Ветвление решений системы дифференциальных уравнений, определяющей свободную поверхность флотирующей жидкости

Теория ветвления решений нелинейных уравнений развивалась, начиная с конца XIX столетия. Её основы содержатся в известных работах АМ. Ляпунова [56], АПуанкаре [69] и Э. Шмидга [116], вплоть до наших дней стимулирующих исследования по теории ветвления и её приложениям. А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре занимались известной задачей теории фигур равновесия вращающейся жидкости (теория фигур небесных тел). Работы Э. Шмидта содержат исследования по теории линейных и нелинейных интегральных уравнений. В работах АМ. Ляпунова, АПуанкаре и Э. Шмидта было показано, что задача о ветвлении решений нелинейных интегральных уравнений с аналитическими операторами может быть сведена к исследованию эквивалентного уравнения разветвления (УР) — конечномерной системы неявных функций. Предложенный ими метод сведения нелинейной задачи к УР был назван впоследствии методом Ляпунова-Шмидта. Дальнейшее развитие теория ветвления получила в работах А. И. Некрасова [61,62], Л. Лихтенштейна [98], Н. Н. Назарова [57,58], Дж. Кронин [89,90]. А. И. Некрасов, используя теорию конформных отображений, приводит плоскую задачу о гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению, которое решает затем методом неопределенных коэффициентов при разложении решений по дробным или целым степеням малого параметра, получившим впоследствии название метода неопределенных коэффициентов Некрасова-Назарова Другими методами эта задача была решена также в работах Т. Леви-Чивита [97] и Д. Стройка [117]. Более трудная технически плоская задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей была исследована Н. Б. Кочиным [22]. Монография Л. Лихтенштейна содержит результаты по нелинейным интегральным уравнениш с применениями теории фигур равновесия вращающейся жидкой массы. Н. Н. Назаров исследует ветвление решений нелинейных интегральных уравнений, в частности, уравнений типа Гаммерштейна. В свое время его монография [57] явилась выдающимся вкладом в развитие теории ветвления нелинейных уравнений. Однако без применения метода диаграммы Ньютона НН. Назаров не рассмотрел всех возникающих здесь случаев ветвления. Значительный вклад в теорию ветвления был сделан в работах В. В. Немыцкого [63], М. М. Ваинберга [8] и М. А. Красносельского [23]. М. А. Красносельским была доказана теорема существования бифуркации от нечетнократного изолированного собственного значения линеаризованного оператора.

Обзор результатов по теории ветвления решений нелинейных уравнений до начала 60-х годов содержится в работах [9,11].

УР в одномерном ветвлении может быть полностью исследовано методом диаграммы Ньютона [10], позволяющего представить решения УР и первоначальной нелинейной задачи в виде ряда по определенным целым или дробным степеням малого параметра В многомерном ветвлении можно применять разложение УР по однородным формам. Впервые метод диаграммы Ньютона был применен в системах неявных функций ^&-МсМШап [109]. Эти работы остались незамеченными и впоследствии первенство в применении метода диаграммы Ньютона было отдано Ь.М.СтгауеБ [94] и А. Э. Степану [73]. В многомерном ветвлении полное исследование УР может быть выполнено методом многогранника Ньютона, развитого в работах А. Д. Брюно [7]. Среди аналитических методов определения асимптотики решений УР метод многогранника Ньютона [7], по-видимому, следует считать наиболее перспективным. Отметим также популярную, хотя и менее перспективную, на наш взгляд, методику применения теории особенностей гладких отображений [92,93], позволяющую исследовать УР лишь при невысоких порядках вырождения п. В работах, А ДБрюно и в работах М. Голубицкого и ДШеффера развит также метод нормальных форм — эффективный метод решения нелинейных задач.

К задачам многомерного ветвления применялся также предложенный впервые АПуанкаре [69] кронекеровский метод исключения, развитый затем М. М. Вайнбергом и П. Г. Айзенгендлером [10]. Однако при его применении возникают существенные трудности практического характера. Вообще в многомерном ветвлении наиболее эффективным оказалось сочетание аналитических, топологических (степень отображения, теория вращения векторных полей) и теоретико-групповых методов, позволяющих исследовать вопросы существования и построения асимптотики семейств решений, зависящих от свободных параметров.

В теории ветвления решений нелинейных уравнений следует отметить «принцип конечномерности» (сведение любого вопроса к эквивалентной конечномерной ситуации), пропагандируемый школой проф. В.АТреногина. В этом направлении следует особо выделить работу [78] (см. также [72]), в которой впервые теория вращения конечномерных векторных полей (степень отображения) была применена к УР — конечномерной задаче. Позднее и в менее общей ситуации топологические методы применялись непосредственно кУР в работах Дж. Изэ [95] (см. также [65]). В [78] применение топологических методов (теория особых точек конечномерных векторных полей) непосредственно к УР позволило снять требование полной непрерывности в известном результате М. А. Красносельского [23] о бифуркации от нечетнократного изолированного собственного значения. При этом в [78] была рассмотрена нелинейная задача о точках бифуркации в общем случае аналитической зависимости от спектрального параметра. Несколько иной подход, но также использующий теорию степени отображения применительно к УР был использован в работах Р. Т. Магнуса [16].

Прикладные задачи, основанные на описании действия законов сохранения, обладают групповой инвариантностью (симметрией) [16]. В случае, когда группа симметрии обладает интратаитивной подгруппой, удается существенно упростить общую задачу построения многопараметрических семейств малых решений нелинейного уравнения. Первыми примерами здесь были задачи о свободной конвекции в жидкости [83,84,20,74,19] и о вторичных стационарных течениях жидкости между вращающимися цилиндрами [82,18,121,68], имеющие конечное число решений, определенных с точностью до сдвига. Первые результаты использования групповой симметрии в теории ветвления были получены В. И. Юдовичем, рассмотревшим в работе [84] «один случай ветвления при наличии кратного спектра». Эти результаты были применены учениками В. И. Юдовича в прикладных задачах [5,6,19,20,68,74−76].

Дальнейшее развитие теории ветвления в условиях групповой симметрии содержалось в первых работах Б. В. Логинова и В. АТреногина [50,52], в которых был предложен метод группового расслоения и дан анализ возможностей понижения порядка (редукции) УР по числу неизвестных и числу уравнений. Было показано, что редукция УР по числу неизвестных зависит от действия группы на подпространстве нулей N (8) линеаризованного оператора В, а редукция по числу уравнений определяется действием группы на дополнении Е2т к области значения оператора В. В дальнейшем был проведен подробный анализ всех возникающих здесь возможностей. Обзор соответствующих работ содержится в [40]. В самой общей ситуации была доказана [40,49,51] теорема о наследовании уравнением разветвления групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи — одно из многочисленных проявлений «принципа конечномерности». Эта теорема выдвинула на передний план задачу построения УР по допускаемой им группе [31]. Теорема о наследовании в менее общей ситуации была доказана также в [112−115,119]. С этих позиций была подробно исследована задача о конвекции в жидкости [114,115] и задача о фазовых переходах в статистической теории кристалла [38−40]. В [24,30] были исследованы возможности редукции УР в вариационном случае с помощью полной системы функционально независимых инвариантов. Приложения группового расслоения и редукции УР в конкретных задачах математической физики содержатся в [25,27,28,36,37,45].

Однако, наиболее полное и эффективное решение задачи о построении УР по допускаемой им группе стало возможным только на основе применения методов Л. В. Овсянникова [66,67] группового анализа дифференциальных уравнений. Эти методы открыли существенно новый подход в теории ветвления и, в частности, в задачах с нарушением симметрии [1,2,43,44,53,54,81]. Общая теория применения методов группового анализа к задачам теории ветвления содержится в [26,44,101−103]. С этих позиций было дано новое более полное решение задачи о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла [44] и задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое жидкости над ровным дном [104]. Была решена восходящая к Н. Е. Кочину [22,96] пространственная задача о поверхностных капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей, задача о ветвлении и устойчивости периодических решений при определении свободной поверхности феррожидкости в магнитном поле [1,2].

Примерно до 80-х годов развитие теории ветвления, в частности, в условиях групповой симметрии (эквивариантной теории ветвления) на Западе и в Союзе шло с опережением советских математиков. В 80-х годах это направление на Западе и Востоке развивается по-разному. На Западе были опубликованы фундаментальные работы М. Голубицкого, Д. Шеффера [92,93] (между прочим, не содержащие никаких ссылок на советские работы и, в частности, на работы В.И.Юдовича) и А. Ван-дер-Бауведе [120]. Основным инструментом в этих работах явилась теория особенностей дифференцируемых отображений. Эти книги содержат различные приложения эквивариантной теории ветвления к задачам математической физики. С этих же позиций написана недавно вышедшая книга [88]. В работах советских математиков развивался метод многогранника Ньютона [7] и его применение, а также методы группового анализа дифференциальных уравнений в задачах теории ветвления [44].

Аналогичная картина видна и в нестационарном ветвлении — бифуркации Андронова-Хопфа. В [92,93] к задачам нестационарного ветвления применяется теория особенностей, а в [32,33,35,41,100,106,107] методы группового анализа дифференциальных уравнений.

Вопросы устойчивости разветвляющихся решений в задаче о точках бифуркации и, в частности, в задачах о нарушении симметрии, исследуются на основе результатов [34,105] по главной части построенного УР — конечномерной системы разветвления. Это очередное применение «принципа конечномерности». Существенную роль в этих вопросах играет УР в корневом подпространстве [34,42,99,105]. Возможности его построения основываются на исследовании роли жордановой структуры аналитических оператор-функций спектрального параметра в задачах теории ветвления [46,70]. Современное состояние теории ветвления решений нелинейных уравнений и ее многочисленные приложения содержатся в обзорах (трудах конференций) [21,85−87,110] и монографиях [91−93].

В настоящей работе дано развитие общей схемы построения УР по допускаемой им группе. В частности, рассмотрено построение решений инвариантных относительно подгрупп группы симметрии УР и получены достаточные условия потенциальности УР, допускающего симметрию 21 -мерного куба Эти результаты содержатся в первом параграфе. В параграфах два и три рассмотрено применение методов группового анализа к построению и исследованию УР задачи о периодических кашылярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости над ровным дном в случаях вырождения п< 4 линеаризованного оператора Задача допускает симметрию двухпараметрической группы сдвигов по переменным х и у и симметрию плоских кристаллографических групп, порожденных прямоугольными ячейками периодичности решений. В отличие от работ [13−15], в которых методами интегральных уравнений рассматривалась соответствующая плоская задача* исследование проводится непосредственно по системе дифференциальных уравнений, описывающих течение флотирующей жидкости. Производится «распрямление свободной границы» — замша переменных, позволяющая выделил. линеаризованный оператор. Фредгольмовосгь линеаризованного оператора следует из результатов [3,4]. Выписано дисперсионное соотношение, позволяющее определить размерность вырождения линеаризованного оператора (размерность УР). Таким образом, здесь задача о поверхностных волнах флотирующей жидкости рассматривается в точной постановке. Глава вторая содержит исследование более высоких вырождений: п=6,8,10,12. Предварительно дается анализ возможностей осуществления таких вырождений. В частности, здесь доказана возможность возникновения течений с ячейками типа двойного (л =8) и трехкратного (п= 12) прямоугольников или квадратов. В каждом отдельно рассмотренном частном случае методами группового анализа дифференциальных уравнений строится и исследуется УР, вычисляется асимптотика семейств разветвляющихся решений. Вычисление коэффициентов УР при различных значениях п выделено в приложение (в конце диссертации) с тем, чтобы не загромождать изложение техническими деталями. Результаты для каждого отдельного случая (различных значений п) формулируются в виде теорем. Отдельный параграф посвящен построению семейств решений инвариантных относительно нормальных делителей основной группы симметрии. Здесь используется аппарат теории характеров [55,59].

Всюду ниже для формул, теорем, лемм и замечаний принята следующая нумерация. первая цифра означает номер главы, вторая — номер параграфа, третья — номер формулы в данном параграфе. Во введении приведены необходимые для дальнейшего изложения понятия теории ветвления и группового анализа дифференциальных уравнений.

Результаты диссертации опубликованы в 11 работах и докладывались на IX Conference of the European Consortium for Mathematics in Industry (Denmark, Lingby, 1996), на 31 и 32 научно-технических конференциях Ульяновского государственного технического университета (1997,1998), на Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 1997), на П летней Казанской школе-конференции «Алгебра и анализ» (1997), на Ш международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, Мордовский университет, 1998), на УШ межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1998), на семинаре кафедры «Уравнения математической физики» Самарского государственного университета (1998), на конференции «Симметрия в естествознании» (Красноярск, 1998).

Соискатель выражает искреннюю признательность доктору физико-математических наук, профессору Логинову Б. В. за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Некоторые определения и факты теории ветвления решений нелинейных уравнений [10] и группового анализа дифференциальных уравнений [17,66,67].

Рассматривается уравнение.

Bx = R (x, X), R (0,0)=0, ДД0,0) = 0 (0.0.1).

RE^ -*Е2 фредгольмов, т. е. нормально разрешимый оператор с конечномерными подпространствами нулей ЩВ) и дефектных функционалов N*(B), п, £2-банаховы пространства Используются терминология и обозначения монографий [10,77]. Сведение к эквивалентной системе разветвления (УР) может быть выполнено различными способами, при этом получаются эквивалентные УР. Пусть {р^ - базис ЩВ) = Е?, а базисв М*(В)9 {Уг}" еЕ^и е?2биортогональные им системы элементов. Выбор биортогональных систем определяет проекционные операторы я я.

Р = >$ 1 и Q-1E^<'>Wj>zJ> порождающие разложение банаховых г=1 /=1 пространств Е^ и Е2 в прямые суммы.

Еу = Е[ +Е?~п, Е2 = Е%п +Е%<�ап Проектируя уравнение (0.0.1) на подпространства ы приходим к эквивалентной (0.0.1) системе и = (1-дЩи+у, А% ?Я (и+уД) = 0, (0.0.2) где В=В ^ ->Е2 аоя — сужение оператора В на подпространство.

Согласно теореме о неявных операторах существует единственное малое решение первого уравнения системы (0.0.2). Тем самым V еЕ" здесь рассматривается как малый параметр. Подставляя это решение и (у, Я) во второе уравнение, получаем УР (= УР,) ук9Щй?, л)+V, л)=М=0, к=1.

— 1.

На практике более удобным во фредгольмовом случае является вывод УР, исп пользующий обобщенную лемму Шмидта: оператор Ш-В + имеет 1 ограниченный обратный Г = В'1. Тогда уравнение (0.0.1) можно записать в виде эквивалентной системы л 1=1 п.

Полагая * =, определяем ^ = м>(?Д) из уравнения.

1=1.

1=1.

Тогда введенные дополнительные параметры ?" * = 1,., л определяются из УР (== УР2).

Определение 0.0.1. Уравнение (0.0.1) инвариантно относительно группы О, если существуют ее представления Х^ в пространстве Е±и Кя в Е2 такие, что для любого g е О.

ВЬ8х = К8Вх, Щ18х, к) = К8Я (х, Ь) (0.0.3).

Если оператор Я (х, Я) аполитичен в окрестности (c)(0,0), т. е.

Т0 ад*' = ^ (V)' ¦ и.

Из групповой инвариантности оператора 5 следует инвариантность подпространства нулей Е? =ЩВ) относительно операторов и области значений ЩВ)=Е2аап (оператор В фредгольмов, ЩВ) = Я (В)) относительно операторов К^. Отметим также, что инвариантность уравнения (0.0.1) относительно группы О означает, что вместе с х при любом geG решением уравнения (0.0.1) является также Ь^х.

В эквивариантной теории ветвления предполагается выполненным Условие I Подпространство Е?~Я=(1-Р)Е1 инвариантно относительно операторов Ья.

Лемма 0.0.1. [10]. Условие I равносильно инвариантности линейной оболочки Г = врап{уи., уп } с Е относительно операторов .

Из условия I следует, что проектор Р перестановочен с операторами и, А для оператора В=В (1-Р) выполнено соотношение (0.0.3).

Лемма 0.0.2. [10]. Если группа б компактна, то биортогональную к систему можно выбрать такой, чтобы выполнялось условие 1. Условие П. Пусть Ца), а еВаЛ1 — непрерывная ¡—параметрическая группа операторов, действующих в Е1. Существует базис {$>-}" в Егп такой, что я для любого = еЕ" найдутся, а еО, постоянные г^^),.,/^^, 1.

А о п-11<1,и номер 12 < такие, что Ц. аУр = гдеэлементыбазиса {р*}*.

Определение 0.0.2. Группа Ца) (Ь8 или б) действует в Е" /г стационарно, если система в условии Д одна и та же для всех ф еЕ?.

При действии группы в Е? подпространство Щ расслаивается на траектории 0(ф) = bgqg. Подпространство Е^ = трансверсальное к траектории 0(ф) называется порождающим для этой траектории. Конечную систему Е = |?1^)|,/2 <1г порождающих подпространств считаем полной, если каждая траектория Е" содержит точку какого-нибудь подпространства этой системы, и минимальной, если число порождающих подпространств в Б нельзя уменьшить. Условие П означает тогда" что в для любой траектории существует порождающее подпространство принадлежащее некоторой полной системе Б.

Замечание 0.0.1. Условия I и II позволяют провести редукцию УР, разыскивая его решета в каждом порождающем подпространстве системы Б.

Пусть преобразование в инвариантном подпространстве нулей действует согласно формулам п — ЧЯ А'8Щ =? , Ая = | ар Ч<�М|. ^.

Тогда для произвольного <р м и п (п ^ п ьг<�р= Ъ^щ = Е л =.

1 1=147=1 / 1=1.

Таким образом, действие оператора Ь8 на произвольный элемент из Щ равносильно преобразованию его координат в базисе матрицей и м в.

Тогда условие I означает, что Ьвук = £аь. а=1.

Аналогично, преобразования < в инвариантном подпространстве М*(В) опя ределяются равенствами К*угк =? = 1,., л.

1=1.

Тем самым матрицы А^ = и = определяют конечномерное представление группы О.

Теорема 0.0.1. [10]. Пусть оператор В в уравнении (0.0.1) фредголъмов, уравнение (0.0.1) допускает группу б {инвариантно относительно в) и выполнено условие I, тогда УР1 инвариантно относительно группы Ф:

Если оператор Шмидта В также обладает О-инвариантностью, то УР2 наследует О-инвариантность: л*)===1,.,".

Групповая инвариантность оператора Шмидта В означает, что представления К&и Ь8 эквивалентны. В условиях теоремы 0.0.1 УР наследует групповую симметрию первоначальной нелинейной задачи.

0.0.4).

Далее УР предполагается аналитическим. Это означает, что функции ^ голоморфны в окрестности ?=0,?=0. Равенство (0.0.4) означает, что для рассматриваемой группы преобразований.

7 = (0.0.5) многообразие 3t-t (?i) = 0 в пространстве 32я векторов является инвариантным многообразием действия группы О. Далее приводятся необходимые сведения из группового анализа дифференциальных уравнений.

Пусть 1сЛ — открытый интервал, содержащий точку О и Ооднопараметрическая группа преобразований х~Тах=/(хуаа е1 в Я". Траектория точки * еЯп является кривой, а /(х, а) в проходящей через точку х. Касательный вектор ?(дс)к этой кривой в точке х определяет касательное векторное поле группы б. Векторное поле касательных векторов в точке х может быть записано также в виде линейного дифференциального оператора первого порядка инфинитезимального оператора однопарамеггрической группы О преобразований.

Для I-параметрической группы Ли преобразований 3?= = инфинитезимальные операторы дхг образуют базис алгебры Ли группы Та.

Функция Р (х), х еЯл называется инвариантом /-параметрической группы Ли преобразований в Я", если К постоянна на траектории каждой точки х е#в:

Я/(*, а)) =, Р (*).

Для Iпараметрической группы преобразований в Я" критерий инварианта принимает вид следующей системы дифференциальных уравнений = (0.0.6) где — базисные векторные поля алгебры Ли / -параметрической группы преобразований в Я". Число решений этой системы определяются общим рангом.

Бели х — точка общего положения, т. е. г* = const в окрестности точки х и г* <п, то система (0.0.6) имеет пг* функционально-независимых решений, образующих базисную систему функционально-независимых инвариантов /параметрической группы Та. Если г* = л, то группа не имеет инвариантовона транзитивна.

Рассматривая / -параметрическую группу преобразований (0.0.4) предположим, что многообразие определяемое уравнением разветвления является неособым инвариантным многообразием, т. е. если {(ХУ, ГУ)}^1 — базис алгебры Ли группы (0.0.5), допускаемой УР, то ранг г ((Ху, Гу))|3 матрицы м|(Ху, Гу)|, у=1,.,/, 1 = !,.,", у = л + 1,.Дл (у-номер строки, г, У-номер столбцов) на многообразии 3 совпадает с ее общим рангом г*. Тогда если.

1,(^0,—. Д2"-Л?0 (0−0.7).

— базисная система функционально независимых инвариантов группы (0.0.5), то по теореме Л. В. Овсянникова [66,67] многообразие 3 можно представил, в виде Ф*(11,., 12вл) = 0,5=1.п. Для построения общего вида УР должно.

1* быть выполнено условие rank dt< п независимости системы инвариантов.

0.0.7) относительно племенных Согласно [66,с.250] это условие можно заменить требованием г* (X, Г) = г* (X). Изложенная схема построения инвариантных многообразий [17,66,67] приводит к редукции УР с помощью полной системы функционально независимых инвариантов (см. [10], гл. Ш).

1. Абдуллаева Ф. Д. Ветвление и устойчивость периодических решений задачи определения свободной поверхности магнитной жидкости. //Автореф. Дисс.канд.физ.-мат.наук. Ташкент, 1993. -18 с.

2. Абдуллаева Ф. Д., Кузнецов А. О., Логинов Б. В. Определение порядка вырождения задачи о свободной поверхности ферромагнитной жидкости в магнитном поле. //Тез. докл. 28 НТК УлГПИ. Ульяновск, 1984. С.58−59.

3. Агранович MC. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях. //Современные проблемы математики. Фундам. Направления. М.: ВИНИТИ, 1990, N63. С.5−129.

4. Агранович М. С. Эллиптические сингулярные интегро-дифференциальные операторы. //УМН, 1965,20, N 5. С.3−120.

5. Бабский В. Г. О ветвлении решений уравнения Ам+Ли = и2 на сфере. //Вестник Харьковского университета. 1970. Вып.34. С. 124−129.

6. Бабский И. Г., Скловская И. JI. О возникновении конвекции в самогравити-рующем жидком шаре, нагреваемом изнутри. //ПММ. 1971, т.35. Вып.6. С. 1000−1014.

7. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

8. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. //ГИТТЛ. М. 1956.-344 с.

9. Вайнберг М. М., Айзенгендлер П. Г. Методы исследования в теории разветвления решений. //Итоги науки. Математический анализ. 1966. С. 7−70.

10. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.-527 е.- English transi., Noordhoff bit Puhl., Lenden, 1974.

11. Вайнберг M.M., Треногин В. А. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие. // УМН, 1962,17,в.2. С. 13−75.

12. Владимиров С. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения с дискретной группой симметрии. //Диф. Уравнения, 1975,12, N 7. С. 1180−1189.

13. Габов С. А. О существовании установившихся волн конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости. //ЖВМ и МФ, 1988,28, N 10.С. 1507−1519.

14. Габов С. А, Свешников А. Г. Математические задачи динамики флотирующей жидкости. //Итоги науки и техники. Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1990, N 28. С.3−86.

15. Габов С. А, Тверской М. Б. О вычислении параметров установившихся волн конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости. //Матем. Моделирование, 1989,1,N2. С.109−118.

16. Ибрагимов Н. Х. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики. Новосибирск. НГУ, 1972.

17. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. -280 с.

18. Иванилов Ю. П., Яковлев Г. И. О бифуркации течений жидкости между вращающимися цилиндрами. //ПММ. 1966, т.ЗО. Вып.4. С.768−773.

19. Изаксон В. Х. Тепловая конвекция в слое жидкости со свободной верхней границей. //Автореф. канд.дис. Росгов-на-Дону. 1976.-12 с.

20. Изаксон В. Х., Юдович В. И. О возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей. //Изв. АН СССР. МЖГ. 1968, вып. 4. С.23−28.

21. Келлер Дж, Антман Ст.(ред.) Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. -254 с.

22. Кочин Н. Б. Определение точного вида волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины. //Тр. Всерос. Съезда математиков. М., 1928. С.266−269.

23. Красносельский H.A. Топологические метода в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Госгехиздат, 1956.-392 с.

24. Логинов Б. В. Вариационные методы в теории ветвления и групповая инвариантносгь. //Труды междунар. Симпозиума «Теоретико-групповые методы в механике». Новосибирск, 1978. С. 168−177.

25. Логинов Б. В. Ветвление решений дифференциального уравнения Аи+Аи = /(и) на сфере. //Диф. Уравнения, 1972, т.8,1Я 10. С. 1816−1824.

26. Логинов Б. В. Групповой анализ в задачах теории ветвления с нарушением симметрии. //Материалы межд. Конф." Дифференциальные уравнения и их приложения". 20−22.12.1994. Саранск, 1995. С. 103−119.

27. Логинов Б. В. Дополнение к статье Л. А. Слобожанина «Об одной задаче ветвления цилиндрического равновесного состояния вращающейся жидкости». //Матем. физика и функциональный анализ. Харьков: ФТИНТ АН УССР, 1972. Вып.З. С.52−55.

28. Логинов Б. В. Задачи теории ветвления, инвариантные относительно группы движений Я*. //Изв. АНУзССР, серияфиз.-мат. наук, 1978, N 3. С.20−23.

29. Логинов Б. В. Инварианты и инвариантные решения в теории ветвления. П. //Краевые задачи для уравнений математической физики. Ташкент: Фан, 1980. С.99−110.

30. Логинов Б. В. О вариационных методах в теории ветвления в условиях групповой инвариантности. //Диф. уравнения, 1979, т. 15, N 9. С. 1724−1726.

31. Логинов Б. В. О применении векторных инвариантов для определения общего вида уравнения разветвления в условиях групповой инвариантности. //ДАН СССР, 1981, т.259, N 5. С.1045−1050.

32. Логинов Б. В. Об определении уравнения разветвления в нестационарном ветвлении его групповой симметрии. //Соврем, групповой анализ и задачи матем. моделирования. Тр. XI Росс, коллоквиума Самарский университет, 1993. С. 112−124.

33. Логинов Б. В. Об определении уравнения разветвления его группой симметрии. //Докл. РАН, 1993,331, N 6. С.677−680.

34. Логинов Б. В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений свырожденным оператором при производной. //Изв. АН УзССР, физ.-мат.н, N1,1988. С.29−32.

35. Логинов Б. В. Общий подход к бифуркации рождения цикла в условиях групповой инвариантности. //Изв.АН УзССР, физ.-мат.н., 1990, N 6.С. 16−18.

36. Логинов Б. В. Периодические решения трехмерной задачи о волнах над ровным дном. //Динамика сплошной среды, 1979, т.42. С.3−22.

37. Логинов Б. В. Построение периодических решений трехмерной задачи о волнах над ровным дном. //Доклады АН СССР, 1979, т.247, N 2. С.324−328.

38. Логинов Б. В. Применение теории ветвления с групповой инвариантностью при построении периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла //УМН, 1981, т.36, N 4. С.209−210.

39. Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент: Фан, 1985.-184 с.

40. Логинов Б. В. Уравнение разветвления нестационарного ветвления с симметрией по пространственным переменным. //Узбекский матем. журнал, 1995, N 1. С.58−67.

41. Логинов Б. В. Уравнения разветвления в корневом подпространстве: групповая симметрия и потенциальность. //Ульяновский пед. университет, 1994, N35. С. 16−28.

42. Логинов Б. В., Рахматова Х. Р., Юлдашев H.H. О построении уравнения разветвления по его группе симметрии (кристаллографические группы). //Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. Ташкент, 1987. С. 183−195.

43. Логинов Б. В., Русак Ю. Б. О ветвлении решений уравнения Аw+Xw = f (w) на гиперповерхности. //Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 1974, вып.-4. С. 129−136.

44. Логинов Б. В., Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления. //Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, (ред. М.С.Салахетдинов). Ташкент: Фан, 1978.С. 133−148.

45. Логинов Б. В., Сидоров H.A. Групповая симметрия уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и итерационные методы в задаче о точке бифуркации. //Матем. сборник, т. 182, N 5,1991. С.681−691.

46. Логинов Б. В., Сидоров H.A. Общий метод построения уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и некоторые способы его исследования. // Неклассические задачи математической физики, Ташкент: Фан, 1985. С. 113−145.

47. Логинов Б. В., Треногин В. А. Идеи групповой инвариантности в теории ветвления. //Y Казахстанская межвуз. конференция по математике и механике. Тез. Докладов. 4.1. Алма-Ата, 1974. С.206−208.

48. Логинов Б. В., Треногин В. А. О применении непрерывных групп в теории ветвления. //Доклады АН СССР, 1971, т.197, N 1. С.36−39.

49. Логинов Б. В., Треногин В. А Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления. //Диф. Уравнения, 1975, т. 11, N 8. С. 1518−1521.

50. Логинов Б. В., Треногин В. А. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений. //Матем. сборник, 1971, т.85, N 3. С.440−454.

51. Логинов Б. В., Трофимов Б. В. Вычисление капиллярно-гравитационныхволн на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины. // Д ифференциальные уравнения математической физики и их применение. Ташкент, 1989. С.57−66.

52. Логинов Б. В., Эргашбаев Т. Многомерное ветвление и задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра //Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1993. С.89−100.

53. Любарский Г. Я. Теория групп и ее применение в физике. М.: ГИФМЛ, 1958. -354 с.

54. Ляпунов А. М. Собрание сочинений. Т.4. М.: изд-во АН СССР, 1959.-645 с.

55. Назаров H.H. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна. //Труды Средне-Азиатского университета, серия V-a, мат, 1941, вып.ЗЗ. С. 1−79.

56. Назаров H.H. Точки ветвления решений нелинейных интегральных уравнений. //Труды Института Матем. АН УзССР, 1948, вып.4. С.59−65.

57. Наймарк М. А Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. -528 с.

58. Наймарк М. А. Теория представлений групп. М.: Наука, 1976. -560 с.

59. Некрасов А. И. О волнах установившегося вила //Изв. Ивановского политехнического института 1922, т. 6. С. 155−171.

60. Некрасов А. И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1951.-96 с.

61. Немыцкий В. В. Структура спектра нелинейных вполне непрерывных операторов. //Матем.сборник. 1953,33(75), N 3. С.545−558- 1954,35(77), N 1.С. 174.

62. Никольский С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах. //Изв. АН, сер. матем., 1943, N 7.

63. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977.-232 с.

64. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.-400 с.

65. Овсянников Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966.-131 с.

66. Овчинникова С Р., Юдович В. И. Расчет вторичного стационарного течения между вращающимися цилиндрами. //ПММ. 1968, т.32, вып.5. С.858−868.

67. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1. //Новые методы небесной механики. Изд-во АН СССР, 1971.-771 с.

68. Русак Ю. Б. Обобщенная жорданова структура аналитической оператор-функции и сопряженной к ней. //Изв. АН УзССР, физ.-мат.н., 1978, N 2. С. 15−19.

69. Сидоров H.A. Вариационные методы в теории точек бифуркации нелинейных операторов. //Дифференциальные и интегральные уравнения. Изд-во Иркутского университета, 1973, вып.2. С.255−270.

70. Сидоров H.A. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления. Иркутский университет. 1982.-320 с.

71. Стапан АЭ. Разветвление решений нелинейных интегральных уравнений. //Ученые записки Рижского пед. инсгшута 1957, т.4. С.31−43.

72. Тер-Григорьянц Г. К. О возникновении двоякопериодической конвекции в горизонтальном слое. //ПММ. 1973, вып. 1. С. 177−184.

73. Тер-Григорьянц Г. К Об одном случае ветвления стационарных режимов конвекции в слое. //Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Есгесгв. науки. 1975, вып.4. С.39−43.

74. Тер-Григорьянц Г. К. Об устойчивости стационарных двоякопериодических конвекционных потоков в слое. //Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Есгесгв. науки. 1973, вып.4. С.79−83.

75. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. -495 с.

76. Треногин В. А., Сидоров H.A. Исследование точек бифуркации и непрерывных ветвей решений нелинейных уравнений. //Дифференциальные и интегральные уравнения. 1972, т.2. С.216−248.

77. Треногин В. А., Сидоров Н. А. Условия потенциальности уравнения разветвления и точки бифуркации нелинейных операторов. //Узб. Матем. журнал. 1992, N2. С.40−49.

78. Треногин В. А., Сидоров Н. А., Логинов Б. В. Уравнения разветвления: потенциальность, бифуркация, симметрия. //ДАН СССР, 1989, т.309, N 2. С.286−289.

79. Трофимов Б. В. Ветвление решений нелинейной задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей. //Автореф. дисс.канд.физ.-мат.наук. Ташкент, 1993. -18 с.

80. Юдович В. И. Вторичные течения и неустойчивость жидкости между вращающимися цилиндрами. //ПММ. 1966, т. ЗО, вып.4. С.688−693.

81. Юдович В. И. О возникновении конвекции. //ПММ. 1966, т.ЗО. вып.6. С. 1000−1005.

82. Юдович В. И. Свободная конвекция и ветвление. //ПММ. 1967, т.31, вып.1. С.101−111.

83. Bifurcation theory and its applications in scientific disciplines. //Annals of the New York Academy of Sciences, 1979. V.316. 685 p.

84. Bifurcation: Analysis, algorithms, applications. Eds. T. Kupper, R, Seydel, H. Troger. ISNM 79, Birkhauser, 1987.

85. Cesari L. Functional Analysis nonlinear differential equations and the alternative method. //Nonlinear Functional Analysis and Differential Equation, 1976.P. 1−197.

86. Chossat P., Iooss G. The Couette-Taylor Problem. Springer, Berlin, 1994.

87. Cronin J. Analytic functional mappings. //Ann. Math., 1973. V.58, N 1. P.175−181.

88. Cronin J. Branch points of solutions of equatins in Banach space. //Trans. Amer.Math. Soc., 1950. V.69. P.208−231.

89. Georgescu A., Oprea I. Bifurcation theoiy from ihe applications point of view. Romania, Timisoara University, 1994. -270 p.

90. Golubitsky M., Schaeffer D. Singularities and Groups in Bifurcation Theoiy. N.Y.: Springer, Appl. Math. Sci., 1985. V.l.

91. Golubitsky M., Schaeffer D. Stewart I. Singularities and Groups in Bifurcation //Theory. N.Y.: Springer, Appl. Math. Sci., 1988. V.2.

92. Graves L.M. Remarks on singular points of functional equations. //Trans. Amer. Math. Soc. 1955. V.79,N 1. P. 150−157.

93. Ise J. Bifurcation theiiy for Fredholm operators. //Memoirs of AMS, 1976,174p.

94. Kochin N.E. Determination rigoureuse des ondes permanentes d’ampleur finie a la surface de separation de deux liquides de profondeur finie. //Math. Ann., 1928, 98. S.582−615.

95. Levi-Civita T. Determination rigoureuse des ondes permanentes d’ampleur finie. //Math. Ann., 1925,93. S.264−324.

96. Lichtenstein L. Vorlesungen uber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integrodifferentialgleichungen nebst Anwendungen. Berlin, 1931.

97. Loginov B. V. Branching equation in the roat subspace, its investigation and applications. //EuroMech I (13ICNO), Techn. Univ. Hamburg-Harburg. Abstracts, 1993. P.93.

98. Loginov B. V. Determination of the brandling equation by its group symmetry Andronov-Hopf bifurcation. //Nonl. Anal., TMA. V.28,1997,12. P.2033;2047.

99. Loginov B. V. General approach to Ihe cycle birth bifurcation under group invariance conditions. //Izv. Akad. Nauk UzSSR Ser. Fiz.-Mat Nauk, 1990, N 6.P. 16−18.

100. Loginov B.V. Group analysis methods for construction and investigation of the bifurcation equation. //Applicationes of Math., 1992,37, N 4. P.241−248.

101. Loginov B.V. On the construction of the general form of branching equation byits group symmetry. //EquaDiff-YH. Enlarged Abstracts. Praha, 1989. P.48−50.

102. Loginov B.V., Kuznetsov A.O. Capillary-gravity waves over a flat surface. //Eur. J. Mech., B/FIuids, 15, N 2,1996. P.259−280.

103. Loginov B. V., Rusak Yu. B. Generalized Jordan structure in the stability of bifurcating solutions. //Nonlinear Anal. Theory. Methods AppL, 1991,17, N 3.P.219−231.

104. Loginov B.V., Trenogin V.A. Brandling Equation of Andronov-Hopf Bifurcation under Group Symmetry Conditions. //CHAOS (American Institute of Physics), 1997,7, N 2. P.229−238.

105. Loginov B.V., Trenogin V.A. Group Symmetry of Bifurcation Equation in Pynami Branching. //ZAMM, 1996, N 76. Suppl.2. P.237−241.

106. Magnus R. T. Generalization of multiplicity and the problem of bifiircation. //Proc. London Math. Soc. 1976,3,32. P.251−278.

107. McMillan W.D. A method for determination the solutions of a system of analytical functions in the neighborhood of a branch point. //Math. Arm., 1912. Bd.72. P. 180−202.

108. Multiparameter Bifiircation Theory. //Proc. Summer Research Conf. 1420.7.1985. Cjntemporary Mathematics. V.56,1989. Amer. Math. Soc. -357 p.

109. Rabinowitz P. Some aspects of nonlinear eigenvalue problems. //Rocky Mountain J. Math., 1973. V.3. P.161−202.

110. Sattinger D.H. Bifiircation from rotationally invariant states. //J.Math. Ph., 1978. V.19,N 8. P. 1720−1732.

111. Sattinger D.H. Group representation theory and branch points of nonlinear equatio //SIAM J. Math. Anal., 1977. V.8, N 2. P.179−201.

112. Sattinger D.H. Group representation theory, bifiircation theory and pattern formation. //J. Funct Anal., 1978. V.28, N 1. P.58−101.

113. Sattinger D.H. Group theoretic methods in bifiircation theiry. //Lecture Notes in Math., 1979. V.762. P. 1−240.

114. Schmidt E. Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3. Uber die Auf losungen der nichlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Losungen. //Math.Arm., 1908, vol.65. S.370−399.

115. Struik DJ. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles periodiques. //Math. Ann., 1926, vol.95. S.595−634.

116. Trenogin V.A., Sidorov N.A., Loginov В. V. Potentiality, group symmetry and bifurcation in the theory of brandling equation. //Differential and Integral Equations. Ohio, USA, 1990. V.3, N 1. P.145−154.

117. Vanderbauwhede A Alternative Problems and Symmetry. //J. Math. Anal. Appl., 1978. V.62, N 2. P.483−494.

118. Vanderbauwhede A. Local Bifurcation and Symmetry. //Res. Notes Math., 1982, 75. Pitmon, Boston.

119. Veite W. Stabilitat und Verzweigung stationarer Losungen der Navier-Stockesschen Gleichungen beim Taylorproblem. //Arch. Rat. Mech. Anal., 1966. V.22,N 1. S. l-14.

120. Лопшов Б. В., Карпова C.A., Ким-Тян Л. Р. Возмущение фредгольмовых операторов и уравнение разветвления в корневом подпространстве. //Тез. докл. 31 научн.-техн. конф. УлГТУ. Январь-февраль 1997. С.25−27.

121. Логинов Б. В., Карпова С. А Вычисление асимптотики капиллярно-гравитационных волн в пространственном слое флотирующей жидкости. //Тез. докл. П Казанской летней школы-конференции «Алгебра и анализ». 22.05.1997. С. 138.

122. Loginov В.V., Karpova S.A., Trenogin B. A Bifurcation, symmetry and parameter continuation in some problems about capillary-gravity waves. Progress in Industrial Mathematics at ESMI-96. B.G.Teubner, Stuttgart, 1997. P.432−439.

123. Логинов Б. В., Карпова C.A. Вычисление периодических решений за дачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости. //Вестник Самарского университета, 1997, N 4, т. 6. С. 69−80.

124. Логинов Б. В., Карпова С. А. Об инвариантных относительно подгрупп нелокальных решениях задачи о точке бифуркации с групповой симметрией. //Тез. докл. 32 научн.-техн. конф. УлГТУ, 19−31.01.1998. С.40−42.

125. Карпова С. А О потенциальности уравнения разветвления в условиях групповой симметрии. //Тез. докл. конф. «Математическое моделирование и краевые задачи». 26−28.05.1998. Самара С.57−59.

126. Логинов Б. В., Карпова С. А. Ветвление и симметрия в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности флотирующей жидкости.Тез.докл.конф. «Симметрия в естествознании». 23−29.08.1998. Красноярск. С.86−87.

127. Логинов Б. В., Карпова С. А Потенциальность уравнения разветвления, допускающего симметрию группы куба в критических явлениях механики сплошных сред. //Сб. научн. тр." Механика и процессы управленияУлГТУ, 1998. С. 43−50.

128. Карпова С. А. Асимптотика периодических капиллярно-гравитационных волн с симметрией двойного квадрата на поверхности пространственного слоя флотирующей жидкости. //Сб. научн. тр. «Механика и процессы управления». УлГТУ, 1998. С. 18−27.