Задача управления финансовыми ресурсами коммерческого банка: математическое моделирование, исследование и вычислительный эксперимент

В настоящее время методы математического моделирования находят все более широкое применение в решении прикладных экономических задач. Это обусловлено с одной стороны, развитием и усложнением экономических отношений и появлением новых задач, с другой стороны — развитием математического моделирования: разработкой новых классов моделей, методов и инструментальных средств. Одной из новых и перспективных областей их приложения являются задачи оптимального управления в банковской сфере.

Актуальность данных задач определяется тем, что на фоне экономической стабилизации и снижения уровня инфляции наблюдается тенденция к уменьшению банковской маржи и прибыльности банковских операций. В этих условиях выработка эффективных управленческих решений с помощью одного лишь интуитивного моделирования затруднена или даже невозможна: необходимо применение строгих подходов, учитывающих сложные экономические взаимосвязи, внутренние и внешние факторы, влияющие на деятельность банка. Существенную помощь в этом могут оказать задачи оптимального управления, которые могут использоваться при управлении финансовыми ресурсами банка.

Исследования в области управления финансовыми ресурсами банка ведутся за рубежом с 60−70-х годов прошлого века, однако единого подхода к решению данной проблемы пока не выработано. В качестве одной из причин этого можно назвать сложность банка как системы, обуславливающую сложность разработки адекватных моделей и эффективных методов их исследования.

Наиболее адекватную постановку задачи управления обеспечивают полные динамические оптимизационные модели, однако при решении соответствующих задач управления возникают трудности в применении известных методов, например, основанных на проверке достаточных условий оптимальности. Это вызвано, в частности, значительной размерностью таких моделей и, как правило, сложной системой ограничений. По этой причине в некоторых случаях используются упрощенные модели или подходы к решению задачи, не всегда обеспечивающие получение оптимального решения.

В связи с этим создание адекватной оптимизационной модели управления финансовыми ресурсами банка и разработка эффективного метода решения соответствующей задачи управления представляются весьма актуальными.

Объектом исследования является коммерческий банк, рассматриваемый как система управления финансовыми ресурсами.

Предполагается, что рассматриваемый банк осуществляет большое количество сделок, каждая из которых в отдельности существенно не влияет на совокупные денежные потоки банка. Кроме этого предполагается, что операции банка не оказывают значительного влияния на финансовые рынки, т. е. банк не относится к системообразующим.

Предметом исследования является задача оптимального управления финансовыми ресурсами коммерческого банка и конструктивный метод ее решения. Основная идея метода состоит в переходе от исходной задачи к задаче импульсного управления и редукции последней к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений с неравенствами, для исследования которой реализован и адаптирован конструктивный метод, предложенный в [50].

Целью диссертационного исследования является создание динамической оптимизационной модели финансовых ресурсов коммерческого банка, разработка и реализация конструктивного метода решения соответствующей задачи оптимального управления. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1) Комплексное исследование проблемы управления финансовыми ресурсами банка с точки зрения математического моделирования;

2) Разработка оптимизационной модели и постановка на ее основе задачи оптимального управления финансовыми ресурсами банка;

3) Разработка и реализация конструктивного метода решения поставленной задачи с применением современных компьютерных технологий;

4) Проведение вычислительного эксперимента, иллюстрирующего эффективность предложенного подхода.

Основными методами исследования являются методы общей теории линейных функционально-дифференциальных уравнений [9], а также конструктивные методы исследования краевых задач и задач импульсного управления [39], [50].

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Создана полная динамическая оптимизационная модель финансовых ресурсов банка с непрерывным временем и постоянным запаздыванием.

2. Разработан и реализован конструктивный метод решения соответствующей задачи оптимального управления, включающий в себя.

— редукцию исходной задачи к задаче импульсного управления;

— редукцию задачи импульсного управления к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений с краевыми условиями-неравенствами;

— способ решения полученной краевой задачи.

Теоретическая значимость результатов исследования состоит в том, что предложенные идеи и методы развивают перспективное направление в математическом моделировании, связанное с применением импульсных задач.

Практическая ценность состоит в прикладном характере модели, которая при соответствующей адаптации может быть использована в качестве инструмента планирования в банках. Самостоятельную практическую ценность имеет и предложенный подход к решению задачи, так как он может быть применен к решению других подобных задач оптимального и импульсного управления.

Основные идеи и результаты исследования докладывались и обсуждались на ежегодной научной конференции экономического факультета ПГУ (Пермь, 1998 г.), международной научно-технической конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий» (Сочи, 1999 г.), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.), научном семинаре кафедры экономической кибернетики ПГУ под руководством профессора В. И. Аверина (Пермь, 2002 г.), научном семинаре Международной лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей под руководством профессора В. П. Максимова (Пермь, 2003 г.), Пермском городском семинаре по теории функционально-дифференциальных уравнений под руководством профессора Н. В. Азбелева (Пермь, 2003 г.), научном семинаре по современным технологиям управления ООО «Информ-Консалтинг» (Пермь, 2003 г.).

Исследования выполнялись в рамках программы «Университеты России» (2000;2001, № 015.03.01.025- 2002;2003, № УР.03.01.023) и при поддержке Конкурсного центра фундаментального естествознания (2003, Е02−2.0−63).

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [27]-[31], [67], [68].

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

В первой главе вводятся основные понятия и определения, формулируется сущность рассматриваемой проблемы и дается обзор подходов к ее решению.

Во второй главе диссертации рассматривается построение динамической оптимизационной модели финансовых ресурсов банка и постановка соответствующей задачи оптимального управления.

В третьей главе исследуются возможности решения поставленной задачи с помощью классических методов теории оптимального управления и предлагается эффективный метод решения.

Четвертая глава посвящена проведению вычислительного эксперимента и анализу его результатов.

В заключении формулируются основные выводы и рассматриваются возможные направления дальнейших исследований.

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

Условимся о некоторых обозначениях, которые будут использоваться в дальнейшем. Пусть 0 = /0 < <.

R" — линейное нормированное пространство вещественных векторов, а = со1{а.,., а"} - llall = max la, Iдля a,/3eR" неравенство, а <> /3 означает, что а1 < Д, / = 1,.- L" - линейное нормированное пространство вектор-функций z :[0,Г]—> R", z (.) = col{zl (.),., zn (.)}, компоненты которых суммируемы по Лебегуо.

КС" - линейное нормированное пространство кусочно-непрерывных вектор-функций gr:[0,r]—"R", g (.) = col{gi (.),., gn (.)} с возможными точками разрывов tx,., tm, ||g|| = sup ||g (0||- е[0,Г].

D" - линейное нормированное пространство вектор-функций х: [О, Г] -> R", д:(.) = co/{x, i (.),., x/I (.)}, компоненты которых абсолютно непрерывны,.

DS" (m) — линейное нормированное пространство кусочно абсолютно непрерывных вектор-функций R", у (.) = col[y{(.),., уп (.)}, yeL", представимых в виде m y{t) = y{0)+y{s)ds + Y, Xr r-i (/)• Ay (tq), о 9=1 Li' J где Ay (tq) = y (tq)-y (tq- 0), Ay = col {y (0), Ay (i,),., Ду (/т)} ~~ характеристическая функция отрезка^Jq, Г J,.

0 =.

0 /*[/ Г]' ll^llD5-W==Wr+IML".

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В проведенном диссертационном исследовании рассмотрена задача оптимального управления финансовыми ресурсами банка и предложен подход к ее решению. В ходе исследования решены следующие задачи:

1. Проведен комплексный анализ проблемы управления финансовыми ресурсами банка с позиции математического моделирования: рассмотрены элементы системы управления, проанализированы их основные характеристики и системные свойства;

2. Проанализирован имеющийся опыт решения задач оптимального управления финансовыми ресурсами банка, в результате которого сделан вывод об актуальности проблемы построения адекватной математической модели и разработки конструктивного метода решения соответствующей задачи оптимального управления;

3. Разработана оптимизационная модель финансовых ресурсов банка, относящаяся к классу динамических моделей с непрерывным временем и постоянным запаздыванием, записываемая в векторной форме. На ее основе поставлена задача оптимального управления финансовыми ресурсами банка;

4. Рассмотрены возможности решения поставленной задачи с помощью одного из классических методов теории оптимального управления. Разработан и обоснован конструктивный метод решения задачи, связанный с переходом к задаче импульсного управления с функциональными ограничениями, ее редукции к краевой задаче и решении последней с применением ЭВМ.

5. Проведен вычислительный эксперимент на модельных данных, подтвердивший реализуемость и эффективность предложенного подхода.

На защиту выносятся задача оптимального управления финансовыми ресурсами банка и метод ее решения.

Полученные в ходе исследования результаты имеют практическую ценность и теоретическую значимость.

Теоретическая значимость результатов состоит в том, что предложенные идеи и методы развивают одно из перспективных направлений в математическом моделировании, связанное с применением импульсных задач.

Практическая ценность состоит в прикладном характере модели, которая при соответствующей адаптации может быть использована в качестве инструмента планирования, обеспечивающего эффективное управление финансовыми ресурсами банка. Самостоятельную практическую ценность имеет и предложенный подход к решению задачи, так как он может быть применен к решению других подобных задач оптимального и импульсного управления.

Дальнейшие исследования могут осуществляться как в отношении задачи, так и в отношении метода ее решения.

В первом случае исследования могут быть связаны с вопросами практической реализации и внедрения задачи в систему планирования банка, включая вопросы информационно-аналитического взаимодействия.

Во втором случае исследования могут быть направлены на развитие метода для решения более широкого круга задач импульсного управления, например, задач с линейными функциональными ограничениями с переменными коэффициентами, линейными функционально-дифференциальными уравнениями более общего вида.