Содержание
- Геометрическое преобразование плоскости — взаимно-однозначное преобразование этой плоскости на себя
- Наиболее важными геометрическими преобразованиями плоскости являются движения, — преобразования, сохраняющие расстояние
- Иначе говоря, если f — движение плоскости, то для любых двух точек, А и В этой плоскости расстояние между точками f (А) и f (В) = |АВ|
- Движение связаны с понятием равенства фигур: две фигуры F и G плоскости называются равными, если существует движение этой плоскости f, переводящее одну фигуру во вторую f (F) = G
- Рассмотрим примеры движения плоскости
- Параллельный перенос
- Пусть a — некоторый вектор плоскости. Геометрическое преобразование, переводящее каждую точку, А в такую точку А', что АА' = а называется параллельным переносом на вектор a. обозначение: Tfl (М)
Параллельный перенос является движением: если точки, А и В при параллельном переносе переходят в точки А' и В', то естьАА' = а и ВВ' -а, то АТВ'=:АГА + АВ + ВВ' = - а + АВ + а = АВ поэтому |А'В' [= АВ|.
Поворот.
Пусть О — некоторая точка плоскости. Преобразование, переводящее каждую точку, А плоскости в точку А', такую что и
OA = OA', называется поворотом относительно точки О на угол
Докажем, что поворот является движением. Для этого рассмотрим точки, А и В, переходящие при повороте в точки А" и В'. По определению поворота OA' = OA, OB' = OB, угол AOA' = BOB' =. Предположим, что точка А' лежит вне треугольника АОВ, тогда-ZAOB= ZAOA- ZA' OB = ZBOB'-ZA'OB= ZA’OB'. Треугольники АОВ и А’ОВ' равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно стороны АВ и А’В' равны.
ЯА) = А zaoa'= а
OA'- OA
Обозначение: E. q (M)
Частным случаем поворота является центральная симметрия — поворот на угол 180°. f (A) = A' A’O = AO
Обозначения: Zn (A) = A'
Осевая симметрия.
Пусть I — некоторая прямая. Преобразование, переводящее каждую точку, А плоскости в точку А', такую что отрезок АА' перпендикулярен прямой / и расстояние от точки, А до прямой / равно расстоянию от точки А' до прямой /, называется осевой симметрией относительно прямой /.
ААЧ I (А, I) = (А1,
S,(A) = А'
Реализация преобразований плоскости в среде «Geometer's Sketchpad».
Строить образы при различных преобразованиях существующих геометрических объектов позволяют команды меню Transform.
1.Параллельный перенос.
Чтобы построить образ выбранного объекта или группы объектов при параллельном перносе, необходимо воспользоваться командой Translate. Вектор параллельного переноса может быть координатами в прямоугольной системе координат (опция By Rectangle Vector) или координатами в полярной системе координат (By Polar Vector). В этих случаях при вызове команды Transform необходимо указать координаты в соответсвующей системе координат.
Можно также выполнить параллельный перенос указанного объекта на вектор, началом и концом которого являются имеющиеся на чертеже точки. Для этого, прежде чем вызывать команду Transforn, необходимо отметить вектор, указав точки, являющиеся началом и концом вектора и в меню Transform выбрать команду Mark Vector.
2. Поворот.
Чтобы построить образ выбранного объекта или группы объектов при повороте, необходимо воспользоваться командой Rotate. Для выполнения этого преобразования необходимо указать центр поворота и задать угол.
Для того, чтобы задать центр поворота нужно выделить точку, которая будет центром и выбрать команду Mark Center меню Transform. Угол может быть задан градусной мерой, или определен тремя точками. В последнем случае, после выделения трех точек, определяющих угол, необходимо выбрать команду Mark Angle меню Transform. Следует обратить внимание на то, что при таком определении угла, второй точкой должна быть указана вершина угла, а первой и последней — точки, лежащие на сторонах угла.
3. Центральная симметрия, также выполняется с помощью команды Rotate. Угол в этой случае равен 180 градусам.
4. Осевая симметрия.
Для выполнения этого движения, необходимо задать ось симметрии, выделив прямую, луч или отрезок и выбрав команду Mark Mirror.
После того как ось симметрии указана, нужно выделить один или несколько объектов и выбрать команду Reflect меню Transform.
Тема 4. Использование движения для решения задач на построение.
Этапы решения задач на построение.
I Анализ.
В анализе находят конструктивные свойства для построения фигуры или точек.
II Построение.
На этом этапе непосредственно выполняются необходимые построения, которые должны привести к решению задачи на построение.
III Доказательство.
В доказательстве обосновывают, что построенная фигура — искомая, то есть удовлетворяет всем требованиям задачи.
IV Исследование.
Целью исследования является придание полноты и общности решению. В исследовании необходимо выяснить:
1) при каких данных решение задачи существует и при каких нет-
2) если решение существует, сколько различных решений имеет задача и при каких условиях-
3) нет ли частных случаев, решаемых особо. Приведем схему решения задач на построение. Задача.
На прямой, а найти точку, равноудаленную от двух заданных точек С и D. I Анализ.
Предположим, что задача решена и X — искомая точка. Тогда
1) точка X принадлежит прямой а-
2) отрезки ХС и CD равны, из чего следует, что точка X лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD, то есть Точка X принадлежит прямой I, перпендикулярной отрезку CD и проходящей через точку, А — середину отрезка CD.
Тогда X — точка пересечения прямых, а и I, причем прямая, а задана, а I — серединный перпендикуляр, определяемый точками С и D.
II Построение
Прямая, а — дана, точки С и D — даны.
1) Проведем отрезок CD.
2) Найдем середину отрезка CD точку А.
3) Проведем серединный перпендикуляр к отрезку CD — прямую I.
4) Точка пересечения прямых I и а, точка X -искомая.
Ill Доказательство.
1) Точка X принадлежит прямой а, что следует из четвертого пункта построения.
2) CX=CD, так какХ принадлежит прямой I — серединному перпендикуляру к отрезку CD.
V Исследование.
Построение зависит от положения прямых I и а.
Существует три различных возможности взаимного расположения этих прямых. 1) Прямая I совпадает с прямой а. Это возможно в том случае, когда отрезок CD перпендикулярен прямой а, а точки С и D равноудалены от этой прямой. В этом случае существует бесконечно много решений.
2) Прямые I и, а не имеют точек пересечения. Это возможно тогда, когда отрезок CD перпендикулярен прямой а, а точки С и D расположены на разном расстоянии от прямой а. В этом случае решений нет.
3) Прямые I и, а имеют единственную точку пересечения, если отрезок CD и прямая, а не перпендикулярны. В этом случае задача имеет единственное решение.
Использование движения для геометрических построений.
1. Используя поворот постройте правильный треугольник, пятиугольник, шестиугольник, десятиугольник.
Воспользуйтесь формулой для вычисления угла правильного многоугольника: ап = —--180° п
2. Используя известные вам свойства ромба или просто экспериментируя, придумайте как можно больше различных способов построения ромба применяя поворот, центральную и осевую симметрию.
Ниже опишите каждый метод построения и свойства, использованные при построении. Запишите алгоритмы построения ромба каждым способом с помощью скриптов. Какой способ оказался самым эффективным (наименьшее число шагов в построении). Почему?
Сравните найденные вами способы со способами, предложенными другими учениками.
Способ 1.
Свойства:
Способ 2.
Свойства:
Способ 3.
Свойства:
Способ 4.
Свойства:
Метод параллельного переноса.
Этот метод используется в тех задачах на построение, где заданы некоторые отрезки и углы между ними, но точек пересечения этих отрезков не дано. Сущность этого метода заключается в следующем: если фигуру F построить сразу не удается, то с помощью движения сначала преобразуют всю фигуру или ее какую-нибудь ее часть в фигуру F'. В результате такого преобразования получают некоторую вспомогательную фигуру, для построения которой достаточно данных, а затем совершают обратное преобразование.
Рассмотрим пример решения задачи на построение методом параллельного переноса. Задача.
Построить трапецию по двум диагоналям, углу между ними и боковой стороне.
Анализ.
Предположим, задача решена и трапеция ABCD — искомая. Тогда АВ = a, BD = di, АС = d2, ZAOD = ос.
Рассмотрим параллельный перенос отрезка BD на вектор ВС: TBc (BD) = CD'. Так как CD’U BD угол ZACD' = ос.
Треугольник ACD' может быть построен по двум сторонам и углу между ними (CD' = di, AC = d2, ZACD' = cc), этот треугольник определяет положение точек А, С, D'. Точка В может быть определена, как точка пересечения окружности с центром в точке А, радиуса, а и прямой I, параллельной отрезку AD'.
Точка D может быть получена параллельным переносом точки D' на вектор СВ: D =
Tcb (D').
Построение.
1. Построим треугольник ACD'(CD' = di, AC = d2, ZACD' = ос).
2. Проведем окружность с центром в точке А, радиуса а.
3. Через точку С проведем прямую I, параллельную отрезку AD'.
4. Отметим точку пересечения окружности и прямой I -точку В.
5. Выполним параллельный перенос точки D' на вектор СВ, получим точку D.
6. ABCD — искомая трапеция.
Доказательство.
1. Докажем, что четырехугольник ABCD является трапецией.
Отрезок ВС параллелен отрезку AD' (по 3 пункту построения), DD’ljCB (по 5 пункту построения), следовательно AD|| ВС, а значит ABCD — трапеция.
2. Покажем, что трапеция ABCD имеет заданные в условии элементы. Отрезок АВ = а, это следует из второго и четвертого пунктов построения- 60 = 01!, это следует из первого пункта построения-
АС = d2, ZAOD = ос. это следует из первого и пятого пунктов построения, следовательно ABCD — искомая трапеция.
Исследование.
Изменяя заданные отрезки и угол, проследим за тем как изменяется построенная трапеция и в каком случае построенная фигура «исчезает». Наблюдения показывают, что количество решений задачи зависит от соотношения длины заданного отрезка, а и расстояния отточки С до прямой AD, то есть высоты трапеции.
Если отрезок, а меньше высоты трапеции, то окружность с центром в точке А, радиуса, а и прямая I, параллельная AD, не будут пересекаться, следовательно точка В построена быть не может, а значит задача не будет иметь решения.
Если отрезок, а равен высоте трапеции, то прямая I является касательной к окружности, следовательно существует единственная точка пересечения В, а значит существует единственное решение задачи.
Если отрезок, а большее высоты трапеции, то прямая I и окружность пересекаются в двух точках следовательно задача имеет два решения.
Выразим значение высоты трапеции h через исходные данные, то есть через диагонали трапеции и угол между ними.
Sabd'= —а, d2 sina, с другой стороны SABd'= — AD'- h
По теореме косинусов: AD' = -ф.lf+ d — 2dtd2 cos, а. Из этих трех формул высота трапеции может быть выражена как 2S d[d2 sina
AD' ^dl+dl-ld^ cos a Ответ: d, d, sina
Если, а <, , то задача не имеет решений. yjd2 + d2 -2djd2 cosa d, d2 sina
Если, а =. , то задача имеет единственное решение. yd2 + d2 -2djd2 cosa d, d2 sina
Если, а >, , в этом случае решение задачи зависит еще и от д/dj +d2 -2djd2 cosa соотношения отрезка, а и диагонали d^ Если, а <то существует два решения. Если а> d!, то задача имеет одно решение. Если, а = dt, то решений нет.
Задания к теме
Решение задач на построение методом параллельного переноса".
Задача 1. Построить трапецию по четырем сторонам. Дано:
Построить трапецию ABCD: АВ= d, ВС -a, CD = b, AD =
Построение:
1. AA’CD (AC = d, CD = b, A’D = c-a) —
2. A: DA = c, A e (A'D) —
3. Ta. a (A'C) = AB-
4. ABCD — искомая.
На отдельном листе запишите доказательство и исследование.
Задача 2. Построить трапецию по двум основаниям и двум диагоналям. Дано:
Построить трапецию ABCD: AD = b, ВС = а, АС = db BD = d2. Построение.
1. AACD' (AC = di, CD' = d2, AD' = a + b) —
2. D: AD = b, De[AD']-
3. Tdd
4. ABCD — искомая.
На отдельном листе запишите доказательство и исследование.
Решение задач на построение методом симметрии.
Этим методом решаются задачи на построение, которые сводятся к отысканию пары симметричных точек на двух разных линиях, а также задачи, в которых предлагается построить некоторую ломаную, концы которой известны. В последнем случае удобно заменить ломаную отрезком прямой той же длины. Это достигается с помощью симметричных преобразований отдельных звеньев ломаной, затем выясняется, в какой точке надо согнуть отрезок прямой, чтобы получить нужную ломаную. Такой способ решения называется «спрямлением ломаной».
Задача.
Дана прямая / и две точки, А и В по одну сторону от нее. Найти на прямой точку М, такую, что сумма AM + MB принимает наименьшее значение.
Решение.
Пусть В' - точка, симметричная В относительно прямой /, а М — точка пересечения отрезка АВ' с прямой I. Докажем, что М — искомая точка. Возьмем точку М', отличную от М. Имеем:
AM' +М'В = АМ'+М'В'> АВ' = AM + MB' = AM + MB.
Задача 1.
Две окружности расположены по разные стороны от данной прямой. Построить равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины лежали на данных окружностях, а одна из высот на данной прямой.
Задача 2.
Две окружности расположены по разные стороны от данной прямой и точка А, принадлежащая этой прямой. Постройте ромб ABCD так, чтобы вершины В и D лежали на данных окружностях, а вершина С на данной прямой.
Решение задач на построение методом поворота.
Метод поворота применяется в тех случаях, когда надо построить фигуру с равными отрезками, исходящими из одной точки, угол между которыми известен или когда известен центр поворота в центрально симметричных фигурах.
Задача1.
Построить равносторонний треугольник ABC, так, чтобы его вершины находились на трех данных параллельных прямых.
Задача 2.
Построить равнобедренный прямоугольный треугольник так, чтобы вершины острых углов лежали на двух данных окружностях, а вершина прямого угла совпадала с данной точкой.
Задача 3.
Даны прямая, окружность и точка С. Построить равносторонний треугольник ABC так, чтобы вершина, А принадлежала данной окружности, а вершина В данной прямой.
Задача 4.
Даны точка А, окружность и прямая. Построить точку В на окружности и точку С на прямой такие, чтобы расстояние от них до заданной точки, А было одинаковым.
Тема 5. Гомотетия. Свойства гомотетии.
Определение. Гомотетия с центром О и коэффициентом к? Ю — геометрическое преобразование, которое произвольно взятую точку М переводит в такую точку М', что
ОМ" = кОМ.
В этом исследовании вам предстоит установить свойства гомотетии.
А В. — - щщшяшшшшшшшШШ с D 0о Ш
Построение.
1. Постройте отрезки АВ и CD, таким образом, чтобы длина отрезка АВ была больше длины отрезка CD.
2. Постройте произвольную точку О и вызовите команду Mark Center меню Transform.
3. Выделите отрезки АВ и CD и отметьте отношение отрезков AB/CD как Ratio в меню Transform. Найдите отношение этих отрезков с помощью меню Measure.
4. Постройте произвольный многоугольник.
5. Постройте многоугольник гомотетичный исходному, используя команду Dilate меню Transform.
6. Измерьте соответствующие углы первого и второго многоугольников.
7. Измерьте отношение произвольной стороны полученного многоугольника к площади исходного.
8. Измерьте площади многоугольников и найдите отношение площади полученного многоугольника к площади исходного.
9. Отметьте запись с отношением длин сторон и запись с отношением площадей и выберите команду Plot As (х, у) в меню Graph и Trace Point в меню Display.
Исследование.
Потяните за точку В, проследите за следом точки, построенной в пункте 9, который представляет собой график зависимости отношения площадей гомотетичных фигур от коэффициента гомотетии.
Ответьте на следующие вопросы:
1. Сохраняет ли гомотетия углы?
2. Является ли гомотетия движением? Ответ обоснуйте.
3. Где расположена фигура, гомотетичная исходной, если коэффициент гомотетии к <1, к>1, к= 1, к< 0, к = -1?
4. Являются ли гомотетичные фигуры подобными? Объясните почему.
5. Как связано отношение площадей гомотетичных фигур с коэффициентом гомотетии?
6. В какую фигуру перейдет при гомотетии отрезок, прямая, луч, окружность? Используйте построения для того, чтобы ответить на этот вопрос.
Тема 6. Решение задач на построение методом подобия.
Если условие задачи на построение можно разделить на две части так, что одна из них определяет форму искомой фигуры, а другая ее размеры или положение относительно данных фигур, то задача решается методом подобия (гомотетии). Решение конструктивных задач методом подобия заключается в том, что мы в начале не принимаем во внимание какое-либо данное (либо линейный элемент, либо положение искомой фигуры относительно данной),
Задания к теме «Решение задач на построение методом подобия».
Задача 1. В произвольный сектор вписать прямоугольник ABCD такой, что АВ: ВС = m: п, вершины А, В е ON, СеОМ, а вершина D лежит на дуге MN.
Задача 2. Дан угол ABC и точка М, лежащая внутри угла. Построить окружность, проходящую через точку М и касающуюся сторон данного угла.
Задача 3. В данный остроугольный треугольник ABC вписать квадрат MNPQ так, чтобы вершины М и Q находились на меньшей стороне треугольника, а N и Р на двух других сторонах треугольника.
Тема 7. Геометрические задачи на максимум-минимум.
Задача.
Равнобедренные треугольники описаны около квадрата со стороной, а так, что одна сторона квадрата лежит на стороне треугольника. Найти такое положение вершины треугольника В, при котором площадь треугольника наименьшая. Выразить высоту,
1. Построим квадрат MNPQ со стороной, равной длине произвольного отрезка а.
2. Проведем прямую, содержащую сторону квадрата MN.
3. Построим серединный перпендикуляр / к этой же стороне квадрата.
4. На прямой /, отметим произвольную точку В таким образом, чтобы расстояние от точки В до прямой MN было больше а.
5. Проведем лучи [BQ) и [BP).
6. Отметим точки пересечения лучей [BQ) и [BP) с прямой MN — точки, А и С, соответственно.
Исследование.
1. Измерим отрезок а.
2. Измерим расстояние от точки В до точки Н — точки пересечения прямой / с отрезком PQ.
3. Измерим площадь треугольника ABC.
4. Построим график зависимости между длиной отрезка ВН и площадью треугольника ABC. Для этого выделим записи с соответствующими измерениями и в меню Graph выберем команду Plot >4s (х, у). Выделим появившуюся точку К и вызовем команду Trace Point меню Display, после чего при изменении отрезка ВН точка К будет оставлять след -график зависимости.
5. Изменяя положение точки, найдем такое положение точки В, при котором площадь треугольника ABC минимальна. Сравним отрезки ВН и а.
Отрезок ВН = а.
Вывод: площадь равнобедренного треугольника, описанного около данного квадрата минимальна, если его высота вдвое больше стороны квадрата.
Задачи для самостоятельного решения. Задача 1. Из всех прямоугольников с периметром р найти прямоугольник с наибольшей площадью.
Построить график зависимости площади прямоугольника от длины одной из его сторон.
Sabcd = 3.91ст
Задача 2. Из всех прямоугольников с периметром р найти прямоугольник с наименьшей диагональю. Построить график зависимости диагонали прямоугольника от длины одной из его сторон.
АС = 3.23 cm
Задача 3. Из всех прямоугольников вписанных в полукруг радиуса R так, что одна сторона прямоугольника лежит на диаметре полукруга, выбран тот, у которого наибольшая площадь. Найдите эту площадь (выразив ее через R).
АВ =2.34 cm S ABCD=11−15cm2 ВС = 2.3 8 cm Radius ADB = 3.34 cm
Методические рекомендации к курсу
Изучение геометрии в среде The Geometer’s Sketchpad".
Тема 1.
Метод координат на плоскости. Графическое решение неравенств.
На изучение темы отводится теоретическое занятие и лабораторная работа. Теоретическое занятие.
Цель занятия: ознакомить учащихся с решением простейших геометрических задач в координатах в среде Geoemeter’s Sketchpad- сформировать представление о графическом решении алгебраических неравенств. Содержание занятия.
Знакомство с возможностями программы Geometer’s Skatchpad. Использование инструментов скетча для построения точек, прямых и окружностей. Координаты точек. Линии и их уравнения. Общее уравнение прямой. Угловой коэффициент прямой. Построение прямой линии по ее уравнению. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение окружности. Команды меню Graph: введение системы координат (Create Axes), построение точки с заданными координатами (Plot Point), определение координат точки (команда Coordinates меню Measure), определение уравнения прямой и окружности (команда Equation меню Measure).
Графическое решение системы неравенств. Следует вспомнить, что называется системой уравнений и системой неравенств- что значит решить систему неравенств- что называется решением системы неравенств. Задания для самоконтроля.
Изобразите множества, заданные следующими уравнениями или неравенствами:
1) х — у = 0-
2) х + у =0-
3) х2 — у2 = 0-
4) х2 + у2 = 0-
5) х2 + у2 = а-
6) (х-1)(х+3) = 0-
7) (х — 2) 2 +(у — З)2 = 16-
8) |х| = 3-
9) х> 1- Ю) |у| < 2-
11) (х-1)2 + / <4-
12)х2 + /+у — 7 = 0- х2 +у2 <
13) <
14 i'^
14) 1Ы<2″
Лабораторная работа.
Цель работы: закрепить навыки построения окружностей и прямых по их уравнению при решении неравенств графически.
Содержание занятия.
Два варианта заданий к этой теме приведены в
приложении. В процессе выполнения заданий, учащимся необходимо провести прямую, заданную некоторым уравнением, построить окружность по ее уравнению, изобразить множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторой системе неравенств.
Например, для выполнения первого задания: проведите прямую, заданную уравнением: у = 5х — 3, ученикам необходимо две отметить точки, через которые проходит эта прямая, например (0, — 3) и (1, 2) и выбрав в вертикальном меню инструмент «прямая», соединить эти точки прямой.
Чтобы построить окружность, заданную уравнением: (х-1) 2 + (у-1) 2 = 9, следует определить центр окружности и одну из точек, через которую проходит эта окружность. Центр окружности — точка с координатами (1,1). Так как радиус окружности равен 3, точка (1,4) принадлежит окружности. Построим эти точки и проведем окружность. Для того, чтобы изобразить множество, удовлетворяющее системе неравенств
Г (х-1)2+(у-1)2 < следует вспомнить, что первому неравенству у < 5х удовлетворяют точки лежащие внутри круга с центром в точке (1,1), радиуса 3. Решением второго неравенства является множество точек одной из полуплоскостей, на которые прямая делит плоскость.
Тема 2.
Построения в среде Geometer' Sketchpad.
На изучение темы отводится одно теоретическое занятие и одна лабораторная работа. Рассмотрение этой темы является подготовительным этапом к изучению темы использование движения для решения задач на построение.
Цель теоретического занятия: обобщить знания связанные с геометрическими построениями и решением конструктивных задач- научить пользоваться средой Geometer’s Sketchpad для выполнения геометрических построений. Содержание занятия.
Реализация геометрических построений в среде Geoemeter’s Sketchapad: деление отрезка пополам, построение параллельных и перпендикулярных прямых, построение биссектрисы угла, окружности с заданным центром и радиусом, деление отрезка в заданном отношении, дуги окружности сегмента и сектора круга. Меню Construct, команды: Point on Object, Point At Intersection, Point At Midpoint, Segment, Line, Ray, Perpendicular Line, Parallel Line, Angle Bisector, Circle By Center and Point, Circle By Center and Radius, Arc On Circle, Arc Through Three Points, Interior.
Простейшие геометрические построения и их выполнение в среде Geometer’s Sketchapd.
Материал, с которым должны быть ознакомлены ученики в ходе этого занятия, подробно изложен в
приложении 4 (тема 2).
Лабораторная работа.
Цель:
1) научить пользоваться инструментами среды Geometer’s Sketchpad для создания простейших геометрических объектов (точки, отрезка, прямой, окружности и др.), их обозначения и изменения их положения на экране-
2) научить выполнять геометрические построения в среде Geometer’s Sketchpad-
3) научить использовать инструменты Geometer’s Sketchpad для выполнения измерений.
Содержание занятия.
Учащимся предлагается используя теоретический материал предыдущего урока выполнить следующие построения в среде Geometer’s Sketchpad: построить произвольный отрезок и найти его середину- провести произвольную прямую и из произвольно установленной точки опустить перпендикуляр к этой прямой- построить серединный перпендикуляр к некоторому произвольному отрезку. Используя инструкции, построить касательные к некоторой окружности из некоторой точки- построить общие касательные двух окружностей, разделить отрезок в заданном отношении.
Следует отметить, что при выполнении построений учащиеся опираются на многие геометрические факты, изученные ранее, поэтому можно утверждать, что в выполнения таких конструктивных задач способствует систематизации геометрических знаний.
Тема 3. Преобразование плоскости.
На изучение темы отводится одно теоретическое и одна лабораторная работа. Цель теоретического занятия: познакомить с геометрическими преобразованиями плоскости, сформировать представление о движениях плоскости и их реализации в среде Geometer’s Sketchpad. Содержание занятия.
Преобразование плоскости. Движение. Параллельный перенос. Поворот. Осевая симметрия. Центральная симметрия. Реализация движений плоскости в среде Geometer’s Sketchpad. Меню Transform, команды: Translate, Rotate, Reflect, Mark Vector, Mark Center, Mark Mirror.
Материал, с которым должны быть ознакомлены ученики в ходе этого занятия, подробно изложен в
приложении 4 (тема 3).
Лабораторная работа «Использование движения для геометрических построений».
Цель: научить пользоваться инструментами среды Geometer’s Sketchpad для реализации движений плоскости- показать, как движение может быть использовано при некоторых геометрических построениях.
Содержание занятия.
1. Использование поворота для построение правильного многоугольника. Учащимся предлагается построить правильный треугольник, пятиугольник, шестиугольник, десятиугольник, воспользовавшись формулой для вычисления внутреннего угла правильного многоугольника. Угол может быть вычислен с помощью команды Calculate, если ввести соответствующую формулу: и
Цель задания показать, как с помощью движения могут быть выполнены построения, решение которых с помощью циркуля и линейки представляет трудоемкую и неочевидную задачу.
Во втором задании ученики должны используя все известные им свойства ромба построить его различными способами. Задание с одной стороны способствует систематизации знаний об этой геометрической фигуре, а с другой, нацелено на закрепление навыков использования инструментов среды Geometer’s Sketchpad, предназначенных для выполнения геометрических преобразований. Вот некоторые из возможных способов выполнения построения ромба. Способ 1.
Проведем произвольный отрезок и построим серединный перпендикуляр к этому отрезку. Отметим произвольную точку на перпендикуляре и соединим отрезками точку с концами исходного отрезка. Выполним осевую симметрию относительно отрезка. Свойства, используемые при этом построение: диагонали ромба перпендикулярны. Диагонали ромба являются осями симметрии. Способ 2.
Построим произвольную окружность. Отметим на окружности две точки и соединим отрезками эти точки и центр окружности. Полученный равнобедренный треугольник отразим относительно основания.
Свойства: стороны ромба ровны, ромб имеет ось симметрии, которой является диагональ.
Способ 3.
Построить равнобедренный треугольник, через точки, лежащие на окружности, провести прямые, параллельные противоположным сторонам. И так далее.
Происходящее в настоящее время изменение образовательной парадигмы, направленное на обеспечение развития и саморазвития личности учащегося и связанное с переходом от узкопредметных знаний к метапредметным, влечет не только появление новых предметов изучения, но и изменение подходов к изучению традиционных дисциплин. Целью обучения в таком случае становится как передача и усвоение знаний, так и выработка умений и навыков исследования информации, обмена ею и использования для получения новых знаний и создания образа окружающего мира.
Основным техническим средством передачи и переработки информации в настоящее время является компьютер, выступающий в качестве инструмента построения знания. Возможность использования компьютера как средства обучения была предметом исследования многих педагогов, психологов, специалистов по вычислительной технике (А.П.Ершов, М. А. Далингер, Б. С. Гершунский, В.А.Извоз-чиков, Е. И. Машбиц, В. М. Монахов, О. К. Тихомиров и др.).
В большинстве исследований, посвященных различным аспектам компьютерного обучения, компьютер рассматривается как техническая база автоматизированных обучающих систем (АОС), реализующих идеи программированного обучения. Опыт использования обучающих программ, выполняющих различные функции АОС, позволил выявить целый ряд недостатков, присущих компьютерному обучению, основанному на идеях программированного обучения. К ним относятся следующие: компьютер позволяет обучать лишь простому материалукомпьютерное обучение не способствует развитию инициативы учащегосяобучение путем подкрепления ответа хуже чем обучение, основанное на интеллектуальных упражненияхкомпьютерное обучение не дает возможности получить целостное представление об изучаемом предмете.
Психологи, исследующие проблему компьютеризации обу-чения (А.В.Брушлинский, В. Ф. Венде, Т. И. Гергей, В. П. Зинченко, В. Н. Каптелинин, Б. Ф. Ломов, Е. И. Машбиц, Л. В. Путляева, А. Я. Савельев, Н. А. Садовская, О.К.Тихоми-ров и др.), отмечают, что компьютерное обучение, которое сводится к процедуре передачи с помощью ЭВМ определенного объема знаний по некоторому алгоритму, может привести к дегуманизации мышления. При широком использовании компьютеров в учебном процессе нарушается соотношение между формально-логическим и творческим стилями мышления. Формально-логическое мышление, характеризующееся высоким уровнем абстракций, получает мощный дополнительный стимул. Значение творческого, образного мышления при этом снижается, в результате чего следует ожидать, что творческое мышление будет систематически подавляться (Н.А.Андриевская, Л. В. Путляева, Б.С.Гер-шунский, А.А.Вербицкий).
Массовое внедрение в последние годы компьютерных технологий во все сферы деятельности человека, обусловленное появлением персональных компьютеров нового поколения с качественно новыми вычислительными и логическими возможностями, совершенным интерфейсом, развитие на этой основе компьютерных технологий обучения и расширение дидактических возможностей компьютера создают предпосылки для коренного изменения процесса обучения с использованием компьютерных технологий.
В связи с этим становится актуальным пересмотр представления и определение роли и места компьютерных технологий в процессе обучения вообще, и в школьном обучении в частности.
Особый практический интерес представляет определение роли и места компьютерных технологий в обучении геометрии в связи с тем, что использование компьютерных технологий в обучении геометрии способно не только повысить эффективность обучения за счет наглядного представления информации, оказывающего положительное влияние на формирование и развитие гибкого геометрического мышления (Ш.Ж.Асылбеков, Е. В. Баранова, В.В.Гу-зеев, В. А. Далингер, Н. В. Розов, С. Н. Поздняков, А.М.Са-вин, С. А. Титоренко, И. Ф. Шарыгин, и др.), но и создает представление о профессиональной деятельности, связанной с проектированием, конструированием и другой обработкой визуальной информации в профессионально-ориен-тированных автоматизированных рабочих местах.
Анализ существующих компьютерных программ учебного назначения по геометрии показал, что инструментальные предметно-ориентированные среды по геометрии, такие как Cabri, The Geometer’s Sketchpad, обладают значительным преимуществом по сравнению с традиционными диалогово-обучающими или демонстрационными программами. Предметно-ориентированные среды позволяют оперировать с геометрическими объектами определенного класса, реализуют геометрические построения и преобразования. Преимущество их использования состоит в том, что учитель может самостоятельно создавать на их основе систему заданий и демонстрационные материалы, соответствующие целям и задачам конкретного урока. Однако, использование предметно-ориентированных сред в процессе обучения геометрии требует разработки методического сопровождения и подготовки к их использованию специалистов.
Таким образом, необходимость пересмотра содержания компьютерного обучения геометрии с учетом результатов психологических и педагогических исследований, расширение дидактических возможностей компьютера и проблема подготовки специалистов к применению современных компьютерных технологий в школьном обучении определили актуальность темы исследования «Методика реализации компьютерного обучения геометрии в средней школе» .
Цель исследования: определение принципов и способов интеграции компьютерных технологий в обучение геометрии и разработка на этой основе методики их реализации в учебном процессе.
Объект исследования — процесс обучения геометрии с использованием компьютерных технологий обучения.
Предмет исследования — подготовка специалистов к реализации компьютерного обучения геометрии.
Гипотеза исследования: изучение студентами математического факультета педагогических вузов дидактических возможностей компьютера в обучении геометрии, психолого-педагогических основ компьютерного обучения, основ конструирования и применения программных средств обучения обеспечивает формирование у них уровня знаний и умений, достаточного для эффективного применения компьютерных технологий в процессе обучения геометрии в школе.
Задачей исследования является определение роли и места компьютерных технологий в обучении геометрии, которая включает ряд частных задач:
1)разработка и исследование принципов интеграции компьютерных технологий в процесс обучения геометрии с учетом современных дидактических возможностей компьютера, психологических и дидактических требований к компьютерному обучению;
2)исследование методических возможностей компьютерных программ учебного назначения по геометрии и разработка рекомендаций по их использованию в процессе изучения школьного курса геометрии;
3)разработка методики применения предметно-ориентированной инструментальной среды «The Geometer’s Skecthpad» на различных этапах школьного обучения геометрии;
4)определение требований к уровню подготовки учителей для реализации компьютерного обучения и разработка методики подготовки учителей математики и информатики к реализации компьютерного обучения;
5)разработка курса «Компьютерное обучение геометрии в средней школе» в рамках предмета «Новые информационные технологии в образовании» для студентов математических факультетов педвузов;
6)разработка принципов конструирования компьютерных программ учебного назначения по геометрии и открытой компьютерной предметно-ориентирова-нной среды по геометрии, реализующей эти принципы;
7)экспериментальная проверка эффективности разработанных методик.
В ходе исследования нами использовались следующие методы: анализ психолого-педагогической, методической и учебной литературы по проблеме исследования, методы системного анализа, психолого-педагогический анализ учебного процесса и учебно-познавательной деятельности, педагогические наблюдения, беседы, анкетирование учителей и учащихся, организация и проведение экспериментов (констатирующего, поискового и формирующего), количественная обработка и качественная интерпретация экспериментальных данных.
Научная новизна работы состоит в том, что:
— разработаны и научно обоснованы принципы применения современных компьютерных технологий в обучении геометрии и разработана предметно-ориентированная среда, в которой реализованы сформулированный принципы;
— разработана научно обоснованная методика применения программы «The Geometer’s Sketchpad» в процессе обучения геометрии в 7−9 классов;
— разработана научно обоснованная методика подготовки учителей математики и информатики к реализации компьютерного обучения геометрии.
Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что: разработанная методика применения предметно-ориентированной среды «The Geometer’s Sketchpad» дополняет традиционную методику обучения геометрии и позволяет эффективно использовать дидактические возможности компьютера в рамках предметного обучения в средней школеразработанная открытая предметно-ориентированная среда «Геометрия» позволяет сформировать представление о принципах конструирования программ средств учебного назначения по геометрии и может быть использована при подготовке студентов математических специальностей педагогических вузов к применению современных компьютерных технологий в процессе обучения.
Достоверность полученных результатов и научных выводов обеспечивается:
— анализом проблемы, основанным на теоретических концепциях компьютерного обучения;
— результатами педагогического эксперимента, подтвердившего основные положения диссертации.
Апробация работы. Результаты исследования докладывались и обсуждались на:
— научно-практической конференции «Актуальные проблемы информатизации в образовании» — г. Санкт-Петербург, 1995 г.;
— семинарах для учителей информатики Приморского и Ва-силеостровского районов г. Санкт-Петербурга, 1995;1997гг;
— научно-методических семинарах кафедры «Информатики и вычислительной техники» РГПУ им. А. И. Герцена.
Практические результаты диссертационного исследования внедрены в учебный процесс:
— экспериментальной школы-лаборатории № 597 Института Продуктивного Обучения РАО;
— средней общеобразовательной школы № 16 Василеост-ровского района г. Санкт-Петербурга;
— Центра информатизации образования Института продуктивного обучения РАО;
— математического факультета РГПУ им А. И. Герцена.
На защиту выносятся следующие положения:
— принципы и методы применения компьютерных технологий в обучении геометрии;
— содержание и методика проведения в курсе геометрии 7−9 классов уроков — лабораторных работ с использованием компьютера;
— разработана научно обоснованная методика применения программы «The Geometer’s Sketchpad» в процессе обучения геометрии в 7−9 классов;
— содержание и методика курса «Компьютерное обучение геометрии в средней школе» для студентов математического факультета педагогических вузов.
Вывод:
Создание программы «Геометрия» позволило решить ряд проблем, возникающих при использовании инструментальной предметно-ориентированной среды «The Geometer’s Sketchpad» в процессе обучения геометрии.
Открытость системы, в смысле возможности работы с исходным текстом программы, позволяет использовать эту программу как обучающее средство, демонстрирующее основные принципы построения предметно-ориентированных систем, познакомить со спецификой объектно-ориентированного программирования и технологией программирования в среде Windows. Структура системы приведена в приложении 5.
§ 4.Содержание и структура курса «Компьютерное обучение геометрии в средней школе» в рамках предмета «НИТО» для студентов математических факультетов педвузов.
Одной из наиболее важных проблем компьютеризации образования является проблема подготовки учителей к реализации компьютерного обучения. С этой целью был разработан и апробирован курс «Компьютерное обучение геометрии в средней школе». Цель параграфа — представить данный курс.
В условиях компьютеризации школьного образования авторитарная схема синхронного управления классом из нескольких десятков человек постепенно себя изживает. Компьютер способен весьма значительно помочь учителю в определении его нового места в классе.
1. Компьютер замыкает на себе большую часть контрольных функций и реакций на ошибки ученика. Учитель освобождается от необходимости выявить слабые места в знаниях учащихся, его отношение к детям становится более позитивным.
2. Компьютер освобождает учителя от необходимости поддерживать темп и тонус деятельности каждого ученика. Учитель имеет возможность видеть обстановку в классе в целом или уделять внимание отдельному ученику.
Участвуя в учебном процессе, компьютер неизбежно приводит к изменению действий учащихся и функций учителя. Многова-риативность, слабая формализуемость, большая доля субъективного фактора в подготовке и проведении урока, изложении материала учебной темы, характерные для преподавания предмета с применением ЭВМ, резко усложняют решение проблемы создания методик, ориентированных на применение программного обеспечения в учебно-воспитательном процессе. Эта сложность с одной стороны, и значительные потенциальные возможности ЭВМ, в другой стороны, требуют от учителей, методистов, психологов и педагогов поиска и обоснования эффективных способов организации учебно-познавательной деятельности учащихся в условиях компьютерного обучения. Это касается: [38, стр. 82].
— формирования мотивации и познавательного интереса в учении;
— установления рационального, педагогически оправданного, диалогового общения учащегося с компьютером на всех этапах представления и усвоения соответствующей учебной информации;
— сочетание индивидуальной, групповой и коллективной форм компьютерного обучения;
— активизация учебно-познавательной деятельности учащихся, развитие их самостоятельности;
— организация оперативного контроля и самоконтроля результатов учебно-познавательной деятельности с последующей (в случае необходимости) коррекцией процесса обучения;
— выяснение наиболее эффективных путей формирования творческих способностей учащихся;
— организация наиболее продуктивной по своим результатам взаимодеятельности педагога и учащихся, а также учащихся друг с другом в условиях компьютерного обучения.
Решение перечисленных задач требует поиска действенных путей разработки качественных методик создания и использования компьютерных программ учебного назначения. Следующие требования к компьютерному обучению сформулировал В. А. Далингер. [54].
1. Компьютер не может заменять учителя.
2. Компьютер не в состоянии передавать тонкие нюансы прямой человеческой коммуникации. Применение КТО может привести к успеху, только в том случае, если будет учтен человеческий фактор.
3. Применение обучении компьютерных технологий не должно ставить учителя в роль инструктора, пассивно наблюдающего за работой учащихсяих использование не должно отрицать или ограничивать творческой роли учителя.
4. Учителю должен быть отдан приоритет в таких вопросах как:
— создание творческой познавательной атмосферы в классе;
— стимулирование интереса учащихся к процессу обучения- -поддержание рабочей дисциплины;
— организация общения и сотрудничества учащихся для коллективного решения общих проблем.
Сложности, связанные с КО требуют от учителя специальной подготовки. Подготовке учителя к реализации компьютерного обучения должно быть уделено особое внимание.
В основных положениях доктрины УМО ИПО (Учебно-методическое объединение педагогических учебных заведений МО РФ по информатизации общества) вопросы подготовки учителя к использованию НИТ в профессиональной деятельности нашли свое отражение.
Применительно к вопросу об информатизации высшего педагогического образования отмечено следующее:
1. «Информатика как образовательно-профессиональная и учебно-научная дисциплина по непрофильным (по отношению к информатике) направлениям и специальностям подготовки должна входить в область предметной подготовки специалистов;
2. Элементы педагогической информатики и компьютерные технологии обучения как разновидность образовательных предметных технологий должны стать органической частью психолого-педагогических блоков стандартовбакалавр и учитель должны получать вполне конкретные сведения о назначении и использовании программных инструментов информатики: а) обслуживающих методы психолого-педагогического анализа (диагностика, тестирование, моделирование педагогических ситуаций) — б) поддерживающих предметные технологии (включая НИТО и методики преподавания предмета), реализуемые на школьном уроке." [46].
Деятельностный блок стандарта бакалавриата содержит педагогические предметные технологии, в реализации которого находят сбалансированное отражение компьютерные технологии обучения во всех их основных аспектах:
1) теоретико-методологический (обще-педагогический);
2) собственно технологии в образовании, обеспечиваемые НИТО;
3) аспекты методики преподавания предмета, которые связаны с использованием НИТ в обучении. «.
Курс «Новые информационные технологии в образовании» ставится на III курсе, его объем колеблется от 20 до 30 лекционных часов и от 50 до 60 часов лабораторных работ. В поддержку практического аспекта изучения НИТО и конкретных методических приемов учебной деятельности на базе компьютерного кабинета ставится недельная «Учебная практика в КВТ», которая интегративной поддержкой и завершением освоения всего учебного компонента «Педагогические предметные технологии». Итак, в связи с тем что информатика в образовательных стандартах высшего педагогического образования должна активно работать на предметную подготовку будущего специалиста, быть ее органической частью, становится актуальным отбор содержания и разработка курса «Новые информационные технологии в образовании» для специальностей, где информатика не является профильной дисциплиной.
Изучение курса «Компьютерное обучение геометрии в средней школе «должно сформировать у студентов и учителей математики средней школы представления о дидактических возможностях компьютера, выработать навыки практического использования компьютерных обучающих программ в учебном процессе.
Целью курса «Компьютерное обучение геометрии в средней школе «является:
— знакомство с современными компьютерными технологиями обучения;
— сообщение знаний о дидактических возможностях компьютера и их использовании в процессе обучения геометрии;
— изучение структуры, возможностей существующего программного обеспечения, которое может быть использовано при обучении геометрии;
— практическое освоение предметно-ориентированной среды по геометрии «The Geometer’s Sketchpad» ;
— знакомство с отечественными разработками в области создания программного обеспечения для обучения математики;
— знакомство с методикой их применения при обучении геометрии.
Курс «Компьютерное обучение геометрии в средней школе» рассчитан на 20 часов. Из них 10 практических и 10 лекционных.
Программа курса представлена в таблице 5. Содержание и объем лекционных занятий.
1. Понятие о компьютерной технологии обучения. Поколения компьютерных технологий обучения. Обучающие машины. Программированное обучение. Автоматизированные обучающие системы. Виды АОС. Современные КТО и перспективы развития. Психологические и дидактические аспекты различных технологий обучения.
2. Дидактические возможности компьютера. Специфика и возможности применения компьютера на различных этапах школьного обучения математики. Классификация программного обеспечения по математике.
3. Концепция «Visual Geometry». Инструментальная интерактивная среда «The Geometer’s Sketchpad» как часть проекта «Живая геометрия». Структура, функции и методика применения инструментальной интерактивной среды «The Geometer’s Sketchpad» .
4. Принципы конструирования компьютерных программ учебного назначения.
Заключение
.
Как было показано во введении, актуальность исследования была определена необходимостью пересмотра содержания компьютерного обучения геометрии с учетом результатов психологических и педагогических исследований, расширение дидактических возможностей компьютера и проблема подготовки специалистов к применению современных компьютерных технологий в школьном обучению.
Результатом анализа психолого-педагогической литературы стал вывод о необходимости включать проблемные методы в компьютерное обучение, реализовавать деятельностный подход в условиях компьютерного обучения. Сделанные выводы позволили сформулировать принципы, предъявляемые к компьютерному обучению геометрии.
Анализ методических возможностей компьютерных программ учебного назначения по геометрии показал, что предметно-ориентированные среды позволяют наиболее полно реализовать сформулированные принципы компьютерного обучения геометрии. Для экспериментального подтверждения правильности сформулированных принципов были разработаны и внедрены в учебный процесс школ № 16 и № 597 курсы, основанные на использовании предметно-ориентированной среды «The Geometer’s Sketchpad». Результаты поискового и формирующего эспе-риментов показали эффективность разработанной методики применения предметно-ориентированной среды и необходимость подготовки специалистов к реализации компьютерного обучения.
Разработанный курс «компьютерное обуечние геометрии в средней школе», знакомящий будущих учителей математики и информатики с дидактическими возможностями компьютера в обучении геометрии, психолого-педагогическими основами компьютерного обучения, основами конструирования и применения программных средств обучения, обеспечивает формирование у студентов математических специальностей педагогичсе-ких вузов уровня знаний и умений, достаточный для эффективного применения компьютерных технологий в процессе обучения геометрии в школе.
