Линейная алгебра

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

Переаттестация

по дисциплине: Линейная алгебра

Исполнитель: студент Байдин П.А.

Направление: Управление качеством Группа: УК-12СВ Североуральск

Тема 1 «Матрицы и определители»

Вычислить АВ-ВА если элементы матриц, А и В заданы:

|А| = |B| =

Вычислим отдельно произведения т.к. произведение матриц не коммутативно АВ не равно ВА Произведение матриц есть матрица поэтому произведение матриц АВ назовем матрицей С. Вычислим каждый элемент матрицы С отдельно.

c1,1 =2*(-2) +(-3)*1+0*3= (-4)+(-3)+0=-7

c1,2 =2 *(-1) +(-3)*0+0*(-4)=(-2)+0+0=-2

c1,3 = 2* 3+(-3)*4+0*7= 6+(-12)+0= -6

c2,1 =1 *(-2) +5*1+(-4)*3= (-2)+ 5+(-12)= -9

c2,2 =1*(-1) +5*0+(-4)*(-4)=(-1)+0+16=15

c2,3 =1*3 +5*4+(-4)*7=3+ 20 +(-28)= -5

c3,1 =2 *(-2) +(-3)*1+1*3=(-4)+(-3)+3=-4

c3,2 =2 *(-1) +(-3)*0+1*(-4)= (-2)+0+ (-4) =-6

c3,3 =2 *3 +(-3)*4+1*7=6+(-12)+7=1

АВ = С =

Аналогично вычисляем произведение ВА и полученную матрицу назовем матрицаD.

d1,1 = (-20) *2+ (-1) *1+3*2 = (-4)+(-1)+6 = 1

d1,2 =(-2)*(-3)+(-1)*5+3*(-3)=6+(-5)+(-9) =-8

d1,3 =(-2)*0+(-1)*(-4) +3*1=0+4+3=7

d2,1 =1*2+0*1+4*2 = 2+0+8 =10

d2,2 =1*(-3)+0*5+4*(-3)=(-3)+0+(-12)=-15

d2,3 =1*0+0*(-4)+4*1=0+0+4=4

d3,1 =3*2+(-4)*1+7*2 =6+(-4)+14 =16

d3,2 =3*(-3)+(-4)*5+7*(-3)=(-9)+(-20)+(-21)=-50

d3,3 =3*0+(-4)*(-4)+7*1=0+16+7=23

BA =D =

Разность матриц есть матрица, значит разность матрицAB-BAбудет матрицаE.

AB-BA = C — D = E = =

= =

Ответ: AB-BA =

Тема 2. Системы линейных уравнений Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Метод Крамера (формулы Крамера) — способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений. Применение метода Крамера возможно, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю.

Главный определитель? = (разлагаем по третьей

строке) = 1* +0* +1* =

=1*(3*(-3)-3*3)+0+1*(2*3−3*1)=1*(-9−9)+1*(6−3)=1*(-18)+1*3=-18*3=-15

Главный определитель отличен от нуля, значит система имеет единственное решение.

определитель ?x = (разлагаем по третьей строке

умножение на ноль опустим) =1* = 1*(10*3−3*0)=1*(-30−0)=

=1*(-30)=-30

определитель ?y = = (разлагаем по второмустолбцу

умножение на ноль опустим) = -(-10)* = -(-10)*(1*1-(-3)*1)=

= 10*4=40

определитель ?z == (разлагаем по третьей строке

умножение на ноль опустим)= 1* = 1*(3*0-(-10)*3)=1*30=30

x=?x/?=-30/-15=2

y=?y/?=40/-15=-2,6667

z=?z/?=30/-15=-2

Ответ: x=2; y=-2.6667; z=-2;

Тема 3−4. Векторная алгебра. Уравнение прямой По координатам вершин треугольника ABC найти:

1. уравнения сторон AB и АC;

2. уравнение высоты AD;

3. угол ВAC;

4. периметр треугольника;

5. площадь треугольника.

Сделать чертеж.

А (-3;4); В (-3;0); С (3;0).

Сделаем чертеж с которым будем работать при выполнении данного задания.

Рисунок 1 Треугольник ABC.

Найти уравнение стороны AB

Известны координаты точек A (-3, 4) и B (-3, 0).

По чертежу видим, что прямая AB параллельна оси Y.

Любая произвольная точка, принадлежащая прямой AB, имеет координату по оси X равной -3.

А если точка не принадлежит прямой AB, то ее координата по оси X не равна -3, т. е. уравнение прямой AB имеет вид: x = -3

Найти уравнение прямой AC

Уравнение прямой проходящей через точки A (xa, ya) и C (xc, yc) в общем виде:

x — x_ay — y _a

x_c — x _ay _c — y _a

Подставим координаты точек A (-3, 4) и C (3, 0) в уравнение прямой

x — (-3) y — 4

=

3 — (-3) 0 — 4

x + 3 y — 4

=

6 -4

x + 3 y — 4

=

3 -2

В знаменателях пропорции стоят числа 3 и -2.

Вектор SAC = (3, -2) направляющий вектор прямой AC.(Рис. 1)

Он параллелен прямой AC.

— 2 (x + 3) = 3 (y — 4)

— 2 x — 6 = 3 y — 12

уравнение прямой AC имеет вид

— 2 x — 3 y + 6 = 0

Коэффициенты при переменных х и y в уравнении прямой AC равны -2 и -3. (Рис.1) Вектор NAC = (-2, -3) нормальный вектор прямой AC он перпендикулярен прямой AC.

Найти уравнениевысоты AD

Треугольник ABCпрямоугольный высота опущенная из углаАк стороне BC. Точка Dсовпадает с точкой Bи имеет общие с ней координаты.

Очевидно, высотаAD параллельна оси Y.

Если мы возьмем абсолютно произвольную точку, принадлежащую AD, то ее координата по оси X равна -3.

А если точка не принадлежит прямой AD, то ее координата по оси X не равна -3, т. е. уравнение высотыAD имеет вид: x = -3

Найти угол ВAC.

Напишем формулу скалярного умножения для векторов AB и AC

AB * AC= | AB | * | AC | * cos A

Для нахождения угла BАC, нам достаточно найти косинус данного угла. Запишем выражение для косинуса угла А.

AB *AC

cos угла ВAС =

| AB | * | AC |

A (x a, y a) = (-3, 4); B (x b, y b) = (-3, 0); C (x c, y c) = (3, 0)

AB = (xb — x a, y b — y a) = (-3 — (-3), 0 — 4) = (0, -4)

AC = (xc — x a, y c — y a) = (3 — (-3), 0 — 4) = (6, -4)

AB * AC = 0 * 6 + (-4) * (-4) = 16

Найдем длины векторов AB и AC.

| AB | 2 = (xb — x a) 2 + (y b — y a) 2 = 0 2 + (-4) 2 = 16

| AB | = = 4- длина вектора (длина стороны AB)

|AC| 2 = (xc — xa) 2 + (yc — ya) 2 = 6 2 + (-4) 2 = 52

| AC | = = 7.21 — длина вектора (длина стороныAC)

Найти периметр треугольника Из предыдущего задания мы знаем длины двух сторон треугольника ABCэто сторона AC = 7.21 и сторона AB = 4. Для нахождения периметра следует узнать длину стороны BCона равна длине вектора | BC |.Найдем длину данного вектора.

Координаты точек B (x b, y b) = (-3, 0) и C (x c, y c) = (3, 0)

| BC | 2 = (xb — x c) 2 + (y b — y c)2 = (-6) 2 + 0 2 = 36

| BC | = =6

Периметр треугольника равен сумме всех его сторон.

PABC= AB + BC + AC = 4 + 6 + 7.21 = 17.21

PABC= 17.21

Найти площадь треугольника Треугольник ABCпрямоугольный значит его площадь равна половине произведения его катетов (произведению высоты на основание) Высота это сторона AB = 4, основание сторона BC = 6

Тема 5. Кривые второго порядка Дано 25×2+9y2=255

Определить тип кривой второго порядка и ее основные геометрические характеристики. Сделать чертеж.

Преобразуем заданное уравнение к виду

25x²9y² 255

+ = 225

255 255

25x² 9y²

+ = 1

9*25 9*25

x²y²

+ = 1

9 25

x²y²

+ = 1

3² 5²

Отсюда следует, что это эллипс с полуосями a=3и b = 5

Зная полуоси для целых чисел:

x = ± 3 y = 0

x = 0 y = ± 5

матрица линейное уравнение кривая

Решение для переменной y

25x² + 9y² = 255

9y²= 255 — 25x²

255−25x2

y² =

y =

y =

для отрицательных значений

y= ;

Построим чертеж

Чертеж построен средствами MSEXCEL (Приложение 1)

Графические характеристики Большая полуось a = 5

Малая полуось b = 3

Центр (0; 0)

Фокусное расстояние c = = = 4

Фокус F1 = (0; 4) F2 = (0; - 4)

Эксцентриситет эллипсаe = c/a =4 / 5