Устойчивость некоторых классов операторно-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространстве

Настоящая работа посвящена вопросам устойчивости дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. Неформально под устойчивостью подразумевается ограниченность всех решений уравнения на прямой (или на полупрямой) в различных пространствах. Впервые систематически изучать устойчивость (обыкновенных) дифференциальных уравнений и механических систем начал, по-видимому, А. М. Ляпунов. Ему принадлежит один из самых общих методов исследования — метод функций Ляпунова, широко применяемый также для изучения устойчивости дифференциальных уравнений в частных производных и, более общо, дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Однако для некоторых важных для приложений уравнений (в частности, для линейных гамильтоновых систем) этот метод неприменим. В работах М. Г. Крейна [22] и И. М. Гельфанда, В. Б. Лидско-го [6] для (конечномерных) линейных гамильтоновых систем был предложен новый метод исследования сильной устойчивости, основанный на использовании результатов теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой [3] (под сильной устойчивостью подразумевается устойчивость всех «близких» в смысле некоторой метрики гамильтоновых систем). Далее этот метод был расширен на линейные гамильтоновы системы в бесконечномерных пространствах с ограниченными операторными коэффициентами (см., например, [36]) и с неограниченными операторными коэффициентами (при некоторых достаточно ограничительных условиях, см. [10, 11, 12]). Устойчивости линейных операторно-дифференциальных уравнений в гильбертовых и банаховых пространствах посвящено много работ (см., например, [9] и приведенные там ссылки). Переход от ограниченных операторных коэффициентов к неограниченным значительно усложняет ситуацию. В первую очередь это связано с разрешимостью соответствующей задачи Коши. В случае ограниченных операторов корректная (в смысле Адамара) разрешимость устанавливается при некоторых необременительных ограничениях несложно — достаточно свести задачу к интегральному уравнению и использовать метод последовательных приближений. Разрешимость задачи Коши для неограниченных операторных коэффициентов изучалась многими математиками (см. [23] и ссылки, приведенные там). Наиболее полно изучен случай дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: после сведения к системе первого порядка w'(?) = Aw (t) для корректной разрешимости необходимо и достаточно, чтобы плотно определенный оператор, А являлся генератором Co-полугруппы (теорема Э. Хилле и Р. С. Филлипса, см. Главу 0 и [37]). В случае переменных операторных коэффициентов дело обстоит сложнее. Один из наиболее общих результатов в этой области принадлежит Т. Като (см. [42] и теорему 0.2.2 из Главы 0).

Разрешимость и свойства решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами п Нк т к=1 тесно связаны со спектральными свойствами оператор-функции п.

L (X) = J^kAk. к=1.

Здесь t — время, u (t) и f (t) — вектор-функции со значениями в банаховом пространстве, — линейные (вообще говоря, неограниченные) операторы. Если решать однородное уравнение методом Фурье (методом разделения переменных), т. е. в виде u (t) = ехр (г??)</>, где (6 С и ф — постоянный вектор, то приходим к задаче на собственные значения ДС)0 — 0. С оценками резольвенты оператор-функции L{А) связан метод решения, основанный на применении преобразования Лапласа. Для исследования устойчивости важно знать локализацию и структуру спектра сг (Ь) (определение спектра оператор-функции см. в § 0.1). Это следует из следующего соотношения е>"ф\=е~^\ф\.

Таким образом, если существует собственное значение (G из открытой нижней полуплоскости, то уравнение неустойчиво на полупрямой 1R+ (существует растущее при t —" +оо решение ехр (г^)ф). Аналогично, если существует собственное значение (6 СЖ, то решение ехрне ограниченно на всей прямой К. Построение спектральной теории полиномиальных операторных пучков началось с работы М. В. Келдыша [20] (см. также [19]) и за последние десятилетия она превратилась в самостоятельный раздел теории линейных операторов (см., например, монографии [7] и [28], статьи [21, 40, 44] и др.). Отметим также, что в конечномерном случае исследование спектра сводится к изучению расположения корней многочлена, являющегося характеристическим определителем, и задача о локализации спектра пучка полностью решается теоремой Рауса-Гурвица (см. монографию [38]).

Однако, несмотря на полученные к настоящему времени достаточно общие результаты, потребности механики и математической физики порождают новые классы операторно-дифференциальных уравнений в гильбертовых и банаховых пространствах, для которых имеющиеся результаты и схемы исследования не всегда применимы. В данной работе рассматриваются два таких уравнения. Они возникают, например, в задаче о малых поперечных колебаниях упругого стержня без внешнего и внутреннего трения и несущего поток идеальной жидкости [43] (этому посвящена Глава 1) и в задаче о малых поперечных колебаниях тонкой пластины в потоке газа [14, 15] (этому посвящена Глава 2).

Обзор литературы. Уравнение малых поперечных колебаний трубопровода в самой общей постановке впервые были выведены М. П. Пайдуссисом и Н. Т. Иссидом в [43]. Задача об устойчивости колебаний в случае постоянной скорости жидкости рассматривалась затем во многих работах, причем как численными (см. [13, 43] и приведенные там ссылки), так и абстрактными методами функционального анализа (см. [13, 39, 8] и др.). Нестационарное уравнение исследовалось в работах [5, 39]. В частности, методом функций Ляпунова было установлено, что в случае шарнирных краевых условий при наличии внешнего или внутреннего трения в случае когда скорость имеет вид v (t) = vq + ?cos (ut) уравнение сильно устойчиво тогда и только тогда, когда vq < 7 г. В отстутствие трения метод функций Ляпунова неприменим, т.к. спектр невозмущенной задачи чисто мнимый, а сама задача сводится к линейной гамильтоновой системе. Интересно, что наличие трения упрощает задачу. В работе [44] исследовалось более общее дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в гильбертовом пространстве и связанная с ним спектральная задача для квадратичного пучка. В частности, была установлена формула для индекса неустойчивости1. Спектральные свойства квадратичного пучка, соответствующего задаче о колебаниях (конечного и полубесконечного) стержня с трением, изучались также в работе [8], где была установлена базисность Рисса собственных и присоединенных векторов, указана локализация спектра и доказана корректная разрешимость задачи Коши.

Линейное уравнение малых колебаний тонкой пластины в общей постановке было выведено в работе [14] (см. также [15]). Задача об устойчивости колебаний исследовалась затем (в основном численными методами) в работах [1, 2, 15, 16] в случае когда пластина есть прямоугольник, полоса или плоскость. Были найдены оценки критической скорости (при которой т. е.

ЧЪд индексом неустойчивости подразумевается размерность фактор-пространства всех решений по пространству ограниченных на полупрямой решений ряется устойчивость механической системы) в случае когда вектор скорости параллелен одной из сторон или угол между ними достаточно мал. Частный случай изучался численными методами также в работах [32, 33, 34].

Апробация работы. Результаты настоящей работы рассказывались на следующих семинарах и конференциях: на семинаре «Несамосопряженные операторы» под руководством проф. А. Г. Костюченко и проф. А. А. Шкаликова (неоднократно) на семинаре «Операторные модели математической физики» под руководством проф. А. А. Шкаликова и доц. И. А. Шейпака на семинаре «Негармонический спектральный анализ» под руководством проф. А. М. Седлецкого и проф. В. В. Власова на конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 100-летию со дня рождения И. Г. Петровского (Москва, МГУ, 2001 г.). на конференции «ААА62. Arbeitstagung Allgemeine Algebra» (Johannes Kepler Universitat, Linz, Austria, 2001).

Основное результаты диссертации опубликованы в работах [45, 46], а также в [47, 48]. При этом некоторые доказательства подверглись переработке, что позволило получить более общие результаты, а также упростить выкладки.

Обзор результатов диссертации. Дадим краткий обзор результатов работы по главам.

Глава 0 носит вспомогательный характер. Она содержит необходимые для дальнейшего сведения из спектральной теории линейных операторов, теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, а также результаты о разрешимости операторно-дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве.

В Главе 1 рассматривается операторно-дифференциальное уравнение второго порядка в гильбертовом пространстве, являющееся абстрактной моделью для многих задач механики. В § 1.1 приводится одна из них: задача о малых поперечных колебаниях однородного упругого стержня без внешнего и внутреннего трения и несущего поток идеальной жидкости, и указывается ее сведение к абстрактному операторно-дифференциальному уравнению (1.1.4) в гильбертовом пространстве fj = ?2(0,1).

В § 1.2 мы рассматриваем операторно-дифференциальное уравнение второго порядка несколько более общего вида, чем (1.1.4), а именно и' + Q (t)u)' + Q{t)v! + Р0и + P{t)u = 0, t G [О, Т] (1).

А') Р0~ самосопряженный, положительно определенный оператор. Через $)о обозначим шкалу гильбертовых пространств, построенную по опе1 ратору Р02- норму в будем обозначать через |[ • Ц^. Таким образом, $ 20 = I) (РЦ). 1.

В') Р (£) — замкнутый, Р02-ограниченный оператор при всех? Е [О, Т]. Оператор Р (£) может быть расширен до ограниченного оператора из пространства^о в Отображение? —> Р (£) есть непрерывная функция со значениями в пространстве и в 1.

С') (¿-{Ь) — замкнутый Р02-ограниченный оператор, — диссипативный оператор в пространстве # при всех? Е [О, Г]. Оператор может быть расширен до ограниченного оператора из пространствав (¿-(Ь) есть непрерывная функция ограниченной вариации на отрезке [0,Т] со значениями в Я3(#ъи в где шкала пространств построена по оператору Ро (определение шкалы гильбертовых пространств см. в § 0.1). При этом для исследования важен выбор пространства, в котором рассматривается уравнение. Если в качестве основного пространства выбрать то приходим к определению обобщенного решения (определение 1.2.2, стр. 36). Основным результатом о разрешимости задачи Коши для уравнения (1) является следующая.

Теорема 1 (1.2.2). Пусть выполнены условия А') — С') и и о Е Щ Е в? [0, Т"). Тогда существует единственное обобщенное решение «(?) уравнения (1) с условием и{з) — щ, и'(в) = щ (2) и существуют действительные числа М, М > 0 и (3, (3, что для всех в Е [0,1] при в ^? ^ Т верна оценка.

Ы2г + (3) решение непрерывно зависит от начальных данных).

При этом в пространстве х ^ существует оператор-функция [/(?, в), 0 < в ^? ^ Т удовлетворяющая следующим свойствам (см. доказательство теорем 1.2.1 и 1.2.2):

— ?/(?, 5) € ®-(Х0) при всех 0 ^ 5 <? < Т и в е [0,1], где Хв = ^ х $)в (см. стр. 43). Норму в Хд обозначим через || -||х.

— [/(?, э) сильно непрерывна в пространстве Хо по? и 5, II (в, в) = /.

— [1(1, г) = и (Ь, 5)[/(5, г) при г < в <

— и (Ь, в) слабо непрерывна в Хх по? и в.

— для произвольного wo Е Хх вектор-функция ?/(?, 5) wo сильно абсолютно непрерывна по? в пространстве Хо и для п. в? Е выполнено равенство (1.2.8).

— Решение задачи (1), (2) на отрезке [в, Т] задается равенством лад + д (*м*) = т з) (щ + д (*ы V) V ^о)'.

Обозначим через | • в норму в пространстве 05(^6″, Решение и (Ь) непрерывно зависит от оператор-функция Р (£) в следующем смысле: для произвольного > 0 существует <5 > 0, что для произвольных оператор-функций Р (Ь), удовлетворяющих условиям В')и С'), из неравенств е, Р (г)-Р (г)? для всех 9 Е [0,1] и I Е [0, Т] следует, что |Щ£) — < 6 на отрезке [в, Т], где и (£) есть решение задачи (1), (2) с оператор-функциями и Р (£). Если, кроме того, выполнено условие.

С") — замкнутый симметрический оператор в пространстве # при каждом? Е [0,Г], то уравнение (1) обладает следующим важным свойством:

Предложение 1 (1.2.1). Пусть выполнены, условия А') — С'), а также условие С"). Тогда оператор 11(1, в), определенный при доказательстве теоремы 1.2.1, имеет ограниченный обратный в пространствах Хо и Хх при всех 0 ^ в ^ I ^ Т.

Если оператор-функции Р (£) определены на всей прямой Ж и удовлетворяют свойствам А'), В'), С') и С"), то оператор 11(1-, в) определен при всех Ь ^ э и обратим. Семейство ?/(?, в), определенное при? ^ й, может быть расширено на всю плоскость М2 равенством ?/" (?, в) = ?/-1(5,?) при Ь < 5, причем для произвольного № € X] вектор-функция II (?, сильно абсолютно непрерывна по t на каждом конечном интервале 3 С Ж при фиксированном s Е Ж. Таким образом, каждое решение задачи (1), (2), определенное на луче [s, -foo), может быть продолжено на всю прямую (уравнение можно решить в «обратную сторону»).

В § 1.3 исследуются свойства обобщенного решения задачи Коши (1). (2) при следующем дополнительном предположении:

В") при каждом t G [О, Т] P (t) есть симметрический оператор в пространстве fj.

В этом случае имеет место следующее.

Предложение 2 (1.3.1). Если выполнены условия А'), В'), В"), С'), С") и s € [О, Т), то при каждом s ^ t ^ Т оператор U{t, s) является унитарным в пространстве Xi (определение оператора Я см. на стр. 53) и для любых двух обобщенных решений u (t), u (t) уравнения (1) имеет место соотношение u (t), u'(t) + Q{t)u (t)) — (u'(t) + Q (t)u (t), u (t)) = const.

Далее вводится определение устойчивого уравнения.

Определение 1 (1.3.1). Уравнение (1) называется устойчивым, если для любого обобщенного решения u (i), определенного на всей прямой Ж, выполнена оценка.

II+ + \u (t)II? ^ с (|K (0)||2i + |Но)||!), t е ж. (4) с константой С > 0, не зависящей от решения.

Устойчивость уравнения (1) эквивалентна тому, что.

7(i, 0)||xl < const при t € Ж.

В важном для приложений случае периодических оператор-функций получаем.

Предложение 3 (1.3.2). Пусть оператор-функции Q (t), P (t) определены при всех t € Ж, выполнены условия А'), В'), С'), С") и существует число Т0 > 0, что Q (t + Г0) — Q (t), P (t + Т0) = P (t), t? Ш. Тогда уравнение (1) устойчиво тогда и только тогда, когда.

Un (To)\4 ^ const, п£ Z. где U (Tq) = U (Tq, 0) — ограниченно обратимый оператор.

Замечание 1. Отметим, что так как Го-периодическая оператор-функция Q (t) равномерно ограничена наКв пространстве то неравенство (4) эквивалентно тому, что.

1И*)||21 + H*)ll2i ^ С (|К (о)|| + ||u (0)||i), t g к. (5) с некоторой константой С' > 0.

В § 1.4 исследуется устойчивость уравнения (1) в случае когда оператор-функции имеют вид: Q (t) — v{t)B, P{t) = v2{t)P (в случае абстрактной модели для задачи механики, рассмотренной в § 1.1), где скалярная функция v (t) есть малое периодическое возмущение константы, т. е. представима в виде v (t) = vq + ev (t), е ^ 0, где v (t) — непрерывная То-периодическая функция ограниченной вариации. В этом случае оператор U (t, s) будем обозначать через U?(t, s) чтобы явно показать зависимость от е. При этом будем предполагать, что для оператора Р0 выполнено следующее условие.

A) Оператор Pq удовлетворяет условию А') и Р0−1 G ©-ооСоотносительно операторов Pi, В предполагается, что они удовлетворяют следующим свойствам: 1.

B) Pi — замкнутый симметрический Р02-ограниченный оператор, г.

C) iB ~ замкнутый симметрический Р02-ограниченный оператор.

Определение 2 (1.4.1). Уравнение (1) будем называть сильно устойчивым, если существует во > 0 такое, что при всех 0 ^ s ^ £о уравнение устойчиво.

При исследовании сильной устойчивости уравнения (1) важную роль играют спектральные свойства квадратичного пучка.

L (А) = Л2/ + 2v0XB + Р0 + vlPx.

Из свойства А) следует, что его спектр дискретен (см. Глава 0 и стр. 57).

Предложение 4 (1.4.2). Если спектр пучка Ь (Х) алгебраически простой, то для произвольного 0 ^ 9 ^ 1 в пространстве {еЛГ° | Л G a (L)} черта обозначает замыкание) и G crp ([/o (To)) «тогда и только тогда, когда (G cr^(L) = cr (L). С.в. оператора Uq (Tq) образуют базис Рисса в пространстве при всех 0 G [0,1].

Обозначим q (x) = |Л|2(а-, х)—{Р^х+и1Рх, ее), ж € и введем следующие множества: { еЛЗЪ| Л е а{Ь), < 0, Ух? кег?(А)} т77 = { елт°| Л е <�т (Ь), гМ{х) > 0, Уж е кегЬ (Х)}^о = {елт°| Л € а (Ь), За: € кегЬ (Л), дА (ж) = 0} .

Основной результат этого параграфа заключается в следующем:

Теорема 2 (1.4.1). Пусть оператор Ро + и^Рх имеет ограниченный обратный, спектр пучка Ь (Х) алгебраически простой и лежит на мнимой оси. Тогда если ао = 0 и а/ П оц = 0 (черта означает замыкание), то уравнение (1) сильно устойчиво.

Замечание 2 (1.4−1). Если оператор Ро + уоР положительно определен, то спектр пучка Ь{) лежит на мнимой оси и алгебраически простой. Более того, в этом случае дд (^) > 0 для произвольного, А 6 С и з- 6 ^ и, следовательно, т7 = {еЛТо| Ае<�т (Ь), 1тЛ > 0}, ап = {еЛТо| Л е (т (Ь), 1тЛ<0}, ао = 0.

Согласно теореме 2 уравнение (1) сильно устойчиво если ст/ П ац = 0.

В § 1.5 полученные ранее результаты применяются к исследованию сильной устойчивости рассмотренной в § 1.1 начально-краевой задачи (и = х), яг е [0,1]): иы + 2 + ихххх + и2(ь)ихх + (5и'{?)их = 0, (6) и |ж=о= и х== = иххх=1 = 0, (7) и (0,х) = щ (х), и[{ 0, ж) = щ{х). (8).

1, 2.

Обозначим через (?(?,?) функцию Грина (1.5.27) оператора Р^у — —Щ с условиями Дирихле (2/(0) = ?/(1) = 0). Тогда для произвольного обобщенного решения и{Ь, х), (?, х) е [0,Т] х [0,1] задачи (6), (8), (7) оценка (3) при 0 — ½ принимает вид.

1 1 1 du (t, О du (t}()du (t, o о о const.

1 1 1.

0 0 /.

Теорема 3 (1.5.1). Если v (t) есть вещественная непрерывная функция ограниченной вариации на [0,Т], то для произвольных функций щ (х) G W2w{О, 1) = {у (х) G W?(О, 1)| у (0) = 2/(1) = 0} и щ (х) G ?2(0,1) существует единственное обобщенное решение u (t, x) G Wlu (0,1), (t, x) G [0,71 X [0,1] начально-краевой задачи (6), (8), (7) и выполнена оценка (9) с не зависящей от решения константой.

Пусть далее v (t) = г>о + ?v (t), е ^ 0, где v (t) есть непрерывная периодическая функция ограниченной вариации. Спектр квадратичного пучка Ь{Л) совпадает с собственными значениями краевой задачи.

У1У + vly" + 2(3v0y' + 2у = 0 (10).

У{0) — з/(1) = /(0) = у" { 1) = 0. (11).

При г>о < 7 г спектр краевой задачи лежит на мнимой оси, алгебраически простой и сто = 0. Явно вычислить с.з. краевой задачи (10), (11) при ?3 ф 0 не удается, но при малых можно исследовать асимптотическое поведение с.з. и из получившихся формул сделать вывод о взаимном расположении на единичной окружности множеств ai и ац.

Предложение 5 (1.5.1). Пусть (3 ф л/2 и Т0 = 2q/(irp), q, p G N. Тогда существует 0 < o = 5(p, q) < 7 Г такое, что aj Пац — 0 для любого 0 < vq < 5.

В качестве следствия получаем.

Теорема 4 (1.5.2). Если выполнены условия предложения 1.5.1, то уравнение (6) с краевыми условиями (7) сильно устойчиво.

Глава 2 посвящена исследованию операторно-дифференциального уравнения в сепарабельном гильбертовом пространстве $) вида u" (t) + {В + iD) u'{t) + (Т + iS) u{t) = 0 (12) при следующих предположениях относительно операторов Т, S В и D: a) Т — самосопряженный, положительно определенный оператор. b) В — самосопряженный, положительно определенный Ts-ограниченный операторобозначим.

Шд = inf (Вх, х). хеъ (в), И=1.

D — замкнутый симметрический^{-ограниченный} оператор. с) 5 — замкнутый симметрический Т-ограниченный оператор и существуют положительные числа, а < 1 и Ь, что \Sxl < + Ь||ж|| для произвольного х Е Т>(Т).

Замечание 3 (2.1.1). Если оператор Б Т-компактен, то для произвольного? > 0 существует конечномерный оператор ЛГе, что ||5а:|| ^ + для произвольного х Е Т>(Т).

Уравнение (12) является абстрактной моделью для некоторых задач механики. В § 2.1 приводится одна из них: задача об устойчивости малых колебаний тонкой пластины в потоке газа и указано ее сведение к уравнению вида (12) в пространстве^ = ^(О), где О С К2 — ограниченная область с липшицевой границей.

§ 2.2 посвящен исследованию разрешимости задачи Коши для уравнения (12). Вектор-функциюи (£) Е С2(Е&± $)) будем называть (классическим) решением, если2 и ({) Е 5)2 >? и при всех t Е М+ выполнено равенство (12).

Уравнение (12) сводится к системе уравнений первого порядка Ату (£) (13) в «энергетическом» пространстве Ж = & х гДе а=^-(Б + Ш) -(Г+ с областью определения 2) (А) = х $)2- Для произвольного С, Е [0,тв) и г Е обозначим дМ = 46С (Тг, г) — ((В — С 1)~3 — С Л)*, (5 — (14).

Теорема 5 (2.2.1). Пусть выполнены условия а) — с),? Е [0,тв), 6 > О и существует с Е Ж, что </?,<$ (г) ^ ~С1И11 пРи 2? #2- Тогда оператор, А порождает в пространстве «К = х С^-полугруппу ехр (?А), причем.

Цехр^А)^ ^ Мехр (с?) при? Е Ж+, где М >0 и тах|^, -(1 -б)т5} .

Замечание 4 (2.2.1). Из доказательства теоремы 2.2.1 видно, что вместо условия с) достаточно потребовать, чтобы 5 был замкнутым симметрическим Т-ограниченным оператором и оператор Т + гБ был ограниченно обратим.

2шкала пространств 5) в построена по оператору Тг.

Следствие 1 (2.2.1). Пусть выполнены условия теоремы 2.2.1 и х0 = (т, ио) е Т>(А).

Тогда х (1) = (уи ({), и ({)^ = ехр (?А)а-о является решением уравнения (13) с условием х (О) = хо, и{Ь) есть (классическое) решение уравнения (12) с начальными условиями и (О) = щ, и'(0) = щ (15) и при? ? имеет место оценка.

1К*)||? + 1И*)Но < М2ехр (2с^)(Ы1? + к 115). (16).

Если^д (^) ^ 0, 2 € для некоторого? € [0,тв), то все решения (12) ограниченны наШ+ в пространстве! г) (уравнение устойчиво).

Достаточное условие корректной разрешимости задачи Коши (условие полуограниченности снизу формы (14)) в общем случае неулучшаемо (см. пример 2.2.1 на стр. 75). Если форма (14) неположительна, то решения задачи Коши (12), (15) могут быть неограниченны на полуоси (пример 2.2.2 на стр. 77).

Для некоторых важных для приложений уравнений условия подчиненности операторов В и В оператору Т (условие Тг-ограниченности) не выполнено, поэтому естественно рассмотреть случай когда операторы В и Б удовлетворяют условию.

Ь") В — самосопряженный, положительно определенный Т-ограниченный операторБ — замкнутый симметрический Т-ограниченный оператор.

Обозначим.

Так как В, И, 5 — замкнутые симметрический операторы,^го, 2сак^следует из предложения 0.1.2, определенные на операторы В, Г), в ограниченны в Если выполнены условия а), Ь") и с), то вектор-функцию и (£) € С2(М+,.ф) будем называть классическим решением уравнения (12), если и (Ь) € $)2,? и при всех? Е М+ выполнено равенство (12). Уравнение (12) сводится к системе (13) с областью определения (2.2.19), где w (t) = (их (£), 2/2(?)). Вторую компоненту и2(£) будем называть обобщенным решением уравнения (12).

Теорема 6 (2.2.2). Пусть выполнены условия а), Ъ"), с) и для некоторых 0^(<тви£>0.

В-сЧя-ф)2 (17).

Тогда оператор, А с областью определения (2.2.19) в пространстве Л является генератором Со-полугруппы ехр (^А) и для всех? Е М+.

Цехр^А)^ < Мехр (&-), где М >0 и г, л (, СГПв I с = тах < —? +.

4/ тв — ().

Следствие 2 (2.2.2). Пусть выполнены условия теоремы 6 и х0 = (иьщ) Е 2)(А).

Тогда х (Ь) = (и)(£), = ехр (^А)жо является решением уравнения (13) с условием х{0) = хо, и (£) есть (обобщенное) решение уравнения (12) с начальными условиями (15) и приЬ Е М+ имеет место оценка (16). Если при к — 4(имеет место оценка (17) с с — 0, то все решения (12) ограниченны наШ.+ в пространстве (уравнение устойчиво).

В § 2.3 результаты предыдущих параграфов применяются для исследования дифференциального уравнения в частных производных г% + а^ + + а (v, grad т) = 0, (18) в ограниченной области П С Мп с липшицевой границей Г в предположении, что «1 > 0, а Е К и V = (г>1,., г>п) 6 1ппостоянный вектор. Предполагается, что выполнены краевые условия Дирихле (2.1.2) или условия (2.1.3) (в данном случае к — гауссова кривизна многообразия Г, <т € I).

Теорема 7 (2.3.1). Пусть3 ги0(х) € Т)(Т) и 1т{х) Е Ъ{ТЩ. Тогда существует единственное решение ъи (Ь, х), (Ь, х) Е К+ х О уравнения (18) с данными Коши ш (0, х) = г<-о (а-), «4(0, х) = т{х) (х Е П), (19) с условием и>(1,х) Е Ъ (Т) при Ь Е и существуют М > 0 и к Е К, что.

ДЦг, х)|2 + К (*, ж)|2) дх ^ Меы J (|Д⁰(ж)|2 + К (з-)|2) дх. (20) п о.

Если оператор 7и = а?±2и + а2 сйу ((у, gradгt) v)7 и Е Ъ{Т) неотрицателен (т.е. (7и, и) ^ 0 при и Е Ъ (Т)), то можно положить к — 0 (уравнение устойчиво).

Определение оператора Г см. на стр. 82.

Следствие 3 (2.3.1). Существует е > 0, что при1 ||у||п ^? выполнена оценка (20) с К — 0.

В некоторых случаях можно оценить при каких v е1″ уравнение (18) будет устойчивым.

Предложение б (2.3.1). Пусть область О, — полиэдр 6 К" и выполнены краевые условия (2.1.3) (в этом случае кривизна к = 0). Обозначим Лт-п — наименьшее собственное значение оператора (—А) на О, с краевым условием = 0 (задача Дирихле). Если ^ Ат1П)/а2, то для решений уравнения (18) с начальными условиями (19) верна оценка (20) с Н — 0. для решений начально-краевой задачи (19), (2.1.3) для уравнения (18) имеет место оценка (20) с Н = 0.

Список обозначений. В работе мы будем придерживаться следующих обозначений и соглашений.

Пусть X и У — банаховы пространства. Пространство линейных ограниченных операторов из X в У будем через 03(X, У) — если X = У, то будем писать 03 (X). Подпространство компактных операторов в 03 (X, У) и в 03 (X) будем обозначать через боо (X, У) и ©-^(Х) соответственно. Подмножество? С X будем называть линеалом, если для ах + (Зу? ? для произвольных х, у Е? и а, Р Е С. Если линеал? есть замкнутое множество в X, то он называется подпространством.

Пусть, А — линейный оператор из пространства X в У. Его область определения обозначается через Т>(А), а область значений через АХ. Ядром оператора называется линеал кег, А = {х € Ъ (А) | Ах = 0}. Плотно определенный оператор, А называется замкнутым, если его график есть замкнутое подмножество в (банаховом) пространстве X х У. Тождественный оператор обозначается через I. Через будем обозначать сепарабельное гильбертово пространство. п.

Следствие 4 (2.3.2). Если О, = П (аь АО, Аь > то при к=1.

Г{А) = {(ж, Ах) е X х У I ж 6 Ъ{А)}.

4через ||-||п обозначена евклидова норма в М&trade-.

Глава О.

Предварительные сведения.

0.1 Спектральная теория операторов Шкалы гильбертовых пространств.

Пусть Т есть самосопряженный, положительно определенный оператор в гильбертовом пространстве^ со скалярным произведением (•,•). Построим семейство пространств ^¿-п «следующим образом: если з ^ 0, то есть линейное многообразие 2)(Т8) с нормой.

И. = \Т8х\ъ. (0.1.1) если й < 0, то есть пополнение пространства^ по норме (0.1.1). при всех «Е К есть гильбертово пространство со скалярным произведением (-,-)5 = (ГЙ-, Т5-)^. Из определения следует, что^о = Я, поэтому иногда вместо будем писать.

Определение 0.1.1. Определенное таким образом семейство пространств в Е М называется шкалой гильбертовых пространств построенной по оператору Т.

Из определения следует, что Тр есть изометричекий оператор из в для любого в € К. При в > t пространство плотно вложено в 5)? (по метрике пространства и оператор естественного вложения ^ ^ ограничен. Пространство унитарно изоморфно (^з8)*. Изоморфизм задается равенством /у (и) = (Тв", Т-^)о, и Е V Е .ф-зВ дальнейшем мы иногда будет отождествлять и (^ь)*.

Шкалы гильбертовых пространств обладают следующим свойством интерполяции.

Теорема 0.1.1 (теорема об интерполяции, [24, 25, 26]). Пусть Sjs и Sj’t ~ две шкалы гильбертовых пространств и, А — ограниченный оператор из $jao в и из Sjai в Sj’fa (а0 < Ро и, а < (3). Тогда при всех 7 Е [0,1] А ?), где а7 = (l—yjao+jcvi и = (1— 7) Д)+7/^1- Более того, если через ЦАЦ обозначим норму оператора, А в пространстве 9) pj, то.

Mi" 7 ИИ.

Если при некотором (G (0,1) A G (c)оо (9)а (, 9)'р), то, А есть компактный оператор из 9) ai в 9)'р при всех 7 Е (0,1).

Определение 0.1.2. Линейный оператор С называется Т-ограниченным, если Т)© Э Т) (Т) и существует число, а > 0, что при всех х 6 2)(Г).

СЖ||о ^ а\Тх\0.

Замечание 0.1.1. Из определения немедленно следует, что Т-ограниченность оператора С эквивалентно тому, что С € Q3(fji, fjo).

Предложение 0.1.1. Пусть С — замкнутый оператор. Тогда он является Т-ограниченным тогда и только тогда, когда D© D D (T) и оператор СТ~г ограничен в пространстве 9).

Доказательство. Если оператор Ъ{С) D Ъ{Т) и оператор, А = СТ~1 ограничен, то для всех х Е Ъ (Т) цсхц^цст-^^рт^крц-м, т. е. оператор С Т-ограничен. Обратно, если оператор С Т-ограничен, то V© D Ъ{Т) и оператор СТ~г определен на всем пространстве 9). Так как С замкнут, то оператор СТтоже замкнут. По теореме о замкнутом графике [17] он ограничен. ?

В дальнейшем будет использоваться следующее простое.

Цредложение 0.1.2. Пусть S — симметрический оператор. Если он Т-ограничен, mo S € *8(9)s, 9) s-i) для всех s? [0,1].

Доказательство. Так как оператор S Т-ограничен, то 5 Е Q3(fji, i!)o) — Следовательно, сопряженный оператор S*: 9j —> 1 тоже ограничен (мы воспользовались тем, что = (fii)*) — Так как S* D 5, то S G *B (f)o>#-i)-По теореме об интерполяции S € при любом s € [0,1] ?

Замечание 0.1.2. S? Q3(fjs, iV-i) эквивалентно тому, что определенный на T>(TS) оператор T^SSTS¹ ограничен в пространстве fjo.

Напомним, что нормированная система векторов {еп}п6^ называется базисом Рисса (см. [7]), если существует ограниченный, ограниченно обратимый оператор 5, что {5еп}п€^ есть ортонормированный базис в Далее будем использовать следующее.

Предложение 0.1.3. Пусть система векторов {/те? (после соответствующей нормировки) образует базис Рисса в пространствах и (а < (3). Тогда {/гг}пем является (после нормировки) базисом Рисса в пространстве для произвольного, а ^ в ^ /3.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что, а = 0 и (3=1 (иначе переходим к шкале пространств, порожденной оператором Т^а). Система векторов {/п}гаем есть базис Рисса в пространствах^! и это эквивалентно тому, что в пространстве (соответственно в ^Эо) можно ввести эквивалентное исходному скалярное произведение ((•, •))! (соответственно ((-,-))о), ЧТО ((/&bdquo-,/т)) 1 = 0 (соответственно ((/п,/т))о = 0), если п 'ф тп. Пусть еп = /тг/||/п||о и Сп= ||еп||1. Тогда {е^}^ есть ортонормированный базис в пространстве 5}0, а {еп/сп}п€м есть ортонормированный базис в пространстве^. Отметим, что существует с > 0, что сп > с. В пространстве определим оператор, А по формуле (х = апеп).

Так как сп > с > 0, то, А Е 93 (#0)7 причем кег, А = 0. Если у Е 5эх, т0 У = X) Ьп^п/С-П1 {&п}п€М ^ 4 (ряд сходится в Яг). Следовательно, х =^апеп Е^Зо тогда и только тогда принадлежит когда {апсте}п<=^ Е 12. Из этого легко получить, что оператор, А отображает пространство^о на $)1 взаимно-однозначно и изометрично, а оператор А-1 есть изометрический изоморфизм в #0, причем из определения следует, что А" 1 — самосопряженный, положительно определенный в^эо оператор с ©-(Л-1).

По оператору А~1 построим шкалу пространств Оператор АТ замкнут и определен на всем 5эо> следовательно, по теореме о замкнутом графике, он ограничен [17]. Тогда шкалы пространств и 9)3, порожденные операторами А" 1 и Т соответственно, совпадают^как множества и нормы в них эквивалентны [26]. Из определения шкалы $)8 следует, что.

А ж = (апс8п) еп, щех = апеп, {ап}пбН Е ?> 2откуда следует, что система {епЛ4} м является ортонормированным базисом в пространстве Так как нормы в пространствах^ и эквивалентны, то система {егг/||еп|Ь}пбМ есть базис Рисса в .фвП.

Пучки операторов.

Пусть А (А) — семейство замкнутых операторов в гильбертовом пространстве Я определенное в области С С.

Определение 0.1.3 (см. [18]). Семейство операторов А (А) называется голоморфным типа (А) если.

1) многообразие Т> = 2)(А (А)) не зависит от Л? Г2 и) для каждого и? Т> вектор-функция А (Х)и голоморфна в О,.

По аналогии со случаем линейной оператор-функции А (Х) — Т — XI вводятся следующие множества.

Точка Ло? О называется точкой регулярного типа оператор-функции Л (А) если оператор А (Ао) имеет ограниченный обратный (не обязательно определенный на всем #) и регулярной точкой, если она регулярного типа и оператор А-1(Ао) определен на всем 5). Множество всех точек регулярного типа называется полем регулярности А (А), а множество регулярных точек р (А) называется резольвентным множеством. На р (А) определена и голоморфна оператор-функция А-1 (А).

Определение 0.1.4. Множество а (А) — Г2 р (А) называется спектром семейства А (А).

Точечным спектром сгр (А) называется подмножество сг (А) ар (А) = {А? а (А) кегА (А) ф {0}}.

Ао? сгр (А) называется собственным значением (с.з.), кегА (Ао) — собственным подпространством, а произвольный вектор х? кегА (Ао), собственным вектором (с.в.). Число сИткегА (Ао) называется геометрической кратностью с.з. Ао? ор (А). Последовательность векторов т0, V)!,., У) п называется жордановой цепочкой или цепочкой собственных и присоединенных векторов (с.п.в.), отвечающей с.з. Ао? сгр (А), если г^о — с.в. и для к = 1,., п выполнены равенства.

1 1.

А{)ъик + -А'(А0)^1 +. + -А{к)()ию = 0.

Линейная оболочка всех с.п.в., отвечающих с.з. До Е .

Определение 0.1.5. Дискретным спектром, а ¿-{А) называется множество всех нормальных с.з.

Пусть Ао Е сг<$(А). Цепочки с.п.в. отвечающие с.з. Ао, образуют каноническую систему с.п.в., если выполнены следующие условия [19]:

I) с.в. уУ, ] — 1,., АГ образуют базис пространства кегА (Ао) (т.е. N равно геометрической кратности).

II) р1 >. > рдг, при этом число — наибольшее из возможных, а если цепочки с.п.в. с номерами ]< к уже выбраны, то цепочка ., имеет наибольшую возможную длину среди всех цепочек с первым вектором линейно независимым от г/?,.,.

Далее будем нумеровать все с.з. столько раз, какова их геометрическая кратность. Тогда каждому нормальному с.з. Х{ соответствует только одна цепочка с.п.в. (0.1.2), при этом всегда предполагается, что все цепочки, отвечающие одному с.з., образуют каноническую систему с.п.в. (это всегда можно сделать, [19]).

Имеет место следующий результат об оператор-функциях со значениями в идеале &оо (Я) (частный случай теоремы Гохберга).

Теорема 0.1.2 (см. [7]). Пусть А (А) — голоморфная оператор-функция на связном открытом множестве П со значениями в &00($)). Тогда, если хотя бы в одной точке ^ бП оператор I — А{ц) ограниченно обратим, то для всех, А Е О, за исключением, быть может, некоторых изолированных точек, оператор I — А (А) имеет ограниченный обратный.

Пусть, А — замкнутый оператор в пространстве с областью определения Т)(А) и, а С сг{А) — изолированная ограниченная часть спектра. Пусть Г С р{А) — спрямляемый контур ограничивающий областьОр, что ПгПсх (А) = а и имеющий положительную ориентацию относительно а. Тогда оператор-функция (А — 1)~1 определена и голоморфна в некоторой окрестности контура Г. Образуем интергал (понимаемый в смысле Коши) уру), 3 = 1,.

0.1.2) г.

Верно следующее.

Предложение 0.1.4 (см. [7, 9]). Оператор Ра является проектором, перестановочным в оператором, А (т.е. PaS) С Т>(А) и АРа = РаА), его определение не зависит от выбора контураТ. Подпространство = Ра$) инвариантно относительно оператора, А и, а (А |£ст) = а. Если aк — 1,2 — две изолированные ограниченные части спектра оператора А, то.

P.

Диссипативные операторы.

Определение 0.1.6 ([3, 23]). Линейный оператор, А с областью определения 2)(А), действующий в гильбертовом пространстве i}, называется дисси-пативным, если.

Im (Ах, х) > 0 при всех х € D (A) и максимальным диссипативным, если он диссипативен и не имеет дисси-пативных расширений.

Диссипативные и максимальные диссипативные операторы являются естественными обобщениями симметрических и самосопряженных операторов. В дальнейшем будет использоваться следующая.

Лемма 0.1.1 ([3, 23]). Пусть, А — замкнутый диссипативный оператор в гильбертовом пространстве Sj. Тогда открытая нижняя полуплоскость С принадлежит полю регулярности оператор, А и.

IKA-A/)-1! ^ | Im А|-1 при A Е С.

При этом, А — максимальный диссипативный оператор тогда и только тогда, когда С-Пр (А) ф 0. Последнее эквивалентно тому, что СС р (А) (или р (А) ф 0).

Операторы в пространствах с индефинитной метрикой.

Пусть в гильбертовом пространстве S) задан оператор? J удовлетворяющий следующим свойствам: a) 3* = 3 (самосопряженность) b) Я2 = / (инволютивность).

Из свойств а) и Ь) следует, что операторы Р±- = |(/±-Я) есть ортогональные проекторы, причем Р+Р- = О, Р+ + Р = / и Я = Р+ — Р— Обозначим $)± = Р±-9). Введем в # билинейную форму х, у] = (Зх, у).

Из выше сказанного следует, что [ж, ж] = (ж, ж) (соответственно, [ж, ж] = —(ж, ж)), если аЕ (соответственно, ж Е.

Определение 0.1.7. Гильбертово пространство & с билинейной формой [•, •] называется пространством с индефинитной метрикой (или пространством Крейна, [3]).

Если 0 < к — пнп{с1т1,5э+, сЦт5э} < +оо, то пространство 9) называется пространством Понтрягина и обозначается Их.

Если ф 0, то форма [•, •] не является положительно определенной, поэтому естественно ввести следующие определения [3]. Линеал? С ,?) называется положительным (отрицательным), если [ж, ж] > 0 ([ж, ж] < 0) для всех х Е ?. Линеал называется неотрицательным (неположительным), если [ж, ж] ^ 0 ([ж, ж] ^ 0) для всех ж Е ?, и нейтральным, если [ж, ж] = 0 для всех ж Е ?. Линеалы ?1 и ?2 называются В-ортогональными, если [ж, у] = 0 для всех ж Е ?1 и у Е ?2- Линеал? называется равномерно положительным (соответственно, равномерно отрицательным), если [ж, ж] > с (ж, ж) (соответственно, [ж, ж] < —с (ж, ж)) для некоторого с > 0 и для всех ж Е ?. Если линеал равномерно положительный или равномерно отрицательный, то он называется равномерно дефинитным. Так же как и в случае гильбертова пространства вводятся следующие классы операторов.

Определение 0.1.8 (см. [3]). Оператор II называется Я-унитарным если.

Ъ{и) = ъ х, у] = [11х, иу], /ж, уе$) и Шэ =.

Оператор, А называется Я-симметрическим, если.

Ах, у} = [х, Ау], Уж, УеТ>(А).

Если, кроме того, р (А) ф 0, то, А называется 3-самосопряженным.

В случае пространства Понтрягина будем писать 7г-унитарный (соответственно, 7г-симметрический, и-самосопряженный) оператор.

Я-унитарный оператор и всегда ограничен и ограниченно обратим [3]. Из определения следует, что II Е — Я-унитарный оператор тогда и только тогда, когда и*3и = 3 и Е 25 (.?)) — оператор, А Я-симметричен тогда и только тогда, когда оператор ЗА симметричен в гильбертовом пространстве $). Для Я-унитарного оператора II включение а (II) С Т, вообще говоря, не имеет места, но спектр, а (и) симметричен относительно единичной окружности. Если, а и а2 — две изолированные части спектра, причем Щ Ф а2г, то подпространства Ра19у и Ра25)^{-ортогональны.} Из этого, в частности, следует, что если а' С (т{и) — изолированная часть спектра и а' П Т = 0, то подпространство Ра>!г) нейтрально. Аналогичные результаты верны для^{-самосопряженного} оператора А: спектр, а (А) симметричен относительно действительной оси и если сгх и сгг — две изолированные части спектра, причем Щ ф оч, то подпространства Ра15) и Ра2 $) Я-ортогональны. Если а' С сг (А) — ограниченная изолированная часть спектра и а' П М = 0, то подпространство Ра>$) нейтрально. Среди всех Я-унитарных операторов выделяется класс сильно устойчивых операторов.

Определение 0.1.9 (см. [3, 10]). Я-унитарный оператор и называется устойчивым, если существует число С > 0, что ип\ ^ С, пеЪ и сильно устойчивым, если существует 5 > 0, что любой Я-унитарный оператор II устойчив как только \11 — Й\ < <5.

Сильно устойчивые Я-унитарные операторы характеризуются следующим свойством.

Теорема 0.1.3 (см. [3, 10]). Я-унитарный оператор и сильно устойчив тогда и только тогда, когда спектр II можно разбить на два замкнутых непересекающихся множества а (Ц) = а и сг2, что подпространства Рак! г), к = 1,2 равномерно дефинитны.

Замечание 0.1.3. Из равномерной дефинитности пространств Ракк — 1,2 следует, что если Я-унитарный оператор II сильно устойчив, то, а (и) С Т. Тоже верно и для устойчивых Я-унитарных операторов.

Для 7г-самосопряженных и 7г-унитарных операторов в пространстве Пон-трягина Пх имеет место следующий результат.

Предложение 0.1.5 (см. [3]). В пространстве Понтрягина Пн невещественный спектр тт-самосопряженного оператора состоит не более чем из 2х собственных значений. Неунитарный (т.е. не лежащий на Т) спектр ж-унитарного оператора состоит из не более чем 2к собственных значений.

Если С — ограниченный самосопряженный оператор в пространстве $ и О Е р{0), то можно ввести индефинитную билинейную форму равенством х, у]о = (Ох, у), х, у Е # Она обладает следующими свойствами.

1. симметричность: [х, у]д = [у, х]с для всех х, у Е.

2. линейность: [ах + Ьу, г]о = а[х, г]с + Ь[у, г] с, а, 6 Е С и 6.

Если в пространстве 5э ввести новое, эквивалентное исходному, скалярное произведение (х, у)1 = (|С|х, ?/), то билинейная форма [•, •].

Нетрудно проверить, что § - самосопряженный, инволютивный оператор относительно скалярного произведения (•, -)ь Далее иногда будем рассматривать индефинитные метрики, порожденные ограниченными самосопряженными операторами.

Если Р Е (.?)) ~~ самосопряженный оператор и 0 ^ то ограниченный, ограниченно обратимый оператор и называется Р-унитарным оператором, если и*П1 — Р.

0.2 Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.

Пусть X — банахово пространство и функция? —> х (£) со значениями в пространстве X (вектор-функция) определена на интервале ИСК. Будем говорить, что х (£) сильно сходится к хо при? —>? о и будем писать х (£) —> хо, (? —> £о) если существует предел ||х (£) — хо|| = 0. Будем говорить, что х (£) слабо сходится к хо если для любого / Е X* существует предел числовой функции /(х (£)) = /(хо). В этом случае будем писать х (£) хо, (? —> ¿-о) — Вектор-функция х (£) называется сильно непрерывной в точке ¿-о? если х (£) —>• х (?о), (? —* £о) и сильно дифференцируемой в точке ?0 € 3, если £1(х (£) — х (?о)) —" ж'(?о)? (? —> ¿-о) — Если вектор-функция х (£) непрерывна в каждой точке множества 3 С М, то будем писать х (£) Е С (3-Х). Если вектор-функция п раз сильно дифференцируема и пая производная х (п)(?) сильно непрерывна, то вектор функция называется п раз сильно непрерывно дифференцируемой и будем писать х (£) Е Сп (3-Х).

Вектор-функция ж (£), определенная на интервале 3 С К, называется слабо непрерывной в точке ^ € если х{£) —а-(?о), (? —> ¿-о).

По аналогии со скалярным случаем вектор-функция у (£), определенная на интервале 3, называется сильно абсолютно непрерывной, если для произвольного е > 0 существует 6 > 0, что для произвольной конечной системы непересекающихся отрезков [оц, Ь^ с условием ^ Ъ{ — щ < е выполнено неравенство — у (аг)|| < <5- Вектор-функция у (£) называется функцией с ограниченной вариацией, если существует с > 0, что для произвольного конечного разбиения интервала 3.

Абсолютно непрерывная функция есть функция с ограниченной вариацией (доказательство аналогично скалярному случаю).

Если вектор-функция г (Ь) есть интеграл по переменному верхнему пределу от интегрируемой (по Бохнеру) вектор-функции х{£) [9, 37], т. е. то абсолютно непрерывна и п. в (по мере Лебега) дифференцируема на интервале 3 [9, 37].

Полугруппы операторов в банаховом пространстве.

Определение 0.2.1. Семейство ограниченных операторов? 6 в банаховом пространстве X называется сильно непрерывной полугруппой (или Со-полугруппой), если с) отображение? —> У{^)г непрерывно для каждого г € X.

В банаховом пространстве Со-полугруппы допускают полное описание: они суть «экспоненты» операторов (генераторов) некоторых классов. Это основное содержание теоремы Хилле-Филлипса. Как и в случае полугруппы У{р) = еаЬ генератор получается дифференцированием.

71—1 к=1 а a) У (0) = I b) У^У^) = у (г + в) для всех.

Предложение 0.2.1 (см. [35]). Пусть Vit) — сильно непрерывная полугруппа в банаховом пространстве X. Положим.

Т>{А) = {ф Е X существует lim^(V" (i) — 1) ф j> и определим на Т){А) оператор равенством.

Аф = Ш±(у (Ь)-1)ф.

Тогда, А замкнут и плотно определен и V{t)T)(A) С T)(A) для всех t Е Более того, если ф Е D (A), то V (t)ф Е C^R4″ - X) и верно равенство.

V{t)ф)'=AV{t)ф = V{t)Aф t Е Ш+.

Определение 0.2.2. Оператор, А из предложения 0.2.1 называется инфи-нитозималъным оператором (или генератором) полугруппы V (t). Говорят также, что оператор, А порождает полугруппу V{t). В этом случае пишут V{t) = etA.

Таким образом, если, А — генератор Со-полугруппы и xq Е D{a), то вектор-функция x{t) = V{t)xо есть решение дифференциального уравнения x'{t) = Ax (t) с начальным условием ж (0) = х0 и имеет место оценка ||x (?)?? ^ с (Т)||а-о|| на каждом конечном интервале [0,Т], т. е. уравнение корректно разрешимо (в смысле определения 0.2.3).

Генераторы полугрупп допускают конструктивное описание.

Теорема 0.2.1 (Хилле, Филлипс, [37]). Пусть, А — замкнутый, плотно определенный оператор в банаховом пространстве X. Для того, чтобы оператор, А был генератором С^-полугруппы необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: i) существует? Е R, что луч (?, +оо) лежит в р (А). п) существует число М > 0, что.

Л-А/Г||< М.

А — 0У для всех, А > (3 и п Е N.

В этом случае ||ехр{?т4}|| ^ Ме@ь при всех t Е М+, вся полуплоскость {ИеЛ > Р} лежит в резольвентном множестве р (А) и для всех, А Е {ЯеЛ > /3}.

Следствие 0.2.1. Пусть, А — плотно определенный, замкнутый, максимальный диссипативный оператор. Тогда для любого, а Е К оператор г, А — аI есть генератор С^-полу группы.

Доказательство. Так как, А — максимальный диссипативный оператор, то, согласно лемме 0.1.1, С С р (А) и для всех Л Е С имеет место оценка резольвенты оператора А.

ИМ-А/нк^.

Из этого легко получить, что полуплоскость {Яег > а} принадлежит резольвентному множеству оператора %А — а! и выполнена оценка гА-а/-Л/)-1|| ^ 1.

А — а для всех, А > а. Использую свойства нормы для произвольного п Е N и, А > а получаем гА-а1~Х1уп\ ^ (||(«А — а! — Л/)1||»)П <

Л — а) п'.

Таким образом выполнены все условия теоремы Хилле-Филлипса (с ?3 — а и М = 1) и, следовательно, оператор iA — al порождает Со-полугруппу exp[t (iA — а/)}, причем ||ехр{?(гА — а/)}|| < eat. ?

Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве с постоянными коэффициентами.

Пусть, А — оператор в банаховом пространстве X с плотной областью определения D (A). Рассмотрим в X дифференциальное уравнение x'(t) = Ax (t), teR+. (0.2.3).

Одним из основных является вопрос о корректной разрешимости уравнения (0.2.3) и об оценках его решений.

Определение 0.2.3. Уравнение (0.2.3) называется корректно разрешимым, если для любого xq Е Т>(А) существует единственная вектор-функция x (t) Е C^M+jX) такая, что.

— x (t) Е Т){А) для всех t Е.

— я (0) = x0l.

— выполнено тождество (0.2.3) и для каждого Т G существует число с = с (Т) > 0, что для всех t G [0, Т] <ф0|| (0.2.4) решение непрерывно зависит от начальных данных).

Далее будем рассматривать только корректно разрешимые уравнения. Пусть xq G Ъ{А) и x (t) — решение уравнения (0.2.3) с начальным условием аг (0) = х0. Определим на Т>(А) оператор V (t) равенством V (t)xо = x{t). По построению V (t)T>(A) С (^4) и V (t) — ограниченный оператор при всех t G К+ (это следует из неравенства (0.2.4)), так что можно считать, что они определены на все пространстве X. Более того, в силу единственности решения уравнения (0.2.3) семейство V (t) удовлетворяют полугрупповому свойству V (t + s) = V (t)V (s). В самом деле, если рассмотреть решение х{т) с начальным условием F (s)?o, xq G Т>(А) при т = t и решение х (т) с начальным условием xq при т = t + s, то они совпадают (решение единственно). Так как xq произвольно и V (A) плотно в X, то для операторов V (t) это означает выполнение полугруппового свойства. По определению V (0) = I. Пусть теперь ф — произвольный вектор из пространства X. Так как область определения оператор, А плотна в X, то существует последовательность хп G Ъ{Л) сходящаяся к вектору </>.

В силу неравенства (0.2.4) V{t)xn =4 У{€)ф на каждом конечном интервале. Так как вектор-функции V (t)xn непрерывно дифференцируемы на полуоси М+, то предельная функция У (Ь)ф непрерывна на полуоси. Следовательно, У{Ь)ф G C (R± X) для любого ф. Таким образом, семейство операторов V (t) образует Со-полугруппу. Нами доказано.

Предложение 0.2.2. Для того, чтобы уравнение (0.2.3) было корректно разрешимо необходимо и достаточно чтобы оператор, А был генератором Со-полугруппы V (t). В этом случае решение уравнения (0.2.3) с начальным условием х (0) = хо G D (A) задается равенством x (t) = V (t)xq и имеет место оценка для некоторых М > 0, (3 G Ж (из теоремы 0.2.1).

Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве с переменными коэффициентами.

Пусть A (i), t G [0,Т] - семейство операторов в банаховом пространстве X (не обязательно ограниченных). Оно называется устойчивым с константами М > 0 и (3 G М [42], если (р, +оо) С p{A (t)) для всех t G [0,Т] и для любого разбиения 0 ^ ?1 <. ^ tk ^ Т, к? N и произвольного > (3 верно неравенство.

A (tk) — A/)1(A (Vi) — A I)" L. (A (ii) — А/)'1 < M (A — ?).

Если положить? i =. = tf. = т, к Е N, то, согласно теореме 0.2.1, оператор А (т) порождает Co-полугруппу в пространстве X для каждого г 6 [0, Т].

Пример 0.2.1. Если В it) — максимальный диссипативный оператор при каждом t Е [0, Т] и, а Е R, то семейство A (t) = iB (t) — al устойчиво с константами M = 1,? — а. В самом деле, С С p (B (t)) для каждого t Е [0,Т] и ||(?(i) — А/)" 1 II ^ I Im Aj 1 при, А Е С. Следовательно, полуплоскость {Re^ > а} принадлежит p (A (t)) и ||(А (£) — А/)-1|| < (А — а)~1 при, А > а для всех t Е [0, Т]. Используя свойства нормы оператора получаем, что для произвольного разбиения 0 < ?1 ^ Т, fc Е N и, А > а к.

A (tk) — XI)'1. (A (*i) — XI)'1 I < П ||(А^) — A/)1|| ^ (A — аУк.

3=1.

Следующая теорема о разрешимости в пространстве X задачи Коши для уравнения x'(t)=A{t)x (t), х (0) = хо принадлежит Като.

Теорема 0.2.2 (см. [42]). Пусть X и У — банаховы пространства так, что У плотно и непрерывно вложено в X. Пусть задано семейство операторов A (t), t Е [0,Т] в X. Предположим, что выполнены следующие условия i) Семейство |А (£)} устойчиво с константами M и ?.

И) Если A (t) — часть A (t) в У, то |a (i) | устойчиво в У с константами Mu?. iii) У С T>(A (t)) и A (t) Е (У, X) для всех t Е [0, Т]. Оператор-функция A (t) непрерывна по норме 95(У, Х). iv) Пространство У рефлексивно.

Тогда существует единственное семейство onepamopoeU (t, s) Е 05(X), 0 ^ s ^t^T со следующими свойствами: к a) U (t, s) сильно непрерывно вХ not и s, U (s, s) — I и b) U{t, г) = U (t, s) U (s, г) npur^s^t c) U (t, s) y С У, U (t, s) слабо непрерывно в У по t, s и.

U (i, s) ||у < d) Для любого у € У и t ^ s в пространстве X.

D+U (t, s) y = A (t)U (t, s) и производная слабо непрерывна вХ по t и s. U (t, s) y есть неопределенный сильный интеграл (в смысле Бохнера, [9, 37]) от A (t)U (t, s) y по t в пространстве X (т.е. U (t, s) y абсолютно непрерывна в X и п.в. дифференцируема на [s, Т)). e) Для произвольного уЕУиО^-s^t^T вектор-функция U (t, s) y сильно дифференцируема в пространстве X по s и.

U (t, s) y = -U (t, s) A (s)y.

При этом семейство операторов U (t, s) непрерывно зависит от семейства операторов A (t) в следующем смысле: если семейства {Ап (?)}п€м, A (t) удовлетворяют условиям теоремы и последовательность An (t) сходится к A (i) в смысле топологии 05(«У, X) равномерно по то при каждом s ^ t последовательность Un (t, s) сходится U (t, s) в пространствах 05(Х) и 05(У).

Для приложений технически наиболее сложным является проверка того, что семейство A (t) является устойчивым. Следующие утверждения позволяют в некоторых случаях установить этот факт.

Предложение 0.2.3 (см. [42]). Если B (t) е 05(Х) и семейство A (t) устойчиво в пространстве X, то тем же свойством обладает и семейство A (t) + B (t) (возможно, с другими константами).

Предложение 0.2.4 (см. [42]). Пусть X, У — банаховы пространства и A (t) — устойчивое семейство операторов вX. Пусть также существует семейство {•S'(i)} изоморфизмов S (t): У —> X и константа С > О, что.

11ЭДЦ и отображение t —S (t) есть функция ограниченной вариации относительно нормы 05(У, X), а отображение t —" S{t)~l есть функция ограниченной вариации относительно нормы 05(Х, У). Тогда семейство операторов S (t)~lA (t)S (t) устойчиво в пространстве У.