Векторное поле и векторные линии теория поля

Возникновение векторного исчисления связано с потребностями механики и физики. В начале 19 века происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными разделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики и непрерывных сред, из которых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создана ещё в 18 веке Д. Бернулли, Л. Эйлером, Ж. Д’Аламбером и Ж. Лагранжем. Быстро растут математические запросы техники и баллистики. В начале 19 века в качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начала и середины 19 века — К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, Дж. Грин, М. В. Остроградский. Последний заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных, нашел знаменитую формулу преобразования тройных интегралов в двойные и её n — мерное обобщение. Он также усовершенствовал теорию замены переменных в кратных интегралах, получив по существу те результаты, которые были для общего n — мерного случая позднее компактно сформулированы К. Якоби.

В результате исследования по уравнениям математической физики в работах Дж. Стокса и других возникает векторный анализ, одной из основных формул которого является формула Остроградского. Векторный анализ — это раздел векторного исчисления, в котором изучается средствами математического анализа векторные и скалярные функции одного или нескольких аргументов (векторные поля и скалярные поля). Для характеристики данных полей вводится целый ряд понятий, часть которых приведены в данной работе: линии уровня и векторные линии, векторные трубки, градиент скалярного поля, циркуляция, дивергенция и вихрь векторного поля.

Приложение векторного анализа широко используется в прикладной физике: уравнение непрерывности и уравнение движения идеальной жидкости (гидродинамика), уравнение распространения звука (теория волн), уравнение теплопроводности (термодинамика), уравнения Максвелла или телеграфное уравнение (электродинамика).

Целью дипломной работы является изложение теории поля с помощью векторного анализа и составление пособия для студентов по данной теме.

В соответствии с целью данного исследования в дипломной работе был поставлен ряд задач:

проанализировать и обобщить литературу по основам теории поля;

изучить скалярные и векторные поля с помощью средств математического анализа;

рассмотреть виды векторных полей;

рассмотреть применение векторного анализа в теории поля на примере некоторых инженерных задач.

Объектом исследования в дипломной работе являются процессы поведения характеристик различных полей.

Предметом исследования являются скалярные и векторные поля и их особенности.

1.

Введение

в теорию поля

1.1 Скалярное поле

1.1.1 Скалярное поле. Поверхности уровня

Предположим, что в каждой точке Р некоторой области D нам задано значение скалярной физической величины u, то есть такой величины, которая полностью характеризуется своим числовым значением. Например, это может быть температура точек неравномерно нагретого тела, плотность распределения электрических зарядов в изолированном наэлектризованном теле, потенциал электрического поля и так далее. При этом u называется скалярной функцией точки; записывается это так: u=u (P).

Область D, в которой определена функция u (P), может совпадать со всем пространством, а может являться некоторой его частью.

Определение. Если в области D задана скалярная функция точки u (P), то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Будем считать, что скалярное поле стационарное, то есть величина u (P) не зависит от времени t. Если физическая величина векторная, то ей будет соответствовать векторное поле, например силовой поле, электрическое поле напряженности, магнитное поле и другие поля.

Если скалярное поле отнесено к системе координат O_xyz, то задание точки Р равносильно заданию её координат x, y, z; и тогда функцию u (P) можно записать в обычном виде функции трех переменных: u (x, y, z). Мы пришли к физическому толкованию функций трех переменных.

Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция u принимает постоянное значение, то есть .

В курсе физики при рассмотрении поля потенциала поверхности уровня называют обычно эквипотенциальными поверхностями (то есть поверхностями равного потенциала).

Уравнение поверхности уровня, проходящей через данную точку M₀(x_o, y₀, z_o), записывается так: u (x, y, z)=u (x_o, y_o, z_o).

Если в частном случае скалярное поле плоское, то функция u зависит от двух переменных, например x и y. Линиями уровня этого поля будут линии уровня функции u (x, y): u (x, y)=C.

1.1.2 Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.

Пусть задано скалярное поле, то есть задана функция u (x, y, z). Возьмем точку P (x, y, z) и какой-нибудь луч л, из нее выходящий. Направление этого луча зададим углами б, в, г, которые он образует с направлениями осей O_x, O_y, O_z (рис. 1.1.)

Рис. 1.1. Направление луча, относительно осей координат Если e_л — единичный вектор, направленный по лучу л, то его проекциями будут направляющие косинусы e_л {cos б, cos в, cos г}.

Пусть точка P₁(x₁, y₁, z₁) лежит на луче л; расстояние PP₁ обозначим через с. Проекции вектора на оси координат будут, с одной стороны, равны с cos б, с cos в, с cos г, а с другой стороны, — разностям x₁-x, y₁-y и z₁-z. Следовательно, , .

Рассмотрим теперь приращение функции при переходе из точки Р в точку Р₁: .

если точка Р₁ будет изменять свое положение на луче л, то в выражении для разности u (P₁) — u (P) будет меняться только величина с. Составим отношение и перейдем к пределу при с>0, предполагая, что этот предел существует.

Определение. Предел называется производной от функции u (x, y, z) по направлению л в точке Р.

Этот предел будем обозначать символом или. Величина его зависит от выбранной точки P (x, y, z) и от направления луча л, то есть от б, в, г.

Если точка Р фиксирована, то величина производной будет зависеть только от направления луча л.

Из определения производной по направлению следует, что если направление л совпадает с положительным направлением оси O_x, то есть, то предел будет просто равен частной производной от функции u (x, y, z) по x:

.

Аналогичную картину получим, если направление л будет совпадать с направлениями осей O_y и O_z.

Подобно тому как частные производные и характеризуют скорость изменения функции u в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью изменения функции u (x, y, z) в точке Р по направлению луча л. Абсолютная величина производной по направлению л определяет величину скорости, а знак производной — характер изменения функции u (возрастание или убывание).

Вычисление производной по направлению производится при помощи следующей теоремы:

Теорема. Если функция u (x, y, z) дифференцируема, то её производная по любому направлению л существует и равна где — направляющие косинусы луча л.

Из этой формулы непосредственно следует, что если направление л совпадает с положительным направлением одной из осей координат, то производная по этому направлению равна соответствующей частной производной, например, если то .

Из формулы видно, что производная по направлению л', противоположному л, равна производной по направлению л, взятой с противоположным знаком. Действительно, при перемене направления углы б, в и г изменятся на р и Это означает, что при перемене направления на противоположное абсолютная величина скорости изменения функции u не меняется, а изменяется только характер её изменения; если, например, в направлении л функция возрастает, то в направлении л' она убывает, и наоборот.

Если поле плоское, то направление луча л вполне определяется углом б его наклона к оси абсцисс. Формулу для производной по направлению в случае плоского поля можно получить из общей формулы, положив. Тогда .

Если б=0, то, а если, то .

1.1.3 Градиент

Рассмотрим снова формулу для производной по направлению

Вторые множители в каждом слагаемом являются, как мы уже отмечали, проекциями единичного вектора е_л, направленного по лучу л:

Возьмем теперь вектор, проекциями которого на оси координат будут служить значения частных производных в выбранной точке P (x, y, z). Назовем этот вектор градиентом функции u (x, y, z) и будем обозначать его символами grad u или ЃЮu.

Определение. Градиентом функции u (x, y, z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, то есть

Проекции градиента зависят от выбора точки P (x, y, z) и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией поля u (x, y, z), соответствует определенный вектор — градиент этой функции. Отметим, что градиент линейной функции u=ax+by+cz+d есть постоянный вектор: grad u=ai+bj+ck.

Пользуясь определением градиента, формуле для производной по направлению можно придать такой вид:

Следовательно:

Производная функции по данному направлению равна скалярному произведению градиента функции на единичный вектор этого направления.

Так скалярное произведение равно модулю одного вектора, умноженному на проекцию другого вектора на направление первого, то можно еще сказать, что:

Производная функции по данному направлению равна проекции градиента функции на направление дифференцирования, то есть

где ц — угол между вектором grad u и лучом л (рис. 1.2.). Отсюда сразу следует, что производная по направлению достигает наибольшего значения, когда, то есть при. Это наибольшее значение равно |grad u|.

Рис. 1.2. Проекция градиента на направление дифференцирования

Итак, |grad u| есть наибольшее возможное значение производной в данной точке Р, а направление grad u совпадает с направлением луча, выходящего из точки Р, то есть направление градиента есть направление наискорейшего возрастания функции. Ясно, что в противоположном направлении функция u будет быстрее всего убывать.

Теорема. Направление градиента функции u (x, y, z) в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через эту точку (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Направление градиента Градиент в каждой точке перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня, проходящей через данную точку, то есть его проекция на эту плоскость равна нулю. Следовательно:

Производная по любому направлению, касательному к поверхности уровня, проходящей через данную точку, равна нулю.

Укажем теперь некоторые свойства градиента функции, часто облегчающие его вычисление.

grad (u₁+u₂)=grad u₁+grad u₂.

grad Cu₁=C grad u₁, где С — постоянная.

grad u₁u₂=u₂grad u₁+u₁grad u₂.

grad f (u)=f'(u) grad u.

Перечисленные свойства градиента показывают, что правила его отыскания, совпадают с правилами отыскания производной функции.

В плоском поле u=u (x, y) градиент лежит в плоскости O_xy и перпендикулярен к линии уровня.

Если в плоском поле построена достаточно густая сетка линий уровня (рис. 1.4.), то можно с некоторым приближением графически определить модуль и направление градиента.

Рис. 1.4. Направление градиента в плоском поле Направление градиента будет перпендикулярно к линии уровня. Производная в этом направлении будет при достаточно малом h приближенно равна где Р_о — точка линии уровня u (x, y)=C, a P — точка линии уровня u (x, y)=C+h. Величина h известна, а длина отрезка Р_оР может быть измерена на чертеже как расстояние по нормали между соседними линиями уровня. Производная же по направлению градиента равна его модулю, и поэтому

1.2 Векторное поле

1.2.1 Векторное поле. Векторные линии

1. Векторное поле.

Определение: Если в каждой точке P области D задан определенный вектор, то будем говорить, что в этой области задано векторное поле.

Примерами векторных полей служат силовое поле (поле тяготения, электрическое и электромагнитное поля) и поле скоростей текущей жидкости.

Векторное поле задано, если в каждой точке Р поля указан соответствующий этой точке вектор А (Р). Рассмотрим стационарные поля, в которых вектор А (Р) зависит только от точки Р и не зависит от времени. Проекции вектора А (Р) на оси координат обозначим через A_x, A_y, A_z. Если точка Р имеет координаты x, y, z, то и сам вектор А (Р), и его проекции можно записать А (Р)=A_x(x, y, z) i+A_y(x, y, z) j+A_z(x, y, z) k.

Дальше всюду предлагается, что функции A_x, A_y, A_z непрерывны вместе со своими частными производными. Рассмотрим некоторые частные случаи векторных полей.

1) Однородное поле.

Определение. Векторное поле называется однородным, если А (Р) — постоянный вектор, то есть A_x, A_y, A_z — постоянные величины.

Примером однородного поля может служить поле тяжести.

2) Плоские поля.

Определение. Если в выбранной системе координат проекции вектора не зависят от одной их трех переменных x, y, z и одна из проекций равна нулю, например: А (Р)=A_x(x, y) i+A_y(x, y) j, то поле называется плоским. С плоскими полями очень часто приходится встречаться в гидродинамике при изучении плоских течений жидкости, то есть таких течений, когда все частицы жидкости движутся параллельно некоторой плоскости, причем скорости частиц, расположенных на одной и той же прямой, перпендикулярной к этой плоскости, одинаковы.

Рассмотрим еще один важный физический пример.

Пусть твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью w. Найдем поле линейных скоростей точек этого тела.

Как известно из кинематики, линейная скорость V равна векторному произведению где w — вектор угловой скорости (то есть и численно равный величине угловой скорости; этот вектор направлен так, что если смотреть из его конца, вращение кажется происходящим против часовой стрелки), а r — радиус-вектор точки М вращающегося тела относительно какой-либо точки оси вращения. Выбрав эту неподвижную точку за начало координат и направив ось вращения по оси O_z (рис. 1.5.), найдем проекции вектора V.

Рис. 1.5. Направление вектора линейной скорости Имеем

w=w_z k, r=xi+yj+zk.

Таким образом, V_x=-w_y, V_y=w_x, V_z=0 то есть поле является плоским.

2. Векторные линии.

Определение. Векторной линией векторного поля называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением вектора, соответствующего этой точке (рис. 1.6.).

Рис. 1.6. Векторная линия Векторные линии в конкретных полях имеют ясный физический смысл. Так, если мы рассматриваем поле скоростей текущей жидкости, то векторные линии суть линии тока этой жидкости, то есть линии, по которым движутся частицы жидкости. В электрическом поле векторные линии суть силовые линии этого поля. Например, в поле точечного заряда такими линиями будут лучи, выходящие из заряда. Для магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии выходящие из северного полюса и оканчивающиеся в южном. Изучение расположения силовых линий в электрических, магнитных и электромагнитных полях очень важно в физике.

Выведем уравнения векторных линий.

Пусть векторное поле определено функцией А (Р)=A_xi+A_yj+A_zk (для краткости аргументы функций A_x, A_y, A_z не выписаны). Если векторная линия имеет параметрические уравнения x=x (t), y=y (t), z=z (t), то проекции направляющего вектора касательной к этой линии пропорциональны производным x'(t), y'(t), z'(t), или, что-то же самое, дифференциалам dx, dy, dz. Записывая условия параллельности вектора А (Р) и вектора, направленного по касательной к векторной линии, получим

(1)

Система уравнений (1) представляет собой систему дифференциальных уравнений семейства векторных линий поля А (Р).

Если поле плоское, то есть A_z=0, то векторные линии лежат в плоскостях, параллельных плоскости O_xy, и их уравнения имеют вид

1.2.2 Поток вектора. Дивергенция

1. Поток вектора.

Пусть векторное поле образовано вектором А (Р)=A_xi+A_yj+A_zk.

Возьмем в этом поле некоторую поверхность S и выберем на ней определенную сторону. Обозначим через n единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности в произвольной её точке; проекциями вектора служат направляющие косинусы нормали n {cosб, cosв, cosг}. Рассмотрим интеграл по поверхности S от скалярного произведения вектора поля А (Р) на единичный вектор нормали n:

(*)

Если А (Р) — поле скоростей текущей жидкости, то интеграл (*) выражает поток жидкости через поверхность S. В произвольном векторном поле интеграл (*) будем называть потоком вектора через поверхность S и обозначать буквой К.

Определение. Потоком вектора через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности:

Таким образом, вычисление потока вектора сводится к вычислению интеграла по поверхности. Из самого определения следует, что поток вектора К — величина скалярная. Если изменить направление нормали n на противоположное, то есть переменить сторону поверхности S, то поток К изменит знак. Так как скалярное произведение вектора А (Р) на единичный вектор нормали n равно А_n(Р) — проекции вектора А (Р) на направление n, то поток К можно представить в виде Отсюда, в частности, следует, что если на некотором участке поверхности проекция вектора А (Р) на нормаль постоянна: А_n(Р) = А = =const, то поток через такой участок просто равен A_nQ, где Q — площадь участка поверхности.

Пример. Найдем поток радиуса-вектора r через боковую поверхность (S₁), верхнее основание (S₂) и нижнее основание (S₃) прямого цилиндра радиуса R и высоты H, если начало координат лежит в центре нижнего основания цилиндра, а ось цилиндра совпадает с осью O_z (рис. 1.7.).

Рис. 1.7. Поток радиуса-вектора прямого цилиндра На всех поверхностях n имеет направление внешней нормали. На боковой поверхности S₁ внешняя нормаль n параллельна плоскости O_xy и проекция r_n равна R. Поэтому На верхнем основании S₂ нормаль n направлена параллельно оси O_z и r_n=H. Следовательно, Наконец, на нижнем основании S₃ проекция r_n=0 и K₃=0.

Особый интерес представляет случай, когда S — замкнутая поверхность, ограничивающая некоторую область Щ. Если берется внешняя нормаль, то мы будем говорить о потоке изнутри поверхности S. Он обозначается так:

Когда векторное поле А (Р) представляет поле скоростей жидкости, величина потока К дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области Щ, и количеством жидкости втекающей в эту область.

Если К=0, то в область Щ втекает столько же, сколько и вытекает. Так, например, будет для любой области, расположенной в потоке воды, текущей в реке.

Если же величина К отлична от нуля, например, положительна, то из области Щ жидкости вытекает больше, чем втекает. Наоборот, если величина К отрицательна, то это указывает на наличие стоков-мест, где жидкость удаляется из потока.

2. Дивергенция.

Рассмотрим некоторую точку Р векторного поля А (Р) и окружим её замкнутой поверхностью S, целиком содержащейся в поле. Вычислим поток вектора через поверхность S и возьмем отношение этого потока к объему V области Щ, ограниченной поверхностью S:

В поле скоростей жидкости это отношение определяет количество жидкости, возникающее в единицу времени в области Щ, отнесенное к единице объема, то есть как говорят, среднюю объемную мощность источника; если поток изнутри поверхности S меньше нуля, то соответственно говорят о мощности стока.

Найдем теперь предел отношения

при условии, что область Щ стягивается в точку Р, то есть что V стремится к нулю.

Если этот предел положителен, то точка Р называется источником, а если отрицателен, то стоком. Сама величина предела характеризует мощность источника или стока. В первом случае в любом бесконечно малом объеме, окружающем точку Р, жидкость возникает, а во втором случае исчезает. Предел этот называется дивергенцией или расходимостью векторного поля в точке Р.

Определение. Дивергенцией, или расходимостью, векторного поля А (Р) в точке Р называется предел отношения потока вектора через поверхность, окружающую точку Р, к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку Р. Дивергенцию поля обозначают символом divA (P).

Таким образом, где предел вычисляется при условии, что поверхность S стягивается в точке Р.

Докажем, что при условии непрерывности функций A_x, A_y, A_z и их производных дивергенция поля существует в любой его точке.

Теорема. Дивергенция векторного поля divA (P)=A_xi+A_yj+A_zk

выражается формулой где значение частных производных берутся в точке Р.

Доказательство. По формуле Остроградского поток вектора К можно представить в виде Тройной интеграл по теореме о среднем равен произведению объема V на значение подынтегральной функции в некоторой точке P₁ области Щ, то есть Если область Щ стягивается в точку Р, то точка Р₁ стремится к точке Р, и мы получаем что и требовалось доказать.

Пользуясь выражением для дивергенции, теорему Остроградского можно сформулировать в векторной форме:

Поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу по объему, ограниченному этой поверхностью, от дивергенции поля.

Векторная форма теоремы Остроградского выражает в поле текущей жидкости тот очевидный факт, что поток жидкости через поверхность равен суммарной мощности всех источников и стоков, то есть количеству жидкости, возникающей в рассматриваемой области за единицу времени. (Если мощность стоков больше, чем источников, то жидкость в объеме исчезает.) Если, в частности, дивергенция во всех точках равна нулю, то равен нулю и поток через любую замкнутую поверхность.

Свойства дивергенции.

1. div[C₁A₁(P)+C₂A₂(P)]=C₁divA₁(P)+C₂A₂(P), где С₁ и С₂ — скалярные постоянные.

В самом деле, если обозначить проекции вектора А₁(Р) через A_1x, A_1y, A_1z и вектора А₂(Р) через A_2x, A_2y, A_2z, то

C₁A₁(P)+C₂A₂(P)=(C₁A_1x+C₂A_2x) i+(C₁A_1y+C₂A_2y) j+(C₁A_1z+C₂A_2z) k.

Поэтому

2. Пусть А (Р) — скалярная функция, определяющая векторное поле, а u (P) — скалярная. Тогда

div [u (P) A (P)]=u (P) div A (P)+A (P) grad u (P)

Действительно,

u (P) A (P)=uA_xi+uA_yj+uA_zk.

Значит,

Поскольку, то выражение во второй скобке есть скалярное произведение вектора поля А (Р) на градиент функции u (P); формула доказана.

1.2.3 Циркуляция и ротор векторного поля

1. Циркуляция.

Пусть векторное поле образовано вектором A (P)=A_xi+A_yj+A_zk.

Возьмем в этом поле некоторую линию L и выберем на ней определенное направление. Обозначим через dS вектор, имеющий направление касательной к линии и по модулю равный дифференциалу длины дуги. Направление касательной считается совпадающим с выбранным направлением на линии. Тогда dS=dxi+dyj+dzk.

Рассмотрим криволинейный интеграл по линии L от скалярного произведения векторов A (P) и dS:

(*)

В силовом поле интеграл (*) выражает работу при перемещении материальной точки вдоль линии L.

Если А (Р) — произвольное векторное поле, а L — замкнутый контур, то интеграл (*) носит специальное название — циркуляция вектора.

Определение. Циркуляцией вектора А (Р) вдоль замкнутого контура L называется криволинейный интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора А (Р) на вектор dS касательной к контуру.

Так как скалярное произведение A (P) dS=A_S(P) dS, где A_S(P) — проекция вектора поля на направление касательной, а dS — дифференциал длины дуги, то циркуляцию можно записать в виде криволинейного интеграла по длине дуги кривой: .

Если подынтегральное выражение интеграла (*) является полным дифференциалом и векторное поле занимает область Щ, то такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. Векторные поля, в которых это условие соблюдается, мы назвали потенциальными. Следовательно, в потенциальном поле циркуляция всегда равна нулю. В произвольном векторном поле циркуляция есть некоторое число, зависящее от контура L. Пусть, например, в поле имеются замкнутые векторные линии. Выберем линию интегрирования, совпадающую с векторной линией. Тогда A_S(P)=|A (P)|u, следовательно, циркуляция, то есть _L?|A (P)|dS, как интеграл от положительной функции, есть число заведомо положительное. Если направление интегрирования изменить на противоположное, то циркуляция станет отрицательной. Если L не является векторной линией, то циркуляция будет тем больше, чем ближе направление векторов поля А (Р) к направлениям соответствующих касательных.

Установим физический смысл циркуляции вектора в случае, когда А (Р) — поле скоростей текущей жидкости. Примем для простоты, что контур L — окружность, расположенная в некоторой плоскости. Предположим, что окружность является периферией колесика с радиальными лопатками, могущего вращаться вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости.

Если циркуляция будет равна нулю, то колесико будет оставаться неподвижным: силы, действующие на лопатки, уравновешивают друг друга. Если циркуляция не равна нулю, то колесико будет вращаться, причем тем быстрее, чем больше величина циркуляции.

Если, например, жидкость вращается, как твердое тело, вокруг оси O_z и если ось колесика совпадает с направлением этой оси, то циркуляция равна 2wS, где S — площадь колесика. Таким образом, отношение циркуляции к площади колесика равно удвоенной угловой скорости и не зависит от размеров колесика.

Если ось колесика наклонить к оси O_z, то указанное отношение уменьшится и станет равным 2w_n, где w_n — проекция вектора на направление оси колесика. Наконец, если ось колесика станет перпендикулярной к оси вращения жидкости, то, очевидно, колесико будет неподвижным.

В случае произвольного векторного поля отношение циркуляции по плоскому контуру L к площади S, ограниченной этим контуром, будет величиной переменной.

Чтобы охарактеризовать вращательное свойство векторного поля в какой-либо его точке Р, рассмотрим предел отношения циркуляции по плоскому контуру L, окружающему точку Р, к площади S, ограниченной этим контуром, при условии, что контур L стягивается в точку Р, оставаясь в одной и той же плоскости:

Предел будет зависеть только от выбранной точки Р и от направления нормали к плоскости, в которой лежит контур L. После того как нормаль поведена к определенной стороне плоскости, направление обхода контура L вполне определено: именно обход осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из конца нормали. Чтобы вычислить указанный предел, преобразуем выражение для циркуляции, воспользовавшись формулой Стокса:

где cosб, cosв, cosг — направляющие косинусы нормали n, а D — область ограниченная контуром L. Последний интеграл по теореме о среднем равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке Р₁ области D на величину S площади этой области.

При стягивании контура L в точку Р значение подынтегральной функции будет стремиться к её значению в точке Р. Поэтому

где значение всех частных производных берутся в точке Р. Правая часть равенства представляет собой как бы скалярное произведение двух векторов: единичного вектора n {cosб, cosв, cosг} - нормали к плоскости, в которой лежит контур L, и вектора, проекции которого равны

Последний вектор называется ротором или вихрем векторного поля и обозначается rotA (P).

2. Ротор и его свойства.

Определение. Ротором векторного поля A (P)=A_xi+A_yj+A_zk называется вектор

Проекция rot_nA (P) этого вектора на любое направление дает предел отношения циркуляции вектора поля по контуру, лежащему в плоскости, проходящей через точку Р, для которой вектор n является нормалью, к площади, ограниченной этим контуром. Этот предел будет наибольшим в том случае, когда направление нормали n совпадает с направлением rotA (P).

С помощью определения ротора теорему Стокса можно сформулировать в векторной форме:

Поток ротора поля через поверхность S равен циркуляции вектора по границе этой поверхности.

Направление интегрирования по контуру L и направление нормали n к поверхности S согласованы между собой так же, как в теореме Стокса. Отсюда следует, что если две поверхности S имеют одну и ту же границу L, то потоки ротора через эти поверхности равны между собой.

Свойства.

rot [C₁A₁(P)+C₂A₂(P)]=C₁ rotA₁(P)+C₂ rotA₂(P),

где С₁ и С₂ — скалярные постоянные.

Если u (P) — скалярная функция, а А (Р) — векторная, то

1.3 Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка

Основные понятия векторного анализа: градиент, дивергенция, ротор — удобно представлять с помощью символического вектора ЃЮ («набла-вектор»)

Правила действия с этим вектором:

1. Произведение набла-вектора ЃЮ на скалярную функцию u (P) дает градиент этой функции:

2. Скалярное произведение набла-вектора ЃЮ на векторную функцию А (Р) дает дивергенцию этой функции:

3. Векторное произведение набла-вектора ЃЮ на векторную функцию А (Р) дает ротор этой функции:

Таким образом действия с набла-вектором производятся по обычным правилам действий векторной алгебры, а затем умножением, скажем д/дx на скалярную функцию заменяется производной этой функции по x. Набла-вектор называют ещё оператором Гамильтона.

Действия взятия градиента, дивергенции, ротора будут векторными дифференциальными операциями первого порядка. В них участвуют только первые производные от скалярных функций.

Векторные дифференциальные операции второго порядка.

Пусть имеется скалярное поле u (P) и мы нашли градиент этого поля grad u. Поле градиента является векторным полем, и мы можем искать его дивергенцию и ротор: div grad u и rot grad u.

Если имеется векторное поле A (P)=A_xi+A_yj+A_zk, то оно порождает два поля: скалярное поле divA (P) и векторное поле rotA (P). Следовательно мы можем находить градиент первого поля: grad divA (P), дивергенцию и ротор второго поля: div rotA (P) и rot rotA (P). Всего мы имеем пять векторных дифференциальных операций второго порядка. Особенно важными являются три из них, которые рассмотрим подробнее.

а)

Действительно, Образуя дивергенцию этого вектора, мы получаем написанное равенство. Правая часть его называется оператором Лапласа от функции u и обозначается? u

Выражение div grad u можно с помощью набла-вектора записать ещё и так: div grad u=ЃЮ (ЃЮu)= ЃЮ²u

Это обозначение оператора Лапласа тоже часто употребляется.

б) rot grad u=0

Соотношение это проверяется совсем просто. Каждая скобка в выражении для ротора представляет в этом случае разность вторых смешанных производных функции и, отличающихся лишь порядком дифференцирования, например:

С помощью набла-вектора это соотношение записывается так:

rot grad u= ЃЮx (ЃЮu)=(ЃЮx ЃЮ) u=0

так как векторное произведение одинаковых «векторов» равно нулю.

в) div rot A (P)=0

Образуя дивергенцию от rot A (P), получим

что в силу равенства вторых смешанных производных равно нулю.

Если записать доказываемое соотношение с помощью набла-вектора;

div rot A (P)=ЃЮ (ЃЮxA),

то получим смешанное произведение трех «векторов», из которых два вектора одинаковы. Но такое произведение равно нулю.

г) rot rot A (P)=grad div A (P) — ?A (P),

где ?A (P)=?A_xi+?A_yj+?A_zk (? — оператор Лапласа).

2. Виды векторных полей

2.1 Простейшие векторные поля

Простейшими векторными полями являются такие поля, для которых либо divA (P)=0, либо rotA (P)=0, либо, наконец, равны нулю и дивергенция и ротор.

2.1.1 Трубчатое (соленоидальное) поле

Определение. Векторное поле, для всех точек которого дивергенция равна нулю, называется трубчатым или соленоидальным.

Поясним смысл этого названия. Возьмем в этом поле какую-нибудь площадку S₀ и проведем через каждую точку её границы векторные линии. Эти линии ограничивают часть пространства, называемую векторной трубкой (рис. 2.1.)

Рис. 2.1. Векторная трубка

Жидкость при своем течении все время движется по такой трубке, не пересекая её стенок. Рассмотрим часть такой трубки, ограниченную площадкой S₀ и каким-нибудь сечением S₁. Так как по условию div A (P)=0, то поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. Следовательно,

где S — боковая поверхность трубки, а n — внешняя нормаль. Так как на боковой поверхности трубки нормали n перпендикулярны к векторам поля, то Отсюда следует, что .

Переменив направление нормали на площадке S₀, то есть взяв внутреннюю нормаль n^', получим .

Это значит, что поток вектора в направлении векторных линий через каждое сечение векторной трубки один и тот же, то есть в поле без источников через каждое сечение векторной трубки проникает одно и тоже количество жидкости.

div rotA (P)=0, то есть поле ротора любого векторного поля — трубчатое.

Справедливо и обратное утверждение.

Каждое трубчатое поле является полем ротора некоторого векторного поля, то есть если divA (P)=0, то существует такое векторное поле B (P), что A (P)=rotB (P).

Вектор B (P) называют вектором-потенциалом данного поля.

2.1.2 Потенциальное (безвихревое) поле

Если во всех точках поля ротор равен нулю, то поле называется безвихревым или потенциальным. Из равенства rotA (P)=0 вытекает, что

Эти равенства представляют условие того, что выражение

A_xdx+A_ydy+A_zdz

является полным дифференциалом некоторой функции u (x, y, z).

При этом

Это значит, что вектор А (Р) потенциального поля является градиентом скалярного поля: A (P)=grad u.

Функция u называется потенциальной функцией векторного поля или, коротко, потенциалом. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Из формулы rot grad u=0 следует обратное утверждение:

Поле градиента любой функции u (x, y, z) является потенциальным, а сама функция u — его потенциалом.

В потенциальном поле циркуляция по любому контуру равна нулю. При этом предполагается, что контур L можно заключить односвязную область, во всех точках которой функции A_x, A_y, A_z и их производные непрерывны. С точки зрения течения жидкости равенство нулю циркуляции означает, что в потоке нет замкнутых струек жидкости, то есть нет водоворотов.

Работа в силовом потенциальном поле равна разности потенциалов в конечной и начальной точках линии L, то есть Изучение потенциального поля значительно облегчается тем, что это поле вполне определяется заданием одной скалярной функции — его потенциала. Проекции векторного поля А (Р) будут при этом частными производными этой функции по соответствующим координатам. Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций — проекций вектора на оси координат.

2.1.3 Гармоническое поле

Векторное поле, являющееся одновременно и потенциальным и трубчатым, называется гармоническим. Поскольку поле потенциально, его можно записать в виде

A (P)=grad u,

где u — потенциал поля. Условие трубчатости поля означает, что

div A (P)=div grad u=0.

Согласно формуле, что Функции u, подчиняющиеся этому условию, называются гармоническими.

2.2 Электромагнитное поле

Одним из важнейших приложений введенных нами понятий векторного анализа является изучение электромагнитных полей. Мы рассмотрим несколько простых примеров.

2.2.1 Электрическое поле

Пусть Е — поле напряженности точечного заряда q, помещенного в начало координат. Напряженность поля в точке P (x, y, z) равна

где — расстояние от точки Р до начала координат. Векторными линиями такого поля служат лучи, выходящие из начала координат, то есть из заряда.

Поле напряженности Е является полем потенциальным. Обычно за потенциал ц поля Е берут функцию, взятую с противоположным знаком: .

Таким образом, разность потенциалов между двумя точками поля равна взятой с противоположным знаком работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из одной точки во вторую. Легко проверить, что .

Это значит также, что rot E = - rot grad ц = 0.

Найдем дивергенцию поля напряженности. Имеем

, .

Отсюда

.

Следовательно, Поток вектора Е через любую замкнутую поверхность, не содержащую внутри себя начала координат, равен нулю.

Если же начало координат, то есть заряд, содержится внутри поверхности, то такого вывода сделать уже нельзя, так как в начале координат поле не определено.

Вычислим поток вектора Е через сферу радиуса R с центром в начале координат. На поверхности этой сферы направление вектора Е совпадает с направлением нормали, то есть радиуса вектора. Поэтому

.

Отсюда поток К равен

.

Мы видим, что величина потока не зависит от радиуса сферы R. Легко показать, что величина потока остается неизменной для любой замкнутой поверхности, окружающей начало координат.

Рис. 2.2. Произвольная поверхность с помещенной в неё сферой

Так как часть конуса, заключенная между участком сферы и данной поверхностью, является векторной трубкой, а дивергенция поля равна нулю, то потоки через участки сферы и поверхности равны между собой. Складывая потоки через все такие участки поверхности, получаем, что поток вектора Е через любую поверхность, окружающую начало координат равен потоку через сферу, то есть 4рq. Будем считать, что внутренняя сфера имеет радиус, равный единице. Тогда поток через участок поверхности S₁ (рис.) будет равен qщ, где щ — площадь поверхности сферы единичного радиуса, в которую проецируется участок поверхности. Величину щ называют телесным углом, под которым поверхность S₁ видна из начала координат.

Пусть теперь поле создано системой электрических зарядов. Обозначим через E_i напряженность поля, создаваемого зарядом q_i, а через Е — результирующую напряженность.

Тогда

.

Проекция вектора Е на направление нормали n к любой поверхности равна

.

Стало быть, поток через поверхность равен

причем последняя сумма распространена только на те заряды q_i, которые лежат внутри рассматриваемой поверхности. Эта формула, играющая важную роль в изучении электрических полей, называется электростатической теоремой Гаусса.

Пусть мы имеем дело с непрерывным распределением заряда. Обозначим через с плотность распределения заряда. Если плотность заряда непостоянна, то с является функцией точки поля Р, то есть её координат. Суммарный заряд в данном объеме Щ будет равен .

Применив к этому заряду теорему Гаусса, получим

где S — граница области Щ.

Преобразуем первый интеграл, вводя div E:

.

Отсюда

.

Поскольку интеграл равен нулю для любой области интегрирования Щ, то получим .

Примем без доказательства, что свойство электрического поля быть потенциальным сохраняется при непрерывном распределении зарядов.

Обозначим его потенциал через ц; тогда Е=-grad ц. Тогда

div E=-div grad ц=-Дц.

Из вышеприведенных равенств получим

.

Полученное уравнение называется уравнением Пуассона. В трех точках поля, где плотность заряда с равна нулю, оно превращается в уравнение Лапласа: Дц=0.

2.2.2 Магнитное поле прямолинейного тока

Пусть магнитное поле создано постоянным током I, текущим по бесконечному прямолинейному проводнику. Найдем вектор напряженности магнитного поля, создаваемого этим током. Согласно закона Био-Савара элемент тока создает в данной точке напряженность магнитного поля, равную по величине, где I — ток, dS — элемент длины проводника, r — расстояние от элемента тока до рассматриваемой точки, б — угол между направлением тока и прямой, соединяющей точку, в которой ищется поле, и элементом тока, k — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. Вектор напряженности направлен по нормали к плоскости, содержащей элемент тока и точку наблюдения; направление напряженности устанавливается правилом Ампера. В векторной форме закон Био-Савара записывается так:

где dН — вектор напряженности поля, создаваемого элементом тока, dS — вектор, направленный по проводнику, а r — вектор, проведенный из элемента тока в точку М, в которой ищется напряженность.

Обозначим переменное расстояние от элемента тока до начала координат через о, а координаты точки М через x, y, z. Тогда

,

где — расстояние от точки М до провода. Вычисляя векторное произведение, находим dH:

.

Отсюда

.

Чтобы найти H_x и H_y, проинтегрируем выражение для их дифференциалов в пределах от —? до ?. Для этого вычислим несобственный интеграл

.

Подстановка, приводит к интегралу

.

Поэтому

, .

В точках оси O_z поле не определено. Таким образом, вектор напряженности Н имеет то же направление, что и вектор линейной скорости при вращении тела вокруг оси O_z, если направление тока совпадает с направлением вектора угловой скорости. Модуль вектора Н равен

.

Легко проверить, что дивергенция поля равна нулю. Имеем

, .

Следовательно, .

Ротор этого поля также во всех точках равен нулю. Для этого надо только проверить равенство .

Следовательно, циркуляция поля по любому контуру, не окружающему ось O_z, равна нулю. Если же контур окружает ось O_z (рис. 2.5.), то такого вывода сделать нельзя, поскольку такой контур невозможно заключить в односвязную область, не содержащую точек оси O_z, в которых поле не определено.

Вычислим циркуляцию по окружности радиуса R, лежащей в плоскости O_xy, с центром в начале координат

x=R cos t, y=R sin t.

Тогда

.

Рис. 2.5. Положение контура относительно осей координат Величина циркуляции не зависит от радиуса окружности R. Можно доказать, что она остается одной и той же для любого контура, окружающего ось O_z.

3. Применение теории поля в некоторых инженерных задачах

поле векторный инженерный дифференциальный

3.1 Вычисление потока вихря векторного поля

Задача. Вычислить поток вихря поля векторов A (P)=yi+zj+xk через поверхность параболоида вращения z=2 (1-x²-y²), отсеченную плоскостью z=0.

Решение.

Способ 1.

1. Вычислим вихрь векторного поля A (P)=yi+zj+xk по формуле:

.

A_x=y A_y=z A_z=x

rot A (P)=(0−1) i+(0−1) j+(0−1) k=-i-j-k

2. Вычислим поток полученного вихря по определению потока.

Данная поверхность (параболоид вращения) проектируется взаимно однозначно на плоскость O_xy в круг D_xy. Находим opm нормали n к поверхности S:

.

Нормаль n образует острый угол г с осью O_z, поэтому перед дробью следует взять знак плюс.

Таким образом

отсюда

и значит

.

Находим скалярное произведение Искомый поток равен

.

Область интегрирования D_xy есть круг с центром в начале координат радиуса R=1. Вводя полярные координаты, будем иметь

.

Способ 2.

Поток ротора поля векторов A (P)=yi+zj+xk можно вычислить с помощью теоремы Стокса

.

.

Линия L — есть окружность x²+y²=1, полученная в результате пересечения параболоида вращения z=2 (1-x²-y²) с плоскостью O_xy z=0. Найдем параметрические уравнения этой линии

.

Следовательно,

.

3.2 Уравнение непрерывности

Задача. вывести основное уравнение движения жидкости — уравнение непрерывности.

Решение.

Пусть — поле скоростей движущегося потока жидкости. Предположим, что в данной области нет ни источников, ни стоков, то есть жидкость не появляется и не исчезает. Будем считать жидкость сжимаемой, что означает, что её плотность зависит не только от точки, но и от времени. Обозначим плотность через с (x, y, z, t). выясним, как связана скорость движения жидкости с изменением её плотности.

Рассмотрим некоторый объем V, ограниченный замкнутой поверхностью у. Подсчитаем изменение количества жидкости Q, находящейся в объеме V в единицу времени. С одной стороны, количество жидкости, вытекающей из данного объема, равно потоку вектора через поверхность у и вычисляется по формуле

.

С другой стороны, если за единицу времени плотность изменилась на величину, то масса элементарного объема dV изменится на. А масса всего объема V изменится на. Таким образом, .

Знак «-» берем, считая, что, если жидкость вытекает, то её количество внутри V уменьшается. Приравниваем полученные выражения: .

По формуле Остроградского преобразуем интеграл по поверхности в интеграл по объему.

Имеем .

Поскольку объем был выбран произвольно, то из последней формулы получаем:

Окончательно имеем:

Раскрыв выражение уравнение можно написать в виде: .

Полученное уравнение называют уравнением непрерывности.

3.3 Уравнения Максвелла

Задача. Вывести уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Решение.

Для электромагнитного поля Е и Н — векторы электрической и магнитной сил; r — вектор полного тока; D — вектор электрического смещения; В-вектор магнитной индукции.

Два основных закона электродинамики, являющихся обобщением законов Био-Савара и Фарадея, могут быть записаны в виде

(1)

(2)

где с — скорость света в пустоте.

Первое уравнение связывает циркуляцию вектора магнитной силы вдоль контура некоторой поверхности с потоком вектора полного тока через эту поверхность.

Второе уравнение связывает циркуляцию вектора электрической силы с производной по времени от потока магнитной индукции через поверхность. В написанных уравнениях l — произвольный замкнутый контур, S — поверхность им ограниченная. Кроме того, в покоящейся однородной среде векторы D и B связаны с векторами E и H:

где е — диэлектрическая постоянная, м — магнитная проницаемость среды. Вектор полного тока состоит из двух слагаемых — тока проводимости и тока смещения:

где — коэффициент проводимости среды. Таким образом, окончательно уравнения (1) и (2) принимают вид

(3)

(4)

По теореме Стокса

тогда уравнения примут вид:

.

Ввиду произвольности поверхности S, а следовательно и направления нормали n, из последних уравнений вытекает

(5)

(6).

Уравнения (5) и (6) представляют собою уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Заключение

В ходе дипломной работы была проанализирована и обобщена литература по основам теории поля. В первой главе дано описание скалярных и векторных полей, введены понятия градиента, дивергенции, циркуляции, потока и ротора. Во второй главе рассмотрены различные виды полей и их свойства. В третьей главе были выведены уравнения Максвелла, являющиеся основными законами электродинамики и уравнение движения жидкости (уравнение непрерывности).

По результатам дипломной работы можно сделать вывод, что с помощью векторного анализа можно описать поведение любого поля, в любой точке пространства пользуясь рядом характеристик, таких как градиент, дивергенция, циркуляция, поток, ротор.

Данную дипломную работу можно использовать как методическое пособие для студентов технических ВУЗов при ознакомлении с теорией поля и при выводе формул прикладной физики. В дальнейшем дипломную работу можно было развить в сторону вывода уравнений, используемых в теоретической физике для описания процессов, происходящих в различных средах. Основными из них являются уравнение теплопроводности, уравнения распространения звука и уравнения гидродинамики идеальной жидкости.

1. Барман П. Н. Сборник задач по курсу математического анализа — М: «Наука», 1964 г.

2. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс высшей математики — М: «Наука», 1969 г.

3. Вирченко Н. А., Ордынская З. П. Методические указания к теме «Элементы теории поля» — Киев: КПИ, 1983 г.

4. Демидович Б. П. Сборник задач по курсу математического анализа — М: Гос. издательство физико-математической литературы, 1962 г.

5. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике — М: «Высшая школа», 1983 г.

6. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ — М: «Наука», 1978 г.

7. Ландау Л. Д., Лифшиц В. М. Теоретическая физика, том 6. Гидродинамика — М: «Наука», 1988 г.

8. Селезнева Ф. Г., Бурыкин А. Я. Методические указания по применению теории поля в задачах электротехники — Киев: КПИ, 1989 г.

9. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том 2 — М: «Наука», 1974 г.

10. Соболев С. Л. Уравнения математической физики — М: «Наука», 1981 г.

11. Большой энциклопедический словарь. Математика — М: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1998 г.