В настоящее время в биологии, теории управляемых систем, радиотехнике и особенно в динамических упругих системах с учетом реальных свойств материала часто приходится иметь дело с такими колебательными процессами, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями высокого порядка.
Простым примером колебательной системы третьего порядка является тело с массой т, закрепленное на консольной балке, которая изготовлена из вязко-упругого материала типа 1ука-Максве-ла. Условная схема системы изображена на рис, I. Уравнения движения указанной системы имеют вид мое + сх + # (х-в) = р, # (?-X) + где т — масса, $ - коэффициент вязкости, К и с — жесткости, р — внешняя сила. Смысл величин х и 2 показан на рис. 1, инерция демпфера не учитывается.
Исключая переменную 2, получим дифференциальное уравнение третьего порядка.
С. «с Л, ' 1>
5 О ' т (0*1) т 1 иЛ.
ОС.
Рис. I.
В’биологии при изучении таких важных явлений, как дифферен-цировка ткани или изоляции видов, необходимо изучение бифуркации стационарной точки. В некоторых случаях требуется изучение окрестности сложных особых точек, которые тесно связаны с дифференциальным уравнением вида [7] ос + со2х = е^сх^х) ^.
Некоторые управляемые системы также описываются дифференциальным уравнением третьего порядка [25] х =о — (0.3) в котором нелинейность обуславливается центральной восстанавливающей силой. Здесь периодические решения уравнения (0.3) представляются с помощью метода возмущений в виде гармонических функций.
Работы [11,12,13] посвящены исследованию дифференциальных уравнений типа.
0.4) ос+ах + Ьх+х + (И^ос)^ совсоЬ).
Нелинейная функция представляется в виде разложения по ультрасферическим полиномам, в котором удерживается линейный член. Здесь рассмотрена зависимость амплитуды от частоты о> вынужденных колебаний [31,33] и устойчивость системы в случае х5 [34] .
В работе Осинского 3. и Боядаеева Г. [28] асимптотический метод, разработанный Митропольским Ю. А., применен для построения решений уравнения типа где Т= ?¦? — медленно менящееоя время. Решение этого уравнения найдено в форме х =а + Ьсо5ср+бЦ?1,олЬ, ч/) +. — сИ.
Мартышок Д.И. и Форчук В.й. [ 9] рассмотрели периодические решения дифференциального уравнения пго порядка с запаздыванием типа г^(*,., о*7″ &-) сДсо.7) где? — малый параметр, функция 4 периодическая по ^ с перио дом яте и аналитическая по остальным переменным в области.
Т, к, -некоторые положительные достоянные, х (-*—т) Авторы показали, что заменой переменных уравнение (0.7) можно привести к системе уравнений стандартного вида. Для исследования периодических решений такой системы можно использовать затем метод усреднения Боголюбова и Митропольского, но при таком приведении решения уравнения (0.7) зависят от дробных степеней б и исследование периодических решений затрудняется. Поэтому желательно построить алгоритм, позволяющий находить периодические решения уравнения (0.7), содержащие только целые степени ё Изложенный в [3] алгоритм для обыкновенных дифференциальных уравнений пго порядка помог достичь этой цели.
Периодические решения уравнения (0.7), содержащие только целые степени I, строятся на основе следующей теоремы.
Теорема 9. Для любого положительного Ь < й существует >о такое, что для каждой постоянной, а, удовлетворяющей условию|а/<�Ь"и каждого ее[-£1}6^] существует единственная функция 2 = Ъ (+ ,'а, 8), аналитическая по, а, ? и удовлетворяющая соотношению где I — тождественный оператор, В — оператор усреднения. Функцию ¿-а) можно получить методом последовательных приближений по формуле сГ.
0.8) сИп сИп.
0.9).
Если существует о < < и аналитическая функция а (£) такие, что ал, а (в),?)у.у ,|од),?), е) =, о ь ^ к при ¡-¿-иег> (оло) то) Е) является периодическим решением уравнения (0.7) и, обратно, если уравнение (0.7) имеет периодические решение зс (и> с периодом ги, при ¡-¿-<�£2<�е1, то при условии, что Я (£) определяется выражением (ОЛО).
Исследование нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка можно найти также в некоторых других статьях, например, в [6,8,26,27,29,30,32]. В этих работах автора использовали различные методы отыскания решений нелинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка в конкретных случаях.
Предлагаемая работа посвящена применению асимптотического метода, разработанного Крыловым — Боголюбовым — Митропольским [1,6,12,15,16], к исследованию квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными параметрами, с медленно меняющимися параметрами, и с запаздыванием. При этом основное внимание уделено построению семейства периодических решений указанных уравнений. Эти решения в ряде важных случаев обладают свойством сильной устойчивости, заключающимся в том, что любое решение при начальных значениях, близких к начальным значениям этих решений, стремится к последним при £->о.
Построение приближенных решений указанных уравнений с помощью асимптотического метода имеет ряд преимуществ. Во-первых, наряду с исследованием стационарных решений этот метод дает возможность изучать переходные процессы, близкие к стационарным, как в системах с постоянными параметрами, так и в системах с медленно изменяющимися параметрами ГII, 12]. Во-вторых, исследование устойчивости стационарных решений очень просто, так как в первом приближении оно приводит к изучению устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами.
Работа состоит из введения и трех глав.
Первая глава посвящена изложению асимптотического метода построения решений квазилинейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными параметрами. В первом параграфе исследуется автономное уравнение вида.
М) (N-0 • - • (N-1).
X = Е)) (О.Ш где, с*. ,., -вещественные постоянные,? малый параметр, функция р имеет достаточное число производных по всем ее аргументам. С помощью асимптотического метода для уравнения (0.11) построено семейство частных двухпараметричес-ких периодических решений как в одночастотном режиме, когда характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней, так и в многочастотном режиме, когда характеристическое уравнение имеет не одну, а несколько пар чисто мнимых корней и нет внутренних резонансов. В случае линейной системы многочастотные решения при наличии нескольких пар чисто мнимых корней характеристического уравнения получаются на основании принципа суперпозиции как линейная комбинация одночастотных решений. В случае квазилинейной системы принцип суперпозиции не имеет места, и мы не можем из одночастотных решений получить многочастотные. В этом случае многочастотное решение необходимо искать непосредственно.
Во втором параграфе рассматривается неавтономное уравнение где- = const (i — 1,2,., г), функция р яв-¿-it ляется периодической по переменным (c)1 ,., с периодом 271 для нерезонансного случая, когда между корнями характеристического уравнения и частотами ty не существуют соотношения типа +) (0ЛЗ) т=-<]-ш, ij" - целые числа).
В нерезонансном случае построение приближенных решений с помощью асимптотического метода аналогично автономному случаю. Отличие будет лишь в том, что приближенные решения содержат еще и, •., еу .
В третьем параграфе исследуется неавтономное уравнение (0.12) в резонансном случае. Здесь рассматриваются как простой, так и комбинационный резонансы. При простом резонансе внешняя сила является одночастотной (X) и резонирует лишь с одной из собственных частот (-Я-):
0.14) где, р небольшие целые числа. Комбинационный резонанс имеет место, когда выполняются равенства (0.13). Этот случай включает в себя овозможность внутренних резонансов вида.
0.15).
В первой главе также излагаются в сжатой форме необходимые сведения из теории устойчивости стационарных решений системы уравнений для амплитуд и фаз, которые используются при изучении конкретных задач.
Вторая глава посвящена исследованию дифференциальных уравнений произвольного порядка с медленно меняющимися параметрами, В первом параграфе рассматривается автономное уравнение типа.
1 Ц-1 N где? = ?-!: — медленное время.
Сначала изучается случай одночастотного решения этого уравнения, когда при некотором фиксированном значениит характеристическое уравнение имеет пару простых чисто мнимых корней, а остальные корни имеют достаточно большую по величине отрицательную вещественную часть. Может случиться, что характеристическое уравнение не имеет чисто мнимых корней, но имеет корни с достаточно малой вещественной частью. Тогда в силу непрерывной зависимости корней уравнения от его коэффициентов мы можем изменить параметры уравнения (0.16) так, чтобы характеристическое уравнение имело чисто мнимые корни. Соответствующие поправочные члены относим к нелинейным членам уравнения (0.16).
В конце первого параграфа данной главы исследуется многочастотное решение уравнения (0.16), когда характеристическое уравнение имеет не одну, а несколько пар чисто мнимых корней, но при условии, что отсутствует внутренний резонанс.
Во втором параграфе рассматривается неавтономное дифференциальное уравнение с медленно меняющимися параметрами* Вначале исследуется одночастотное решение уравнения вида для простого резонансного случая, когда частота = на.
Ыт ходится в следувдемм отношении с характеристическим корнем:
П (г) = ^(Х)+еб-(и)) (0.18) где у, р — небольшие целые числа. Второй параграф заканчивается исследованием многочастотных решений неавтономного дифференциального уравнения с медленно менявшимися параметрами вида оЛЧр" • ¦ • + о (ы (т) СС +"ус)зс =? ,.- (0.19) здесь правая часть содержит г угловых переменных ,., ег Предполагается, что в рассматриваемом промежутке изменения % выполняются условия резонансов о (0.20) т — 4, г, f).
Ът ' - небольшие целые числа, некоторые из них могут быть и нулями" Условия (0.20) включают в себя все возможные ре-зонансы.
Следует заметить, что построение высоких приближений решения по предложенному асимптотическому методу не представляет принципиальных затруднений. Однако в практике уже первых двух, а часто и одного первого или первого улучшенного приближения бывает вполне достаточно.
В третьей главе рассматривается квазилинейное дифференциальное уравнение третьего порядка с запаздыванием.
В первом параграфе дается способ построения приближенных решений для автономного уравнения вида.
2 Дс 5 1 л 3 где 0(^, 0^, 0(3, , /3Z, р, Л — постоянные, t — малый параметр, при предположении, что характеристическое уравнение ъ z % -ЛA.
DIX) = X + <�х4Х + + ос3+у^? — имеет пару чисто мнимых корней Ту = ±iii и остальные корни имеют достаточно большую по величине отрицательную вещественную часть.
Во втором параграфе рассматривается неавтономное уравнение в нерезонансном случае, когда функцияр, стоящая в правой части уравнения (0.21), имеет вид.
0 '.
Нерезонансность заключается в отсутствии соотношений типа .рлг ^т) — о, у , — целые числа.
Влияние внешнего возбуждения 0 в данном случае выражается в том, что решение уравнения будет содежать о.
В третьем параграфе асимптотические разложения строятся в резонансном случае, когда выполняется следующее соотношение и V +? бЯ здесь? , с — некоторые взаимно простые числа, определяющие вид резонанса, £<�г — расстройка частот. Устойчивость стационарных решений исследуется с помощью критерия Рауса-Гурвица.
В настоящей работе эффективность асимптотического метода для решения дифференциальных уравнений произвольного порядка демонстрируется на конкретных примерах, связанных с различными практическими задачами.
Как было отмечено в [1,12] практическая применимость асимптотического метода определяется не свойствами сходимости указанных рядов при увеличении до бесконечности числа членов разложения, а их асимптотическими свойствами для ю первых членов и ?-> о. Поэтому здесь мы не будем изучать проблему сходимости при ©-о и условимся рассматривать представленные разложения как формальные, необходимые для построения асимптотических приближений.
Основные результаты настоящей работы опубликованы в статьях [17,18,21−24,35] .
вывода.
1. Асимптотический метод Крылова-Боголюбова-Митропольского обощен на исследование общих квазилинейных дифференциальных уравнений иго порядка как с постоянными, так и с медленно меняющимися параметрами и уравнения третьего порядка с запаздыванием.
2. Построены асимптотические приближенные решения как автономного, так и неавтономного уравнений в нерезонансных и резонансных случаях.
3. Исследованы в практических примерах стационарные режимы и переходные процессы, близкие к стационарным, а также устойчивость стационарных амплитуд.
