Качественное исследование дифференциальных уравнений асинхронных электрических машин

Основным видом энергии в современном мире является электрическая энергия. В качестве электромеханических преобразователей энергии широко используются асинхронные электрические машины. При их эксплуатации часто происходят изменения режимов работы машины, например, вследствие изменения момента внешней нагрузки, напряжения в сети или регулирования скорости вращения машины. Это может привести к выходу из строя машины или даже к ее поломке. Поэтому исследование устойчивости асинхронных электрических машин при различных условиях работы является актуальной и практически значимой задачей.

Асинхронная электрическая машина может работать в режиме двигателя, преобразуя электрическую энергию в механическую, и в режиме генератора, преобразуя механическую энергию в электрическую [1, 2, 3, 4]. Основное внимание в диссертации уделено асинхронным электрическим машинам в двигательном режиме. В дальнейшем для краткости будем называть такие машины асинхронными двигателями.

Асинхронные электрические машины используются в основном как двигатели, в качестве генераторов они используются редко. Асинхронные двигатели приводят во вращение самые различные машины, механизмы и устройства, применяемые в промышленности, сельском хозяйстве, быту, на транспорте, в системах автоматического управления и регулирования. Благодаря простоте конструкции и высокой надежности асинхронные двигатели используются в большинстве современных электроприводов (например, в прокатных станах, штамповочных прессах, металлорежущих станках, конвейерах, экскаваторах, бурах, мельницах, насосах, вентиляторах).

Принято считать, что история электрических машин начинается в 1821 году с изобретения английским ученым М. Фарадеем электрического двигателя. Этот двигатель, несмотря на кажущуюся простоту, до сих пор не имеет строгой математической модели.

Принцип действия асинхронных электрических машин основан на законе электромагнитной индукции и эффекте вращающегося магнитного поля [5, 6, 7, 8, 9, 10].

Впервые явление, названное магнетизмом вращения, продемонстрировал французский физик Д. Ф. Aparo (1824). Он показал, что укрепленный на вертикальной оси медный диск начинает вращаться, если вращать над ним постоянный магнит.

В 1831 году М. Фарадей открыл явления электромагнитной индукции. Открытие этого явления явилось важным этапом в развитии науки об электрических машинах, сразу же приобрело огромное научное и практическое значение и легло в основу всей современной электротехники.

Строгое научное изложение сущности явления вращающегося магнитного поля впервые независимо друг от друга дали итальянский физик Г. Феррарис и хорватский инженер и ученый Н. Тесла в 1888 году. Ферра-рис и Тесла предложили способ получения вращающегося магнитного поля при двухфазном токе и создали первые асинхронные двигатели. Двигатель Феррариса имел сплошной медный ротор, сосредоточенную двухфазную обмотку на статоре и развивал мощность до нескольких ватт. Двигатель.

Теслы также имел двухфазную сосредоточенную обмотку на статоре и такую же обмотку на роторе. Однако широкого практического применения двигатели Теслы и Феррариса не получили. В тоже время вращающееся магнитное поле до сих пор лежит в основе принципа действия электрических машин переменного тока [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26].

Началом практического применения переменного тока следует считать 1889 год, когда выдающийся русский изобретатель М.О. Доливо-Добровольский построил первый в мире трехфазный асинхронный двигатель и трехфазный трансформатор. Он заложил основы проектирования асинхронных электрических машин. За многие годы существования асинхронного двигателя в них совершенствовались применяемые материалы, конструкции отдельных узлов и деталей, технология их изготовления. Однако принципиальные конструкторские решения, предложенные М.О. Доливо-Добровольским, в основном остались неизменными.

Первые работы по математической теории электрических машин появились в середине 20−40-х годов. К ним относятся работы Ф. Трикоми [27, 28], Р. Парка [29, 30, 31], A.A. Горева [32, 33], Г. Крона [34, 35] и других.

Фундаментальными работами по математической теории электрических машин являются работы Ф. Трикоми. Он вывел простейшее дифференциальное уравнение синхронной машины — уравнение второго порядка — и провел глобальное качественное исследование этого уравнения, доказал существование нетривиальной глобальной бифуркации и получил оценки бифуркационных значений параметров.

Ценный вклад в развитие теории сделал Г. Крон в трех работах [34, 35, 36]. В этих работах Г. Крон предложил модель и уравнения обобщенной электрической машины — идеализированной двухполюсной машины с двумя парами обмоток на статоре и роторе. Он впервые выдвинул исходное понятие об обобщенной электрической машине, изложив теорию с применением матричного анализа.

Различают две основные группы режимов асинхронной электрической машины: рабочие (установившиеся) режимы и переходные режимы. При эксплуатации асинхронных электрических машин часто возникают ситуации, связанные с малыми и большими возмущениями рабочих режимов. Способность электрической машины восстанавливать установившийся режим после сколь угодно малого его возмущения называют статической устойчивостью. Термин статическая устойчивость в теории электрических машин соответствует термину асимптотическая устойчивость (устойчивость «в малом») в теории дифференциальных уравнений. Статическая устойчивость является необходимым условием работоспособности асинхронной электрической машины. Статическая устойчивость позволяет определить параметры рабочего режима машины.

К 30-м годам 20 века в трудах Э. Арнольда, Р. Рихтера, А. Блонделя, Л. Дрейфуса, М. Видмара, К. Штейнметца, К. А. Круга, К. И. Шенфера, В. А. Толвинского, М. П. Костенко и других была достаточно глубоко разработана теория установившихся режимов электрических машин.

При исследовании статической устойчивости асинхронного двигателя в инженерной практике чаще всего используется его статическая механическая характеристика, из которой при пренебрежении сопротивлением статорных обмоток получается хорошо известная формула Клосса [37]. Такой подход хорошо согласуется с практикой эксплуатации асинхронного двигателя.

При эксплуатации асинхронных двигателей возможны не только малые, но и значительные возмущения рабочих режимов. Динамической устойчивостью называют свойство электрической машины возвращаться к рабочему режиму после значительных возмущений. Термин динамическая устойчивость асинхронной машины в теории электрических машин соответствует термину устойчивость «в большом» в теории дифференциальных уравнений.

Впервые необходимость изучения переходных процессов в электрических машинах возникла в первой половине 20 века. Результаты исследований этих процессов были опубликованы в работах Р. Догерти и К. Найкла [38, 39, 40], Р. Рюденберга [41, 42, 43], Ф. Лонглея [44].

Большой вклад в развитие теории переходных процессов внесли также P.A. Лютер [45], Б. Адкинс [6], Е. Я. Казовский [46], А. И. Важнов [47], A.A. Горев [48, 49].

В монографии [6] на основе обобщенной электрической машины систематически излагается общая теория электрических машин, охватывающая установившиеся режимы и переходные процессы. Приводится много примеров применения общей теории при анализе отдельных электрических машин.

В вышедшей в 1959 году в США фундаментальной монографии Д. Уайта и Г. Вудсона [50] выводятся уравнения обобщенной электрической машины. Показывается, что на основе этих уравнений может быть проведен анализ практически всех используемых электромеханических преобразователей. Особое внимание уделяется динамическим режимам работы электромеханических устройств.

Эффективными методами исследования динамической устойчивости электрических машин оказались методы A.M. Ляпунова. Впервые эти методы применил в 1958 г. A.A. Янко-Триницкий для анализа устойчивости синхронных двигателей [16].

С проблемой динамической устойчивости тесно связана задача о предельной нагрузке [15, 16, 51, 52, 53, 54]. Данная задача возникает во время эксплуатации асинхронных двигателей при внезапном изменении момента нагрузки на валу, например, когда двигатель используется в приводе металлорежущего станка или в приводе буровой установки. Наброс нагрузки может быть продолжительным и кратковременным. В обоих случаях возникает проблема расчета допустимой нагрузки, при которой двигатель в результате переходного процесса перейдет к новому устойчивому режиму работы.

Типичной является также ситуация, когда асинхронный двигатель запускается без нагрузки, в переходном процессе затягивается в синхронизм, и только потом происходит наброс нагрузки.

Численное решение задачи о предельной нагрузке при частных значениях параметров приводится в работе В. В. Лиона и X. Е. Эджертона [55], а также в монографии Дж. Стокера [56].

В инженерной практике для определения предельного наброса нагрузки используют так называемый метод площадей.

Математическая постановка задачи о предельной нагрузке и методы её решения рассматриваются в [5, 13, 15, 16, 57, 52, 53, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65], где проводится обоснование метода площадей и получены оценки допустимых нагрузок для электрических двигателей. При этом используются различные математические модели электрических двигателей и функции Ляпунова вида: квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности. Задача о предельной нагрузке для асинхронных двигателей связана с задачей определения областей притяжения устойчивых состояний равновесия, соответствующих рабочим режимам этих двигателей.

Сложность построения функций Ляпунова для многомерных моделей динамических систем привела к необходимости развития различных обобщений второго метода Ляпунова. В монографии А. Х. Гелига, Г. А. Леонова, В. А. Якубовича [66] при исследовании устойчивости электрических двигателей помимо типовых функций Ляпунова используются функции, содержащие информацию о решениях двумерного уравнения сравнения (уравнения Ф. Трикоми для синхронных двигателей). Эти функции ляпуновского типа составляют суть метода нелокального сведения [67, 68].

Метод нелокального сведения был первоначально развит для исследования глобальной устойчивости и колебаний дифференциальных уравнений систем автоматического управления и синхронных электрических машин [66, 69, 70]. Для асинхронных машин переменного тока элементы этого метода были введены в [54, 63, 71], где рассматривается важная для приложений задача о предельной нагрузке.

С проблемой динамической устойчивости также связана задача регулирования скорости вращения асинхронного двигателя [47, 72]. Данная задача возникает, когда необходимо изменить скорость рабочих механизмов, приводимых в движение асинхронными двигателями, например, в установках электрической тяги (на электровозах), в подъемных устройствах. В результате появляется задача нахождения диапазона регулирования скорости вращения асинхронного двигателя.

В диссертации рассмотрен широко распространенный способ регулирования скорости асинхронного двигателя посредством добавочного активного сопротивления. Данный способ применим только для асинхронных двигателей с фазным ротором благодаря возможности включения регулирующего устройства — реостата в цепь ротора.

Диссертационная работа посвящена выводу дифференциальных уравнений асинхронных электрических машин и исследованию их устойчивости. Изучаются электромеханические и математические модели асинхронных двигателей. Рассматриваются следующие задачи: задача статической устойчивости, задача динамической устойчивости, задача о предельной нагрузке, задача регулирования скорости вращения асинхронного двигателя с фазным ротором.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы из 95 наименований и двух приложений.

1. Иванов-Смоленский А. В. Электрические машины. М.:Энергия. 1980. С. 928.

2. Nasar S.A. Electric Machines and Power Systems: Electric machines. McGraw-Hill. 1995. P.410.

3. Kothari D.P., Nagrath I.J. Electric Machines. Tata McGraw-Hill Education. 2004. P.778.

4. Sah P. Fundamentals of alternating-current machines. McGraw-Hill book company, inc. 1946. P.466.

5. Адкинс Б. Общая теория электрических машин. М. — JL, Госэнерго-издат. 1960. С. 272.

6. Alger P.L. Induction Machines: Their Behavior and Uses. Gordon and Breach. 1970. P.518.

7. Sarma M. S. Electric machines: steady-state theory and dynamic performance. West. 1994. P.649.

8. Salam M.A. Fundamentals of Electrical Machines. Alpha Science. 2005. P.376.

9. Gross С. A. Electric machines. Taylor к Francis. 2006. P.450.

10. Sheldon S., Nostrand Van D. Alternating-current machines. New York. 1908.

11. Dawes C.L. A course in electrical engineering, Volume 1. McGraw-Hill Book Company. 1920.

12. Bryant J.M., Johnson E.W. Alternating current machinery. McGrawHill Book Company. 1935. P.457.

13. Hehre F.W., Harness G.T. Electrical circuits and machinery. New York, NY: Wiley. 1940. P.513.

14. Annett F.A. Electrical Machinery: a Practical Study Course on Installation, Operation and Maintenance. N. Y.: McGraw-Hill. 1950. P.431.

15. Янко-Триницкий А. А. Новый метод анализа работы синхронных двигателей при резкопеременных нагрузках. М.-Л.: ГЭИ. 1958. С. 104.

16. Walsh Е. М. Energy conversion: electromechanical, direct, nuclear. Ronald Press Co. 1967. P.408.

17. Mablekos V.E. Electric machine theory for power engineers. Harper & Row. 1980. P.698.

18. Rajagopalan V. Computer-aided analysis of power electronic systems. Taylor к Francis. 1987. P.552.

19. Beaty H.W., Kirtley J.L. Electric motor handbook. McGraw-Hill Professional. 1998. P.400.

20. Drury B. The Control Techniques drives and controls handbook. IET. 2001. P.394.

21. Rajput R. K. Alternating Current Machines. Firewall Media. 2002. P.882.

22. Rajput R. K. A Textbook of Electrical Machines. Firewall Media. 2006. P. 1304.

23. Hughes A. Electric motors and drives: fundamentals, types and applications. Newnes. 2006. P.410.

24. Begamudre R.D. Electromechanical Energy Conversion With Dynamics Of Machines. New Age International. 2007. P.620.

25. Bakshi V.A., Bakshi U.A. Electrical Machines. Technical Publications. 2009. P.534.

26. Tricomi F. Sur une equation differetielle de l’electrotechnique // C.R. Acad. Sci. Paris. 1931. T. 193. P.635−636.

27. Tricomi F. Integrazion di unequazione differenziale presentatasi in electrotechnica // Annali della R. Shcuola Normale Superiore di Pisa. 1933. Vol. 2, No 2. P. 1−20.

28. Park R.H. Definition of an ideal synchronous machine and formula of armature flux linkage // Gen. Electric. Rev. 1928. Vol. 31. P.332−334.

29. Park R.H. Two-reaction theory of synchronous machines generalized method of analysis. Part I // AIEE Transections. 1929. Vol. 48. P.716−727.

30. Park R.H. Two-reaction theory of synchronous machines generalized method of analysis. Part II // AIEE Transections. 1933. Vol. 52. P.352−355.

31. Горев A.A. Высоковольтные линии передачи электрической энергии. Л.: КУБУЧ. 1927. С. 87.

32. Горев A.A.

Введение

в теорию устойчивости параллельной работы электрических станций, ч. I. Л.: КУБУЧ. 1935.

33. Kron G. The application of tensors to the analysis of rotating electrical machinery // G.E. Review. 1935. Vol. 36. P. 181.

34. Kron G. Tensor analysis of networks. Chapman &- Hall. 1939.

35. Kron G. The application of tensors to the analysis of rotating electrical machinery. General Electric Review. 1942.

36. Kazmierkowski M. P., Tunia H. Automatic control of converter-fed drives. Elsevier. 1994. P.559.

37. Doherty R.E., Nickle C.A. Synchronous machines. Part I and II. An extension of Blondel’s two-reaction theory. Steady-state power angle characteristics // AIEE Trans. 1926. Vol. 45. P.912−942.

38. Doherty R.E., Nickle C.A. Synchronous machines. Part III. Torque angle characteristics under transient conditions // Trans. AIEE. 1927. Vol.46. P. l-18.

39. Doherty R.E., Nickle C.A. Three-phase short circuit synchronous machines // Quart. Trans. AIEE. 1930. Vol. 49. P.700−714.

40. Rudenberg R. Die synhronierende leistung grosser Wechsebstrom-maschinen // Wiss. Veroff. S.-K. 1931. Bd. 10, H. 3. S.41.

41. Rudenberg R. Saturated synchronous machines under transient condition in the pole axis // Tr. AIEE. 1942. P.297−306.

42. Рюденберг P. Переходные процессы в электроэнергетических системах. М.: Изд-во иностр. лит. 1975. С. 375.

43. Longley F.R. The calculation of alternator swing curves. The step by step method // Tr. AIEE 1954. Vol. 73. P.1129−115.

44. Лютер P.A. Теория переходных режимов синхронной машины. Изд. ЛЭМИ. 1939. С. 88.

45. Казовский Е. Я. Переходные процессы в машинах переменного тока. М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1962. С. 624.

46. Важнов А. И. Электрические машины. Л. «Энегрия». 1969. С. 768.

47. Горев А. А. Избранные труды по вопросам устойчивости электрических систем. М.-Л.: ГЭИ. 1960.

48. Горев А. А. Переходные процессы синхронной машины. Л.: Наука. 1985. С. 502.

49. White D.C., Woodson Н.Н. Electromechanical energy conversation. New York, John Wiley and Sons, Inc. 1959. P.528.

50. Haque M.H. Further developments of the equal-area criterion for multimachine power systems // Electric Power Systems Research. 1995. Vol. 33, No. 3. P. 175−183.

51. Das J.C. Power system analysis: short-circuit load flow and harmonics. Taylor & Francis. 2002. P.868.

52. Bianchi N. Electrical machine analysis using finite elements. Taylor & Francis. 2005. P.304.

53. Леонов Г. А., Кондратьева H.B. Анализ устойчивости электрических машин переменного тока. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2009. С. 259.

54. Lyon W.V., Edgerton Н.Е. Transient torque angle characteristics of synchronous mashines / Trans. Amer. Inst. Electr. Eng. 1930. Vol. 39.

55. Stoker J.J. Nonlinear vibrations in mechanical and electrical systems. Interscience. 1950. P.273.

56. Blalock G.C. Principles of electrical engineering: theory and practice. McGraw-Hill. 1950. P.605.

57. Барбашин E.A., Табуева В. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука. 1969. С. 299.

58. Chang H.-Ch., Wang М.Н. Another version of the extended equal area criterion approach to transient stability analysis of the Taipower system // Electric Power System Research. 1992. Vol. 25, No 2. P. 111−120.

59. Miller R. H., Malinowski J. H. Power system operation. McGraw-Hill Professional. 1994. P.271.

60. Nasar S. A., Trutt F. C. Electric power systems. Taylor & Francis. 1998. P.320.

61. Леонов Г. А., Кондратьева H.B., Родюков Ф. Ф., Шепелявый А. И. Нелокальный анализ дифференциальных уравнений асинхронной машины // Нелинейная механика (М.: ФИЗМАТЛИТ). 2001. С. 257−280.

62. Леонов Г. А. Фазовая синхронизация. Теория и приложение // Автоматика и телемеханика. 2006. No. 10. С.47−85.

63. Glover J.D., Sarma M.S., Overbye T.J. Power system analysis and design. Thomson Engineering. 2008.

64. Wadhwa C. L. Electrical power systems. New Age International. 2009. P.980.

65. Гелик A.X., Леонов Г. А., Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука. 1978. С. 400.

66. Леонов Г. А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем 1 // Автоматика и телемеханика. 1984. No2. С.45−53.

67. Леонов Г. А. Метод нелокального сведения в теории абсолютной устойчивости нелинейных систем 2 // Автоматика и телемеханика. 1984. No3. С.48−56.

68. Leonov G.A., Reitmann V., Smirnova V.B. Non-Local Methods for Pendulum-Like Feedback Systems. Stuttgart-Leipzig, Teubner VerlagsgesellSchaft. 1992. P.242.

69. Yakubovich V.A., Leonov G.A., Gelig A.Kh. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. Singapore: World Scientific. 2004. P.334.

70. Leonov G.A. Discontinuous load rating problem for induction motors // Technische mechanik. 2004. Band 24, Heft 3−4. P.271−276.

71. Marino R., Tomei P., Verrelli С. M. Induction motor control design. Springer. 2010. P.349.

72. Брускин Д. Э., Зорохович A.E., Хвостов B.C. Электрические машины. Часть 1. М.: Высшая школа. 1979. С. 288.

73. Лотоцкий К. В. Электрические машины и основы электропривода. М.: Колос. 1964. С. 495.

74. Leonhard W. Control of electrical drives. Springer. 2001. P.460.

75. Халил X.K. Нелинейные системы. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2009. С. 832.

76. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. М.-Л.: Энергия. 1964. С. 528.

77. Anderson P.M., Fouad A.A. Power system control and stability. Thelowa State University Press. 1977.

78. Merkin D.R. Introduction to the theory of stability. Springer. 1997. P.319.

79. Ушаков Е. И. Статическая устойчивость электрических систем. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. 1988. С. 273.

80. Леонов Г. А., Селеджи С. М. Системы фазовой синхронизации в аналоговой и цифровой схемотехнике. С.-Петербург: «Невский Диалект». 2002. С. 112.

81. Leonov G. A. Mathematical problems of control theory. World Scientific. 2001. P. 172.

82. Леонов Г. А. Теория управления. СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета. 2006. С. 234.

83. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука. 1967. С. 336.

84. Блехман И. И. Вибрационная механика. Физматлит. 1994. С. 394.

85. Langsdorf A.S. Theory of alternating-current machinery. McGraw-Hill. 1955. P.666.

86. Natarajan R. Computer-aided power system analysis. Taylor Francis. 2002. P.392.

87. Ong C. Dynamic Simulation of Electric Machinery. Prentice Hall. 1997.

88. Toliyat H.A., Kliman G.B. Handbook of electric motors. Taylor & Francis. 2004. P.850.

89. Барбашин E.A., Красовский H.H. «Об устойчивости движения в целом», ДАН СССР, 1952. Т.86, No3, 453−459 с.

90. Леонов Г. А., Соловьева Е. П. Метод нелокального сведения в анализе устойчивости дифференциальных уравнений асинхронных машин // Доклады Академии наук, Сер. Математика. 2012. Т.444, No4. С.362−366.

91. Леонов Г. А., Соловьева Е. П. О специальном типе устойчивости дифференциальных уравнений асинхронных машин с ротором «двойная беличья клетка» // Вестник С.-Петерб. ун-та. 2012. Сер. 1, вып. 3. С.44−52.

92. Дмитриев В. Н. Проектирование и исследование асинхронных двигателей малой мощности. Ульяновск: УлГТУ. 2006. С. 92.

93. Кравчик А. Э., Шлаф М. М., Афонин В. И. Асинхронные двигатели серии 4А. Справочник. М.: Энергоатомиздат. 1982. С. 504.

94. Леонов Г. А., Соловьева Е. П. Регулирование скорости вращения асинхронного двигателя с фазным ротором // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2012. N0 4. С. 12−19.