Временные ряды и их предварительный анализ

Федеральное агентство высшего образования РФ Московский Государственный Университет экономики, статистики и информатики Нижегородский филиал Московского Государственного Университета экономики, статистики и информатики КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА По Статистическим методам прогнозирования Вариант № 1

Тема: Временные ряды и их предварительный анализ Нижний Новгород 2009 г.

Глава I. Временные ряды и их предварительный анализ. Описательные характеристики динамики социально-экономических явлений

1.1 Виды временных рядов. Требования к исходной информации

Статистическое описание развития экономических процессов во времени осуществляется с помощью временных рядов.

Временным рядом называется ряд наблюдений за значениями некоторого показателя (признака), упорядоченный в хронологической последовательности, т. е. в порядке возрастания переменной tвременного параметра. Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями этого ряда.

Временные ряды делятся на моментные и интервальные. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. Например, моментными являются временные ряды цен на определенные виды товаров, временные ряды курсов акций, уровни которых фиксируются для конкретных чисел. Примерами моментных временных рядов могут служить также ряды численности населения или стоимости основных фондов, т.к. значения уровней этих рядов определяются ежегодно на одно и то же число.

В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные интервалы (периоды) времени. Примерами рядов этого типа могут служить временные ряды производства продукции в натуральном или стоимостном выражении за месяц, квартал, год и т. д.

Иногда уровни ряда представляют собой производные величины: средние или относительные. Такие ряды называются производными. Уровни таких временных рядов получаются с помощью некоторых вычислений на основе непосредственно наблюдаемых показателей. Примерами таких рядов могут служить ряды среднесуточного производства основных видов промышленной продукции или ряды индексов цен.

Уровни ряда могут принимать детерминированные или случайные значения. Примером ряда с детерминированными значениями уровней служит ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах. Естественно, анализу, а в дальнейшем и прогнозированию, подвергаются ряды со случайными значениями уровней. В таких рядах каждый уровень может рассматриваться как реализация случайной величины — дискретной или непрерывной.

В таблице 1.1. приведены примеры временных рядов: первый ряд является моментным; второй ряд — интервальным. Уровни третьего временного ряда — расчетные величины, а сам временной ряд месячной динамики является производным.

Таблица 1.1 Примеры временных рядов

В практике прогнозирования принято считать, что значения уровней временных рядов экономических показателей состоят из следующих компонент: тренда, сезонной, циклической и случайной составляющих.

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах экономических процессов часто имеют место регулярные колебания — периодические составляющие рядов динамики.

Если период колебаний не превышает 1 года, то их называют сезонными. Чаще всего причиной их возникновения считаются природно-климатические условия. Иногда причины сезонных колебаний имеют социальный характер, например, увеличение закупок в предпраздничный период, увеличение платежей в конце квартала и т. д.

При большем периоде колебания, считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента.

Экономисты разделяют факторы, под действием которых формируется нерегулярная компонента, на 2 вида:

· факторы резкого, внезапного действия;

· текущие факторы.

Первый тип факторов (например, стихийные бедствия, эпидемии и др.), как правило, вызывает более значительные отклонения по сравнению со случайными колебаниямииногда такие отклонения называют катастрофическими колебаниями.

Факторы второго типа вызывают случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа побочных причин. Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.

Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель носит название аддитивной (1.1), если в виде произведения — мультипликативной (1.2) или смешанного типа (1.3)

(1.1)

(1.2)

(1.3)

где — уровни временного ряда;

— трендовая составляющая;

— сезонная компонента;

— циклическая компонента;

— случайная компонента.

Процесс прогнозирования экономических временных рядов базируется на выявлении закономерностей, объясняющих динамику процесса в прошлом, и использовании этих закономерностей для описания развития в будущем.

При этом проведение анализа развития и прогнозирования, как правило, опирается на математический аппарат, предъявляющий определенные требования к исходной информации.

Основные требования, предъявляемые к исходной информации, следующие:

1. Важным моментом при исследовании динамики процесса является выбор интервалов между соседними уровнями ряда. Удобнее всего иметь дело с равноотстоящими друг от друга уровнями ряда. При этом, если выбрать слишком большой интервал времени, можно упустить существенные закономерности в динамике показателя. Например, по квартальным данным невозможно судить о месячных сезонных колебаниях. Информация может также оказаться слишком «короткой» для использования некоторых методов анализа и прогнозирования динамики, предъявляющих «жесткие» требования к длине рядов. В то же время, слишком малые интервалы между наблюдениями увеличивают объем вычислений, а также могут приводить к появлению ненужных деталей в динамике процесса, засоряющих общую тенденцию. Вопрос о выборе интервала времени между уровнями ряда должен решаться исходя из целей каждого конкретного исследования.

2. Одним из важнейших условий, необходимых для правильного отражения временным рядом реального процесса развития, является сопоставимость уровней ряда. Для несопоставимых величин неправомерно проводить исследование динамики. Появление несопоставимых уровней может быть вызвано разными причинами: изменением методики расчета показателя, изменением классификаций, терминологии и т. д. Например, уровни временного ряда, характеризующие количество малых предприятий, могут оказаться несопоставимыми из-за изменения самого понятия «малое предприятие». В большинстве случаев удается устранить несопоставимость, вызванную указанными причинами, путем пересчета более ранних значений показателей с помощью формальных методов. Хотя далеко не всегда проведение такой обработки обеспечивает требуемую точность, что может привести к снижению ценности исходной информации, а, следовательно, и к затруднению дальнейшего анализа.

3. Для успешного изучения динамики процесса важно, чтобы информация была полной, временной ряд имел достаточную длину. Например, при изучении сезонных колебаний на базе месячных или квартальных данных желательно иметь информацию не менее, чем за 3 года.

Применение определенного математического аппарата также накладывает ограничение на допустимую длину временных рядов. Например, для использования регрессионного анализа требуется иметь временные ряды, длина которых в несколько раз превосходит количество независимых переменных.

4. Временные ряды не должны иметь пропущенные наблюдения. Пропуски могут объясняться как недостатками при сборе информации, так и происходившими изменениями в системе отчетности, в системе фиксирования данных. Например, изменяется круг основных видов промышленной продукции, данные о производстве которых собираются на базе срочной отчетности. Решение об исключении какого-то показателя может быть отменено через некоторое время, в связи с тем, что становится очевидной его важность для аналитических исследований. В этом случае для использования этого временного ряда в дальнейшем анализе необходимо восстановить пропущенные уровни одним из известных способов восстановления пропусков (выбор метода зависит от специфики конкретного временного ряда).

5. Если в систему показателей включен новый признак, учет которого не проводился ранее, то необходимо подождать, пока ряд достигнет требуемой длины или попытаться восстановить прежние значения косвенными методами (через другие показатели), если такой путь представляется возможным.

6. Уровни временных рядов могут содержать аномальные значения или «выбросы». Часто появление таких значений может быть вызвано ошибками при сборе, записи и передаче информации. Возможными источниками появления ошибочных значений являются: сдвиг запятой при перенесении информации из документа, занесение данных в другую графу и т. д. Выявление, исключение таких значений, замена их истинными или расчетными является необходимым этапом первичной обработки данных, т.к.

Применение математических методов к «засоренной» информации приводит к искажению результатов анализа. Однако, аномальные значения могут отражать реальное развитие процесса, например, «скачок» курса доллара в «черный вторник». Как правило, эти значения также заменяются расчетными при построении моделей, но учитываются при расчете возможной величины отклонений фактических значений от полученных по модели.

Соответствие исходной информации всем указанным требованиям проверяется на этапе предварительного анализа временных рядов. Лишь после этого переходят к расчету и анализу основных показателей динамики развития, построению моделей прогнозирования, получению прогнозных оценок.

1.2 Основные показатели динамики экономических показателей

Для количественной оценки динамики явлений применяются статистические показатели: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, которые могут быть цепными, базисными или средними.

В основе расчета этих показателей динамики лежит сравнение уровней временного ряда.

Если сравнение осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, то эти показатели называются базисными.

Если сравнение осуществляется при переменной базе, и каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные таким образом показатели называются цепными.

Абсолютный прирост равен разности двух сравниваемых уровней.

Темп роста есть отношение двух сравниваемых уровней ряда, выраженное в процентах. Темп прироста характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Определенный в процентах, темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения. В таблице 2.4 приведены формулы для вычисления базисных, цепных и средних показателей динамики. Средние показатели: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста определяются для получения обобщающих показателей динамики развития.

В таблице использованы следующие обозначения:

y₁, y₂, …, y_t, …, y_n — уровни временного ряда в моменты времени t = 1, 2, …, n;

n — длина временного ряда; y_б — уровень временного ряда, принятый за базу.

Таблица 2.4 Основные показатели динамики временных рядов

Прогнозирование на основе средних показателей динамики Описание динамики ряда с помощью среднего абсолютного прироста соответствует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на один шаг вперед, достаточно к последнему наблюдению прибавить значение среднего абсолютного прироста:

(2.7)

где y_n — фактическое значение в последней nой точке ряда;

— прогнозная оценка значения уровня в точке n+1;

— значение среднего прироста, рассчитанное для временного ряда .

Чтобы получить прогноз на К шагов вперед, нужно к последнему наблюдению прибавить значение среднего абсолютного прироста, умноженное на К:

(2.8)

Такой подход к получению прогнозного значения корректен, если характер развития близок к линейному. На такой равномерный характер развития могут указывать примерно одинаковые значения цепных абсолютных приростов.

Применение среднего темпа роста (и среднего темпа прироста) для описания динамики ряда соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, проведенной через две крайние точки. Использование этого показателя для прогноза целесообразно для процессов, изменение динамики которых происходит примерно с постоянным темпом роста. В этом случае прогнозное значение на К шагов вперед может быть получено по формуле:

(2.9)

где — прогнозная оценка значения уровня ряда в точке n+к;

y_n— фактическое значение в последней n-ой точке ряда;

— средний темп роста, рассчитанный для ряда (в относительных единицах).

К недостаткам среднего прироста и среднего темпа роста следует отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровни ряда, исключают влияние промежуточных уровней. Тем не менее, эти показатели имеют широкую область применения, что объясняется простотой их вычисления. Они могут быть использованы как приближенные, простейшие способы прогнозирования, предшествующие более глубокому количественному и качественному анализу.

Прогнозирование по методу экспоненциальных средних В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования и прогнозирования одномерных временных рядов являются адаптивные методы.

При обработке временных рядов, как правило, наиболее ценной является информация последнего периода, т.к. необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая в данный момент, а не тенденция, сложившаяся в среднем на всем рассматриваемом периоде. Адаптивные методы позволяют учесть различную информационную ценность уровней временного ряда, степень «устаревания» данных.

Прогнозирование методом экстраполяции на основе кривых роста в какой-то мере тоже содержит элемент адаптации, поскольку с получением «свежих» фактических данных параметры кривых пересчитываются заново.

Поступление новых данных может привести и к замене выбранной ранее кривой на другую модель. Однако степень адаптации в данном случае весьма незначительна, кроме того, она падает с ростом длины временного ряда, т.к. при этом уменьшается «весомость» каждой новой точки. В адаптивных методах различную ценность уровней в зависимости от их «возраста» можно учесть с помощью системы весов, придаваемых этим уровням.

Оценивание коэффициентов адаптивной модели обычно осуществляется на основе рекуррентного метода, который формально отличается от метода наименьших квадратов, метода максимального правдоподобия и других методов тем, что не требует повторения всего объема вычислений при появлении новых данных.

Примером простейшей адаптивной модели является экспоненциальная средняя. Экспоненциальное сглаживание временного ряда производится итеративно (пошагово), причем массив прошлой информации представлен единственным значением сглаженного уровня ряда в предыдущий момент времени.

Для экспоненциального сглаживания ряда используется рекуррентная формула

(2.10)

где S_t— значение экспоненциальной средней в момент t;

б — параметр сглаживания, б =сonst, 0< б <1;

в = 1- б .

Если последовательно использовать соотношение (2.10), то экспоненциальную среднюю S_t можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда. При

(2.11)

Таким образом, величина S_t является взвешенной суммой всех членов ряда. При этом, веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от «возраста» наблюдений). Поэтому величина S_t названа экспоненциальной средней.

Например, если б = 0,3, то вес текущего наблюдения y_t будет равен 0,3; вес предыдущего уровня y_t-1 будет соответствовать б*в = 0,3*0,7=0,21; для уровня y_t-2 вес составит б*в² = 0,3*0,7²=0,147; для y_t-3 вес б*в³ = 0,3*0,7³ = 0,1029 и т. д.

Пусть модель временного ряда имеет вид:

.

Английский математик Р. Браун показал, что дисперсия экспоненциальной средней D[S_t] меньше дисперсии временного ряда

(2.12)

Из (2.12) следует, что при высоком значении б дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением б дисперсия экспоненциальной средней уменьшается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым, экспоненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания временного ряда.

Таким образом, с одной стороны, необходимо увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением б, с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину б нужно уменьшить.

Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания б составляет задачу оптимизации модели.

Часто поиск оптимального значения б осуществляется путем перебора и в качестве оптимального выбирается такое значение, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки. Обычно параметр сглаживания принимается равным в интервале от 0,1 до 0,3.

При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид: y_t = a_1,t + e_t, где a_1,t — варьирующий во времени средний уровень ряда, e_t — случайные не автокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Прогнозная модель определяется равенством где — прогноз, сделанный в момент t на ф единиц времени (шагов) вперед; - оценка параметра в момент времени t.

Единственный параметр модели a_1,t определяется экспоненциальной средней: a _1,1 = S_t; a _1,0 = S_0.

Выражение (2.10) можно представить иначе:

(2.13)

Величину можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда новый прогноз S_t получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.

Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Массив прошлой информации уменьшен до единственного значения S_t-1.

Глава II Задача

Представлены данные об остатках оборотных средств за 15 месяцев. Остатки даны на начало года. Необходимо рассчитать прогноз остатков на начало 16-го месяца, исходя из предложения, что тенденция ряда может быть описана

а) линейной моделью y1=a0+a1t

б) параболической моделью yt=a0+a1t+a2t2

Решение

А) В предположении об изменении тенденции ряда по линейной модели:

— определить параметры линейного тренда ;

— дать экономическую интерпретацию полученных параметров модели;

— рассчитать прогнозный уровень выручки от продаж за 16-й месяц.

Б) В предположении об изменении тенденции ряда по параболической модели:

— определить параметры параболического тренда ;

— дать экономическую интерпретацию полученных параметров модели;

— рассчитать прогнозный уровень выручки от продаж за 16-й месяц.

Расчет параметров модели производится по формулам:

Система нормальных уравнений для оценивания параметров прямой состоит из двух уравнений:

Для параболы второго порядка система содержит три уравнения, позволяющих найти оценки трех неизвестных коэффициентов :

а) Прямая. С учетом данных таблицы и выражения:

Получаем: а0 = 10 145 тыс. руб.? 15 = 676,333 тыс. руб.

а1 = 1465 тыс. руб.? 280 = 5,232 тыс. руб.

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:

t = 676,333 + 5,232? t

Согласно полученной модели, оценка среднего уровня ряда при t = 0 составляет 676 333 рублей, а среднемесячный абсолютный прирост остатка оборотных средств равен 5232 руб.

Для прогнозирования по линейной модели на одну точку вперед необходимо в полученное выражение подставить соответствующее значение временного параметра t = 8, соответствующее реальному значению t* = 16.

Прогнозное значение остатка оборотных средств на 16-й месяц составит:

= 676,333 + 5,232? 8 = 718,189 тыс. руб.

= 718 189 руб.

б) Парабола. С учетом данных таблицы и выражений:

Получаем: а1 = 1465 тыс. руб.? 280 = 5,232 тыс. руб.

а2 = (15? 198 555 — 280? 645,1)? (15? 9352 — 280?) = (2 978 325 — 180 628)? (140 280 — 78 400) = 2 797 697? 61 890 = 45,204 тыс. руб.

а0 = 676,333 — 280? 15? 45,204 = - 167,474 тыс. руб.

Полученное уравнение параболы имеет вид:

= - 167,474 + 5,232? t + 45,204? t?

Согласно полученной модели, оценка среднего уровня ряда при t = 0 составляет — 167 474 рублей, среднемесячный абсолютный прирост остатка оборотных средств равен 5232 руб., причем прирост является не постоянной величиной, а в среднем возрастает на 45 204 рублей ежемесячно.

Для прогнозирования по параболе на одну точку вперед необходимо в полученное выражение подставить соответствующее значение временного параметра t_пр = 8, соответствующее реальному значению t* = 16.

Прогнозное значение остатка оборотных средств за 16-й месяц составит:

= - 167,474 + 5,232? 8 + 45,204? 8? = - 167,474 + 41,856 + 2893,056 = 2767,438

= 2 767 438 руб.

временный ряд экономический показатель

1. «СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ», Т. А. Дуброва, Москва, 2007 г.;

2. Орлов А. И. Статистические методы прогнозирования. — В кн.: Малая российская энциклопедия прогностики. — М.: Институт экономических стратегий, 2007. — С.148−153;

3. «Основы экономического и социального прогнозирования: Учебник для ВУЗов». — М: ВШ, 1995;

4. Четыркин Б. М. «Статистические методы прогнозирования». — М.: Статистика, 1996;

5. Басовский М. К. «Прогнозирование и планирование в условиях рынка: Учебное пособие». — М.: Инфра-М, 2003. — 260 с.