Исследование явления удара по нитевым системам и мембранам занимают важное место в динамики деформируемого твердого тела. Изучение распространения волн деформаций в нитевых системах и мембранах при воздействии на них интенсивных кратковременных нагрузок представляет интерес как с теоретической точки зрения, так и с практической — в связи с возрастающими требованиями современной техники.
Во многих отраслях встречаются действия интенсивных кратковременных нагрузок на сетчатые системы. В частности: в наземных и подводных сетях заграждения, ударные волны и порывы ветра, сейсмические и всевозможные взрывные нагрузки на большепролетные сетчатые перекрытия и т. д.
Сетчатые системы используются в различных областях современной техники, авиации, рыболовстве, строительстве и т. д. Явления удара по мембранам также представляет немалый интерес. С практической точки зрения задачи по мембранам связаны с проблемами пробивания тонких преград, торможением быстро движущихся тел, штамповкой и т. д.
Представленная работа посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию распространения волн деформаций по орто-тропным нитевым сетям, а также исследованию задачи о косом ударе по упругой мембране гладким конусом.
Задача распространения волн в деформируемых нитевых системах с учетом значительного отклонения формы нитей от первоначального прямолинейного в математическом отношении весьма сложная задача, так как уравнения движения представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Вопросам динамики мембран в последнее время в литературе уделено немалое внимание и получен определенный прогресс, однако большинство их посвящено плоскому движению мембраны при ударе по ней заданным телом. Решение же задачи косого удара конусом по мембране (решение на конусе в случае полного облегания мембраной конуса) представлено разными авторами в весьма ёмком виде. «Соседство» нитевых сетей и мембран можно объяснить некоторой общностью методов исследования их динамики как математических, так и экспериментальных.
Ниже приводится краткий обзор работ по проблемам непосредственно, либо косвенно связанными с теорией распространения волн в нитевых сетях и мембранах с их приложениями.
Широкие теоретические исследования задач распространения волн были начаты в 40-х годах. Рахматулин Х. А. [40J впервые ввел понятие о волне разгрузки и решил обратным методом задачу. Рахматулин, Карман и Дюве [42] исследовали распространение упруго-пластических деформаций, используя координаты Лагранжа. Та же задача в эйлеровых координатах рассматривалась Тейлором.
Основы теории поперечного удара по гибким связям были заложены Рахматулиным[41]. Созданная им теория продольно поперечного удара по гибким связям отлична от обычно принятой «линейной», учетом значительного отклонения формы связи от первоначальной прямолинейной, нелинейностью зависимости напряжений от деформаций, а также спецификой условий в области соприкосновения с ударяющим телом. Дальнейшее развитие теория гибких связей получила в работах [7,11,12,18,20,21,22,31,36,39,43,64,69,75 3 и др. Решению динамических задач посвящены труды ^42,5,46,24,1^] и другие.
За последнее время большое внимание привлек класс как плоских, так и пространственных форм гибких связей. В работах fI, зз} аналитически было найдено точное решение уравнений движения нити на поверхности абсолютно гладкого конуса и решены различные автомодельные задачи. Было выявлено новое волновое явление: двойной излом нити.
В последнее время большое внимание привлекли постановка и методика решений задач механики деформируемого твердого тела с широким применением математического аппарата |j5,10,4,17,22,30, 39],.
Однако если в изучениях и исследованиях движения нитей картина достаточно ясна, то изучению поведения сетчатых систем и мембран в последнее время уделено немалое внимание в связи с множеством различных проблем как научного, так и технического характера.
О широком и разнообразном применении сеток в технике свидетельствует работа [ei], в которой отмечая успехи в области решения задач статики и устойчивости, указываются на не решенные проблемы: динамика сетчатых систем, влияние начальных деформаций, предельная нагрузка на решетчатую структуру и ряд других проблем.
В работе [в], используя дельта-функцию Дирака для представления распределенных усилий, нагрузки и массы, вантовая сетка моделируется мембраной с нулевой сдвиговой жесткостью. Собственные частоты и формы нелинейных колебаний плоской предварительно напряженной вантовой сетки определяются методом кратных масштабов времени теории возмущения.
В работе [7бЗ автор, развивая общие уравнения для двумерных волокнистых сред, моделирует фиброзную среду, как континуальную модель рам и решеток. Используя их, автор получает уравнения волокнистой среды, волокна которой проводят осевые силы сдвига и изгибающие моменты. Обсуждаются частные случаи, в которых предполагается, что тело составлено из трех семейств, параллельных волокн равномерной жесткости, два семейства которых образуют ортогональную сеть и семейство волокн образующих параметрические линии. Выводятся выражения для перемещения в случае волокнистой среды, образующей плотную, многократно статически неопределенную решетку. В ?77] исследуется устойчивость плотных плоских стержневых решеток. Критические нагрузки вычисляются для прямоугольных решеток с прямоугольными, шестиугольными решетчатыми сетями.
Работа [57] посвящена колебанию перекрестной системы тросов при наличии постоянной поперечной нагрузки. До приложения нагрузок тросы образуют ортогональную систему линий, лежащих в одной плоскости. Решение задачи разбивается на две части. Сперва решается задача статики в нелинейной постановке, далее рассматривается задача о малых колебаниях в линейной постановке. Для описания характеристик рассматриваемой системы авторы вводят дельта-функцию Дирака. Система разрешающих уравнений в частных производных по методу Бубнова заменяется бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты счета сравниваются с опытными данными и приводится график изменения значений первой собственной частоты от величины статического прогиба.
В книгерЗб] рассматриваются малые свободные и вынужденные колебания сетчатых оболочек и пластин наиболее часто встречающихся на практике: пологих, цилиндрических и оболочек вращения.
Теория построена на основе континуальной расчетной модели. Используя в основном линейную теорию, автор где необходимо учитывает и геометрическую нелинейность.
Модальный метод в нелинейном динамическом анализе канатных сеток применяется в работе[б5]. Рассматриваются случаи, когда пространственное представление нагрузки остается неизменным, а интенсивность нагрузки изменяется со временем. Приводится распространение теории сосредоточенных масс дискретного метода анализа на канатные сетки. Дифференциальные уравнения равновесия для смещений в направлении X, ^ и Z представляются в матричной форме. Составлены программы расчета на ЭВМ плоскостной сетки, кольцевой конструкции и гиперболической сетки. Надо отметить, что метод модальной характеристики пригоден только для сеток, обладающих большой симметрией. Кроме того, для плоскостной реакции сетки эффективность этого метода несколько ограничена.
Автором работы [э] изучается распространение волн деформаций по цилиндрической сетчатой оболочке. Предлагается использование такой оболочки в пневмотических шинах.
В работах[б, 28] также исследуются свободные колебания и устойчивость сетчатой цилиндрической замкнутой оболочки.
Распространение волн в упругом волокнистом материале, подкрепленным волокнами в двух направлениях, изучается в работе[*6о]. Вариационным методом с помощью принципа Гашльтона-Остроградско-го составлены основные уравнения линейной задачи.
Используя свойства симметрии тросовых сеток, автор[б] для динамических расчетов применяет метод С — инвариантных подпространств. Висячее покрытие рассматривается в виде шарнирно соединенной системы стержней под действием сил в узлах. Методом инвариантных подпространств задача определения амплитуд и частот колебаний системы приобретает блок-диагональную форму в виде суммы подматриц отдельных подпространств. Надо отметить, что этот метод позволяет упростить вычислительные процедуры.
Отражения волн Релея периодическими решетками полосок изучается в[бб]. В случае плоского деформирования задача решается по схеме возмущения. Рассмотрены случаи конечного и бесконечного числа полосок. Поля представлены как свертки функции Грина с неизвестным распределением поверхностных сил сцепления. Уравнения решаются методом сингулярного возмущения. Приведены выражения для коэффициента отражения.
Работа [бв] посвящена вопросам приближенного определения динамических характеристик пространственных стержневых решетчатых конструкций типа мачт высоковольтных электропередач, водонапорных и ретрансляционных башен, мостовых кранов и т. д.
Исследованию движения нелинейных вантовых сетей и мембран посвящена работа [23^. Задача решается численным способом. Пишутся выражения для потенциальной и кинетической энергии, входящие в уравнения Лагранжа, которые затем заменяются конечно-разностными аппроксимациями. На основании этого метода созданы алгоритмы для решения задач статики, динамики и устойчивости.
Движение прямоугольных решеток со свободно вращающимися узлами при узловой нагрузке, произвольно меняющейся во времени и инертной массе, рассматривается в работе[б7]. Дифференциальные уравнения задачи представлены как одно уравнение с матричными коэффициентами, из которых, как частные случаи, следуют уравнения равновесия, гармонических колебаний и движения системы, как твердого тела.
Несмотря на широкое применение сетчатых конструкций и широкое исследование их в последнее время, некоторые важные проблемы динамики сетчатых систем, как например движение при больших деформациях, еще ждут своего эффективного решения.
Наряду с исследованиями нитей и нитевых систем проводились широкие теоретические и экспериментальные изучения явлений, возникающих при ударе по мембранам. В этой области первой была рассмотрена задача о нормальном точечном ударе с постоянной скоростью по неограниченной упругой мембране автор ом [l2^. Задача была решена приближенно без каких-либо ограничений, накладываемых на меридиальное и кольцевое напряжения и было показано, что ни при каких скоростях удара пренебрегать кольцевым напряжением нельзя. Было показано, что в процессе нормального удара конусом по мембране возникают три области движения: область чисто радиального движения, область, где мембрана прогибается, но не контактирует-ся с поверхностью конуса (свободное поперечное движение) и область, где мембрана облегает поверхность конуса. Позднее, было указано, что область облегания разделяется на две: область движения мембраны с проскальзыванием и область без проскальзывания.
Задачи о нормальном ударе при наличие свободной области поперечного движения рассмотрены также и для упруго-пластических волн, возникающих в соответствующих мембранах. В случае схемы Прандтля задача решена методом последовательных приближений [20*].
Немалый интерес представляет случай, так называемого «полного облегания». В процессе соударения с большой скоростью отсутствует область поперечного движения, т. е. граница набегания мембраны на ударяющее тело движется быстрее, чем фронт поперечной волны. В указанной постановке известна задача[3б/ об ударе телом вращения по упругой мембране. Уравнения движения выведены без ограничения на величину деформации и получено точное решение для случая удара конусом с постоянной скоростью. В работе ?27] решены задачи при до и сверхзвуковом режиме с учетом силы трения на линии набегания мембраны на ударяющее тело. В задачах об ударе затупленными телами по мембране показано [7], что деформация в окрестности точки удара прямо пропорциональна скорости удара и обратно пропорциональна радиусу кривизны ударяющего тела.
Впервые неодномерную задачу об ударе по мембране рассмотрел автор [ 5l], где задача решалась методом последовательных приближений. Точное решение было получено авторами[43] и сформулированы некоторые результаты с позиции теории аналитических функций. В работе [3l] исследовалась неодномерная задача о косом ударе нормально ориентированным конусом по упругой мембране. Позже было найдено решение на конусе в виде гипергеометрических функций.
В области динамики мембран изучалась картина движения резиновых, полиэтиленовых и металлических мембран при нормальном и косом ударе заданными телами [21]. Теоретическому и экспериментальному исследованию динамики мембран посвящены работы [l8,37].
В работе[45], исследуя однородные задачи динамики мембран, автор доказывает возможность применения метода конформного отображения в автомодельных задачах. Показана схема построения решений. в[4б], используя эту схему, решена задача об поперечном нормальном ударе эллиптическим конусом по упругой мембране. Приведен численный расчет для мембран из различных материалов.
Хотелось бы отметить также, что между сетчатыми системами и мембраной существует и более общая зависимость. Многие авторы, исследуя различные сетчатые системы, рассматривают их как некую модель сплошной среды. Об этом свидетельствуют работы авторов [l4,48,78,2,19]. В книге[l4], посвященной изучению анализа деформаций с использованием муара, указано, что для более точного изучения деформаций, возникающих в природе и технике, удобнее всего явление, либо элемент конструкции представить в виде мелкой сетки или нанесением сетки на исследуемую деталь. Этот метод, основы которого были заложены в работе [59], получил бурное развитие в дальнейших трудах [48,14]. В исследованиях деформаций используется метод муара и показывается возможность и необходимость его дальнейшего применения.
Муар — сравнительно новое пополнение в арсенале экспериментальных методов изучения деформаций. Это одно из наиболее тонких и точных средств измерения. Обычно под словом муар подразумевают-интерференцию, возникающую при наложении сеток. Однако муаровый эффект можно рассматривать по разному: геометрически, результат сложения двух функций, выраженных в параметрическом видеинтерпретировать как линии одинакового смещения. Однако наиболее применимым является геометрический способ, который впервые получил свое истолкование в [74], и использован для определения деформаций в работе[б2^]. Геометрический подход позволяет изучать образование муаровых полос как результат пересечения двух систем линий эталонной сетки и сетки образца.
Представленная работа посвящена теоретическому и экспериментальному изучению распространения волн деформаций, возникающих в нитевых сетях при поперечном ударе, и исследованию задачи о косом ударе по упругой мембране гладким конусом.
Следует отметить, что все исследования в области теории сетчатых конструкций можно отнести к одному из двух направлений: исследования, основанные на дискретной расчетной модели и исследования, основанные на континуальной расчетной модели. Работы, относящиеся к каждому из этих двух направлений, удачно дополняют друг друга.
В представленной работе упругая нитевая сеть рассматривается как некоторая континуальная система: напряженно деформированное состояние, перемещения и скорости описываются функциями непрерывно меняющихся аргументов. Такая модель, впервые предложенная в работе [23, достаточно успешно исследовалась в работах [2,3,193 «где были выведены уравнения плоского движения, исследован класс автомодельных задач, решена задача нормального удара по границе полубесконечной сети и проведен ряд экспериментов. Опыт показал, что такой подход к исследованию сетчатых систем позволяет эффективно использовать методы механики деформируемого твердого тела и аппарат уравнений математической физики.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения.
ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЯ.
1. Впервые в рамках общей теории поперечного удара по гибким связям рассмотрено движение нитевой сети в пространстве при больших деформациях.
2. Построена система уравнений, описывающая движение сети на конусе. Сеть представлена как некоторая континуальная система.
3. Выведены уравнения характеристик и показано, что волны в сетях не расщепляются.
4. Исследовано плоское движение сети и аналитическим путем получены уравнения формы фронтов волн, распространяющихся в невозмущенную область.
5. Уравнения формы фронтов решены как для свободных до удара, так и для предварительно напряженных сетей. На основании полученных решений построены возможные волновые картины движения сетей. Найдено единое решение семейств фронтов и показана их зависимость от предварительного натяга и интенсивности нагружения.
6. Проведены экспериментальные исследования явлений, возникающих при поперечном ударе по нитевой сети с использованием муара. Полученные муаровы картины движения сетей подтверждают теоретические выводы.
7. Решена задача одномерного движения сети в пространстве. Поперечный удар, направленный вдоль прямой линии, производится с постоянной скоростью. Даны формулы, определяющие скорости распространения волн и все необходимые параметры движения.
8. Решена задача поперечного удара тупым конусом по предварительно напряженной линейно-упругой сети. Полученное решение представлено в виде ряда.
9. Решена задача косого удара по гибкой мембране абсолютно гладким конусом. Показано, что решение задачи сводится к отысканию двух аналитических функций в двусвязных областях комплексных плоскостей.
