Решения-утки в быстро-медленных системах на торе

Актуальность темы

Работа посвящена исследованиям в качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем, точнее в теории быстро-медленных систем (также известной под названиями теория сингулярно-возмущенных систем или теория релаксационных колебаний). Указанные системы естественным образом возникают в физических и биологических моделях, а также в теоретических исследованиях. В работе изучаются быстро-медленные системы на двумерном торе, которые обладают свойствами, не встречающимися у аналогичных систем на плоскости.

Впервые релаксационные колебания были обнаружены в радиотехнике. Для описания колебаний в контуре, включающем в себя два сопротивления, емкость, индукцию и тетрод, Б. Ван-дер-Поль предложил [25] дифференциальное уравнение второго порядка, зависящее от параметра, который мы будем обозначать через ±. Указанный параметр выражался через параметры элементов контура. При малых ц колебания в контуре были близки к гармоническим, однако с увеличением д их характер менялся, и при больших значениях параметра в динамике колебательного процесса стали выделяться участки двух типов: «медленного» изменения параметров и быстрых «скачков» с одного состояния на другое. Ван-дер-Поль предложил называть такие колебания релаксационными, и выдвинул гипотезу, что при ц —> +оо соответствующие решения становятся разрывными.

Аналогичные эффекты также наблюдались и в других физических системах. В частности, в ходе анализа различных схем мультивибраторов, А. А. Андроновым и А. А. Виттом было обнаружено (см. [1] и цитированные там работы), что некоторые «паразитные» параметры (такие как самоиндукция проводника), традиционно отбрасываемые в силу своей относительной малости при построении модели, могут существенно влиять на поведение системы: например, участвовать в образовании положительных обратных связей и тем самым играть ключевую роль в возникновении автоколебаний. Таким образом, их отбрасывание приводило к неадекватной модели. Первоначально влияние малых параметров удалось учесть путем введения «постулата скачка», предложенного Л. И. Мандельштамом, в соответствии с которым из физических соображений декларировалось, что достигнув некоторого критического состояния система «мгновенно» переходит в другое состояние.

Математическое обоснование «постулата скачка» было получено Н. А. Железцовым и Л. В. Родыгиным [16,17], и потребовало рассмотрения уравнений, в которых «иаразитный» малый параметр входил коэффициентом при старшей производной, и его учет повышал порядок уравнения — или, иными словами, размерность фазового пространства соответствующей системы.

Таким образом, с 40-х годов различными исследователями стали рассматриваться системы вида ex' = f (x, y, e),.

У' = 9(х, у, е). или, после перехода к другому масштабу времени t — т/е:

У = ед (х, у, е), где х и у могут быть, вообще говоря, многомерными координатами, ае — малый параметр. К системе аналогичного вида приводится классическое уравнение Ван-дер-Поля с помощью преобразования Льенара (при этом е ~ 1/д). Такие системы в современной терминологии получили название «быстро-медленных»: координата х — быстрая, у — медленная. Интерес представляет асимптотическое поведение решений при е —" 0.

Фазовые портреты систем (*) и (**) при фиксированном? ф 0 совпадают, но предельное поведение при s —"¦ 0 различно: предел (*) называется медленной системой (она задает движение в «медленном времени» г), а предел (**) — быстрой. Трактории быстрой системы лежат в плоскостях у = const, а множество нулей М := {(ж, у) /(ж, у, 0) = 0} функции /, называемое медленной поверхностью, целиком состоит из особых (неподвижных) точек быстрой системы. Наоборот, траектории медленной системы целиком лежат на медленной поверхности.

Рассмотрение этих предельных систем позволило объяснить появление «мгновенных скачков». Медленная система соответствует модели, при построении которой «паразитные» малые параметры были отброшены. Она адекватно описывает поведение реальной системы при малых е, но лишь до тех пор, пока движение происходит вблизи участков медленной поверхности, состоящих из устойчивых особых точек быстрой системы. Однако, траектория медленной системы может в какой-то момент достигнуть границы притягивающего участка. В этот момент траектория реальной системы при е ф 0 может испытать срыв: уйти из окрестности медленной поверхности и переключиться с медленного движения на быстрое, задающееся быстрой системой. Это и есть наблюдающийся «скачок» (в медленном масштабе времени г он происходит «мгновенно», то есть траектория имеет разрывв быстром — за время порядка 0(1)), который невозможно объяснить, пренебрегая малыми параметрами. При этом траектория, следуя быстрой динамике, может вновь попасть на устойчивый участок медленной поверхности, после чего быстрое движение снова сменится медленным, и т. д.

Таким образом, стало возможным описывать поведение решений быстро-медленных систем, рассматривая в них чередующиеся фазы медленного движения вдоль устойчивых участков медленной поверхности, определяемых медленной системой, и срывов вдоль траекторий быстрой системы. В случае, если быстрая и медленная координаты одномерны (т.е. рассматриваются быстро-медленные системы на плоскости), этому описанию удовлетворяет типичная траектория типичной системы. Замкнутая траектория, проходящая через участки быстрых и медленных движений, является релаксационным циклом, ответственным за появление релаксационных колебаний.

Дальнейшие исследования в этой области были направлены преимущественно на нахождение асимптотик по е для различных параметров истинных траекторий системы при е —> 0 (например, периода релаксационных колебаний). Существенные трудности вызвал анализ динамики в окрестности точек срыва, где и происходит переключение с быстрого движения на медленное. Эта задача была решена Л. С. Понтрягиным и Е. Ф. Мищенко в конце 50-х годов [26, 21]. Важные результаты были получены А. Н. Тихоновым, А. Б. Васильевой, Л. Флэтто, Н. Левинсоном и др. (см. работы, цитируемые в [2] и [22]). Первые члены асимптотического ряда для периода релаксационных колебаний в уравнении Ван-дер-Поля были впервые посчитаны А. А. Дородницыным [9]. Ряд асимптотик для общего случая быстро-медленной системы на плоскости были получены Дж. Хаагом в 40-х годах [12, 13]. Методы, разработанные Понтрягиным и Мищенко, позволили получить полные асимптотики решений типичных быстро-медленных систем на плоскости, изложенные в монографии Е. Ф. Мищенко и Н. X. Розова [22], ставшей классической. Эти результаты широко используются в настоящей работе.

Однако, оказалось, что указанное простое качественное описание не исчерпывает всех возможных типов траекторий быстро-медленных систем. Так, в 70-х годах Л. С. Понтрягиным было обнаружено явление затягивания потери устойчивости: оказалось, что в аналитических быстро-медленных системах с двумерной быстрой координатой после прохождения границы устойчивости траектория может находиться длительное время вблизи уже неустойчивой части медленной поверхности (проходя вдоль неё отделенное от нуля расстояние), и лишь затем претерпевать срыв и переключаться на быстрое движение. На конкретном примере этот эффект был исследован в работе М. А. Шишковой [28] в 1973, проведенной под руководством Понтрягинаобщий случай проанализировал А. И. Ней-штадт [24] в 1985 г.

Близкий эффект был обнаружен учениками Дж. Риба (Е. Бенуа, Дж. Калло, Ф. Дьене, М. Дьене) [5, 7] в начале 80-х годов в быстро-медленных системах с одной быстрой и одной медленной переменной. Они исследовали рождение релаксационного предельного цикла в системе Ван-дер-Поля с дополнительным параметром. Оказалось, что когда при фиксированном? этот параметр проходит экспоненциально узкий (по е) интервал, предельный цикл, рождающийся из особой точки в результате бифуркации Андронова — Хопфа проходит через несколько стадий эволюции прежде чем приобрести вид классического релаксационного цикла. При этом для промежуточных значений параметра соответствующие предельные циклы проходят вблизи некоторых дуг неустойчивой части медленной кривой. Такие траектории получили название «уток» (canard, сейчас также используется английское duck) — частично благодаря коитринтуитив-ности эффекта, который поначалу был воспринят как «газетная утка», частично из-за своей формы, отдаленно напоминающей летящую утку [2, 31]. Уточные решения были обнаружены в различных химических, биологических и других моделях. (См. напр. [23] и цитированные там работы.).

Первоначально, уточные решения исследовались методами нестандартного анализа, однако вскоре к ним удалось применить ставшие уже классическими методы асимптотических рядов (У. Эккауз [11], Е. Ф. Мищенко, А. Ю. Колесов, Ю. С. Колесов, Н. X. Розов [18, 20]), а позже — геометрическую теорию сингулярно-возмущенных систем (разработанную Н. Фени-челем [14]) с помощью метода раздутия (Ф. Дюмортье и Р. Руссари [10], М. Крупа и П. Смолян [19]). Оказалось, что уточные решения являются «редким» явлением в системах на плоскости. В частности, притягивающие уточные циклы, которые могут быть обнаружены в ходе численного эксперимента, появляются только при наличии дополнительного параметра, причем множество «уточных» значений этого параметра при фиксированным е является экспоненциально узким по е.

В 2001 году Ю. С. Ильяшенко и Дж. Гукенхеймер обнаружили [15] принципиально новое поведение для быстро-медленных систем на двумерном торе. Было показано, что для некоторого конкретного семейства систем, в отсутствие дополнительных параметров, для сколь угодно малого значения е система может иметь устойчивый уточный цикл. Однако, рассмотренные ими системы обладали симметрией, и поэтому не были типичными. В то же время, в указанной работе была выдвинута гипотеза, что обнаруженный эффект наблюдается в открытом множестве в пространстве быстро-медленных систем, то есть в (локально) типичном случае.

Настоящая диссертация посвящена доказательству этой гипотезы, а также дальнейшим исследованиям уточных решений в быстро-медленных системах на двумерном торе. В работе практически полностью исследован весьма широкий класс локально-тииичных систем без дополнительных параметров, обладающих притягивающими уточными циклами для сколь угодно малого значения параметра е, что является принципиально новым явлением в теории быстро-медленных систем. Актуальность работы следует из вышесказанного.

Цель работы. Целью работы является изучение уточных решений быстро-медленных систем на двумерном торе. Основные результаты работы посвящены формулировке необходимых и достаточных условий для существования притягивающих уточных предельных циклов, а также нахождению верхних и нижних оценок на их количество.

Методы исследования. В работе используются асимптотические разложения траекторий быстро-медленных систем вблизи точки срыва (Л. С. Понтрягин, Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов [22]), методы геометрической теории сингулярно-возмущенных систем (Н. Феничель [14]), теория нормальных форм в приложении к быстро-медленным системам на торе (Ю.С. Ильяшенко, Дж. Гукенхеймер, [15]), а также новые технические результаты, полученные в работе и описывающие быстро-медленную динамику на торе вблизи точки срыва.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми. В работе получено три основных результата:

• Доказано, что в типичных быстро-медленных системах на двумерном торе, обладающих выпуклой медленной кривой, выполняется аналог теоремы Ильяшенко-Гукенхеймера: а именно, система обладает единственным притягивающим уточным циклом (совершающим 1 оборот вдоль оси у) для сколь угодно малых значений параметра е.

• Доказано, что в типичных быстро-медленных системах на двумерном торе, обладающих невыпуклой медленной кривой, число притягивающих уточных предельных циклов, совершающих 1 оборот вдоль оси ?/, не превосходит половины от числа складок медленной поверхности при проектировании вдоль оси быстрого движения х.

• Доказано, что указанная оценка является точной в следующем смысле: она достигается для систем из некоторого открытого множества.

Помимо этого, получено описание динамики вблизи точки срыва в быстро-медленных системах на торе.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамических систем. Разработанные в диссертации методы позволяют эффективно оценивать число притягивающих уточных циклов (которые могут наблюдаться в численных или физических экспериментах) без интегрирования рассматриваемой системы. Эти результаты, а также разработанная техника анализа быстро-медленных систем на торе, могут быть полезны специалистам для решения математических и физических задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

• на семинаре «Динамические системы» под руководством д. ф.-м. н., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2006 г. и 2008 гг;

• на летней школе «Динамические системы» под руководством д. ф.-м. н., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова, при поддержке РФФИ и Laboratoire J.-V.Poncelet) в 2009 г;

• на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского, (г. Москва, МГУ, 21−26 мая 2007 г.).

• на Международной конференции «Топология, геометрия и динамика» памяти В. А. Рохлина (Euler International Mathematical Institute, Санкт-Петербург, 11−16 января 2010).

• на совместном заседании семинаров кафедры дифференциальных уравнений и кафедры численного функционального анализа Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского (2010).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в статьях [29], [30].

Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объем диссертации — 136 страниц.

1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е издание. — 1959. — С. 727−855. — 914 с.

2. В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильни-ков. Динамические системы — 5. ВИНИТИ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 5, 1986.

3. О. Anosova, On Invariant Manifolds in Singulalry Perturbed Systems, J. Dyn. Control. Sys., 1999, 5:4, 501−507.

4. O. Anosova, Invariant Manifolds in Singularly Perturbed Systems, Proceedings of the Steklov Institue of Mathematics, 236 (2002), 19−24.

5. E. Benoit, J. F. Callot, F. Diener, M. Diener. Chasse au canard. Collectanea Mathematica, 31−32 (1981), 37−119.

6. Бутузов В. Ф., Нефедов H.H., Шнайдер К.P. Дифференциальные уравнения. Сингулярные возмущения // Итоги науки и техн. Сер. соврем. матем. и ее прилож. Тематич. обзоры. М.: ВИНИТИ, 2003. Т. 109. С. 1−144.

7. M. Diener, The canard unchained or how fast/slow dynamical systems bifurcate, The Mathematical Intelligencer 6 (1984), 38−48.

8. A. Denjoy. Sur les courbes definies par des equations differentielles a la surface du tore. J. Math. Pure et Appl, 11 (1932), 333−375.

9. A. A. Дородницын, Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля, Прикл. матем. и механ., 11:3 (1947), 313−328.

10. F. Durnortier and R. Roussarie, Canard cycles and center manifolds, Mem. Amer. Math. Soc., 121:577 (1996).

11. W. Eckhaus, Relaxation oscillations including a standard chase on French ducks, in Asymptotic Analysis II, Springer Lecture Notes Math. 985 (1983), 449−494.

12. Haag J. Etude asymptotique des oscillations de relaxation. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 60 (1943).

13. Haag J. Examples concrets d’etude asymptotique d’oscillations de relaxation. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 61 (1944).

14. N. Fenichel, Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations, J. of Diff. Eq., 31 (1979), pp. 53−98.

15. J. Guckenheimer, Yu. S. Ilyashenko, The Duck and the Devil: Canards on the Staircase, Moscow Math. J., 1:1, (2001), 27−47.

16. Железцов H. А., Родыгин JI. В. К теории симметричного мультивибратора. Докл. АН СССР, 81:3 (1951), 391−392.

17. Железцов H. А., К теории разрывных колебаний в системах второго порядка. Изв. высших учебных заведений. Радиофизика 1:1 (1958), 67−78.

18. А. Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко. Явление затягивания JI. С. Понтряги-на и устойчивые циклы-утки многомерных релаксационных систем с одной медленной переменной. Математический сборник, 181:5 (1990), 579−588.

19. М. Krupa, P. Szmolyan, Extending geometric singular perturbation theory to nonhyperbolic points — fold and canard points in two dimensions, SIAM J. Math. Anal, 33:2, 286−314.

20. Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. С., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. Москва, «Физико-математическая литература», 1995.

21. Е. Ф. Мищенко, JI. С. Понтрягин, Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных, Изв. АН СССР. Сер. матем., 23:5 (1959), 643−660.

22. Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов, Дифференциальные уравнения малым параметром и релаксационные колебания, Москва, Наука, 1975.

23. J. Moehlis, Canards in a Surface Oxidation Reaction. J. of Nonlinear Sei. 12:4, 319−345.

24. JI. С. Поитрягии, Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Изв. АН СССР. Сер. матем., 21:5 (1957), 605−626.

25. A. Schwartz, A generalization of Poincare-Bendixon theorem to closed two dimensional manifolds. Amer. J. Math., 85 (1963), 453−458.

26. Щуров И. В. О притягивающих уточных циклах в быстро-медленных системах на двумерном торе. Деп. в ВИНИТИ 22.03.2010, М74-В2010, 51 с.

27. Martin Wechselberger, Canards, Scholarpedia, 2(4): 1356 (2007), http://www.scholarpedia.org/article/Canards.