Вибрационный изгиб вязкоупругих пластинок и оболочек в рамках модели Кирхгофа-Лява

В различных отраслях современной техники в качестве конструкционных материалов широкое применение находят полимеры и изготовленные на их основе композиты. В отличие от традиционных материалов типа металлов и их сплавов для полимеров уже при обычной температуре характерны явления ползучести деформаций и релаксации напряжений. Поэтому расчет полимерных конструкций следует вести с учетом указанных особенностей, что можно сделать лишь на основе уравнений вязкоупругости или вязкопластичности.

Теория вязкоупругости как инженерная наука сформировалась только в середине XX века, хотя отдельные закономерности вязкоупругого поведения некоторых материалов были экспериментально обнаружены более 150 лет тому назад.

Первые работы, в которых отмечается эффект изменения деформации во времени при действии постоянной нагрузки, принадлежат Вика [210], Веберу [212, 213] и Кольраушу [191]. Основное положение теории вязкоупругости о зависимости деформации в данный момент времени от всей истории предшествующего нагружения было сформулировано JI. Больцманом [178] в 1874 г. Ему же принадлежат уравнения зависимости между напряжениями и1 деформациями в изотропном вязкоупругом теле при пространственном нагружении. Эти уравнения на случай анизотропного вязкоупругого тела были обобщены в 1909 году В. Вольтерра [211]. Им же были изложены основы идеи применения решения задачи идеально упругого тела для получения решения соответствующей задачи вязкоупругости. Теоретическое обоснование данного подхода было завершено Ю. Н. Работновым [153] и названо им принципом Вольтерра. Принцип Вольтерра широко применяется для решения самых разнообразных задач, например, для исследования вопроса о концентрации напряжений вблизи отверстий при изгибе пластинок из вязкоупругого материала [158]. 7.

Практически адекватный методу Вольтерра подход, основанный на применении интегрального преобразования Лапласа, используется зарубежными исследователями под названием принципа соответствия.

Методам расчета конструкций из вязкоупругих материалов посвящены многочисленные статьи в различных журналах, как отечественных, так и зарубежных, и монографии Д. Бленда [9], Дж. Ферри [171], Р. Кристенсена [101], А. Р. Ржаницына [157], Ю. Н. Работнова [154, 155], А. К. Малмейстера, В. П. Тамужа и Г. А. Тетерса [106], В. В. Москвитина [109, 110], П. М. Огибалова, В. А. Ломакина и Б. П. Кишкина [144] и др.

Одной из отличительных особенностей вязкоупругих материалов от идеально упругих является их способность к рассеиванию энергии, следствием чего становится возможным высокий уровень саморазогрева конструкций из таких материалов при некоторых режимах деформирования, например, при длительном гармоническом нагружении. Исследование таких процессов началось только в 60-х годах ХХ-го столетия. По-видимому, первой публикацией на эту тему на русском языке является статья В. В. Москвитина [108]. Вскоре (1964 г.) выходит перевод статьи Р. А. Шепери [175], в которой обсуждаются вопросы диссипативного разогрева в полимерном материале. Практически одновременно с этой работой была опубликована статья Л. А. Галина [22], где приведено в квазистатической постановке аналитическое решение задачи о взаимодействии механического и теплового полей при продольных гармонических колебаниях полимерного стержня, и работа С. Б. Ратнера и В. И. Коробова [156], посвященная вопросу саморазогрева при циклическом нагружении пластмасс.

Эти работы привлекли внимание широкого круга исследователей, работающих в ' области механики деформируемого твердого тела, результатом чего явились многочисленные публикации, в которых приводились решения различных задач. Так в работах [23, 24] рассматривалась в квазистатической постановке задача о вибрационном изгибе полимерной балки. В [149] получено приближенное решение (без учета сил инерции) задачи о теплообразовании при колебаниях круглой 8 вязкоупругой пластинки. Крутильные колебания стержней (полых цилиндров) рассматривались в [205, 206], а продольные — в [207−209].

Публикуются результаты экспериментальных исследований [176, 174, 169, 170, 203, 204, 104, 105].

В 1969 г. были опубликованы первые обзоры [159, 90] уже достаточно многочисленных исследований в этом направлении, а в 1970 г. вышла монография А. А. Ильюшина и Б. Е. Победри [48], в которой последовательно и математически строго сформулированы основные положения термовязкоупругости.

В последующие годы исследования в области термовязкоупругости интенсивно продолжались. Так, например, крутильные колебания полимерных стержней изучались в работах [13, 14, 16, 10, 148, 140−142], плоская задача рассматривалась в [15]. Задача о продольных колебаниях стержня из «нормального» вязкоупругого материала решалась в [21], а с учетом волнового характера распространения тепла на основе закона теплопроводности Максвелла — в [17]. Задача о вибрационном нагружении вязкоупругой сферы изучается в [187]. Нестационарная задача определения температуры разогрева в бесконечной полосе, когда на постоянное среднее напряжение накладывается меняющаяся во времени по гармоническому закону вибрационная добавка, исследовалась в [167]. Общим вопросам деформирования резиноподобных материалов посвящена статья [198]. Продолжается публикация результатов экспериментальных исследований, например, [186, 201, 177, 202, 150] и др.

Наиболее планомерно и направленно разработка различных аспектов проблемы термовязкоупругости, на наш взгляд, проводилась и проводится коллективом ученых Института механики им. С. П. Тимошенко Национальной Академии Наук Украины. Так задачи о крутильных колебаниях полого и сплошного цилиндров рассмотрены в [88, 56], волновые процессы в вязкоупругих объектах изучались в [89, 92, 59]. Продольные и поперечные колебания вязкоупругих стержней при различных вариантах силового и кинематического воздействий рассматривались в работах [88, 57, 63, 37, 98, 99, 55,40, 35, 36] и др. 9.

Большое внимание уделялось вопросам колебаний тонкостенных элементов конструкций из вязкоупругих материалов. В работе [87] впервые дана общая постановка задачи о взаимодействии полей деформации и температуры вязкоупругой изотропной оболочки. Колебания круглых и прямоугольных пластинок рассматривались в работах [93, 82, 45] и др. Задачам поведения ортотропных вязкоупругих оболочек посвящены статьи [91,97].

Одновременно ведется разработка приближенных и численных методов решения задач термовязкоупругости для тел различной конфигурации [54, 55, 58, 41, 60, 62, 42, 43, 94] и др. Большое внимание уделяется общим теоретическим положениям механики поведения вязкоупругих тел [95, 96, 61, 64, 163−165] и др., Проводятся также исследования по смежным вопросам. В частности, для расчета элементов электронных приборов, изготовленных из пьезокерамик, выполняется большой цикл исследований по электро-термовязкоупргости [66,69, 71, 72, 81] и др.

Эти и многие другие результаты, полученные до 1990 года, обобщены в фундаментальных монографиях [67, 68, 70, 73, 74]. В этих монографиях также приведена обширная библиография, в том числе даются многочисленные ссылки на работы иностранных авторов.

В последнее десятилетие вопросы вязкоупругого поведения элементов конструкций, в том числе и вопросы термовязкоупругости, остаются предметом изучения многими авторами.

Продолжаются экспериментальные исследования, на основании которых строятся новые модели, уточняющие картину динамического поведения полимерных и резиноподобных материалов при различных видах нагружения [192, 179, 181−183, 189, 190, 188] и др. Рассматриваются новые, более сложные по постановке задачи. Например, задачи о деформации многослойных конструкций [ 5, 6, 4, 38, 39, 34], о действии периодической во времени импульсной нагрузки [46], о разогреве полого и сплошного вязкоупругого цилиндра при движении по его поверхности нормальной нагрузки [77−79]. Решаются задачи оптимизации, например, [151, 184]. Дальнейшее развитие получает проблема термовязкоупругости для предварительно деформированных конструкций [75, 172, 49] и.

10 др. Продолжается разработка общих вопросов вязкоупругости [200, 65, 103], анализируется влияние вязкоупругих свойств материалов на переходный режим установления вынужденных колебаний [102]. Проводится изучение поведения вязкоупругих конструкций по различным уточненным теориям [195,193]. Выполняется большой цикл исследований о поведении при гармоническом возбуждении элементов конструкций из пьезокерамики и ферромагнитных материалов [12, 83−85, 76, 86].

При решении задач широко используются различные численные методы, в том числе итерационные [146], методы граничных [185] и конечных [199, 194] элементов и др.

Тем не менее, до настоящего времени остается достаточно широкий круг вопросов, которые ждут своего обсуждения. Например, в абсолютном большинстве известных нам работ по колебаниям вязкоупругих пластинок и оболочек задача определения теплового состояния решается в предположении, что температура по толщине объекта меняется по линейному закону или постоянна (см., например, [67, 68, 70, 73, 74]). Эта гипотеза, обычно принимаемая в задачах термоупругости, при изучении колебаний вязкоупругих пластинок и оболочек, в которых мощность источников тепла за счет диссипации энергии нелинейно меняется по толщине, требует дополнительной проверки.

В литературе отсутствуют точные аналитические решения для некоторых сравнительно простых (модельных) задач, которые могли бы служить тестовыми при оценке эффективности приближенных методов решения.

Несмотря на большое количество примеров применения при решении конкретных задач различных численных методов, не разработаны эффективные методики численного решения широкого класса задач вибрационного изгиба вязкоупругих пластинок и оболочек при сложных способах закрепления контура.

Требуют уточнения пределы применимости в случае вязкоупругого материала известных гипотез технической теории цилиндрических и гипотез теории пологих оболочек.

Несомненный теоретический и практический интерес представляют вопросы о влиянии на напряженно-деформированное состояние (НДС) и тепловое поле меридиональных и окружных сил инерции при установившихся поперечных колебаниях (вибрационном изгибе) вязкоупругой оболочки.

Приведенный далеко не полный обзор литературы и сделанные выше замечания свидетельствуют о большой актуальности проблемы колебаний вязкоупругих тел и о том, что она еще далека от завершения.

Научная новизна. В работе дан вывод полных систем разрешающих интегро-дифференциальных уравнений, представляющих математические модели задач об установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от температуры, при произвольном законе изменения последней по толщине объекта.

В случае материала с независящими от температуры свойствами (несвязанные задачи) получены точные аналитические решения для характеристик НДС и температуры саморазогрева пластинок и оболочек при некоторых простых способах закрепления контура.

На основе единого методологического подхода предложены эффективные методики численного решения широкого класса решения несвязанных задач о вибрационном изгибе вязкоупругих пластинок и оболочек при сложных способах закрепления контура.

По результатам вычислительных экспериментов сделаны выводы о существенной роли окружных и меридиональных сил инерции в задачах вибрационного изгиба вязкоупругих оболочек. Уточнены пределы применимости известных гипотез технической теории цилиндрических оболочек и гипотез теории пологих оболочек в рассматриваемых задачах.

Разработаны два варианта алгоритма численного решения связанной задачи о вибрационном изгибе бесконечной пластинки-полосы из термореологически простого материала.

На основании результатов вычислений сделаны выводы о характере распределения температуры саморазогрева колеблющегося объекта в зависимости от условий теплообмена с внешней средой.

Достоверность полученных результатов обеспечивается.

• в аналитических решениях — строгостью математической постановки задач и обоснованным применением соответствующего математического аппарата;

• при численном решении — хорошим совпадением результатов для модельных задач, а также близостью для одних и тех же задач значений, полученных различными численными методами.

Практическая значимость. Результаты работы носят в основном теоретический характер. Вместе с тем разработанные методики могут найти применение при решении широкого класса практических задач о вибрационном изгибе пластинок и оболочек из вязкоупругого материала.

Методики численного решения стационарных краевых задач для двухи трехмерного уравнения с источниками тепла, мощность которых задана численными значениями в дискретных регулярно расположенных точках, могут быть использованы также при решении задач для пластинок и оболочек из идеально упругого материала.

Результаты проведенных исследований положены в основу специального курса по термовязкоупругости и спец. семинара по численным методам решения краевых задач для студентов, специализирующихся по Кафедре математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета.

Предлагаемые в работе методики определения тепловых полей пластинчатых и оболочечных конструктивных элементов с внутренними источниками тепла применяются при расчетах тепловых характеристик изделий, разрабатываемых в Научно-производственном центре «Алмаз-фазотрон» (г. Саратов).

Апробация работы. Основные результаты докладывались на • 17-м Международном региональном симпозиуме по реологии (Саратов, 1994 г.);

• 1-й и 2-й Саратовских международных летних школах по механике сплошной среды (Саратов, 1994 и 1996 г.);

• Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (С.-Петербург, 1995 г.);

• 6-й и 7-й Межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 1996 и 1997 г.);

• 7-й Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 1997 г.);

• 18-й и 19-й Международных конференциях по теории оболочек и пластин (Саратов, 1997 г.- Н. Новгород, 1999 г.);

• Научно-практической конференции ВЦ Саратовского университета «Математика, механика и их приложения» (Саратов, 1997 г.);

• Международной конференции «Современные проблемы концентрации напряжений» (Украина, Донецк, 1998 г.);

• 3-м Международном конгрессе по температурным напряжениям «Thermal Stresses-99» (Польша, Краков, 1999 г.);

• 2-м Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике «Механика-99» (Беларусь, Минск, 1999 г.);

• 17-й Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред на основе методов граничных и конечных элементов» (С.-Петербург, 1999 г.);

• на научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета под руководством профессора Коссовича Л.Ю.

На защиту выносятся.

• полные системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих связанные задачи о взаимодействии полей деформаций и температуры при вибрационном изгибе пластинок, оболочек вращения (при осесимметричном нагружении), цилиндрических (круговых и некруговых) и пологих оболочек,.

14 изготовленных из вязкоупругого материала. Указанные системы получены без каких-либо предварительных предположений о характере изменения установившейся температуры по толщине колеблющегося объекта;

• точные аналитические решения несвязанных модельных задач для некоторых частных случаев нагружения и закрепления пластинок и оболочек;

• базирующиеся на единой методологии эффективные численные методики решения несвязанных задач вибрационного изгиба вязкоупругих пластинок и оболочек при сложных способах их закрепления;

• оценки влияния на значения критических частот, характеристик НДС и температуры саморазогрева окружных и меридиональных составляющих сил инерции;

• уточненные пределы применимости в задачах вибрационного изгиба технической теории цилиндрических оболочек и гипотез пологости для пологих оболочек из вязкоупругого материала;

• основанные на методе последовательных приближений два варианта алгоритма численного решения связанной задачи о вибрационном изгибе бесконечной пластинки-полосы из термореологически простого материала;

• некоторые выводы о характере изменения теплового поля по толщине колеблющегося объекта в зависимости от условий теплообмена с внешней средой.

В соответствии с указанными выше целями в настоящей работе рассматриваются методы исследования установившихся напряженно-деформированного состояния (НДС) и теплового поля вязкоупругих пластинок и оболочек при действии на них поперечной нагрузки интенсивности q, меняющейся во времени по гармоническому закону 2 g (a, M) = Z^a5P)cos[cor-(?-l)u/2]. (В.1) к=1.

Здесь a = х, Р = у — декартовы координаты на срединной плоскости пластинкидля оболочки, а и Р отсчитываются вдоль линий главной кривизны ее срединной поверхности.

Аналогичный закон изменения во времени принимается и для краевых возмущений.

При выводе полной системы разрешающих уравнений в каждой задаче деформации считаются малыми и предполагается справедливость гипотез Кирхгофа для пластинок или гипотез Кирхгофа-Лява для оболочек. Следствием этих гипотез является линейный закон изменения деформаций по толщине объекта.

В качестве исходных зависимостей между компонентами тензоров напряжений и деформаций в точке с координатами а,(3,у (у — координата по нормали к срединной плоскости пластинки или срединной поверхности оболочки), принимаются соотношения линейного закона вязкоупругости в виде.

1 ' ~.

Тсф = 2~(1 + ц) МГ’со'/~т)е"р (а'(3'у'т)й?т (а<=>Р)> в которых Г = Г (а,|3,у) — установившаяся температура, еа>ер>есф относительные удлинения и сдвиг для направлений а, Р в точке (а, р, у), коэффициент Пуассона ц = const.

При записи уравнений (В.2) приняты предположения, соответствующие гипотезе о термореологически простом поведении материала [67, стр.71], при этом, как и в [67, стр.85], влияние теплового расширения на температурное поле саморазогрева при действии нагрузки (В.1) не учитывается.

Все характеристики НДС, соответствующие нагрузке (В.1), представляются в виде 2.

Z (a, (3,у, t) = ]Г Zw (а, р, у) cos[co t — (к -1) я/2]. (В.3) к=.

Поэтому после подстановки в (В.2) вместо напряжений и деформаций соответствующих представлений типа (В.З) и интегрирования по т получается.

16 тсф.

1-Ц >1 2.

1 Z (- О7″ 1 Ej+k! (а о Рк = 1,2),.

В.4).

2(1 + ц) где через Ех и Е2 обозначены составляющие комплексного модуля материала.

В.5).

Для определения максимально возможной температуры саморазогрева колеблющегося объекта при вычислении мощности источников тепла, появляющихся вследствие диссипации энергии и распределенных по объему объекта, принимается, что вся работа внешних сил при деформировании единичного объема переходит в тепло. Так как еау = еру = 0 в соответствии с гипотезами Кирхгофа (или Кирхгофа-Лява), то работа, А внешних сил при деформации единичного объема пластинки (или оболочки) за один цикл деформирования вычисляется по формуле.

Г I два деЦ аеоф) ,.

2я/о) dt р dt up dt — и.

Тогда для мощности ?>(а,(3,у) источника тепла в точке (а, р, у) получаем +. (В.6).

2я 0J V «dt ~р dt ap dt.

Как следует из формулы (В.6) с учетом характера распределения напряжений и деформаций по толщине объекта, функция ??(а, Р, у) по переменному у будет меняться по квадратичному или более сложному закону, обращаясь в ноль (для пластинок) или достигая минимума (для оболочек) на срединной поверхности. Поэтому уравнение теплопроводности для осредненной по времени за один цикл колебаний стационарной температуры Г (а, Р, у) записываем как трехмерное для пластинки.

В.7) для оболочки [147].

В.8) r-g (a, p, y) = 0, где Ах, А2 — параметры Ламе, Raглавные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки, X — коэффициент теплопроводности материала.

Указанные предположения и соотношения без повторных ссылок принимаются при постановке и решении всех рассмотренных ниже задач.

В первой главе дается физическая постановка и выводятся основные формулы и уравнения задач об установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из вязкоупругого материала, следующего закону деформирования в виде (В.2). Рассмотрены колебания пластинок, осесимметричные колебания оболочек вращения, колебания круговых и некруговых цилиндрических и прямоугольных в плане пологих оболочек. В каждом случае получена полная система разрешающих уравнений относительно составляющих НДС и температуры саморазогрева. Эта система записывается в двух вариантах: в смешанной форме, в том смысле, что в ней в качестве неизвестных присутствуют составляющие как внутренних усилий и моментов, так и проекций вектора смещений, и в перемещениях, когда составляющие усилий и моментов из уравнений исключены.

Отметим, что при такой постановке задачи для любого варианта записи полная система разрешающих уравнений представляет собой сложную систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, точное аналитическое решение которой вызывает непреодолимые математические затруднения.

В главах II — V представлены методы и результаты исследований для пластинок и оболочек, изготовленных из материала, свойства которого не зависят от температуры Т (несвязанные задачи). В этом случае составляющие Ек (к = 1,2) комплексного модуля и выражающиеся через них составляющие комплексных.

18 жесткостей на растяжение и изгиб становятся постоянными (зависимость от частоты (D не исключается), а жесткость взаимного влияния растяжения и изгиба обращается в ноль. При этом задача из нелинейной интегро-дифференциальной превращается в линейную дифференциальную, которая распадается на две последовательно решаемые задачи. Первая из них состоит в нахождении НДС и вычислении по этому НДС мощности источников тепла, распределенных по объему объекта. Вторая сводится к краевой задаче для стационарного уравнения теплопроводности, решение которой определяет тепловое поле объекта.

Заметим, что и' в этом случае задача остается достаточно сложной, так как порядок системы дифференциальных уравнений для определения составляющих НДС в два раза превышает порядок соответствующей системы для пластинки (оболочки) из идеально упругого материала.

Для простых способов закрепления (две противоположные стороны прямоугольной пластинки подкреплены шарнирами, торцевые сечения замкнутой круговой цилиндрической оболочки или периметр пологой оболочки, перекрывающей прямоугольный план, свободно оперты) эти задачи допускают точное аналитическое решение. При более сложных способах закрепления границы и для некруговых оболочек приходится применять специально разработанные численные методы.

В шестой главе рассматриваются два варианта численной реализации метода последовательных приближений для решения связанной задачи об установившихся колебаниях бесконечной пластинки-полосы. Вычислительные эксперименты выполнены для консольной пластинки из термореологически простого материала при заданной амплитуде смещения свободного от закрепления края.

При разработке методик численного решения для определения НДС мы старались сохранить единый подход, который базируется на понижении размерности исходной задачи либо методом разделения переменных, либо приближенно [139]. В последнем случае из множества методов, применяемых при решении задач для пластинок и оболочек из идеально упругого материала (метод прямых, методы типа Власова-Канторовича [51], метод интегральных.

19 соотношений А. А Дородницына [44], различные модификации метода вариационных итераций [80], метод полных систем [152, 8] и др.), предпочтение отдается методу коллокации. Полученные таким образом краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка записываются в нормальной форме Коши и решаются численно устойчивым методом дискретной ортогонализации С. К. Годунова [25]. Многочисленные примеры применения этого метода при решении разнообразных задач статики и динамики идеально упругих пластинок и оболочек, приведенные, например, в [28, 53], показывают, что метод С. К Годунова обеспечивает получение практически точных результатов.

Так как при численном решении задачи о НДС значения характеристик напряжений и деформаций вычисляются лишь в отдельных точках, то и функция Q (а, Р, у) определяется только для дискретной области значений (а,|3,у). Поэтому для решения тепловой задачи потребовалась разработка численных методов определения теплового поля при дискретном задании мощности источников тепла. Эти методы [137], основанные на аппроксимации функции одномерными или двумерными кубическими сплайнами или В-сплайнами и последующем применении метода разделения переменных или метода коллокации, приведены в соответствующих параграфах.

Эффективность применяемых численных методов проверялась на модельных задачах, для которых имеется точное аналитическое решение или известно приближенное решение, полученное другим способом.

Основные результаты приводятся для критических значений частоты внешнего возбуждения, при которых все характеристики НДС достигают максимума. В задачах, где получается спектр критических частот, найдены первые три из них, и при этих частотах приводятся значения характеристик НДС и температуры в выбранных точках.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

В рамках гипотез классической теории Кирхгофа-Лява построены полные системы разрешающих уравнений для определения НДС и температуры диссипативного разогрева при установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от частоты внешнего возбуждения и температуры. Уравнения получены без каких-либо предварительных предположений о законе изменения температуры по толщине оболочки. Этот закон определяется в процессе решения задачи.

Для пластинок и оболочек с независящими от температуры свойствами при некоторых дополнительных упрощающих предположениях получены точные аналитические решения для характеристик НДС и температуры саморазогрева. Эти решения могут служить эталоном при оценке эффективности различных приближенных, в том числе численных методов.

На основе единого методологического подхода разработаны эффективные методики численного решения широкого класса несвязанных задач о вибрационном изгибе пластинок и оболочек при сложных способах закрепления контура. При определении НДС по этим методикам двумерные краевые задачи методом разделения переменных или методом коллокаций сводятся к краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Такой же подход применяется при исследовании тепловых полей пластинок и оболочек с внутренними источниками тепла, мощность которых задана численными значениями в отдельных регулярно расположенных точках. Для численного решения одномерных краевых задач используется метод дискретной ортогонализации С. К. Годунова, который обеспечивает получение практически точных результатов.

При вибрационном изгибе оболочек на основании анализа результатов вычислительных экспериментов исследована погрешность решения за счет пренебрежения тангенциальными силами инерции.

Получены оценки погрешности, вносимой дополнительными гипотезами технической теории цилиндрических оболочек. Уточнены пределы применимости в задачах вибрационного изгиба оболочек гипотез теории пологих оболочек.

Исследовано влияние на НДС и температуру диссипативного разогрева различных способов закрепления объекта, изменения кривизны направляющей цилиндрических и относительной стрелы подъема пологих оболочек.

Предложен алгоритм метода последовательных приближений для решения связанной задачи о вибрационном изгибе пластинки-полосы, который реализован на примере конкретной задачи для полосы из термореологически простого материала. Рассмотрена «быстрая «модификация этого алгоритма.

Анализ результатов выполненных вычислительных экспериментов показал, что в случае вибрационного изгиба.

• для тонких пластинок и оболочек из вязкоупругого материала значительное повышение амплитуд характеристик НДС и температуры диссипативного разогрева имеет место только в узких зонах вблизи так называемых критических частот. За пределами этих зон, ширина которых увеличивается с ростом тангенса угла потерь tg5 материала, разогрев практически отсутствует;

• при исследовании НДС и теплового поля вязкоупругих оболочек обязателен учет инерционных слагаемых, соответствующих тангенциальным смещениям точек срединной поверхности. Предположение о малости тангенциальных сил инерции по сравнению с поперечными может коренным образом исказить спектр критических частот и картину распределения НДС и температуры. Поэтому результаты, полученные без учета таких сил, непригодны для расчета реальных конструкций;

• при решении задач для сравнительно коротких цилиндрических оболочек.

252 L <2.757iT?-^-3.07ii?) уравнения технической теории обеспечивают высокую точность результатов. Однако погрешность такого решения быстро растет с увеличением длины оболочки;

• для получения достоверных результатов по теории пологих оболочек в случае вязкоупругого материала на относительную стрелу подъема /0 (hja = 0.02) должно быть наложено ограничение /0 < 0.08 н-0.10. При выполнении этого условия погрешность определения максимальной амплитуды прогиба не превосходит 5%. При больших значениях параметра /0 картина НДС и теплового поля может сильно исказиться;

Для весьма пологих оболочек (/0 < 0.06) при расчетах кривизну срединной поверхности можно считать постоянной;

• в тонких пластинках, если теплообмен через лицевые плоскости происходит по закону Ньютона, распределение температуры по толщине пластинки с достаточной точностью можно считать равномерным. При иных условиях теплообмена закон изменения температуры по толщине становится нелинейным;

• в оболочках даже при симметричных условиях теплообмена на лицевых поверхностях, в том числе и при теплообмене по закону Ньютона, тепловое поле меняется по толщине по нелинейному закону. При этом максимум температуры саморазогрева может достигаться как при положительных, так и при отрицательных значениях нормальной координаты <—.

• учет зависимости свойств материала от температуры приводит к появлению дополнительных эффектов, которые не наблюдаются в несвязанных задачах. Например, в полосе из термореологически простого материала изменение условий теплообмена с внешней средой вызывает изменение прогибов. При этом в окрестностях критических значений частоты нарушаются линейная зависимость НДС и квадратичная зависимость температуры саморазогрева от величины характерного параметра внешнего возбуждения.