вводится транзитивное отношение < «быть более сильным» и отношение ~ «быть равносильным» по правилам, представленным на рис. 2. Для равносильных связок расстановка скобок выполняется слева направо.

Рис. 2. Приоритетность логических операций

Все формулы алгебры логики можно разделить на 3 класса:

1) нейтральные, или выполнимые — принимающие как истинное, так и ложное значения;

2) тождественно истинные формулы (или тавтологии) — принимающие истинные значения при любых значениях переменных;

3) тождественно ложные формулы — принимающие ложные значения при любых оценках переменных.

Существует два способа определения истинного значения формулы. Первый — с помощью таблиц истинности, а второй — путём приведения формул к нормальной форме. Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквиваленции, импликации, двойного отрицания и др., при этом знаки отрицания находятся только при переменных.

Табличный способ определения истинного значения формул имеет ограниченное применение, поскольку при увеличении количества переменных приходится рассматривать слишком много вариантов (2^N).

Равносильными называются два высказывания, у которых таблицы истинности совпадают.

Пример. Составим таблицу истинности функции f=(AB)~():

Таблица 3

Полученное высказывание истинно всегда. Такие высказывания называют тождественно истинными и обозначаются J. По аналогии существуют и тождественно ложные высказывания L. Метод заполнения таблицы истинности принят для не очень сложных высказываний. Если выражение содержит N опций, то таблица становится громоздкой. Для этого используются законы алгебры логики. Таблицу истинности можно составить с использованием программы. В большинстве языков высокого уровня имеются логические операции NOT, AND, OR, XOR, реализующие операции соответственно.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение высказывания.

2. Перечислите основные символы алгебры высказываний.

3. Перечислите основные функции алгебры логики.

4. Что является основной задачей алгебры логики?

5. Что такое таблицы истинности логических функций?

6. Составьте таблицу истинности функций дизъюнкции и конъюнкции.

7. Составьте таблицу истинности функций импликации и эквивалентности.

8. Составьте таблицу истинности функций отрицания и сложения по модулю 2.

9. Составьте таблицу истинности функций Штрих Шеффера и Стрелка Пирса.

10. Формулы алгебры логики. Приоритет логических операций. Какие отношения имеют место на множестве логических операций?

11. Что такое синтаксическая структура формулы?

12. На какие классы делятся формулы алгебры логики?

3.4 Законы алгебры логики и следствия из них

При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре логики производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы. Законы алгебры логики — это тавтологии (или теоремы).

1. Закон тождества:

А=А

2. Закон непротиворечия:

3. Закон исключения третьего:

4. Закон двойного отрицания:

5. Законы истины и лжи (свойства констант):

6. Законы идемпотентности:

7. Коммутативные законы:

8. Ассоциативные законы:

— дизъюнкции

— конъюнкции

9. Дистрибутивные законы:

— 1_ый дистрибутивный закон

— 2_ой дистрибутивный закон

10. Законы поглощения:

11. Законы де Моргана:

12. Закон импликации:

13. Закон эквивалентности:

14. Свойства сложения «по модулю два»:

Справедливость этих законов можно доказать с помощью таблиц истинности сложных логических связей описываемых законов.

Следствия из законов алгебры логики (часто используются при упрощении логических выражений).

1. Правило поглощения. Данное правило является следствием из дистрибутивного закона. Оно может быть записано в следующем виде:

.

2. Правило свертки. Правило является следствием из второго дистрибутивного закона. Запись правила:

а) ;

б) .

3. Правило расширения. Правило записывается в следующем виде:

.

4. Правило склеивания. Базируется на понятии соседних конъюнкций. Соседними называются конъюнкции, отличающиеся представлением одной переменной. Например, конъюнкции и, и являются попарно соседними. В первой паре конъюнкции отличаются представлением х₂, а во второй — представлением х₁. По этим переменным конъюнкции склеиваются.

Формулировка правила: две соседние конъюнкции склеиваются с образованием одной конъюнкции меньшего ранга; исчезает та переменная, по которой конъюнкция склеивается.

.

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные законы алгебры логики. Как дозывается их справедливость?

2. Перечислите следствия из законов алгебры логики.

3.5 Логические функции многих переменных

Все логические операции, которые были рассмотрены в 3.2, распространяются и на функции нескольких переменных. Теперь будем рассматривать функции F(x₁, x₂,…, x_n), где x_i — логические переменные, которые принимают значения нуля или единицы. Для описания логики функционирования аппаратных и программных средств компьютера используется алгебра логики, или булева алгебра. Два элемента алгебры логики — ее константы — 0 (ложь) и 1 (истина). Во всех компьютерах используются сигналы двух видов. Сигналы можно интерпретировать как двоичные числа, или логические переменные.

Логической функцией F от набора логических переменных х₁,…, х_n называется функция, которая может принимать только два значения: логический 0 и логическая 1.

Область определения логической функции конечна и зависит от количества возможных наборов аргументов. Если n — число аргументов, то количество возможных наборов аргументов равно 2ⁿ.

Множество значений функции F(x₁,…, x_n) — это множество {0,1}, т. е. F=0 либо 1.

Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записываются наборы аргументов, а в правой — соответствующие значения функции.

Вектором значений булевой функции F(x₁,…, x_n) называется упорядоченный набор всех значений функции F, при которых значения упорядочены по лексикографическому порядку множества аргументов {0,1}ⁿ.

Поскольку всего имеется 2ⁿ наборов нулей и единиц (|{0,1}ⁿ|=2ⁿ), существует ровно булевых функций F(x₁,…, x_n) от n переменных:

.

При n=2 количество функций равно 16, при n=3 — 256 и т. д. На рис. 3 представлены в упорядоченном виде наборы аргументов для ряда функций — отрицания 0, функций одного, двух и трёх аргументов.

Рис. 3. Упорядоченные наборы аргументов

3.6 Построение формул алгебры логики по заданной таблице истинности

Пусть F — двоичная функция от n переменных. Предположим, что F не равна тождественно нулю. Пусть T₁, T₂,…, T_k — все точки ее определения, в которых F=1. Можно доказать, что справедлива следующая формула:

где, j=1,2,…, k,

Построить функцию F можно и по-другому. Если функция F не равна тождественно единице и S₁, S₂,…, S_m — все точки области ее определения, в которых F=0, то справедлива формула:

где, j=1,2,…, m.

Из приведенных формул видно, что любую двоичную функцию можно записать, используя лишь операции, , .

Основная конъюнкция — это конъюнкция основных высказываний переменных или их отрицаний. Например, .

Основная дизъюнкция — это дизъюнкция основных высказываний переменных или их отрицаний. Например, .

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данной формулы называется формула, равносильная данной и представленная в виде конъюнкции основных дизъюнкций. Например, (A+B) (A+C+B) (D+A).

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данной формулы называется формула, равносильная данной и представленная в виде дизъюнкции основных конъюнкций. Например, AB+C+AC.

Теорема 1. Для того чтобы формула алгебры высказываний была тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы ее КНФ содержала в каждой элементарной дизъюнкции некоторое высказывание и его отрицание.

Теорема 2. Для того чтобы формула алгебры высказываний была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы ее ДНФ содержала в каждой элементарной конъюнкции некоторое высказывание и его отрицание.

Совершенные дизъюнктивные, конъюнктивные и полиномиальные нормальные формы представления переключательных (логических) функций. Многообразие формул, посредством которых может быть выражена любая логическая функция, определяет многообразие форм логических функций, т. е. способов их записи путем применения к переменным и их группам элементарных логических операций. Наиболее удобными для практического использования оказываются совершенные нормальные формы представления сложных логических функций. В алгебре логики доказывают, что любая логическая функция F (A, B, C,…, N) может быть представлена только одной совершенной дизъюнктивной нормальной формой (кроме константы нуль) или только одной совершенной конъюнктивной нормальной формой (кроме константы единица).

Пусть функция X=F (A, B, C) задана таблицей 4. Запись функции Х в виде логической суммы (дизъюнкции) логических произведений (конъюнкций) переменных, для которых значение функции Х равно 1, и является совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) представления логической функции.

Таблица 4

СДНФ логической функции следует находить в такой последовательности:

1) составить произведения переменных для строк таблицы истинности, в которых Х равна 1. Если значение переменной (А, В или С) в строке равно 0, то в произведении записывается отрицание этой переменной;

2) написать сумму произведений, для которых функция Х равна 1. Полученная сумма и является СДНФ. В общем виде

(1)

Это правило называют правилом записи переключательной функции по единицам. Согласно этому правилу, данные табл. 4 описываются аналитическим выражением, связывающим все наборы переменных, для которых Х=1, в виде:

. (2)

Запись функции Х в виде логического произведения (конъюнкции) логических сумм (дизъюнкций) переменных, для которых функция Х равна 0, является совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) представления логической функции.

Для табл. 4 аналитическое выражение в СДНФ, связывающее все наборы переменных, для которых Х=0, имеет вид:

. (3)

Для представления логической функции Х в СКНФ произведем операцию отрицания левой и правой частей равенства (3)

и на основании законов двойного отрицания и инверсии

. (4)

СКНФ логической функции, согласно (4), следует находить в такой последовательности:

1) составить логические суммы переменных для строк таблицы истинности, в которых функция Х равна 0. Если значение переменной (А, В или С) в строке равно 1, то в сумме записывается отрицание этой переменной;

2) написать логическое произведение составленных логических сумм. Полученное произведение и является СКНФ. В общем виде:

(5)

где F_i — сложные дизъюнкции.

Это правило также называют правилом построения переключательной функции по нулям.

Кроме представления функций в виде СДНФ и СКНФ используют и совершенную полиномиальную нормальную форму СПНФ. Вместо дизъюнкции может быть записана функция сложения по модулю два (сумма Жегалкина):

(6)

где F_i — сложные конъюнкции.

Существует специальная таблица, в которой все элементарные логические операции от двух аргументов представлены в двух совершенных нормальных формах.

Нормальные формы представления переключательной функции иногда называют стандартными (табл. 5).

Таблица 5

Многочленом Жегалкина называется многочлен, являющийся суммой константы 0 или 1 и различных одночленов, в которые все переменные входят не выше, чем в первой степени.

Теорема. Любая функция булевой алгебры может быть представлена, и притом единственным образом, с помощью полинома Жегалкина вида

J =.

Представим, например, в виде полинома выражение вида X₁X₂. Для этого проведем следующие рассуждения.

Пусть

X₁X₂ = aX₁X₂+bX₁+cX₂+k,

где а, b, с, k — неопределенные коэффициенты.

При X₁ = X₂ = 0 имеем k = 0. При Х₁ = 1, X₂= 0 имеем b= 1. При Х₁= 0, Х₂= 1 имеем с= 1. При X₁=Х₂= 1 имеем а + b + с = 1, т. е. а = -1. Таким образом, получаем:

X₁X₂ = — X₁X₂+ X₁+ X₂.

СПНФ образуется путем замены в СДНФ: на + и на

1 х.

В последнем случае выражение для легко можно упростить, если раскрыть скобки и взаимно сократить все одинаковые слагаемые, входящие в формулу четное число раз:

.

Подобное упрощение, которое называется минимизацией логической функции, можно осуществить и по отношению к СДНФ и СКНФ.

Таблица 6

Применение законов алгебры логики позволяет найти более компактные аналитические выражения для заданной функции у, т. е. минимальную дизъюнктивную нормальную форму. Приведем соответствующие формы представления функции у, заданной табл. 6:

и для СКНФ, т. е. минимальную КНФ:

.

После того, как найдены минимальные нормальные формы (МНФ), их рекомендуется проверить на всех наборах аргументов. Переменные или часто называют термами. Именно полный набор из n термов образует конституенту. В процессе же минимизации некоторые термы из конституент пропадут. Тогда оставшуюся часть дизъюнкта или конъюнкта называют импликантой.

Как мы только что убедились на примере, импликанты появляются в результате склейки смежных конституент, различающихся одним термом.

Контрольные вопросы и упражнения

1. Дайте определение логической функции многих переменных.

2. Что такое вектор значений булевой функции? Приведите пример построения таблицы истинности логической функции многих переменных.

3. Сколько существует булевых функций от n переменных?

4. Что такое ДНФ и КНФ?

5. Каков алгоритм построения СДНФ? Приведите пример построения СДНФ.

6. Каков алгоритм построения СКНФ? Приведите пример построения СКНФ.

7. Составьте СКНФ и СДНФ для функции .

8. Приведите пример построения СПНФ.

3.7 Некоторые замкнутые классы (классы Поста). Понятие базиса

Система булевых функций {f₁, f₂,…, f_m} называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции f₁, f₂,…, f_m с помощью суперпозиций.

Пусть К⁰={f₁(x_1,…,x_k1), f₂(x_1,…,x_k2),…, f_m(x_1,…,x_km)} — конечная система булевых функций. Функция f называется элементарной суперпозицией (суперпозицией ранга 1) функций f₁, f₂,…, f_m, если f может быть получена одним из следующих способов:

а) переименованием некоторой переменной x_j какой-нибудь функции f_i;

б) подстановкой некоторой функции вместо какой-либо переменной x_j любой из функций .

Суперпозиции ранга 1 образуют класс функций К¹. Класс функций, получающийся из функций класса K^s-1 суперпозицией ранга s_1 с помощью элементарных суперпозиций, называется классом функций K^s суперпозиций ранга s. Суперпозициями функций из К⁰ называются функции, входящие в какой-то из классов K^s.

Согласно введенным определениям, можно говорить, что система булевых функций полна. Тогда любую булеву функцию можно представить в виде многочлена от своих переменных.

В современном компьютере цифрами являются ноль и единица. Следовательно, команды, которые выполняет процессор, суть булевы функции. Мы уже видели, что любая булева функция реализуется через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. Следовательно, можно построить нужный процессор, имея в распоряжении элементы, реализующие. Далее рассмотрим вопрос: существуют ли (и если существуют, то какие) другие системы булевых функций, обладающие тем свойством, что с их помощью можно выразить все другие функции. Рассмотрим некоторые замкнутые классы (классы Поста), их пять.

1. Класс функций, сохраняющих константу нуль (обозначается T₀ или P₀):

T₀:= f (0,0,…, 0)=0.

К этому классу относятся, например, функции; ;; .

2. Класс функций, сохраняющих константу единица (обозначается T₁ или P₁):

T₁:= f (1,1,…, 1)=1.

К нему относятся все нечетные функции.

3. Класс самодвойственных функций (обозначается T_* или S):

T_*:= f^*;

Пример и .

Функция называется двойственной по отношению к функции, если. Двойственная функция получается из исходной при замене значений всех переменных, а также значений функции на противоположные, т. е. в таблице истинности нужно заменить 0 на 1, 1 на 0.

Пример. Двойственной к функции является функция, соответствующая формуле, т. е. или:. Аналогично, .

Принцип двойственности:

Если ,

то .

Таким образом, функция, двойственная суперпозиции функций, есть соответствующая суперпозиция двойственных функций.

Этот принцип удобен при нахождении двойственных функций, представленных формулами, содержащими лишь конъюнкции, дизъюнкции и отрицание. В этом случае в исходной формуле конъюнкции заменяются на дизъюнкции, а дизъюнкции — на конъюнкции. Таким образом, ДНФ соответствует КНФ, КНФ — ДНФ, СДНФ — СКНФ, СКНФ — СДНФ.

Пример. ,

если, то и .

Функция называется самодвойственной, если .

Пример. Покажем, что формула задает самодвойственную функцию.

Убедимся, что на всех противоположных наборах значений переменных и формула принимает противоположные значения. Действительно, составим таблицу истинности:

Получаем, ,, .

4. Класс монотонных функций (обозначается T_M или M):

где, ,, .

5. Класс линейных функций (обозначается T_L или L):

.

Эквивалентность является линейной функцией. Стрелка Пирса — нет, .

, ,…, ,

т. е.

,…,. (7)

Таким образом, проверка линейности сводится к нахождению коэффициентов по формулам (7) и сопоставлению таблиц истинности данной формулы и полученной формулы .

Пример. Проверим, является ли линейной функция. Имеем, ,. Таким образом,. Сопоставляя таблицы истинности формул и, убеждаемся, что они не совпадают. Вывод: функция нелинейна.

Линейность функции можно также определить с помощью следующей теоремы.

Теорема Жегалкина. Всякая булева функция представима полиномом Жегалкина, т. е. в виде, где в каждом наборе (i₁,…, i_k) все i_j различны, а суммирование ведется по некоторому множеству таких несовпадающих наборов. Представление булевой функции в виде полинома Жегалкина единственно с точностью до порядка слагаемых.

Полином Жегалкина называется нелинейным (линейным), если он (не) содержит произведения переменных.

Таким образом, линейность булевой функции равносильна линейности соответствующего полинома Жегалкина.

Для получения полинома Жегалкина булевой функции, находящейся в СДНФ, используются аксиомы булевой алгебры, аксиомы булева кольца и равенства, выражающие операции через операции этого булева кольца: и т. д.

Пример. Определим линейность функции .

Имеем Полученный полином Жегалкина является нелинейным, и, следовательно, функция f также нелинейна.

Заметим, что если в эквивалентности формулы являются различными конституентами единицы, то их произведение равно 0, и тогда. Следовательно, для получения полинома Жегалкина из СДНФ можно сразу заменить .

Отметим, что каждый класс Поста замкнут относительно операций замены переменных и суперпозиции, т. е. с помощью этих операций из функций, принадлежащих данному классу, можно получить только функции из этого же класса.

Пример. Определим, к каким классам Поста относится булева функция .

Так как f (0,0)=1, а f (1,1)=0, то и. Поскольку, то. Так как f (0,0)>f (1,1), то. Полином Жегалкина для функции имеет вид в силу равенства. Поэтому данная функция нелинейна. Таким образом, можно составить следующую таблицу

Таблица функций

Теорема Поста. Система F булевых функций тогда и только тогда является полной, когда для каждого из классов P₀, P₁, S, M, L в системе F найдется функция, не принадлежащая этому классу.

В силу теоремы Поста функция х | у образует полную систему, т. е. с помощью штриха Шеффера можно получить любую булеву функцию. В частности, .

Система булевых функций называется базисом, если она полна, а удаление любой функции из этой системы делает ее неполной.

Теорема. Каждый базис содержит, не более четырех булевых функций.

Доказательство. Предположим, что существует базис F, состоящий более чем из четырех функций. По теореме Поста тогда получаем, что F состоит ровно из пяти функций, каждая из которых не принадлежит ровно одному классу Поста. Пусть f — функция из F, не принадлежащая классу Р₀. Тогда, с одной стороны, f (0,0,…, 0)=1, а, с другой — из следует, что f (1,1,…, 1)=1. Это означает, что f не является самодвойственной функцией, что противоречит предположению.

Пример. Следующие системы булевых функций являются базисами: .

Таблица 7

Пример.

Конъюнкции, то есть все функции вида, тоже составляют замкнутый класс. Очевидно, однако, что, например, функцию, которая на наборе (0,0,…, 0) имеет значение 1, нельзя представить суперпозицией таких функций. Таким образом, {И} не является базисом, следовательно, конъюнктивный базис {И, НЕ} является минимальным.

Рассмотрим более подробно базис Жегалкина.

Алгебра Жегалкина и линейные функции

Алгебра Жегалкина — это алгебра над множеством двух бинарных булевых функций (И,) и нульарной функции 1. Легко проверить следующие соотношения в этой алгебре:

;

;

;

.

Если в произвольной формуле, включающей только функции базиса Жегалкина, раскрыть скобки, то получим бесскобочную формулу, имеющую вид суммы (по модулю два) произведений, то есть некоторый полином. Он называется полиномом Жегалкина.

Широкий набор базисов открывает большие возможности при решении задач минимизации схем устройств дискретного действия, поскольку из базисных схем с помощью суперпозиций можно составить схему, соответствующую любой булевой функции.

Контрольные вопросы и упражнения

1. Дайте определение полной системе булевых функций.

2. Перечислите классы Поста.

3. Дайте определение двойственной функции. Приведите примеры.

4. Дайте определение самодвойственной функции. Приведите примеры.

5. Постройте полином Жегалкина для функции «стрелка Пирса».

6. Сформулируйте теорему Поста.

7. Что такое базис? Приведите примеры базисов.

3.8 Методы минимизации логических функций

Наиболее употребляемая операция при минимизации функций — это операция склеивания.

AB+ ВB=B (A+ В)=B.

Рассмотрим три наиболее распространенных метода минимизации.

1. Пусть будут заданы номера наборов четырех переменных, на которых логическая функция принимает единичное значение: f (2,5,6,7,10,12,13,14)=1.

Выразим эту логическую функцию в СДНФ (символ конъюнкции писать не будем):

f (0010,0101, 0110, 0111, 1010, 1100, 1101, 1110) =

.

На первом этапе минимизации исходную СДНФ можно упростить за счет использования закона склеивания, тогда получим:

.

Обращаем внимание на то, что одну и ту же конституенту (импликанту) можно склеивать с другими конституентами (импликантами) многократно, так как в логике Буля действует закон идемпотентности:

поэтому любую конституенту можно размножить.

На втором этапе воспользуемся таблицей Куайна (табл. 8), в соответствии с которой данный метод минимизации получил свое наименование — метод Куайна. В таблице по вертикали перечислены все полученные на первом этапе упрощения импликанты, а по горизонтали — исходные конституенты. Единица в табл. 8 стоит там, где импликанта «накрывает» конституенту. Дело в том, что конституента всегда может быть заменена импликантой или даже отдельным термом по закону поглощения:

Таблица 8

После заполнения таблицы Куайна у нас получилось так, что почти в каждой графе оказалось по две единицы; между тем достаточно иметь одну единицу в графе. Поэтому, по возможности, нужно исключить избыточные единицы. Выбор единиц производится из соображений минимальности числа термов (выбранные единицы затемнены). В итоге оказалось, что можно обойтись только тремя импликантами вместо шести:

.

С помощью таблиц истинности легко проверить, что полученная в МНФ функция воспроизводит все значения исходной функции. Отметим, что в общем случае решений по критерию минимума термов может быть несколько.

2. Не менее эффективным способом минимизации логических функций является метод сочетания индексов. Для его изложения составим табл. 9, в графах которой записаны возможные сочетания индексов. В последней графе выписаны значения функции. Анализ таблицы начинается слева по столбцам. Принцип исключения i, j_кода следующий. На пересечении i_столбца, например, с сочетанием индексов 23, и j_строки, например, 3_ей, находится код 10, что соответствует импликанте. Следовательно, в этом столбце везде, где встречается код 10, т. е. в строках 2, 3, 10 и 11, эти коды исключаются, поскольку значение функции в 3_ей строке равно нулю. Теперь возьмем столбец с сочетанием индексов 124. Здесь во 2_ой и 6_ой строках оставлены коды 010, а в 10_ой и 14_ой строках — код 011. Сделано это потому, что эти коды встречаются только на строках со значением функции, равным единице. Напротив, код 110 этого же столбца встречается как при единичных значениях функции, так и при нулевых.

Таблица 9

Итак, все коды на строках, заканчивающихся нулевыми значениями функции, исключаются автоматически. Если эти коды попадают на строки, заканчивающиеся единичным значением функции, то они также не учитываются. Остаются только те коды, которые расположены на строках с единичным значением функции (эти коды затемнены).

Далее руководствуются следующим правилом. Для того чтобы функция приняла значение, равное единице, достаточно того, чтобы только какая-нибудь одна импликанта на строке приняла единичное значение. Прежде всего, оставляем минимальную импликанту, которая перекрывает единицы в строках 2, 6, 10 и 14. Затем, естественно, обращаемся к 12_ой строке. Здесь оставляем единственный на строке код 011, что отвечает импликанте. Эта же импликанта ответственна за 13_ую строку, оканчивающуюся тоже единицей. Осталось рассмотреть 5_ую и 7_ую строки. Общей для них является импликанта:. Таким образом, тремя импликантами мы перекрыли все единичные значения функции, что совпадает с результатом, полученным на основе таблиц Куайна.

3. Существует графический способ склеивания, который получил название метод карты Карно (представлен в табл. 10). Выделяем смежные единицы, это и будут слагаемые нашей функции.

Таблица 10

— получили два слагаемых Хотя табл. 9 более громоздка, чем табл. 8, метод сочетания индексов не считается более сложным, чем метод Куайна, если помнить, что до составления таблиц Куайна необходимо произвести многочисленные склейки конституент и импликант. Реализация на компьютере алгоритма метода сочетания индексов оказывается сравнительно простой. И напротив, внешняя простота и наглядность третьего метода минимизации логических функций с помощью карт Карно оборачивается сложной программой при реализации алгоритма на компьютере.

Таблица 11

Таблица 12

Карта Карно для четырех переменных представлена в виде табл. 11. Каждая клетка карты соответствует конституенте. Заполненная карта представлена табл. 12 (функция взята та же, что и в первых двух методах). Согласно закону склеивания, две смежные конституенты с единичными значениями всегда можно объединить для получения соответствующей импликанты. Причем смежными считаются и те, которые лежат на границах карты. Какие именно единицы требуется объединить для получения подходящей импликанты, легко определить визуально. Следует также помнить, что в соответствии с законом идемпотентности одна и та же единица табл. 12 может склеиваться с двумя или тремя смежными единицами.

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные методы минимизации функций.

2. Расскажите о методе Куайна.

3. Расскажите о методе карт Карно.

3.9 Неполностью определенные логические функции

Ранее мы рассматривали ситуации, когда на множество аргументов или логических переменных x₁, x₂,…, x_n не накладывались ограничения, или, что-то же самое, функции были определены на всем наборе аргументов. Однако реально на практике функции либо не определены полностью, либо есть запрещенные комбинации. Необходимо доопределить функцию таким образом, чтобы аналитическая форма ее представления была минимальной, далее производят склейки (пример приведён в табл. 13).

Таблица 13

.

* - эти значения доопределили сами, исходя того, чтобы выражение для функции F было минимальным.

3.10 Формы представления булевых функций

К настоящему времени мы знакомы с двумя формами представления булевых функций: таблица истинности и формула (аналитическая запись). Рассмотрим еще две формы представления таких функций.

3.10.1 Семантические деревья

Семантическое дерево — это двоичное дерево, корень которого помечен двоичной функцией от m переменных, из каждого узла идут по два ребра, соответствующих двум значениям очередной переменной, а 2^m листьев помечены соответствующими значениями функции.

3.10.2 Бинарные диаграммы решений (БДР)

Бинарная диаграмма решений (Binary Decision Diagrams, BDD) — это граф, являющийся модификацией семантического дерева. В БДР узлы с одним и тем же значением функции объединены. Если на каждом уровне БДР все вершины имеют одну и ту же метку (одинаковые переменные), то такая БДР называется упорядоченной (в англоязычной литературе такое представление называется Ordinary Binary Decision Diagrams, или сокращенно OBDD). Будем называть такое представление УБДР. Вершины УБДР расположены по уровням, каждому уровню соответствует одна переменная, которая помечает вершины, находящиеся на этом уровне. Из каждой вершины выходят два ребра: одно соответствует нулевому значению соответствующей переменной (будем его изображать штриховой линией), а другое — единичному значению этой переменной (оно изображается сплошной линией).

На рис. 4 показаны все четыре формы представления функции .

Бинарные диаграммы решений используются как компактная форма представления булевой функции. Такое представление полезно во многих случаях, например, когда нужно многократно вычислять значения функции при различных наборах значений ее аргументов. Для того чтобы получить значение функции f, например, на языке С, вместо хранения громоздкой таблицы истинности можно вычислить оператор: f=q? (r? 0:1): (р? 0:1), который построен на основании БДР (см. рис. 4). В этом примере использование УБДР позволяет вычислить значение булевой функции, выполнив всего две операции, в то время как при ее вычислении по аналитическому представлению требуется не менее 5 операций.

Рис. 4. Четыре формы представления двоичной функции

Сложность представления функции с помощью УБДР существенно зависит от порядка переменных. Так, например, УБДР для иного порядка переменных, чем на рис. 4, содержит четыре вершины, а не три (рис. 5). Интересной проблемой теоретической информатики является нахождение алгоритма, дающего оптимальный порядок переменных булевой функции с точки зрения представления этой функции упорядоченной БДР.

Рис. 5. УБДР для функции с порядком переменных [p, q, r]

3.11 Построение логических схем

При синтезе логических схем применяют элементы с одним и несколькими входами. Условия функционирования таких элементов определяются переключательными функциями одной или нескольких переменных.

Входные и выходные сигналы логических схем зависят от времени (одни из них в некоторый момент времени равны 1, в другие моменты времени 0). Логические функции, описывающие работу таких схем, называют переменными. Используют также схемы, для которых во все моменты времени сигналы равны либо 1, либо 0. Логические функции, описывающие работу этих схем, называют постоянными.

Существует только четыре различные переключательные функции одной переменной. Как видно из таблицы 14, только две функции не зависят от переменной А (в этих случаях переменная А фиктивна).

Таблица 14

Для функции двух переменных существует шестнадцать различных переключательных функций. Как видно из таблицы 5, только десять функций существенно зависят от переменных А и В.

На рис. 6, 7 приведены обозначения элементов, реализующих некоторые переключательные функции двух переменных.

Каждой элементарной логической операции можно поставить в соответствие элементарную логическую схему или вентиль. На входе и выходе вентиля мы имеем логические сигналы двух видов, что можно ассоциировать с логическим 0 или логической 1.

1. Элемент «И» 2. Элемент «ИЛИ» 3. Элемент «НЕ»

F=x₁•x₂ F=x₁x₂ F=

Рис. 6. Символическое обозначение вентилей

а) б) в)

г) д) е)

Рис. 7. Условные обозначения переключательных функций двух переменных: а — элемент Шеффера; б — элемент Пирса; в-импликатор; г — запрет; д — равнозначность; е — сложение по модулю 2