Конечно аддитивное расширение Марковских операторов и эргодические теоремы

0.1 Основные обозначения и определения.

Большая часть обозначений и терминологии ориентирована на книгу Данфорда и Шварца [22].

X, Y, Z — множества, пространства, х, у, z,. — элементы (точки) множеств;

N — множество натуральных чисел,.

N={1,2,3,.};

Z — множество целых чисел,.

Z={., — 2,-1,0,1,2,.};

R = R1 — множество действительных чисел, числовая прямая;

Q — множество рациональных чисел в R1].

— «алеф нуль», обозначение счетной мощности множествас = tti — «континуум», обозначение континуальной мощности множества, 2**° = с = Ni;

Е = TjX — произвольная алгебра или а-алгебра подмножеств пространства X (считаем, что все алгебры содержат одноточечные подмножества из X) — сг (£) — сигма-алгебра, порожденная алгеброй Е;

Т = Тх ji/=z srfx = gs = двх = ®Z == ®z{X) Е о.

Е = Е = Int Е Fr (E) = ЕГ)(Х Е) dimX.

X С С У X* кх атХ = аХ.

13тх = рх.

1 т, Х = 7X исходная топология в X (считаем, что все топологические пространства Тотделимы, т. е. все их одноточечные подмножества замкнуты) — борелевская алгебра подмножеств в топологическом X, порожденная топологией тх борелевская сг-алгебра подмножеств в топологическом X, порожденная топологией тхбэровская <�т-алгебра подмножеств в топологическом X, порожденном «нулевыми множествами» непрерывных функций на Xзамыкание множества Е С X в (Х, т)] внутренность множества Е С X в (X, т) — граница множества Е С X в (X, г) — размерность (по Гамелю) линейного пространства Xозначает, что нормированное пространство X является замкнутым линейным подпространством в нормированном пространстве Yпространство, топологически сопряженное к пространству Х конус неотрицательных элементов в полуупорядоченном пространстве Xалександровская компактификация топологического пространства (X, г) — стоун-чеховская компактификация топологического пространства (X, т) — гамма-компактификация измеримого пространства (X, ?);

Хе.

В (Х) Н (Х, Е).

В (Х, Е).

В (Х, Е).

С{Х).

Ъа (Х, Е), са (Х, Е) р/а (Х, Е) rba (X, Е), rca (X, Е) характеристическая функция множества Ее Е: банахово пространство вещественных ограниченных Е-измеримых функций f: X R1 с равномерной sup-нормойнормированное пространство конечных линейных комбинаций характеристических функций ХЕ) Е € Е, т. е. простых функцийбанахово пространство, замыкание в равномерной норме пространства Н (Х, Е) в пространстве В (Х), Н (Х, Е) = В (Х, Е) С В (Х) — банахово пространство всех вещественных ограниченных Е-измеримых функций /: X —" R1 с равномерной sup-нормой в случае, когда Е является а-алгебройбанахово пространство вещественных ограниченных непрерывных функций /: X —" R1 с равномерной sup-нормойбанаховы пространства вещественных ограниченных мер л: Е —" R1, с нормой, равной полной вариации, соответственно конечно аддитивных и счетно аддитивных мер (конечно аддитивные меры называют также зарядами) — линейное нормированное подпространство в ba (X, Е) чисто конечно аддитивных мербанаховы пространства — подпространства регулярных мер, соответственно в ba (X, Е) и са (Х, Е) (для топологического.

Var (/i, Е) — вариация меры /л на множестве Ее Е;

M = Var (jm, X) i.

Sx — мера Дирака в точке х Е X:

Интеграл функции / по мере /J на всем пространстве X будем обозначать: А) = (/, М) = /Ы = МЛ = / № = / f (x)n (dx) = f f (x)dfj,(x). х.

Пусть М — одно из используемых пространств мер: тм — сильная метрическая топология в М тм* - слабая топология в М, порожденная сопряженным пространством М*- тв — слабая топология в М, порожденная пространством В (Х, Е) — тс — слабая топология в М, порожденная пространством С (Х) (для топологического.

X).

Перечисленные топологии для фиксированного М (для топологического X) сравнимы: тс -< тв -< тм* -< тмВсе топологии тм*, тв, тс задаются тихоновской базой топологии с системой окрестностей точки (j, Е М вида: = {г)ЕМ < е, г = l, 2,., n}- п Е N, е > 0.

Здесь ,., £п — линейные функционалы из соответствующих пространств М*, В (Х, Е), С (Х). В последних двух пространствах & - это любая функция / Е В (Х, Е) или / Е С{Х), понимаемая как линейный функционал на ba (X, Е) вида /(д) = (/,/л) = / fdfi. def.

Sm — {/л Е М: /л > 0, /л (Х) = 1}, в частности:

SCa d— {/л G са (Х, Е): уи > 0, /л (Х) = 1} - это все счетно аддитивные вероятностные меры на измеримом пространстве (X, Z) — мы будем также называть вероятностными и конечно аддитивные меры из 5'ьа;

ЫМ{цп} L{nn).

Щ^п] Д ад.

Для обозначения марковского процесса принято сокращение: МП.

В работе рассматриваются в основном однородные (по временни) марковские процессы с дискретным временем, которые также называют цепями Маркова и обозначают ЦМ.

ЦМ (счетно аддитивная), определенная на произвольном измеримом пространстве {X, Е), задается своей переходной функцией (вероятностью) р (х, Е), удовлетворяющей обычным условиям:

1) р: X х S [0,1];

2) р (-Е)еВ (Х, Е), УЕе Е;

3) р (х,-) е са (Х, Е), Ух е X;

4) р (х, Х) = 1, УхеХ.

В некоторых разделах работы будут рассмотрены также и конечно аддитивные ЦМ с заменой условий 3) на условие.

3)'р (х,-) е Ьа (Х, Е), Ух ex.

Марковские операторы — это пара операторов Т и А, определяемых переходной функцией (счетно аддитивной) ЦМ:

— мера, являющаяся банаховым пределом последовательности мер {/-in}].

— множество всех банаховых пределов последовательности мер {/in};

— все тв-предельные меры для последовательности мер {/in};

— все т^-предельные меры для последовательности мер {/in};

— регуляризация меры ц? Ъа (Х, !Ш), т. е. такая мера Д € rba (X, jrf), что /(д) — /(//.) для любой / € С (Х).

— класс С-эквивалентных мер для д G rba (X, Е), х > 0:

7 г (/|) {Л € Ьа (Х, Щ: Л > 0, Л = //}.

Т: 5(Х, Е) — В (Х, Е), Tf (x) = (Tf)(x) = f f (y)p (x, dy), /GB (X, E):r GX;

A: ca (X, ?) —> ca (X, ?), Ац (Е) = (Ац) (E) = J p (x, E)/j,(dx), ц g ca (X, s),?ge.

Инвариантная мера ЦМ — мера fi g Sm, удовлетворяющая условию ^ = Ац. Обозначим Ам = {ц g Sm '¦ Ц = A/i}. В частности, A = Аьа = g Sba • M = A^},.

Aca {//. g Sca ¦ ц = А/л},.

Apfa d— {l-1' G Sba '¦ A4 = A/i, /i — чисто конечно аддитивна}.

Средние по Чезаро для ЦМ, или эргодические средние ЦМ — это последовательность мер определяемая равенствами: 1 nti.

Будем пользоваться следующими условными обозначениями, принятыми в вероятностной литературе: рх, Е)=р (х, Еу, рк+1(х, Е)= ! pk (y, E) p (x, dy) = (pk (-E), p (x,•)), Л = .

JX.

Верхний индекс в выражении рк (х, Е) означает не степень, а интегральную «свертку» .

Тогда Акц = Jxpk (x,-)fj,(dx).

В соответствующих разделах настоящей работы мы будем повторять или уточнять приведенные определения и обозначения.

0.2 Постановка проблем.

В этом и последующих параграфах Введения (§ 0.2 — 0.5) мы хотим предварительно и схематично представить читателю основные решаемые на страницах настоящей работы проблемы. Мы предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями общей теории меры и с элементами теории линейных операторов. Точные определения многих упоминаемых здесь объектов с комментариями будет дано в § 1.1 и ряде других. Если при чтении введения будут возникать терминологические трудности, то нужно использовать сводку обозначений из § 0.1.

В работе рассматривается произвольное множество X с некоторой алгеброй или (7-алгеброй его подмножеств Е, т. е. измеримое пространство (X, Е). В некоторых случаях X предполагается топологическим пространством с топологией тис борелевской алгеброй ,<г/ или ст-алгеброй 38, порожденными топологией г, т. е. рассматриваются измеримые пространства или (Х, 38).

На измеримом пространстве (X, Е) задается функция двух переменных: рХ х Е —> В}, р (х, Е), которая является Е-измеримой по первой переменной и мерой (конечно аддитивной или счетно аддитивной) по второй переменной.

Для придания функции р (х, Е) вероятностного содержательного смысла потребуем, чтобы 0 < р (х, Е) ^ 1 при всех аргументах и р (х, Х) = 1 при всех х € X. Такую функцию р (х, Е) называют переходной функцией (переходной вероятностью).

Переходная функция р (х, Е) имеет в теории вероятностей конкретную смысловую интерпретацию. На {X, Е), называемым фазовым пространством, задается однородный (по времени) марковский процесс с дискретным временем, который полностью определяется своей переходной вероятностью р (х, Е), дающей вероятность перехода случайного процесса из точки х в множество Е за один шаг (во времени). При этом, обычно, фиксируется произвольная начлаьная точка xq е X, из которой начинается случайное движение (вместо точки xq можно взять и некоторое начальное распределение /г0 на (X, Е), т. е. вероятностную меру). Указанный случайный марковский процесс называют в теории вероятностей (однородной) цепью Маркова, которую далее будем сокращенно обозначать ЦМ. Подчеркнем, что слово «цепь» указывает на дискретность и счетность только «времени», а само фазовое пространство (X, Е) может быть каким угодно и иметь любую мощность или топологическую структуру (в старой литературе иногда термин «цепь» указывал и на счетность множества X, у нас — нет такого ограничения).

В теории цепей Маркова, как и всюду в классической теории вероятностей, рассматриваются только переходные функции р (х, Е), являющиеся счетно аддитивными мерами по второму аргументу, это условие будем пока считать выполненным и мы. Но далее в настоящей работе мы будем рассматривать и конечно аддттивные переходные функции.

Переходная функция р (х, Е), как интегральное ядро, однозначно порождает два линейных оператора Г и Л, действующих в пространствах функций и мер на (X, Е) соответственно. Эти операторы Т и, А и будем называть Марковскими операторами:

Т: £(Х,£) — (Tf)(x) = Tf (x) = f f (y)p (x, dy), feB (X, E), xex.

A: ca (X, E) ca (X, E), {Ац)(Е) = Ац{Е) = J p (f, E)^{dx), ц e ca (X, E), Ее E.

Эти операторы достаточно хорошо изучены. Они являются линейными, непрерывными (ограниченными) и ||Т|| = ЦАЦ = 1. Оба оператора положительны относительно конусов неотрицательных функций и мер соответственно. Оператор Т имеет в конусе неотрицательных функций Кв внутреннюю неподвижную точку /(ж) = 1.

Оператор, А изометричен в конусе Кса, т. е., если /л > 0, то \А/л\ = ||д|| = /i (X). Тем самым оператор, А переводит вероятностные меры в вероятностные: ASca С Sca. Оператор, А может и не иметь неподвижной точки в конусе неотрицательных счетно аддитивных мер. Если же существует /1 = А/1 е Sca (это равносильно условию: Эту = Ar] е Кса), то такая мера называется инвариантной мерой оператора, А (т. е. для переходной функции) или стационарным распределением цепи Маркова.

Пусть X является топологическим пространством, Е = 33 — борелев-ская сг-алгебра подмножеств в X, и на (X, задана переходная функция, т. е. ЦМ. Если выполняется Т[С (Х)] С С (Х), то такая цепь, а также ее Марковские операторы называются феллеровскими.

Пусть цо G S^ ид&bdquo- = Апцо = А/лп-1, п — 1,2,. ЦМ можно отождествить с последовательностью вероятностных мер {цп} = зависящей от начальной меры как от параметра. Таким образом, ЦМ можно рассматривать как некий итерационный процесс, порождаемый линейным положительным Марковским оператором в пространстве мер.

Предметом изучения в работе являются Марковские операторы, порождаемые переходными функциями на произвольных и топологически измеримых пространствах (X, ?). Рассматриваются как счетно аддитивные, так и конечно аддитивные переходные функции, а также определяемые ими цепи Маркова.

Исследования в настоящей работе проводятся в рамках операторного подхода к изучению цепей Маркова, позволяющего использовать конструкции и методы функционального анализа, который был впервые в главных чертах разработан Иосидой и Какутани в работе [123] в 1941 году.

Целью настоящего исследования является изучение асимптотического поведения ЦМ, понимаемого как описанные выше итерационные операторные процедуры в пространстве мер. К асимптотическому поведению последовательностей мер здесь относится также и поведение всевозможных средних, в частности, средних по Чезаро. Сходимость рассматривается в различных сильных и слабых топологиях. Разумеется, подобные рассмотрения предполагают те или иные условия, накладываемые либо на фазовое пространство, либо на переходную функцию или на операторы Т и А.

Указанная проблема составляет существо классической эргодической теории для цепей Маркова, а конкретные предельные теоремы, дающие решение относящихся сюда вопросов, называются эргодическими (существуют разные точки зрения на то, какие именно предельные теоремы следует называть эргодическими, а какие нет. Мы следуем Хилле и Филипсу [72], стр. 523, где «эргодические теоремы» трактуются наиболее широко).

Эргодическая теория марковских процессов прежде всего, цепей Маркова, как самостоятельная дисциплина существует уже более полувека. Первоначально она развивалась в тесной связи с общей эргодической теорией для точечных преобразований (динамических систем), ориентированной на применения в статистической физике. Соответствующая литература весьма обширна и включает в себя работы многих крупных специалистов не только в области теории вероятностей, но и, в большей мере, в функциональном анализе. В настоящей работе будут упоминаться лишь те работы, которые имеют непосредственное отношение к полученным здесь результатам.

Цель нашей работы сформулирована выше в самых общих словах. Поскольку, многие относящиеся сюда проблемы решены, то указанную цель следует конкретизировать. Для этого необходимо сделать ряд замечаний исторического и методологического характера.

Предельные (эргодические) теоремы обычно доказывают при тех или иных предположениях. Типичными являются следующие ограничения, которые мы формулируем в форме, употребляемой в вероятностной литературе (мы указываем, в основном, монографическую литературу).

1. Ограничения на фазовое пространство. Случай конечного числа состояний для ЦМ, т. е. множества X, изучен практически до конца и изложен во многих монографиях (см., например, Кемени, Снелл [44]). ЦМ со счетным числом состояний устроена существенно сложнее, однако ее предельное поведение исследовано достаточно хорошо, но далеко не до конца (Дуб [23], Чжун-Кай-лай [75], Кемени, Снелл, Кнепп [45]). Не иссякает поток работ по изучению ЦМ на компакте. Предельное поведение ЦМ при различных ограничениях на фазовое пространство в целом представлено в учебнике А. А. Боровкова [12]. Детальный анализ эргодичности ЦМ на числовой прямой и в конечномерных пространствах дан в монографии А. А. Боровкова [13].

2. Условия на марковские операторы. Если предположить, что оператор Т или А, вполне непрерывен или квази вполне непрерывен (в другой терминологии — компактен или квазикомпактен), то из общих теорем функционального анализа следует подробная и полная картина асимптотического поведения ЦМ. Проблема здесь заключается в том, чтобы выразить условие (квази) вполне непрерывности оператора Т или, А в терминах переходной функции. Решению этой проблемы посвящено много работ. Одним из самых известных условий такого рода является условие, полученное Деблином, и обобщенное затем Дубом [23]. Подробнее о ранней истории этого большого класса предельных теорем см. в книге Лоэва [53]. Предположение о феллеровости ЦМ также является условием на марковские операторы (условие ТС (Х) С С (Х)), которое позволяет более широко пользоваться топологическими методами при доказательстве предельных теорем (Иосида [41]). Существует еще много подобных условий на марковские операторы типа «гладкости» (см., например, Гирсанов [20], Розенблат [119], Туоминен и Твидэ [121]).

3. Предположение о существовании инвариантной вероятностной меры. Это предположение присутствует почти во всех основных эргодических теоремах, полученных Фе л л ером и Иосидой (Иосида [41]), и многих других авторов. «Априорная» инвариантная вероятностная мера перешла из общей эргодической теории, где ее существование является естественной физической предпосылкой в статистической физике (см. Халмош [71] и Данфорд, Шварц [22]). С другой стороны, постулируемое существование инвариантной вероятностной меры /х позволяет рассматривать марковские операторы в пространствах Лебега Ьр{Х, И, ц). Наличие хорошо развитой теории линейных операторов в пространствах Лебега и обеспечивает построение развернутой эргодической теории для таких ЦМ (см., например, статьи Хо-ровица [102] и [104]).

В настоящей работе в основных результатах не предполагается счетности пространства состояний, т. е. почти нет ограничений на фазовое пространство. Некоторые результаты будут связаны с предположениями второго типа и в соответствующих местах будут приведены более подробные библиографические ссылки. Что же касается предположений третьего типа, то именно их критический пересмотр обусловил появление данного исследования.

Существует «много» ЦМ, не имеющих инвариантных вероятностных мер. В то же время, есть примеры ЦМ, которые хотя и не имеют таких мер, но ведут себя в асимптотике достаточно «хорошо» (примеры приведены ниже). Этот факт достаточно хорошо известен, и еще Халмош [71] призывал к развитию эргодической теории без предположений такого рода.

Пусть ЦМ имеет инвариантную вероятностную меру /i. Большинство соответствующих эргодических теорем, которые доказываются для марковских операторов в пространствах LP (X, //), гарантируют существование пределов различных средних лишь //-почти всюду или в метрике пространства LP (X, Е, /л).

Это означает, что поведение траекторий ЦМ вне носителя инвариантной меры (в случае топологического X) остается не изученным. В тех же, весьма частых в практике ситуациях, когда инвариантная мера /л = 8Z имеет одноточечный носитель {z}, утверждения таких теорем становятся тривиальными. Важные вопросы о том, сходится ли ЦМ в каком-либо смысле к мере 5Z и как быстро, остаются открытыми.

К аналогичным неудобствам приводит и априорное фиксирование на фазовом пространстве ЦМ какой-либо меры р, (не обязательно инвариантной) и рассмотрение ЦМ почти всюду на (X, Е), т. е. исследование марковских операторов в пространствах типа LP (X, Y, р), р < оо. В частности, изучение цепей Харриса [99] обычно проводится в пространствах Loo (X, Е, д), где специально введенная некая мера р, формально заранее не предполагается инвариантной (см., например, [98]). В монографии В. М. Шуренкова [78], в той ее части, где рассматривается дискретное время, также делается акцент на цепи, возвратные по Харрису. В этой связи интересно замечание А. А. Боровкова [11]: «Подавляющее большинство работ об эргодичности ЦМ посвящено харрисовым цепям, и можно считать, что последние изучены достаточно полно. Иначе обстоит дело с не харрисовыми цепями. В существующей литературе по ЦМ нам известно совсем мало работ, которые с неприводимостью по Харрису не связаны.» В монографии [13] А. А. Боровков развивает свой подход к изучению эргодичности таких ЦМ. Сразу отмечаем, что настоящее исследование ориентировано именно на не харрисовые ЦМ.

Приведем следующий простой пример с инвариантными мерами. Пусть X = [0,½], Е = SS, на которых задано три ЦМ при помощи отображений F: X —> X:

Здесь мы полностью убрали стохастичность в вероятностях перехода.

ЦМ1: F{x) = x2, х G [0,½];

— чем проще, тем лучше будет иллюстрация. Речь идет о детерминированных динамических системах.

Им соответствуют переходные функции рг (х,{х2}) = 1, х е [0,½]- р2(х,{х2}) = 1, х е (0,½], р2(0,{½}) = 1- р3(х1{х2}) = 1, хе (0,½), рз (0, {½}) = рз (½, {½}) = 1;

Марковские операторы в пространстве са ([0,½], 8§) для трех ЦМ обозначим соответственно Л (i), А^) и А^.

Пусть 1Л° е Sca, /Л°((0,½)) = 1. Обозначим ^ = Afafi0, = и Дз — Тогда для всех трех ЦМ ^ = $ = $ и ½п)) = $((0,½п)) = ^((0, l/2n)) = 1 при п = 1, 2,. Легко проверить, что для любой / g С [о, ½] выполняется J fd/j, f —> f fd50 = /(0) при n —" oo и г = 1, 2,3, где <50 — мера Дирака в точке ноль, т. е. {/j" } сходятся слабо (в тс-топологии) к <50 (и даже равномерно по из указанного класса). Однако, при этом ЦМ1 имеет инвариантную вероятностную меру ЦМЗ -5i/2, а ЦМ2 вообще не имеет таковых. Если ЦМ не начинаются с отличной от нуля вероятностью из точек 0 и ½, то их предельное поведение идентично и никак не связано с отсутствием или наличием инвариантных счетно аддитивных вероятностных мер и с их «расположением» .

Понятно, что предельные теоремы, гарантирующие существование тех или иных пределов почти всюду относительно инвариантных счетно аддитивных вероятностных мер не могут дать никакой существенной информации о построенных ЦМ. В частности, индивидуальная и статистическая эргодические теоремы (Иосида [41], стр.532−533), заведомо приводят к тавтологии для ЦМ, имеющих инвариантные меры с одноточечным носителем.

В работе ставится и в определенной степени решается задача: изучить асимптотическое поведение итераций от Марковских операторов, во-первых, вне носителей инвариантных вероятностных мер, а, во-вторых, при отсутствии таких мер.

В следующем параграфе мы расскажем, как будем решать эту проблему и снова вернемся к примеру с ЦМ1, ЦМ2 и ЦМЗ.

0.3 Предпосылки методологии.

Здесь мы лишь указываем на некие «Основные теоремы», на которые опираются представленные в настоящей работе исследования. Подробно эти теоремы и результаты автора в их развитие будут представлены в § 3.2.

Пространства функций и мер находятся в определенной двойственной связи [22]: для произвольного (X, Е) выполняется В*(Х, Т,) — ba (X, Е), для нормального топологического X выполняется С*(Х) = rba (X для компактного хаусдорфового X выполняется С*(Х) = гса (Х. М), где знак равенства означает изометрический изоморфизм, и слева стоят пространства, топологически сопряженные к соответствующим пространствам функций. Отсюда следует, что лишь для феллеровской ЦМ, заданной на хаусдорфовом компакте, оператор, А является сопряженным к оператору Т, суженному на пространство С (Х), что хорошо известно.

Используя конструкцию интеграла по конечно аддитивной мере [22], в рамках которой для любых / G В (Х, Е) и ц G ba (X, Е) существует интеграл J fdfi, продолжим (или расширим) оператор, А с сохранением его аналитического вида на пространство ba (X, Е). Обозначим временно это продолжение Ах. Подставляя для каждого Ее Е характеристическую функцию / = Хе G В (Х, Е) в тождество f (T*fi) = l^(Tf), верное для всех /л G ba{X, Yi) и / G В (Х, Е), получим Т* = Аг. Таким образом, мы получаем замкнутую в функциональном смысле конструкцию.

Т: В (Х, Е) — В (Х, Е), Tf (x) = / f (y)p (x, dy), при / G В (Х, Е), х G X;

Т* = Аг: ba (X, Е) Ьа (Х, Е), Аг/л (Е) = Jр (х, E)/i (dx), при ц G Ъа (Х, Е), Ее Е.

Очевидно, оператор, А является линейным непрерывным оператором с нормой ||i4i|| = ||Л|| = ЦТ|| = 1. Оператор, А положителен относительно конуса КЬа неотрицательных мер в ba (X, Е), и изометричен в нем.

Продолжение оператора, А позволяет более широко использовать теоремы о неподвижных точках и спектральных свойствах положительных линейных операторов и их сопряженных. Так, из теоремы Крейна-Рутмана ([48] теорема 3.1, стр. 26), и из того факта, что оператор Т имеет в конусе Кв внутреннюю неподвижную точку f (x) = 1, сразу же следует следующее утверждение.

Основная теорема 1. Для любой ЦМ, заданной на произвольном измеримом пространстве (X, Е), существует инвариантная конечно аддитивная мера: л g Ъа (Х, е), л > о, а (х) = 1, а (Е) = /р (х, E) X{dx) ME е е (т.е. ЗА = АгХ g Sba).

Заметим, что из той же теоремы Крейна-Рутмана следует, что и любой Марковский процесс с непрерывным временем и переходной функцией р (t, х, Е) имеет инвариантную конечно аддитивную меру a g Sba.

УЕ g е, а (Е) = jp (t, х, E) X (dx), Vt > 0.

Продолжение оператора, А на пространство конечно аддитивных мер рассматривалось в работе Шидака [120]. Там же была доказана «Основная теорема I», однако более сложным путем и без использования положительности марковских операторов.

Неотрицательная мера, а g ba (X, Е) называется чисто конечно аддитивной [124], если из 0 < /л < A, fj, g са (Х, Е) следует /л = 0. Произвольная мера A g ba (X, Е) называется чисто конечно аддитивной, если в ее разложении Жордана, А = А+ — А" ~ обе меры А+ и Ачисто конечно аддитивны. Известно [124], что любая конечно аддитивная мера единственным образом представила в виде, А = Ai + А2- где Ai счетно аддитивна, т. е. Ai g са (Х, Е), а а2 — чисто конечно аддитивна.

Теорема 0.1. [120]. Пусть на (X, Е) задана некоторая ЦМ u, А = АХ g Sba¦ Если, А = ai + Аг есть разложение, А на счетно аддитивную и чисто конечно аддитивную составляющие, то Ах = АгХг и Х2 = АХ2.

Таким образом, достаточно рассматривать лишь счетно аддитивные и чисто конечно аддитивные инвариантные меры.

Аналогичное рассмотрение для феллеровских ЦМ проводилось в работах Фогеля [93], [94], [95], [97], представленное также в его монографин [96]. Пусть X такое топологическое пространство, для которого са (Х,?%) = rca (X, Зё). Для метрического X это всегда выполняется. Пусть на (X, 3 $) задана феллеровская ЦМ. Тогда оператор, А: гса (Х, 33) —>• гса (Х, 0), вообще говоря, не является сопряженным к оператору Т: С (Х) —> С (Х) (и тем более, к его расширению Т: В (Х, Е) —" В (Х, Е)). Однако, так же как и в общем случае, оператор, А можно продолжить с сохранением его аналитического вида на пространство регулярных конечно аддитивных мер rba (X, s</), заданных на борелевской алгебре з/. Продолженный оператор: rba (X, —> rba (X, уже является топологически сопряженным к Т: С (Х) С (Х).

Тот факт, что меры для продолженного оператора определены на борелевской алгебре, а не на cr-алгебре, не должен вызывать особых затруднений. Если Л G rba (X, s$) оказывается счетно аддитивной, то по теореме Хана Л имеет единственное продолжение на 33 и, тем самым, Л G rca (X, 38).

Применяя к положительным операторам Т и теорему Крейна-Рутмана и, учитывая то, что оператор Т имеет в конусе внутреннюю неподвижную точку f (x) = 1, получим следующий результат.

Основная теорема II. Пусть для некоторого топологического пространства X выполняется са (Х, 3§) = гса (Х, 3§). Тогда для любой феллеровской ЦМ, заданной на (X, 3§), существует инвариантная регулярная конечно аддитивная мера:

Л е гЬа{Х, J2f), А > 0, АрО = 1,.

А (Е) = fp (x, E) X (dx) УЕ G srf (т.е. ЗА = А2 е Srba)•.

Заметим, что этот результат отсутствует и у Шидака и в указанных выше работах Фогеля. Однако, утверждение «Основной теоремы II» можно было бы получить простым повторением доказательства Шидака «Основной теоремы I» с очевидными изменениями для феллеровского случая или слегка модифицируя доказательства теорем в работе Фогеля [93] (полагаем, что Фогелю и следует приписывать теорему II, которая у нас является прямым следствием теоремы Крейна — Рутмана).

Если, А? rba (X, то ее счетно аддитивная и чисто конечно аддитивная составляющие также будут регулярны.

Теорема 0.2. 94]. Пусть са (Х, 3§) = rca (X, 3§) u, А = А2А е Srba.

Если, А = Ai + Л2 есть разложение X на счетно аддитивную и чисто конечно аддитивную составляющие, то Ai = А2Х и X2 = А2Х2.

Появление инвариантных конечно аддитивных мер в работах Ши-дака и Фогеля не повлекло за собой их специального рассмотрения. Более того, использование инвариантных конечно аддитивных мер для интегрального представления специального вида для переходной функции у Шидака, не привело ни к каким существенным отличиям (именно в этом вопросе!) от счетно аддитивного случая. Что касается работ Фогеля, то здесь конечно аддитивные меры рассматриваются лишь как промежуточный этап при построении инвариантных счетно аддитивных мер (см., например, работу Хоровица [103]).

Вернемся теперь к примеру, построенному в предыдущем параграфе. Согласно «Основной теореме I», все три ЦМ должны иметь инвариантную конечно аддитивную меру. Если рассматривать только ЦМ1 и ЦМЗ, то, на первый взгляд, утверждение Основной теоремы I тривиально выполнено, так как меры 50 и 8/2 инвариантны (они даже счетно аддитивны) для ЦМ1 и ЦМЗ. Однако, для ЦМ2 нужно прибегнуть уже к более специальному рассмотрению. Если Л = А^Х е S) m, то такая мера, как легко проверить, обязана удовлетворять условию А ((0,е)) = 1 для любого е > 0. А это как раз и есть «типичное» условие, которому удовлетворяют чисто конечно аддитивные меры. Заметим, что таких мер «очень много» — 22*0. Основная теорема I гарантирует, что среди таких мер есть хотя бы одна, инвариантная для ЦМ2.

Пусть, А = л (2) Л € Sba для ЦМ2, т. е. А (Е) = f p2(x, E) X (dx),/E е т. Поскольку А ({0}) = А ({½}) = 0, то [од/2].

J p2(x, E) X (dx) = J p2(x, E)(dx), ME e.

0,½] (од/2).

По построению, переходные функции всех трех ЦМ совпадают при х е (0,½) и Ее.