Теоретическое изучение динамики нелинейных структур и нестандартного переноса в замагниченной плазме

Рассмотренные в данной диссертации задачи посвящены изучению нестандартных явлений переноса и динамики магнитного поля в комплексных средах: в многокомпонентной плазме, слоистых и гетерогенных средах, имеющих сложные по геометрии включения. Транспортные процессы, а также динамика нелинейных (в том числе, вихревых) структур в указанного рода средах не описывается в рамках привычной классической теории, а потому их теоретическое описание является важной на сегодняшний день задачей, в том числе для адекватного описания лабораторной и космической плазмы.

Наличие нескольких сортов заряженных частиц в плазме может нетривиальным образом изменить характер её поведения. Присутствие третьего, пусть даже не заряженного, типа частиц означает появление сильной зависимости проводимости от магнитного поля [1] (эффект, известный в теории полупроводниковой плазмы под названием магнетосопротивление). Наличие заряда приводит к необходимости дополнительного учёта взаимного сноса компонентов, при этом взаимная динамика поля и вещества определяется законом вмороженности поля в один из компонентов. В результате процесс проникновения магнитного поля в глубь плазмы описывается системой нелинейных диффузионных уравнений, и это приводит к его существенному изменению и усложнению динамики по сравнению с классическими задачами о скинили пинч-эффекте.

Рассмотрение процессов стохастического переноса в нестандартных условиях, как, например, перенос частиц в турбулентных потоках, перколяцион-ных системах и других средах с фрактальной геометрией [2−5], в том числе в космической плазме [6], а также, например, в стохастическом магнитном поле [7−9] или при переносе излучения в линиях в корональной плазме [10,11], приводит к законам, отличным от классических диффузионных (скейлинг для среднего смещения частиц есть (а:2) ос £а, где, а ф 1), что вызвано наличием в рассматриваемых системах пространственных или временных нелокально-стей в микроскопическом поведении частиц: например, медленно спадающих по координате или времени корреляций в их движении. Если частицы могут подолгу задерживаться в каких-либо «ловушках"' (среднее время ожидания бесконечно), то это порождает временную нелокальность и замедляет макроскопическое движение (субдиффузия, а < 1). В качестве примера такого рода замедленного переноса можно привести задачу о диффузии частиц в конвективных вихревых ячейках, для описания которой была впервые предложена модель, соответствующая простейшей из рассматриваемых в данной диссертации гребешковых структур. С точки зрения практического приложения именно для физики плазмы, отметим, что одной главных проблем в реализации УТС в установках типа токамак часто называют аномальные потери энергии ввиду переноса частиц и энергии поперёк удерживающего магнитного поля, в связи с чем крайне важна разработка теории диффузии в неравновесных условиях в плазме с развитой сильной турбулентностью с учётом эффектов памяти и нелокальной природы транспортных процессов, и, в частности, корректное описание участков с субдиффузионным режимом переноса (см. обзор [12]).

Что касается математического аппарата, одним из возможных способов описания такой эволюции оказываются линейные интегро-дифференциальные уравнения, представляющие из себя модификации классического уравнения диффузии, записанные терминах производных дробных порядков [13,14]. Рассматриваемые нами гребешковые структуры различных конфигураций представляют собой пример систем, для которых соответствующие макроскопические уравнения могут быть получены строго, а также являются удобным «полигоном» для анализа закономерностей и особенностей (в частности, в постановке начальных и граничных условий) для субдиффузионного транспорта, при том что предлагаемый в нашей работе подход и набор структур позволяют моделировать широкий класс такого рода явлений с показателем 0 ^ а < 1, а также рассчитывать взаимодействие находящихся в контакте между собой участков с различными а.

И наконец, в динамике замагниченной плазмы важную роль играют нелинейные вихревые структуры с сильно локализованной завихренностью, которые также могут наблюдаться в самых разных физических системах и представляют значительный интерес с точки зрения физики плазмы, теории сверхпроводимости и гидродинамики. Особое внимание в вихревой динамике привлекает, в частности, возможность получения универсальных ответов независимо от природы и внутренней структуры вихрей, — и одно из важнейших мест здесь занимает модель вихревых нитей. Динамика таких объектов хорошо изучена в обычной несжимаемой жидкости [15,16], а также’в ЭМГ (см. [17]) плазме и сверхпроводниках И-го рода [18], где существуют уравнения движения нити в терминах её кривизны и кручения (справедливые в приближении локальной индукции), которые сводятся к нелинейным уравнениям типа НУШ. Использование универсального уравнения вмороженности ротора обобщенного импульса в течение среды позволяет распространить задачу о динамике вихревой нити на анизотропный случай, в результате чего изменяется тип уравнений, и появляются такие эффекты, как неустойчивость вихревой нити при сильном наклоне и при конечной толщине керна. Такой подход, по-видимому, имеет непосредственное отношение к физике ВТСП-керамик, которые как известно имеют слоистую структуру, и для их описания широко применяется модель двумерных точечных вихрей («pancake vortices»), движущихся в слоях образца (см. обзор [19]) — при этом общность используемого подхода позволяет надеяться, что наши результаты могут найти применение и для более широкого класса сред, таких как гетероструктуры или стратифицированный разряд в низкотемпературной плазме.

Изложим кратко содержание работы. В первой главе рассмотрена задача о проникновении магнитного поля в комплексную (например, пылевую) плазму. Рассматривается модель трёхкомпонентной плазмы, основанная на двухжидкостиой МГД, в которой движение электронов и ионов происходит на неподвижном однородном фоне заряженных частиц, пренебрегается инерционными членами и газокинетическим давлением, а также учитывается взаимное трение только двух самых тяжёлых компонентов. Данная модель может быть адекватной для описания, например, пылевой плазмы, а также плазмы полупроводников. Обращается внимание на эффекты, возникающие из-за возможности независршого переноса заряженных компонентов без нарушения квазинейтральности, и необходимости в связи с этим решевшя задачи с подвижной границей. Получены как численные, так и некоторые аналитические решения соответствующей системы нелинейных диффузионных уравнений. Характер этих решений оказывается существенно зависящим от параметров плазмы, а также рода начальных и граничных условий. Установлено наличие быстрой трансляции поля внутрь плазмы-при отрицательном заряде пыли (в различных режимах), а также полная остановка проникновения при положительном.

Во второй главе с помощью единого строгого подхода выведены уравнения в дробных производных, описывающие субдиффузионный перенос в гре-бешковых структурах различной геометрической сложности. Обращается внимание на общую нетривиальность вклада начального распределения частиц на всю последующую эволюцию. Рассматривается транспорт в разветвлённых гребешковых структурах, и показывается, что он имеет субдиффузионный характер и происходит медленнее, чем в обычных гребешковых структурах, причём порядок дробной производной в описывающем его уравнении стремится к нулю по мере увеличения степени разветвлённости как, а = ½к. Предлагаются и исследуются структуры — «гирлянды», проявляющие ещё более медленную эволюцию (для них формально, а = 0). Приводятся решения этих уравнений для находящихся в контакте структур с сильно отличающимися дробными показателями, имеющие качественные важные для практики особенности.

В третьей главе в рамках гидродинамического подхода, основанного на универсальном для гамильтоновых сред уравнении вмороженности, даётся динамическое описание поведения вихревой нити в слоистой бесконечно проводящей среде. Выявлены, что наличие существенной анизотропии приводит, с одной стороны, к линеаризации уравнения движения в случае, когда нить перпендикулярна слоям, а с другой — к появлению существенной нелинейности (и, по видимому, неинтегрируемости) в общем случае наклонной нити, а также к неустойчивости малых колебаний при превышении критического угла наклона. Рассматриваются эффекты, возникающие в связи с конечностью керна вихря, и выводятся дисперсионные соотношения для волн на вихревом столбе в линейном приближении. Обращается внимание на то, что энергия взаимодействия вихрей меняет свой знак в зависимости от того, находятся они в одной плоскости или в разных, в связи с чем рассматривается вопрос о возможной неустойчивости нити с конечным размером керна, особенно если его радиус больше или сравним с лондоновской глубиной проникновения магнитного поля.

В Заключении перечислены основные результаты работы.

Итак, автор выносит на защиту:

1. Численное и аналитическое решение задачи о проникновении магнитного поля в пылевую плазму для различных знаков заряда пыли.

2. Исследование субдиффузионного стохастического переноса в сложных гребешковых структурах и «гирляндах» в терминах уравнений в дробных производных.

3. Описание динамики вихревой нити, в том числе конечной толщины, в слоистой бесконечно проводящей среде.

Заключение

.

Перечислим кратко основные результаты работы.

1. Полученные в первой главе решения описывают динамику проникновения магнитного поля внутрь замагниченной трёхкомпонентной плазмы при условии, что магнитное поле молено считать вмороженным в электроны, а диссипация происходит за счёт трения тяжёлых ионов о неподвижные частицы пыли. Помимо того, что проводимость плазмы зависит от величины поля, что делает уравнения сильно нелинейными, существенное различие в подвижности компонентов приводит к необходимости учёта их взаимного движения под действием VВ2, вплоть до ухода одного из них из приграничной области. В результате, режим проникновения определяется параметрами плазмы (которые могут изменяться в результате эволюции системы) и зависит от характера начальных и рода граничных условий. При этом изменение знака заряда пыли кардинальным образом меняет картину явления, так что при Z? > 0 оказывается возможной полная остановка проникновения.

2. Последовательное использование предложенного во второй главе метода позволило.

• Получить асимптотические уравнения, описывающие макроскопическую эволюцию частиц вдоль гребешковых структур различной конфигурации и степени разветвлённости. Были получены уравнения в дробных производных, учитывающие наличие начальных данных. В частности, для простейшей структуры выписано выражение, учитывающее микроскопические особенности начального распределения полной концентрации (то есть, в данном случае, распределение при I = 0 частиц в отростках) — оно приводит к зависимости правой части от времени, что ещё раз доказывает необходимость его учёта при решении субдиффузионных уравнений любого вида.

• Показать, что транспорт в разветвлённых гребешковых структурах также имеет субдиффузионный характер и происходит медленнее, чем в обычных гребешковых структурах, причём показатель, а при дробной производной в описывающем его уравнении стремится к нулю по мере увеличения степени разветвлённости (а = ½к). Предельный переход к бесконечно разветвлённым отросткам показал, что диффузия в них эквивалентна уходу частиц с хребта с постоянной скоростью — это приводит к полному прекращению переноса вдоль структуры.

• Предложить структуры («гирлянды»), описывающие более медленную эволюцию (для которых формально, а = 0). Случай, когда на хребет насажены диски является переходным — распространение частиц по оси не прекращается, но происходит медленнее, чем по степенному закону. В «гирлянде» шаров транспорт вдоль структуры прекращается за характерные времена диффузии частиц между её элементами, поскольку шары впитывают в себя частицы с экспоненциальной скоростью.

• Рассмотреть вопросы постановки и решения некоторых общих задач для субдиффузионных уравнений в дробных производных. Показано, что граничные и начальные условия для них приобретают нелокальный по времени вид. Для двух находящихся рядом участков с различными показателями а, более разветвлённая структура (с меньшим а) впитывает в себя почти все частицы из менее разветвлённой. Участок структуры, обладающий более разветвлёнными отростками, чем её основная часть (то есть когда показатель субдиффузрш на этом участке в два раза меньше) становится эффективным барьером на пути частиц, не пропуская через себя входящий поток.

3. В рамках использованного в третьей главе гидродинамического подхода, основанного на универсальном для гамильтоновых сред уравнении вмороженности, удалось выявить важные детали динамики уединённой вихревой нити в слоистых бесконечнопроводящих средах. Наличие существенной анизотропии в рассмотренной задаче приводит, с одной стороны, к линеаризации уравнения движения в случае, когда нить перпендикулярна слоям, а с другой — к появлению существенной нелинейности (и, по-видимому, неинтегрируемости) в общем случае наклонной нити, а также к неустойчивости малых колебаний при превышении критического угла наклона. Кроме того, оказывается, что энергия взаимодействия вихрей меняет свой знак в зависимости от того, находятся ли они в одной плоскости или в разных. Это необычное свойство, в частности, может приводить к неустойчивости нити с конечным размером керна, особенно если его радиус больше или сравним с лондоновской глубиной проникновения магнитного поля.

Результаты представленной диссертации опубликованы в работах [52−54] и докладывались на следующих российских и международных конференциях: III, IV и V Курчатовская молодёжная научная школа (Москва, 2005, 2006, 2007), XXXV Международная Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС (Звенигород, 2008), 373 WE Heraeus Seminar Anomalous Transport: Experimental Results and Theoretical Challenges (Bad-Honnef, Germany, 2006), на XV и XVI научной сессии Совета РАН по нелинейной динамике (Москва, 2006, 2007) и на семинарах ИЯС РНЦ «Курчатовский институт».

Автор выражает благодарность коллективу Отделения прикладной физики, и в особенности своему научному руководителю К. В. Чукбаоу.