Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Задача 1. Даны векторы a, b, c, d. Для указанных в пп. 1−3 векторов требуется:

1) вычислить скалярное произведение векторов из пункта; 2) найти модуль векторного произведения векторов; 3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов; 4) убедиться, что векторы a, b, c образуют базис; 5) найти координаты вектора d в этом базисе.

a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k, d=19i+30j+7k;

1) -7a, 4c; 2) 3a, 7b; 3) a, c.

1. Вычислить скалярное произведение векторов из пункта:

2) найти модуль векторного произведения векторов;

3) проверить коллинеарность и ортогональность векторов и ;

Вектора коллиниарны если

или векторное произведение :

т.е. вектора и неколлиниарны.

Вектора и перпендикулярны если их скалярное произведение .

Т.е. и неперпендикулярны.

4) Убедиться, что векторы a, b, c образуют базис;

a=10i+3j+k, b=i+4j+2k, c=3i+9j+2k

В пространстве образует базис любая тройка некомпланарных векторов. Вектора некомпланарны, когда их смешанное произведение не равно 0;

Следовательно вектора образуют базис.

5) Найти координаты вектора d=19i+30j+7k в базисе векторов a, b, c.

Получили систему:

Решим систему методом Крамера:

, ,

; ;

Задача 2. Даны вершины A (x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3) треугольника ABC.

Требуется найти:

уравнение стороны AB;

Уравнение прямой, проходящей через две точки, А и В имеет вид:

АВ:

уравнение высоты CH и длину этой высоты;

Общее уравнение прямой имеет вид:

где — координаты вектора нормали.

Определим a и b для прямой АВ:

Вектор нормали одновременно является направляющим вектором прямой СН. Тогда каноническое уравнение высоты будет иметь вид (с учетом того, что прямая проходит через точку):

Длина высоты СН равна модулю проекции вектора АС или ВС на направление вектора

уравнение меидианы AM;

Определим координаты точки М:

Тогда уравнение АМ, проходящей через 2 точки имеет вид:

точку N пересечения медианы AM и CH;

уравнение прямой, параллельной стороне AB и проходящей через вершину C;

Вектор

Тогда каноническое уравнение искомой прямой будет иметь вид:

6) внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C.

A (-2,-3), B (1,6), C (6,1).

Задача 3. Составить канонические уравнения 1) эллипса, 2) гиперболы, 3) параболы по известным из условий 1 — 3 параметрам. Через a и b обозначены большая и малая полуоси эллипса или гиперболы, через F — фокус кривой, — эксцентриситет, 2 c — фокусное расстояние, — уравнения асимптот гиперболы, D — директриса кривой, A, Bточки, лежащие на кривой.

Составить каноническое уравнение эллипса, если

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Подставим координаты точки, А в уравнение и получим:

Искомое каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Составить каноническое уравнение гиперболы, если

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Точка, А является одной из точек пересечения гиперболы с осью ОХ. Следовательно .

Зная точку В найдем фокусное расстояние с гиперболы.

Следовательно, уравнение искомой гиперболы будет иметь вид:

вектор произведение эллипс гипербола Составить каноническое уравнение параболы, если известна директриса

Каноническое уравнение искомой параболы имеет общий вид:

Директриса записывается виде

Следовательно искомое уравнение имеет вид:

Задачи 4. Даны четыре точки A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), A3(x3,y3,z3), A4(x4,y4,z4). Требуется найти:

1) уравнение плоскости A1A2A3;

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид:

2) уравнение прямой, проходящей через точку A4, перпендикулярно плоскости A1A2A3;

Направляющий вектор прямой совпадает с вектором нормали плоскости A1A2A3 координаты которых определяются как Каноническое уравнение искомой прямой принимает вид:

расстояние от точки A4 до плоскости A1A2A3 находится как:

синус угла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3;Уравнение прямой A1A4 имеет вид:

Направляющий вектор прямой A1A4. Тогда

6) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью A1A2A3. A1(7,5,3), A2(9,4,4), A3(4,5,7), A4(7,9,6).

Косинус угла между плоскостями определяется как косинус угла между его нормалями: