Золотое сечение

2.Золотоесечение-гармоническаяпропорция.

3.Второезолотоесечение.

4.Золотойтреугольник (пентаграмма).

5.Историязолотогосечения.

6.РядФибоначчи.

7.Обобщенноезолотоесечение.

8.Принципыформообразованиявприроде.

9.Золотоесечениеисимметрия.

10.Разгадкатайнызолотогосечения.

11.Золотоесечениевскульптуре.

12.Золотоесечениевархитектуре.

13.Золотоесечениевживописи.Золотаяспираль.

14. «Необходимопрекрасномузданиюбытьпостроенным.

подобнохорошосложенномучеловеку «(ПавелФлоренский).

15.Закономерностипостроенияпространственнойкомпозициипарка.

Человекразличаетокружающиеегопредметыпоформе.Интерескформекакого-либопредметаможетбытьпродиктованжизненнойнеобходимостью, аможетбытьвызванкрасотойформы. Форма, восновепостроениякоторойлежатсочетаниесимметрииизолотогосечения, способствуетнаилучшемузрительномувосприятиюипоявлениюощущениякрасотыигармонии. Целоевсегдасостоитизчастей, частиразнойвеличинынаходятсявопределенномотношениидругкдругуикцелому. Принципзолотогосечения-высшеепроявлениеструктурногоифункциональногосовершенствацелогоиегочастейвискусстве, науке, техникеиприроде.

ЕщевэпохуВозрожденияхудожникиоткрыли, чтолюбаякартинаимеетопределенныеточки, невольноприковывающиенашевнимание, такназываемыезрительныецентры. Приэтомабсолютноневажно, какойформатимееткартина-горизонтальныйиливертикальный.Такихточеквсегочетыре, ирасположеныонинарасстоянии3/8и5/8отсоответствующихкраевплоскости.

Данноеоткрытиеухудожниковтоговремениполучилоназвание «золотоесечение «картини. Поэтому, длятогочтобыпривлечьвниманиекглавномуэлементуфотографии, необходимосовместитьэтотэлементсоднимиззрительныхцентров.

2.Золотоесечение-гармоническаяпропорция.

Вматематикепропорцией (лат.proportio)называютравенстводвухотношений:a:b=c:d.

ОтрезокпрямойАВможноразделитьнадвечастиследующимиспособами:

*надверавныечасти-АВ:АС=АВ:ВС;

*надвенеравныечастивлюбомотношении (такиечастипропорциинеобразуют);

*такимобразом, когдаАВ: АС=АС:ВС.

Последнееиестьзолотоеделениеилиделениеотрезкавкрайнемисреднемотношении.

Золотоесечение-этотакоепропорциональноеделениеотрезкананеравныечасти, прикоторомвесьотрезоктакотноситсякбольшейчасти, каксамабольшаячастьотноситсякменьшей;илидругимисловами, меньшийотрезоктакотноситсякбольшему, какбольшийковсемуa: b=b:cилис:b=b:а.

Рис. 1.Геометрическоеизображениезолотойпропорции.

Практическоезнакомствосзолотымсечениемначинаютсделенияотрезкапрямойвзолотойпропорцииспомощьюциркуляилинейки.

Рис. 2.Делениеотрезкапрямойпозолотомусечению.BC=½AB;CD=BC.

ИзточкиВвосставляетсяперпендикуляр, равныйполовинеАВ.ПолученнаяточкаСсоединяетсялиниейсточкойА.НаполученнойлинииоткладываетсяотрезокВС, заканчивающийсяточкойD.ОтрезокADпереноситсянапрямуюАВ.ПолученнаяприэтомточкаЕделитотрезокАВвсоотношениизолотойпропорции.

ОтрезкизолотойпропорциивыражаютсябесконечнойиррациональнойдробьюAE=0,618…, еслиАВпринятьзаединицу, ВЕ=0,382…Дляпрактическихцелейчастоиспользуютприближенныезначения0,62и0,38.ЕслиотрезокАВпринятьза100частей, тобольшаячастьотрезкаравна62, аменьшая-38частям.

Свойствазолотогосеченияописываютсяуравнением:

x2-x-1=0.

Решениеэтогоуравнения:

Свойствазолотогосечениясоздаливокругэтогочисларомантическийореолтаинственностиичутьлинемистическогопоклонения.

3.Второезолотоесечение.

Болгарскийжурнал"Отечество"(№ 10,1983 г.)опубликовалстатьюЦветанаЦекова-Карандаша"Овторомзолотомсечении", котороевытекаетизосновногосеченияидаетдругоеотношение44:56.

Такаяпропорцияобнаруженавархитектуре, атакжеимеетместоприпостроениикомпозицийизображенийудлиненногогоризонтальногоформата.

Рис. 3.Построениевторогозолотогосечения.

Делениеосуществляетсяследующимобразом.ОтрезокАВделитсявпропорциизолотогосечения.ИзточкиСвосставляетсяперпендикулярСD.РадиусомАВнаходитсяточкаD, котораясоединяетсялиниейсточкойА.ПрямойуголАСDделитсяпополам.ИзточкиСпроводитсялиниядопересеченияслиниейAD.ТочкаЕделитотрезокADвотношении56: 44.

Рис. 3.1.Делениепрямоугольникалиниейвторогозолотогосечения.

Нарисункепоказаноположениелиниивторогозолотогосечения.Онанаходитсяпосерединемеждулиниейзолотогосеченияисреднейлиниейпрямоугольника.

4.Золотойтреугольник.

Замечательныйпример"золотогосечения"представляетсобойправильныйпятиугольник-выпуклыйизвездчатый (рис. 4).

ИзподобиятреугольниковACDиABEможемвывестиужеизвестнуюпропорцию:

Такимобразом, звездчатыйпятиугольниктакжеобладает"золотымсечением". Интересно, чтовнутрипятиугольникаможнопродолжитьстроитьпятиугольники, иэтоотношениебудетсохраняться.

Звездчатыйпятиугольникназываетсяпентаграммой.Пифагорейцывыбралипятиконечнуюзвездувкачестветалисмана, онасчиталасьсимволомздоровьяислужилаопознавательнымзнаком.

Бытуетлегендаотом, чтоодинизпифагорейцевбольнымпопалвдомкнезнакомымлюдям. Онистаралисьеговыходить, ноболезньнеотступала. Неимеясредствзаплатитьзалечениеиуход, больнойпередсмертьюпопросилхозяинадоманарисоватьувходапятиконечнуюзвезду, объяснив, чтопоэтомузнакунайдутсялюди, которыевознаградятего. Инасамомделе, черезнекотороевремяодинизпутешествующихпифагорейцевзаметилзвездуисталрасспрашиватьхозяинадомаотом, какимобразомонапоявилисьувхода.Послерассказахозяинагостьщедровознаградилего.

ПентаграммабылахорошоизвестнаивДревнемЕгипте.НонепосредственнокакэмблемаздоровьяонабылаприняталишьвДревнейГреции.

Внастоящеевремясуществуетгипотеза, чтопентаграмма-первичноепонятие, а"золотоесечение"вторично.Пентаграммуниктонеизобретал, еетолькоскопировалиснатуры. Видпятиконечнойзвездыимеютпяти-лепестковыецветыплодовыхдеревьевикустарников, морскиезвезды.Теидругиесозданияприродычеловекнаблюдаетужетысячилет.Поэтомуестественнопредположить, чтогеометрическийобразэтихобъектов-пентаграмма-сталаизвестнараньше, чем"золотая"пропорция.

Длянахожденияотрезковзолотойпропорциивосходящегоинисходящегорядовможнопользоватьсяпентаграммой.

Рис. 5.Построениеправильногопятиугольникаипентаграммы.

Дляпостроенияпентаграммынеобходимопостроитьправильныйпятиугольник.СпособегопостроенияразработалнемецкийживописециграфикАльбрехтДюрер (1471…1528).ПустьO-центрокружности, A-точканаокружностииЕ-серединаотрезкаОА.ПерпендикуляркрадиусуОА, восставленныйвточкеО, пересекаетсясокружностьювточкеD. Пользуясьциркулем, отложимнадиаметреотрезокCE=ED.ДлинасторонывписанноговокружностьправильногопятиугольникаравнаDC.ОткладываемнаокружностиотрезкиDCиполучимпятьточекдляначертанияправильногопятиугольника.Соединяемуглыпятиугольникачерезодиндиагоналямииполучаемпентаграмму.Вседиагоналипятиугольникаделятдругдруганаотрезки, связанныемеждусобойзолотойпропорцией.

Каждыйконецпятиугольнойзвездыпредставляетсобойзолотойтреугольник.Егостороныобразуютугол36°привершине, аоснование, отложенноенабоковуюсторону, делитеевпропорциизолотогосечения.

Рис. 6.Построениезолотого.

треугольника.

ПроводимпрямуюАВ.ОтточкиАоткладываемнанейтриразаотрезокОпроизвольнойвеличины, черезполученнуюточкуРпроводимперпендикулярклинииАВ, наперпендикуляревправоивлевоотточкиРоткладываемотрезкиО. Полученныеточкиdиd1соединяемпрямымисточкойА.Отрезокdd1откладываемналиниюAd1,получаяточкуС.ОнаразделилалиниюAd1впропорциизолотогосечения.ЛиниямиAd1иdd1пользуютсядляпостроения"золотого"прямоугольника.

5.Историязолотогосечения.

Принятосчитать, чтопонятиеозолотомделенииввелвнаучныйобиходПифагор, древнегреческийфилософиматематик (VIв.дон.э.).Естьпредположение, чтоПифагорсвоезнаниезолотогоделенияпозаимствовалуегиптянивавилонян. Идействительно, пропорциипирамидыХеопса, храмов, барельефов, предметовбытаиукрашенийизгробницыТутанхамонасвидетельствуют, чтоегипетскиемастерапользовалисьсоотношениямизолотогоделенияприихсоздании. ФранцузскийархитекторЛеКорбюзьенашел, чтоврельефеизхрамафараонаСетиIвАбидосеиврельефе, изображающемфараонаРамзеса, пропорциифигурсоответствуютвеличинамзолотогоделения. ЗодчийХесира, изображенныйнарельефедеревяннойдоскиизгробницыегоимени, держитврукахизмерительныеинструменты, вкоторыхзафиксированыпропорциизолотогоделения.

Грекибылиискуснымигеометрами.Дажеарифметикеобучалисвоихдетейприпомощигеометрическихфигур.КвадратПифагораидиагональэтогоквадратабылиоснованиемдляпостроениядинамическихпрямоугольников.

Рис. 7.Динамическиепрямоугольники.

Платон (427…347 гг.дон.э.)такжезналозолотомделении.Егодиалог"Тимей"посвященматематическимиэстетическимвоззрениямшколыПифагораи, вчастности, вопросамзолотогоделения.

ВфасадедревнегреческогохрамаПарфенонаприсутствуютзолотыепропорции.Приегораскопкахобнаруженыциркули, которымипользовалисьархитекторыискульпторыантичногомира. ВПомпейскомциркуле (музейвНеаполе)такжезаложеныпропорциизолотогоделения.

Рис. 8.Античныйциркульзолотогосечения.

Вдошедшейдонасантичнойлитературезолотоеделениевпервыеупоминаетсяв"Началах"Евклида.Во2-йкниге"Начал"даетсягеометрическоепостроениезолотогоделенияПослеЕвклидаисследованиемзолотогоделениязанималисьГипсикл (IIв.дон.э.), Папп (IIIв.н.э.)идр.ВсредневековойЕвропесзолотымделениемпознакомилисьпоарабскимпереводам"Начал"Евклида.ПереводчикДж. КампаноизНаварры (IIIв.)сделалкпереводукомментарии.Секретызолотогоделенияревностнооберегались, хранилисьвстрогойтайне.Онибылиизвестнытолькопосвященным.

ВэпохуВозрожденияусиливаетсяинтерескзолотомуделениюсредиученыхихудожниковвсвязисегоприменениемкаквгеометрии, такивискусстве, особенновархитектуреЛеонардодаВинчи, художникиученый, видел, чтоуитальянскиххудожниковэмпирическийопытбольшой, азнаниймало. Онзадумалиначалписатькнигупогеометрии, новэтовремяпоявиласькнигамонахаЛукиПачоли, иЛеонардооставилсвоюзатею. Помнениюсовременниковиисториковнауки, ЛукаПачолибылнастоящимсветилом, величайшимматематикомИталиивпериодмеждуФибоначчииГалилеем. ЛукаПачолибылученикомхудожникаПьероделлаФранчески, написавшегодвекниги, однаизкоторыхназывалась"Оперспективевживописи". Егосчитаюттворцомначертательнойгеометрии.

ЛукаПачолипрекраснопонималзначениенаукидляискусства.В1496гпоприглашениюгерцогаМороонприезжаетвМилан, гдечитаетлекциипоматематике.ВМиланепридвореМоровтовремяработалиЛеонардодаВинчи.В1509 г. вВенециибылаизданакнигаЛукиПачоли"Божественнаяпропорция"сблестящевыполненнымииллюстрациями, ввидучегополагают, чтоихсделалЛеонардодаВинчи.Книгабылавосторженнымгимномзолотойпропорции.СредимногихдостоинствзолотойпропорциимонахЛукаПачолинепреминулназватьиее"божественнуюсуть"каквыражениебожественноготриединствабогсын, боготецибогдухсвятой (подразумевалось, чтомалыйотрезокестьолицетворениебогасына, большийотрезок-богаотца, авесьотрезок-богадухасвятого).

ЛеонардодаВинчитакжемноговниманияуделялизучениюзолотогоделения.Онпроизводилсечениястереометрическоготела, образованногоправильнымипятиугольниками, икаждыйразполучалпрямоугольникисотношениямисторонвзолотомделении.Поэтомуондалэтомуделениюназваниезолотоесечение.Таконоидержитсядосихпоркаксамоепопулярное.

ВтожевремянасевереЕвропы, вГермании, надтемижепроблемамитрудилсяАльбрехтДюрер.Онделаетнаброскивведениякпервомувариантутрактатаопропорциях.Дюрерпишет."Необходимо, чтобытот, кточто-либоумеет, обучилэтомудругих, которыевэтомнуждаются. Этояивознамерилсясделать".

СудяпоодномуизписемДюрера, онвстречалсясЛукойПачоливовремяпребываниявИталии.АльбрехтДюрерподробноразрабатываеттеориюпропорцийчеловеческоготела.ВажноеместовсвоейсистемесоотношенийДюреротводилзолотомусечению.Ростчеловекаделитсявзолотыхпропорцияхлиниейпояса, атакжелинией, проведеннойчерезкончикисреднихпальцевопущенныхрук, нижняячастьлица-ртомит.д.ИзвестенпропорциональныйциркульДюрера.

ВеликийастрономXVIв.ИоганКеплерназвалзолотоесечениеоднимизсокровищгеометрии.Онпервыйобращаетвниманиеназначениезолотойпропорциидляботаники (рострастенийиихстроение).

Кеплерназывалзолотуюпропорциюпродолжающейсамусебя"Устроенаонатак,-писалон,-чтодвамладшихчленаэтойнескончаемойпропорциивсуммедаюттретийчлен, алюбыедвапоследнихчлена, еслиихсложить, даютследующийчлен, причемтажепропорциясохраняетсядобесконечности".

Построениерядаотрезковзолотойпропорцииможнопроизводитькаквсторонуувеличения (возрастающийряд), такивсторонууменьшения (нисходящийряд).

Еслинапрямойпроизвольнойдлины, отложитьотрезокm, рядомоткладываемотрезокM. Наоснованииэтихдвухотрезковвыстраиваемшкалуотрезковзолотойпропорциивосходящегоинисходящегорядов:

Рис. 9.Построениешкалыотрезковзолотойпропорции.

Впоследующиевекаправилозолотойпропорциипревратилосьвакадемическийканони, когдасовременемвискусственачаласьборьбасакадемическойрутиной, впылуборьбы"вместесводойвыплеснулииребенка". Вновь"открыто"золотоесечениебыловсерединеXIXв.В1855 г. немецкийисследовательзолотогосеченияпрофессорЦейзингопубликовалсвойтруд"Эстетическиеисследования". СЦейзингомпроизошлоименното, чтоидолжнобылонеминуемопроизойтисисследователем, которыйрассматриваетявлениекактаковое, безсвязисдругимиявлениями. Онабсолютизировалпропорциюзолотогосечения, объявивееуниверсальнойдлявсехявленийприродыиискусства. УЦейзингабылимногочисленныепоследователи, нобылиипротивники, которыеобъявилиегоучениеопропорциях"математическойэстетикой".

Рис. 10.Золотыепропорциивчастяхтелачеловека.

Рис. 11.Золотыепропорциивфигуречеловека.

Цейзингпроделалколоссальнуюработу.Онизмерилоколодвухтысяччеловеческихтелипришелквыводу, чтозолотоесечениевыражаетсреднийстатистическийзакон. Делениетелаточкойпупа-важнейшийпоказательзолотогосечения.Пропорциимужскоготелаколеблютсявпределахсреднегоотношения13: 8=1,625инесколькоближеподходяткзолотомусечению, чемпропорцииженскоготела, вотношениикоторогосреднеезначениепропорциивыражаетсявсоотношении8: 5=1,6.Уноворожденногопропорциясоставляетотношение1: 1, к13годамонаравна1,6,ак21годуравняетсямужской.Пропорциизолотогосеченияпроявляютсяивотношениидругихчастейтела-длинаплеча, предплечьяикисти, кистиипальцевит.д.

СправедливостьсвоейтеорииЦейзингпроверялнагреческихстатуях.НаиболееподробноонразработалпропорцииАполлонаБельведерского.Подверглисьисследованиюгреческиевазы, архитектурныесооруженияразличныхэпох, растения, животные, птичьияйца, музыкальныетона, стихотворныеразмеры. Цейзингдалопределениезолотомусечению, показал, каконовыражаетсявотрезкахпрямойивцифрах. Когдацифры, выражающиедлиныотрезков, былиполучены, Цейзингувидел, чтоонисоставляютрядФибоначчи, которыйможнопродолжатьдобесконечностиводнуивдругуюсторону. Следующаяегокнигаимеланазвание"Золотоеделениекакосновнойморфологическийзаконвприродеиискусстве". В1876г. вРоссиибылаиздананебольшаякнижка, почтиброшюра, сизложениемэтоготрудаЦейзинга.АвторукрылсяподинициаламиЮ.Ф. В. Вэтомизданиинеупомянутониоднопроизведениеживописи.

ВконцеXIX-началеXX вв.появилосьнемалочистоформалистическихтеорииоприменениизолотогосечениявпроизведенияхискусстваиархитектуры.Сразвитиемдизайнаитехническойэстетикидействиезаконазолотогосеченияраспространилосьнаконструированиемашин, мебелиит.д.

6.РядФибоначчи.

СисториейзолотогосечениякосвеннымобразомсвязаноимяитальянскогоматематикамонахаЛеонардоизПизы, болееизвестногоподименемФибоначчи (сынБоначчи).ОнмногопутешествовалпоВостоку, познакомилЕвропусиндийскими (арабскими)цифрами.В1202гвышелвсветегоматематическийтруд"Книгаобабаке"(счетнойдоске), вкоторомбылисобранывсеизвестныенатовремязадачи. Однаиззадачгласила"Сколькопаркроликовводингодотоднойпарыродится". Размышляянаэтутему, Фибоначчивыстроилтакойрядцифр:

Месяцы.

ит.д.

Парыкроликов.

ит.д.

Рядчисел0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55ит.д.известенкакрядФибоначчи.Особенностьпоследовательностичиселсостоитвтом, чтокаждыйеечлен, начинаястретьего, равенсуммедвухпредыдущих2+3=5;3+5=8;5+8=13,8+13=21;13+21=34ит.д., аотношениесмежныхчиселрядаприближаетсякотношениюзолотогоделения. Так, 21: 34=0,617,а34: 55=0,618.ЭтоотношениеобозначаетсясимволомФ.Толькоэтоотношение-0,618: 0,382-даетнепрерывноеделениеотрезкапрямойвзолотойпропорции, увеличениеегоилиуменьшениедобесконечности, когдаменьшийотрезоктакотноситсякбольшему, какбольшийковсему.

Фибоначчитакжезанималсярешениемпрактическихнуждторговли:спомощьюкакогонаименьшегоколичествагирьможновзвеситьтовар?Фибоначчидоказывает, чтооптимальнойявляетсятакаясистемагирь:1,2,4,8,16…

7.Обобщенноезолотоесечение.

РядФибоначчимогбыостатьсятолькоматематическимказусом, еслибынетообстоятельство, чтовсеисследователизолотогоделенияврастительномивживотноммире, неговоряужеобискусстве, неизменноприходиликэтомурядукакарифметическомувыражениюзаконазолотогоделения.

УченыепродолжалиактивноразвиватьтеориючиселФибоначчиизолотогосечения.Ю. МатиясевичсиспользованиемчиселФибоначчирешает10-юпроблемуГильберта.Возникаютизящныеметодырешениярядакибернетическихзадач (теориипоиска, игр, программирования) сиспользованиемчиселФибоначчиизолотогосечения. ВСШАсоздаетсядажеМатематическаяФибоначчи-ассоциация, котораяс1963годавыпускаетспециальныйжурнал.

ОднимиздостиженийвэтойобластиявляетсяоткрытиеобобщенныхчиселФибоначчииобобщенныхзолотыхсечений.

РядФибоначчи (1,1,2,3,5,8)иоткрытыйимже"двоичный"рядгирь1,2,4,8,16…напервыйвзглядсовершенноразные.Ноалгоритмыихпостроениявесьмапохожидругнадруга:впервомслучаекаждоечислоестьсуммапредыдущегочислассамимсобой2=1+1;4=2+2…, вовтором-этосуммадвухпредыдущихчисел2=1+1,3=2+1,5=3+2…Нельзялиотыскатьобщуюматематическуюформулу, изкоторойполучаютсяи"двоичный"ряд, ирядФибоначчи? Аможетбыть, этаформуладастнамновыечисловыемножества, обладающиекакими-тоновымиуникальнымисвойствами?

Действительно, зададимсячисловымпараметромS, которыйможетприниматьлюбыезначения:0,1,2,3,4,5…Рассмотримчисловойряд, S+1первыхчленовкоторого-единицы, акаждыйизпоследующихравенсуммедвухчленовпредыдущегоиотстоящегоотпредыдущегонаSшагов. Еслиn-йчленэтогорядамыобозначимчерез?S (n), тополучимобщуюформулу? S (n)=?S (n-1)+?S (n-S-1).

Очевидно, чтоприS=0изэтойформулымыполучим"двоичный"ряд, приS=1-рядФибоначчи, приS=2,3,4.новыерядычисел, которыеполучилиназваниеS-чиселФибоначчи.

ВобщемвидезолотаяS-пропорцияестьположительныйкореньуравнениязолотогоS-сеченияxS+1-xS-1=0.

Нетруднопоказать, чтоприS=0получаетсяделениеотрезкапополам, априS=1-знакомоеклассическоезолотоесечение.

ОтношениясоседнихS-чиселФибоначчисабсолютнойматематическойточностьюсовпадаютвпределесзолотымиS-пропорциями!Математикивтакихслучаяхговорят, чтозолотыеS-сеченияявляютсячисловымиинвариантамиS-чиселФибоначчи.

Факты, подтверждающиесуществованиезолотыхS-сеченийвприроде, приводитбелорусскийученыйЭ.М. Сороковкниге"Структурнаягармониясистем"(Минск,"Наукаитехника", 1984).Оказывается, например, чтохорошоизученныедвойныесплавыобладаютособыми, ярковыраженнымифункциональнымисвойствами (устойчивывтермическомотношении, тверды, износостойки, устойчивыкокислениюит. п)тольковтомслучае, еслиудельныевесаисходныхкомпонентовсвязаныдругсдругомоднойиззолотыхS-пропорций.Этопозволилоавторувыдвинутьгипотезуотом, чтозолотыеS-сеченияестьчисловыеинвариантысамоорганизующихсясистем.Будучиподтвержденнойэкспериментально, этагипотезаможетиметьфундаментальноезначениедляразвитиясинергетики-новойобластинауки, изучающейпроцессывсамоорганизующихсясистемах.

СпомощьюкодовзолотойS-пропорцииможновыразитьлюбоедействительноечисловвидесуммыстепенейзолотыхS-пропорцийсцелымикоэффициентами.

Принципиальноеотличиетакогоспособакодированиячиселзаключаетсявтом, чтооснованияновыхкодов, представляющиесобойзолотыеS-пропорции, приS>0оказываютсяиррациональнымичислами.Такимобразом, новыесистемысчислениясиррациональнымиоснованиямикакбыставят"сголовынаноги"историческисложившуюсяиерархиюотношениймеждучисламирациональнымиииррациональными.Деловтом, чтосначалабыли"открыты"числанатуральные;затемихотношения-числарациональные.Илишьпозже-послеоткрытияпифагорейцаминесоизмеримыхотрезков-насветпоявилисьиррациональныечисла.Скажем, вдесятичной, пятеричной, двоичнойидругихклассическихпозиционныхсистемахсчислениявкачествесвоеобразнойпервоосновыбыливыбранынатуральныечисла-10,5,2,-изкоторыхужепоопределеннымправиламконструировалисьвседругиенатуральные, атакжерациональныеииррациональныечисла.

Своегородаальтернативойсуществующимспособамсчислениявыступаетновая, иррациональнаясистема, вкачествепервоосновы, началасчислениякоторойвыбраноиррациональноечисло (являющееся, напомним, корнемуравнениязолотогосечения);черезнегоужевыражаютсядругиедействительныечисла.

Втакойсистемесчислениялюбоенатуральноечисловсегдапредставимоввидеконечной,-анебесконечной, какдумалиранее!-суммыстепенейлюбойиззолотыхS-пропорций.Этооднаизпричин, почему"иррациональная"арифметика, обладаяудивительнойматематическойпростотойиизяществом, какбывобралавсебялучшиекачестваклассическойдвоичнойи"Фибоначчиевой"арифметик.

8.Принципыформообразованиявприроде.

Все, чтоприобреталокакую-тоформу, образовывалось, росло, стремилосьзанятьместовпространствеисохранитьсебя. Этостремлениенаходитосуществлениевосновномвдвухвариантах-роствверхилирасстиланиепоповерхностиземлиизакручиваниепоспирали.

Раковиназакрученапоспирали.Еслиееразвернуть, тополучаетсядлина, немногоуступающаядлинезмеи. Небольшаядесятисантиметроваяраковинаимеетспиральдлиной35см.Спиралиоченьраспространенывприроде.Представлениеозолотомсечениибудетнеполным, еслинесказатьоспирали.

Рис. 12.СпиральАрхимеда.

ФормаспиральнозавитойраковиныпривлеклавниманиеАрхимеда.Онизучалееивывелуравнениеспирали.Спираль, вычерченнаяпоэтомууравнению, называетсяегоименем.Увеличениееешагавсегдаравномерно.ВнастоящеевремяспиральАрхимедаширокоприменяетсявтехнике.

ЕщеГетеподчеркивалтенденциюприродыкспиральности.Винтообразноеиспиралевидноерасположениелистьевнаветкахдеревьевподметилидавно.Спиральувиделиврасположениисемянподсолнечника, вшишкахсосны, ананасах, кактусахит.д.Совместнаяработаботаниковиматематиковпролиласветнаэтиудивительныеявленияприроды.Выяснилось, чтоврасположениилистьевнаветке (филотаксис), семянподсолнечника, шишексосныпроявляетсебярядФибоначчи, асталобыть, проявляетсебязаконзолотогосечения.Паукплететпаутинуспиралеобразно.Спиральюзакручиваетсяураган.Испуганноестадосеверныхоленейразбегаетсяпоспирали.МолекулаДНКзакрученадвойнойспиралью.Гетеназывалспираль"кривойжизни".

Средипридорожныхтраврастетничемнепримечательноерастение-цикорий.Приглядимсякнемувнимательно.Отосновногостебляобразовалсяотросток.Тутжерасположилсяпервыйлисток.Рис.13.Цикорий.

Отростокделаетсильныйвыбросвпространство, останавливается, выпускаетлисток, ноужекорочепервого, сноваделаетвыбросвпространство, ноужеменьшейсилы, выпускаетлистокещеменьшегоразмераисновавыброс. Еслипервыйвыброспринятьза100единиц, товторойравен62единицам, третий-38,четвертый-24ит.д.Длиналепестковтожеподчиненазолотойпропорции.Вросте, завоеваниипространстварастениесохранялоопределенныепропорции.Импульсыегоростапостепенноуменьшалисьвпропорциизолотогосечения.

Рис. 14.Ящерицаживородящая.

Вящерицеспервоговзглядаулавливаютсяприятныедлянашегоглазапропорции-длинаеехвостатакотноситсякдлинеостальноготела, как62к38.

Иврастительном, ивживотноммиренастойчивопробиваетсяформообразующаятенденцияприроды-симметрияотносительнонаправленияростаидвижения.Здесьзолотоесечениепроявляетсявпропорцияхчастейперпендикулярнокнаправлениюроста.

Природаосуществиладелениенасимметричныечастиизолотыепропорции.Вчастяхпроявляетсяповторениестроенияцелого.

Рис. 15.Яйцоптицы.

ВеликийГете, поэт, естествоиспытательихудожник (онрисовалиписалакварелью), мечталосозданииединогоученияоформе, образованииипреобразованииорганическихтел.Этоонввелвнаучныйобиходтерминморфология.

ПьерКюривначаленашегостолетиясформулировалрядглубокихидейсимметрии.Онутверждал, чтонельзярассматриватьсимметриюкакого-либотела, неучитываясимметриюокружающейсреды.

Закономерности"золотой"симметриипроявляютсявэнергетическихпереходахэлементарныхчастиц, встроениинекоторыххимическихсоединений, впланетарныхикосмическихсистемах, вгенныхструктурахживыхорганизмов. Этизакономерности, какуказановыше, естьвстроенииотдельныхоргановчеловекаителавцелом, атакжепроявляютсявбиоритмахифункционированииголовногомозгаизрительноговосприятия.

9.Золотоесечениеисимметрия.

Золотоесечениенельзярассматриватьсамопосебе, отдельно, безсвязиссимметрией.ВеликийрусскийкристаллографГ.В. Вульф (1863…1925)считалзолотоесечениеоднимизпроявленийсимметрии.

Золотоеделениенеестьпроявлениеасимметрии, чего-топротивоположногосимметрииСогласносовременнымпредставлениямзолотоеделение-этоасимметричнаясимметрия.Внаукуосимметриивошлитакиепонятия, какстатическаяидинамическаясимметрия. Статическаясимметрияхарактеризуетпокой, равновесие, адинамическая-движение, рост. Так, вприродестатическаясимметрияпредставленастроениемкристаллов, авискусствехарактеризуетпокой, равновесиеинеподвижность. Динамическаясимметриявыражаетактивность, характеризуетдвижение, развитие, ритм, она-свидетельствожизни.Статическойсимметриисвойственныравныеотрезки, равныевеличины. Динамическойсимметриисвойственноувеличениеотрезковилиихуменьшение, ионовыражаетсяввеличинахзолотогосечениявозрастающегоилиубывающегоряда.

10.Разгадкатайнызолотогосечения.

Золотоесечение-этосечениеотрезканадвечаститак, чтодлинабольшейчастиотноситсякдлинеменьшейчаститакже, какдлинавсегоотрезкакдлинебольшейчасти.

Золотойвурф-этопоследовательныйрядотрезков, когдасмежныеотрезкинаходятсявотношениизолотогосечения.

Рассмотримгармоническийпроцессколебанийструны.

Наструнемогутсоздаватьсястоячиеволныосновнойивысшихгармоник (обертонов).Длиныполуволнгармоническогорядасоответствуютфункции1/N, гдеN-натуральноечисло.Длиныполуволнмогутбытьвыраженывпроцентахотдлиныполуволныосновнойгармоники:100%50%33%25%20%…Возбудитьтуилиинуюгармоникуможновоздействиемнасоответствующийучастокструны.Вслучаевоздействиянапроизвольныйучастокструныбудутвозбуждатьсявсегармоникисразличнымиамплитуднымикоэффициентами, которыезависятоткоординатыучастка, отшириныучасткаиотчастотно-временныххарактеристиквоздействия.

Введемфункциювосприимчивостиструныкимпульсномувоздействию.

Учитываяразныезнакифазчетныхинечетныхгармоник, получимзнакопеременнуюфункцию, котораявпервомприближениисоответствуетфункцииБесселя, апобольшомусчетуПси-функцииШредингера.

Выглядитонаприблизительноследующимобразом:

Еслиточкузакрепленияпринятьзаначалоотсчета, асерединуструныза100%, томаксимумвосприимчивостипо1-ойгармоникебудетсоответствовать100%, по2-й-50%, по3-ей-33%ит.д.

Посмотрим, гдебудетнашафункцияпересекатьосьабсцисс.

62%38%23.6%14.6%9%5,6%3.44%2.13%1.31%0.81%0.5%0.31%0.19%0.12%…

Этопропорциязолотоговурфа.Каждоеследующеечислов0.618разотличаетсяотпредыдущего.Получилосьследующее:

Возбуждениеструнывточке, делящейеевотношениизолотогосеченияначастотеблизкойкосновнойгармонике, невызоветколебанийструны, т. е.точказолотогосечения-этоточкакомпенсации, демпфирования.

Длядемпфированиянаболеевысокихчастотах, кпримеруна4-ойгармонике, точкукомпенсациинужновыбратьв4-омпересечениифункциисосьюабсцисс.

Еслимысоздадимпрямоугольныйплоскийрезонаторэлектромагнитныхколебаний, стороныкоторогоотносятсявпропорциизолотогосечения, токолебаниявтакомрезонаторебудутразделеныподвумстепенямсвободы, т.к.колебаниявдольбольшейсторонынесмогутвозбудитьколебанийвдольменьшейстороны, т.к.дляменьшейстороныдлинабольшейсторонысоответствуетточкекомпенсации.

Теперьстановитсяпонятнойпричина, побудившаясоздатьпрямоугольныеячейкиспропорциейзолотогосеченияналетательныхаппаратахсэлектромагнитнымиисточникамиэнергии. Этопозволилосориентироватьэлектромагнитныеколебанияпонужномунаправлению (вертикальноилигоризонтально).Далее, этипропорцииужебылиотраженывархитектурекультовыхсооруженийисталиканонамиискусства.

11.Золотоесечениевскульптуре.

Скульптурныесооружения, памятникивоздвигаются, чтобыувековечитьзнаменательныесобытия, сохранитьвпамятипотомковименапрославленныхлюдей, ихподвигиидеяния.

Известно, чтоещевдревностиосновускульптурысоставлялатеорияпропорций.Отношениячастейчеловеческоготеласвязывалисьсформулойзолотогосечения.

Пропорции"золотогосечения"создаютвпечатлениегармониикрасоты, поэтому.

скульпторыиспользовалиихвсвоихпроизведениях.

Скульпторыутверждают, чтоталияделитсовершенноечеловеческоетеловотношении"золотогосечения". Так, например, знаменитаястатуяАполлонаБельведерскогосостоитизчастей, делящихсяпозолотымотношениям.

ВеликийдревнегреческийскульпторФидийчастоиспользовал"золотоесечение"в.

своихпроизведениях.СамымизнаменитымиизнихбылистатуяЗевсаОлимпийского (котораясчиталасьоднимизчудессвета)иАфиныПарфенос.

Измерениянесколькихтысяччеловеческихтелпозволилиобнаружить, чтодлявзрослыхмужчинэтоотношениеравно=1,625,адлявзрослыхженщиноносоставляет=1,6.Такчтопропорциимужчинближек"золотомусечению", чемпропорцииженщин. Былопроведенобольшоечислоизмеренийнапомещенныхвжурналахкрупныхпортретахмужчиниженщин, намногихизнихуказанныеотношенияпредставляют"золотоесечение".

12.Золотоесечениевархитектуре.

Вкнигахо"золотомсечении"можнонайтизамечаниеотом, чтовархитектуре, какивживописи, всезависитотположениянаблюдателя, ичто, еслинекоторыепропорциивзданиисоднойстороныкажутсяобразующими"золотоесечение", тосдругихточекзренияонибудутвыглядетьиначе."Золотоесечение"даетнаиболееспокойноесоотношениеразмеровтехилииныхдлин.

ОднимизкрасивейшихпроизведенийдревнегреческойархитектурыявляетсяПарфенон (V в.дон. э.).

Парфенонимеет8колоннпокороткимсторонами17подлинным.выступысделаныцеликомизквадратовпентилейскогомрамора.Благородствоматериала, изкоторогопостроенхрам, позволилоограничитьприменениеобычнойвгреческойархитектурераскраски, онатолькоподчеркиваетдеталииобразуетцветнойфон (синийикрасный)дляскульптуры.Отношениевысотызданиякегодлинеравно0,618.ЕслипроизвестиделениеПарфенонапо"золотомусечению", тополучимтеилииныевыступыфасада.

ДругимпримеромизархитектурыдревностиявляетсяПантеон.

ИзвестныйрусскийархитекторМ.Казаковвсвоемтворчествеширокоиспользовал"золотоесечение".

Еготалантбылмногогранным, новбольшейстепенионраскрылсявмногочисленныхосуществленныхпроектахжилыхдомовиусадеб. Например,"золотоесечение"можнообнаружитьвархитектурезданиясенатавКремле.ПопроектуМ. КазаковавМосквебылапостроенаГолицынскаябольница, котораявнастоящеевремяназываетсяПервойклиническойбольницейимениН.И. Пирогова (Ленинскийпроспект, д. 5).

ЕщеодинархитектурныйшедеврМосквы-домПашкова-являетсяоднимизнаиболеесовершенныхпроизведенийархитектурыВ.Баженова.

ПрекрасноетворениеВ.БаженовапрочновошловансамбльцентрасовременнойМосквы, обогатилоего. Наружныйвиддомасохранилсяпочтибезизмененийдонашихдней, несмотрянато, чтоонсильнообгорелв1812 г.

Привосстановлениизданиеприобрелоболеемассивныеформы.Несохраниласьивнутренняяпланировказдания, окоторойдаютпредставлениятолькочертежнижнегоэтажа.

Многиевысказываниязодчегозаслуживаютвниманиеивнашидни.ОсвоемлюбимомискусствеВ.Баженовговорил:"Архитектура-главнейшиеимееттрипредмета:красоту, спокойностьипрочностьздания… Кдостижениюсегослужитруководствомзнаниепропорции, перспектива, механикаиливообщефизика, авсемимобщимвождемявляетсярассудок".

13.Золотоесечениевживописи.

Переходякпримерам"золотогосечения"вживописи, нельзянеостановитьсвоеговниманиянатворчествеЛеонардодаВинчи. Еголичность-однаиззагадокистории.СамЛеонардодаВинчиговорил:"Пустьникто, небудучиматематиком, недерзнетчитатьмоитруды".

Онснискалславунепревзойденногохудожника, великогоученого, гения, предвосхитившегомногиеизобретения, которыенебылиосуществленывплотьдоXX в.

Нетсомнений, чтоЛеонардодаВинчибылвеликимхудожником, этопризнавалиужеегосовременники, ноеголичностьидеятельностьостанутсяпокрытымитайной, таккаконоставилпотомкамнесвязноеизложениесвоихидей, алишьмногочисленныерукописныенаброски, заметки, вкоторыхговорится"обовсемнасвете".

Онписалсправаналевонеразборчивымпочеркомилевойрукой.Этосамыйизвестныйизсуществующихобразецзеркальногописьма.

ПортретМонныЛизы (Джоконды)долгиегодыпривлекаетвниманиеисследователей, которыеобнаружили, чтокомпозициярисункаосновананазолотыхтреугольниках, являющихсячастямиправильногозвездчатогопятиугольника.Существуеточеньмноговерсийобисторииэтогопортрета.Вотоднаизних.

ОднаждыЛеонардодаВинчиполучилзаказотбанкираФранческоделеДжокондонаписатьпортретмолодойженщины, женыбанкира, МонныЛизы. Женщинанебылакрасива, новнейпривлекалапростотаиестественностьоблика.Леонардосогласилсяписатьпортрет.Егомодельбылапечальнойигрустной, ноЛеонардорассказалейсказку, услышавкоторую, онасталаживойиинтересной.

Сказка.

Жил-былодинбедныйчеловек, былоунегочетыресына: триумных, аодинизнихитак, исяк.Ивотпришлазаотцомсмерть.Передтем, какрасстатьсясжизнью, онпозвалксебедетейисказал:"Сынымои, скорояумру. Кактольковысхоронитеменя, запритехижинуиидитенакрайсветадобыватьсебесчастья. Пустькаждыйизвасчему-нибудьнаучится, чтобымогкормитьсамсебя". Отецумер, асыновьяразошлисьпосвету, договорившисьспустятригодавернутьсянаполянуроднойрощи.

Пришелпервыйбрат, которыйнаучилсяплотничать, срубилдеревоиобтесалего, сделализнегоженщину, отошелнемногоиждет. Вернулсявторойбрат, увиделдеревяннуюженщинуи, таккаконбылпортной, воднуминутуоделее: какискусныймастеронсшилдлянеекрасивуюшелковуюодежду. Третийсынукрасилженщинузолотомидрагоценнымикамнями-ведьонбылювелир.Наконец, пришелчетвертыйбрат. Оннеумелплотничатьишить, онумелтолькослушать, чтоговоритземля, деревья, травы, зверииптицы, зналходнебесныхтелиещеумелпетьчудесныепесни. Онзапелпесню, откоторойзаплакалипритаившиесязакустамибратья. Песнейэтойоноживилженщину, онаулыбнуласьивздохнула.

Братьябросилиськнейикаждыйкричалодноитоже:"Тыдолжнабытьмоейженой". Ноженщинаответила:"Тыменясоздал-будьмнеотцом.Тыменяодел, атыукрасил-будьтемнебратьями.Аты, чтовдохнулвменядушуинаучилрадоватьсяжизни, тыодинмненуженнавсюжизнь".

Кончивсказку, ЛеонардовзглянулнаМоннуЛизу, еелицоозарилосьсветом, глазасияли. Потом, точнопробудившисьотсна, онавздохнула, провелаполицурукойибезсловпошланасвоеместо, сложиларукиипринялаобычнуюпозу. Ноделобылосделано-художникпробудилравнодушнуюстатую;улыбкаблаженства, медленноисчезаясеелица, осталасьвуголкахртаитрепетала, придаваялицуизумительное, загадочноеичутьлукавоевыражение, какучеловека, которыйузналтайнуи, бережноеехраня, неможетсдержатьторжество.

Леонардомолчаработал, боясьупуститьэтотмомент, этотлучсолнца, осветившийегоскучнуюмодель…

Трудноотметить, чтозамечаливэтомшедевреискусства, новсеговорилиотомглубокомзнанииЛеонардостроениячеловеческоготела, благодарякоторомуемуудалосьуловитьэту, какбызагадочную, улыбку. Говорилиовыразительностиотдельныхчастейкартиныиопейзаже, небываломспутникепортрета. Толковалиоестественностивыражения, опростотепозы, окрасотерук. Художниксделалещенебывалое:накартинеизображенвоздух, онокутываетфигурупрозрачнойдымкой.

Несмотрянауспех, Леонардобылмрачен, положениевоФлоренциипоказалосьхудожникутягостным, онсобралсявдорогу.Непомоглиемунапоминанияонахлынувшихзаказах.

ЗолотоесечениевкартинеИ.И.Шишкина «Сосноваяроща «.

НаэтойзнаменитойкартинеИ.И.Шишкинасочевидностьюпросматриваютсямотивызолотогосечения.Яркоосвещеннаясолнцемсосна (стоящаянапервомплане)делитдлинукартиныпозолотомусечению.Справаотсосны-освещенныйсолнцемпригорок.Онделитпозолотомусечениюправуючастькартиныпогоризонтали.Слеваотглавнойсоснынаходитсямножествососен-прижеланииможносуспехомпродолжитьделениекартиныпозолотомусечениюидальше.

Наличиевкартинеяркихвертикалейигоризонталей, делящихеевотношениизолотогосечения, придаетейхарактеруравновешенностииспокойствия, всоответствиисзамысломхудожника. Когдажезамыселхудожникаиной, если, скажем, онсоздаеткартинусбурноразвивающимсядействием, подобнаягеометрическаясхемакомпозиции (спреобладаниемвертикалейигоризонталей)становитсянеприемлемой.

ЗолотоесечениевкартинеЛеонардодаВинчи «Джоконда «.

ПортретМоныЛизыпривлекаеттем, чтокомпозициярисункапостроенана «золотыхтреугольниках «(точнеенатреугольниках, являющихсякускамиправильногозвездчатогопятиугольника).

ЗолотаяспиральвкартинеРафаэля «Избиениемладенцев «.

Вотличииотзолотогосеченияощущениединамики, волненияпроявляется, пожалуй, сильнейвсеговдругойпростойгеометрическойфигуре-спирали.

Многофигурнаякомпозиция, выполненнаяв1509−1510годахРафаэлем, когдапрославленныйживописецсоздавалсвоифрескивВатикане, какразотличаетсядинамизмомидраматизмомсюжета. Рафаэльтакинедовелсвойзамыселдозавершения, однако, егоэскизбылгравированнеизвестнымитальянскимграфикомМаркантиниоРаймонди, которыйнаосновеэтогоэскизаисоздалгравюру «Избиениемладенцев » .

НаподготовительномэскизеРафаэляпроведеныкрасныелинии, идущиеотсмысловогоцентракомпозиции-точки, гдепальцывоинасомкнулисьвокруглодыжкиребенка,-вдольфигурребенка, женщины, прижимающейегоксебе, воинасзанесенныммячомизатемвдольфигуртакойжегруппывправойчастиэскиза. Еслиестественнымобразомсоединитьэтикускикривойпунктиром, тосоченьбольшойточностьюполучается… золотаяспираль!Этоможнопроверить, измеряяотношениедлинотрезков, высекаемыхспиральюнапрямых, проходящихчерезначалокривой.

Мынезнаем, рисоваллинасамомделеРафаэльзолотуюспиральприсозданиикомпозиции «Избиениемладенцев «илитолько «відчував «ее.Однакосуверенностьюможносказать, чтограверРаймондиэтуспиральувидел. Обэтомсвидетельствуютдобавленныеимновыеэлементыкомпозиции, подчеркивающиеразворотспираливтехместах, гдеонаунасобозначеналишьпунктиром. ЭтиэлементыможноувидетьнаокончательнойгравюреРаймонди:аркамоста, идущаяотголовыженщины,-влевойчастикомпозицииилежащеетелоребенка-веецентре.ПервоначальнуюкомпозициюРафаэльвыполнилврассветесвоихтворческихсил, когдаонсоздавалсвоинаиболеесовершенныетворения. ГлавашколыромантизмафранцузскийхудожникЭженДелакруа (1798−1863)писалонем: «Всочетаниивсехчудесграцииипростоты, познанийиинстинктавкомпозицииРафаэльдостигтакогосовершенства, вкоторомснимещениктонесравнился.

Всамыхпростых, какивсамыхвеличественных, композицияхповсюдуегоумвноситвместесжизньюидвижениемсовершенныхпорядоквчарующуюгармонию " .Вкомпозиции «Избиениемладенцев «оченьяркопроявляютсяэтичертывеликогомастера.Внейпрекрасносочетаютсядинамизмигармония.ЭтомусочетаниюспособствуетвыборзолотойспирализакомпозиционнуюосновурисункаРафаэля:динамизмемупридаетвихревойхарактерспирали, агармоничность-выборзолотогосечениякакпропорции, определяющейразвертываниеспирали.

14. «Необходимопрекрасномузданиюбытьпостроеннымподобнохорошосложенномучеловеку «.

(ПавелФлоренский).

Можноли"поверитьалгебройгармонию"?"Да",-считалЛеонардоиуказал, какэтосделать."Золотоесечение"-несередина, апропорция-несложноематематическоесоотношение, содержащеевсебе"законзвездыиформулуцветка", рисунокнахитиновомпокровеживотных, длинуветвейдерева, пропорциичеловеческоготела. Видишьгармоничнуюкомпозицию, пропорциональноетелосложениеилиздание, радующееглаз,-измерьипридешькоднойитойжеформуле.ВовременаВозрождениядляпроверки"законагармонии"измерялиантичныестатуи, полторавеканазадпропорции"золотогосечения"проверяли, соотносядлинуногиитуловищагвардейскихсолдат,-всесовершенноточно.

ХудожникАлександрПанкинисследуетзаконыкрасоты…назнаменитыхквадратахКазимираМалевича.

-Вначале80-хналекцииоМалевичепросятпоказатьслайд"Черногоквадрата".Послетогокакизображениепоявляетсянаэкране, лекторстрогопроизносит:"Переверните, пожалуйста".Мысмеялись:труднопонятьпростомучеловеку, зачемтакоерисовать. Этокрасиво?

-ИсследуякартиныМалевичасциркулемислинейкой, япришелквыводу, чтоониудивительногармоничны.Здесьнетниодногослучайногоэлемента.Взявединственныйотрезок,-скажем, размерхолстаилисторонуквадрата,-можнопооднойформулевыстроитьвсюкартину.Естьквадраты, всеэлементыкоторыхсоотносятсявпропорции"золотогосечения", азнаменитый"Черныйквадрат"нарисованвпропорцииквадратногокорняиздвух.

-Авырисуетеэтипропорциинаполяхдляполногосходствасошкольнойзадачейпогеометрии?

-То, чемязанимаюсь, можноназвать"объективнымискусством".Напервыйвзглядкакоежеэтотворчество, еслинеставитсязадачавыразитьсвоюиндивидуальность? Существуетдажетакоевыражение-«художникузнаваем».Нояобнаружилудивительнуюзакономерность:чемменьшестремлениясамовыразиться, тембольшетворчества. Там, гдерамкислишкомшироки, гдевсеможно, мыпостепенноприходимктому, чтолюдиначинаютпортитьполотна (скажем, БренерподошелккартинеМалевичасбаллончикомкраски), некоторыеиконырежутиговорят:"Аятаквижу".Важенканон.Неслучайновиконописионтакстрогособлюдается.Длятворчествалучшененастежьоткрытыедвери, ачтобынадобылопролезатьвщель. Меняинтересуетформа, каконаобразуетсяиразвиваетсясамапосебе.

-Этожекомпьютерныйалгоритм, причемтутживопись?

-В1918годуМалевичсказал, чтоживописькончилась,-осталасьтолькогеометрия.Втомгодуоннарисовалбелыйквадратнабеломфоне.Нопотомслучилось"возвращениеМалевичанаЗемлю", егоживописьопредметилась. Науканепоглотилаискусство, новтеисторическиепериоды, когдагеометрияиискусствосближались, этодавалоимпульскразвитиютогоидругого. ТакбылововременаВозрождения, когдаЛеонардоисследовалпропорции"золотогосечения", ивначалеХХвека, когдаПольСезаннсказал:"Трактуйтеприродупосредствомцилиндра, шара, конуса".Еслиимпрессионистырисовалинечтоличное, изменчивое, токубистов, наоборот, интересовалформообразующийэлемент-каркас.Сейчаспроходятконференции"Математикаиискусство"исеминары, гдевстречаютсяученыеихудожники, случаютсянастоящиеоткрытия. СовременЛеонардоизвестентакназываемыйчисловойрядФибоначчи:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34…Это"золотая"последовательностьчисел, поэтомузаконурасполагаютсялистьяцветкаисемечкивподсолнухе.Яизобразилэтотряднаплоскостиввидетреугольников.Получиласьудивительнаявещь.ЧленырядаФибоначчиоченьбыстрорастут:треугольникпревращалсявстрелу, двестороныуходятвбесконечность, аодинизкатетоввсевремяостаетсяравнымпяти! Доэтогоянепонимал, чтотакое"конечнаябесконечность"!Посмотревнаэтукартину, профессорАлександрЗенкинматематическидоказал: такаясистематреугольников-этоядрорядаФибоначчи.Обнаружилсяновыйматематическийобъект!

-ТреугольникиПанкина?

-Наодномсеминаребылипредложениятакихиназвать, потомучтоэтуматематическуюзакономерностьпочему-тораньшениктонезамечал.

-Можетбыть, выисследуетегармониюМалевичанепотому, чтовидитевеготворчествеособыйсмысл, апотому, чтодругиекартинысложнееподформулуподогнать?

-Почемуже!Последнеевремямнехочетсятакжеисследовать"Незнакомку"Крамского.Япосмотрел:тамтожевосновележит"золотоесечение".Тежеправилаизакономерности, которыеянащупалвкартинахМалевича, можноприложитьикдругимкартинам, оченьинтересныевещиполучатся. КартиныМалевича-этокраеугольныйкаменьформообразования, мимонегонельзяпройти."Черныйквадрат"-точкаотсчета, космическаяворонка, кудаискусствопопадаетивыходитизмененным.Появляютсяновыепространства.УпередвижниковилиунатуралистовтипаШиловакартина-этоокно, закоторымвобычнойпрямойперспективерасполагаютсятрехмерныеобъекты.УСезаннапространствалежатнахолсте.Виконаходновременноприсутствуютдветочкизрения:смотришьсосвоегоместаиодновременнобудтонаходишьсявнутрипроисходящего.Пространствоопредмечивается, незряиконамненужнырамки. Мнекажется, вбудущемпространствокартиныбудетлежатьнезахолстом, апередним…

-Недавновмагазинеяувиделаплакатс"Чернымквадратом".Обрадоваласьикупила, хотелаповеситьдома, апотомпередумала. Неуютноспать, когданадкроватью"Черныйквадрат"висит.АвыхотелибыусебянадкроватьюповеситьквадратМалевича?

-Честноговоря, уменянадкроватьюмоикартинывисят, ониуменявсюдувисят. Ахотелбы…наверное, Иванова-«ЯвлениеХристанароду».Удивительнаякомпозиция-фигураХриставцентреиотнеебудтолучирасходятся.Раньшеяпочему-тоэтогонезамечал…

15.Закономерностипостроенияпространственнойкомпозициипарка.

Соотношенияпарковыхобъемныхформ.

Соотношенияобъемныхэлементовпарка-декоративнойдревеснойикустарниковойрастительности, малыхархитектурныхформ, фонтанов, террас-образуюткомпозициюобъемныхформ.Композицияформыможетбытьтрехвидов:фронтальной, объемнойиглубинно-пространственной.Фронтальнаякомпозицияхарактеризуетсяпреобладаниемгоризонтальныхивертикальныхэлементовнадглубинойформы, приобъемной-всетриизмеренияимеютпримерноодинаковозначение, априглубинно-пространственной-плоскостииобъемыорганизуюттак, чтобывсевидыипанорамыраскрывалисьпопринципувозрастающейэмоциональнойнагрузки. Композицияпаркадолжнаиметьчеткуювнутреннююпространственнуюориентацию, позволяющуюпосетителюлегконаходитькомпозиционныецентры. Декоративнаядревеснаяикустарниковаярастительность, малыеархитектурныеформыидругиеобъемныеэлементысадово-парковойкомпозициинаходятсявопределенныхсоотношениях, которыеприрациональномихиспользованииусиливаютхудожественнуювыразительностьпарковыхпейзажей. Огромноеразнообразиесоотношенийформпарковыхэлементов, естественныхиискусственных, обусловливаетсявеличиной, геометрическимстроением, положениемвпространстве, освещенностью, цветом, фактурой. Ккомпозиционнымсредствам, используемымприформированиибольшихпарковыхпространств, относятсялинейнаяивоздушнаяперспективы, членениеглубинногопространства, синтезискусствидругие. Соотношениеформповеличине (высоте, ширине, длине).Величины «высота, ширина, длина «выражаютсявметрическойсистемеизаписываютсяцелымиилииррациональнымичислами.Совокупностьпространственныхсоотношенийвеличин, объединенныхопределеннойкомпозиционнойзависимостью, называетсяпропорцией. Нопонятиепропорциивсадово-парковомискусственельзяотождествлятьспонятиемпропорциявматематике.Пропорциитеснейшимобразомсвязанысрешениеконкретныхкомпозиционныхзадач, обусловленыхудожественнымвкусомикомпозиционнымопытомавтора. Спомощьюхудожественныхпропорцийможетбытьвыраженамонументальность, торжественность, или, наоборот, скромность, простота. Пропорциивсадово-парковойкомпозиции-этокакбыеевнутренняякрасота.Онаневидиманепосредственно, новсегдаощутима, подобнодуховнойкрасотечеловека. Внастоящеевремяхудожникичащевсегопользуютсядвумяпропорциональнымисоотношениями:модульнойсистемойпропорцийи «золотымсечением » .Основоймодульнойсистемыпроектированияявляетсянекотораяисходнаявеличина, котораяслужитмеройвсехчастейкомпозициииназываетсямодулем. Модуль-этонемерадлины, аразмеркакой-либочастисооружения.Например, ширинупарковойдорожкичастоопределяютпоколичествубетонныхплит, укладываемыхнанее, авысотудерева-ширинойегокроны.Универсальныммодулемпарковыхпространствявляетсячеловек.Интересноеусовершенствованиемодульнойсистемыпропорцийдляархитектуры (модулор)предложилвеликийфранцузЛеКорбюзье.Метр-этоцифрыбезреальногосодержания;сантиметр, дециметр, метр-этотолькообозначениядесятичнойсистемы.Цифрымодулора-этодействительныеразмеры.Они-факты.Ониявляютсярезультатомвыборамеждубесконечнымколичествомвеличин.Модулор-этотакаяизмерительнаясистема, восновукоторойположенчеловеческийростиматематика.(Рис.Стр.122).Исходныеединицыизмерениявмодулоресвязанысусловнымчленениемростачеловека.Понятно, чтотакаяизмерительнаясистемаимеетособоезначениеприсозданиисадовипарков, тоестьспециальнооборудованныхместдляотдыхалюдей. Модулор-гамма, этоещенемузыка, ноправильноиспользуяэтусистемумодульныхпропорций, можнотворитьмузыкусадовипарков, музыкуприроды.

Модулор

ВмодулореЛеКорбюзьекаждоепоследующеечленениесвязаноспредыдущим «золотымсечением » .Поняття «золотогосечения «восходитизглубокойдревности.ВгеометрииЭвклидаоноопределенокакделениеотрезкавкрайнемисреднемотношениях, тоестьделениеотрезка, прикоторомвеличинабольшейегочастиявляетсясреднейпропорциональнойвсегоотрезкаиегоменьшейчасти. Введемобозначения:целое-С, большаячасть-а, меньшая-b.Правило «золотогосечения «выступиткаксоотношениеС/а=а/b.Этосоотношениеявляетсяиррациональным.Распространеннымидостаточноточнымвыражениемегоявляютсятакиевеличины:a=0,618;b=0,382.Приближенныецелочисленныезначения «золотогосечения «можнополучитьприпомощичиселрядаФибоначчи, вкоторомкаждоепоследующеечислоравносуммедвухпредыдущих:1,2,3,5,8,13,21…Изэтихчислесоставляетсярядцелочисленныхотношений:1:2;2:3;3:5;5:8;8:13;13:21;…Вряду, начинаясотношения5:8,всепоследующиевыражает «золотоесечение » .Любоетело, предмет, вещь, геометрическаяфигура, соотношениекоторыхсоответствует «золотомусечению », отличаютсястрогойпропорциональностьюипроизводятнаиболееприятноезрительноевпечатление. Всадово-парковомискусствеприменениеправилпропорциональныхсоотношенийзатрудненовсвязистем, чторастительность, развиваясь, увеличивается. Но, темнеменее, соотношениявысотырастительнойгруппировкииплощадиэкспозиции, атакжерастенийвнутригруппировки, растительностииархитектурныхсооружений, шириндорожекицветников, мельчайшихдеталейкомпозициидолжныстроитьсявсоответствиисправиламиприменяемыхсистемпропорций.

" Золотоесечение «.

Соотношенияформпогеометрическомустроению.Этоттипсоотношенийвозникаетприсопоставлениипрямолинейных (геометрических)икриволинейных (живописных)форм, тоестьприродныхиискусственныхформ. Соотношенияпогеометрическомустроениюхарактеризуютсяпонятиемпластичности, или, другимисловами, гармоничнымсоотношениемформилиний. Примеромпластическогорешениявсадово-парковомискусствеявляетсяумелаявертикальнаяпланировка, илигеопластика, спомощьюкоторойдостигаетсягармоническоесочетаниеособенностейрельефа, дорог, малыхархитектурныхформирастительности.Соотношенияформпоихположениювпространствепарка.Ониимеютрешающеезначениевсозданииглубинно-пространственнойкомпозиции, ибосадово-парковоестроительство-этоискусствобольшихпространств.Соотношенияэтоготипарегулируютсячередованиемоткрытыхизакрытыхпространств, глубиннымпостроениемпейзажей, линейнойивоздушнойперспективами.Открытиеизакрытиепространстваследуетчередовать.Приэтомнеобходимоучитывать, чтооткрытыепространствадействуютвозбуждающе, азакрытые-успокаивающе.Полноценноевосприятиепространствавдвиженииобеспечиваетсяприусловии, чтоегопротяженностьравна150−200м.Глубиннаямногоплановаякомпозиция, воспринимаемаясвидовойточки, называетсяпейзажемпарка. Наиболееэффектенпейзаж, которыйукладываетсявполенормальноговидения, тоестьвпределыконуса, образованноготреугольником, уголкоторогоравен15−18,5.

Впейзажеразличаютпередний, среднийидальнийпланы. Переднийплан-началоперспективы.Оночерчиваетсяалей, террасой, беседкой, видовойплощадкой, одиночнымидеревьямиилидревеснымигруппами. Среднийпланоформляетсяглавнымобразомопушкоймассива, древеснымигруппамиилиодиночнымидеревьями. Надальнемпланеобычнодоминируетхарактерныйобъект, декоративнаярастительнаягруппаилиопушкамассивасвертикальновыделяющимсясилуэтом. Силуэтвсадово-парковойкомпозиции-этоконтурноеочертаниедекоративныхрастительныхгруппировокнафоненебаилигородскойзастройки, воспринимаемоепространственноизвнеилиизнутри, новсегданадальнемплане.Паркбезвыразительногосилуэтабезликиуныл.Вертикальныеакцентыидоминантынеобходимыдлясозданиязапоминающегосяобразапарка, отличающегоегоотвсехдругих.Большоезначениеимеетоформлениевидовойточкипейзажа.Обычнообрамлениеперспективы, называемоерамкой, образуютзеленыекулисы.Длясосредоточениявниманиязрителянаопределенномпейзаженеобходимосозданиефокусапейзажа.Этоможетбытьактивноевэстетическомотношениидерево, садово-парковоесооружениеилидекоративныйэлемент.Взависимостиотвзаимногорасположенияразличныхплановперспективыпейзажимогутбытьмалой (50−100м), средней (100−400м)ибольшей (свыше500м)глубины.

Пейзажиразличнойглубинысоздаютнаосновезаконовлинейнойивоздушнойперспектив.Законамилинейнойперспективыобусловленыизменениявеличиныиформыпарковыхэлементовирастительныхгруппировоквзависимостиотрасстояниямеждузрителемиобъектом.Судалениемпредметыуменьшаютсявразмере, превращаясьвточкунагоризонте. Учитываяэто, можноуменьшатьилиувеличиватьглубинупарковогопейзажа, изменятьразмерыегоотдельныхэлементов.Использованиелинейноперспективывпостроениипарковыхкомпозицийограничено.Чащеееприменяютвпроцессепроектированиядляпространственногоизображенияпейзажей.Законамивоздушнойперспективыобусловленыизмененияяркостиосвещенияицветавзависимостиотрасстояниямеждунаблюдателемиразличнымипланамипарковогопейзажа.Яркостьцветаисветаизменяетсявсвязисзапыленностьювоздуха, имеющегослегкасиневатуюокраску. Мягкие, плавные, ссиневатымоттенкомэлементыпейзажаоптическиудаляютсяотнаблюдателя, ачеткие, контрастные, наоборот, кажутсяближе. Всетонаокраскирастительностииархитектурныхэлементовизменяютсявзависимостиоттолщиныслоявоздушногопространства:красныепереходятвфиолетовые, авдалиприобретаюттемно-синийцвет;желтыеболеепостоянны, носбольшимудалениемкажутсязеленоватыми, зеленыенарасстояниипереходятвголубые, итолькосинийцветостаетсябезизменения.Изменениецветапредметовназываетсяколоритнойперспективой.

Законылинейнойперспективы.

Изучаязаконывоздушнойперспективы, мывплотнуюподошликсоотношениямформпоцвету. Цветовыесоотношениянеобычайноразнообразны, поэтомуихможноподразделитьнатриосновныхвида: поцветовомутону;понасыщенностицвета;посветлоститона.Соотношенияпоцветовомутонусоздаютсянаосновеусловногоразделенияспектранасемьчастей.Условного, потомучтоввидимойчастисолнечногоспектранетрезкихпереходовмеждутонами. Всеговспектреглазможетразличить130различныхоттенков, аделениенасемьчастейвозниклопоаналогииссемиступенчатостьюмузыкальнойгаммы. Основныхтоновтри (красный, желтыйисиний), остальныеявляютсядополнительными (оранжевый, голубой, фиолетовый, зеленый).Дляудобствацветарасполагаютвцветовомкруге.Цвета, находящиесядругпротивдруга, вцветовомкруге, создаютконтрастныесоотношения (красныйсзеленым, оранжевыйссиним, фиолетовыйсжелтым).Этисоотношениянаиболееэмоциональноэффектны.Мягкими, гармоничныминазываютсоотношенияцветов, которыевцветовомкругерасположены «черезодин «(красныйсжелтым, оранжевыйсзеленым, желтыйссиним, зеленыйсфиолетовым, фиолетовыйсоранжевым).Дисгармоничнымиявляютсясочетаниясоседнихцветов (зеленогоссиним, красногосоранжевымит.д.).Онинеприятны, иихследуетизбегать.

Физиологическиеипсихологическиевоздействиецветанаорганизмизвестноиздавна.Например, Гетесчитал, чтоцветадействуетнадушу, могутвызыватьчувства, пробуждатьэмоцииимысли, успокаиватьиливолновать, печалитьилирадовать. Поэмоциональномувоздействиюцветаразделяютнатеплые, илиактивные (красный, оранжевый, желтый), которыевозбуждающе, ихолодные, илипассивные (синий, зеленый, фиолетовый), которыеоказываютуспокаивающеевоздействие. Прииспользованиивпарковойперспективесоотношенийпоцветунеобходиморуководствоватьсятакимиправилами:

А)основнаяокраскарастительности-зеленыйтон, чтозатрудняетдостижениеколоритногоразнообразия, нонеисключаетиспользованиявсехоттенковрастительности: оттемно-зеленогодожелто-зеленого.Цветоваягаммадаетвозможностьподчеркнутьсоотношениепланов:переднего, среднегоидальнего (темно-зеленыйцветотдаляет, желто-зеленыйприближает);

Б)колоритныепятнавкомпозициипарковогопейзажадолжныбытьмаксимальноукрупнены, особенно, особенноприбольшомудалении;

В)прикомбинациивравноймеренасыщенныхцветовыхпятенцветовыесоотношениянеобходимобалансироватьразмерамипятен;

Г)теплыетонарастительности (красный, оранжевый) уместнынахорошоосвещенных;

Д)светло-серыйисеребристыйтонаиспользуютсядлясмягченияслишкомсильныхконтрастов;

Е)белыйцветгармонируетсовсемидругимицветами.

Соотношениеформпоосвещенности.Богатствоколоритныхсочетанийвпарковомпейзажепроявляетсятолькоприусловиихорошейосвещенности.Глубинаперспективы, пространственнаявыразительностьзеленыхнасаждений, соотношениеобъемныхформрастительныхгруппировокподчеркиваетсяигройсветаитени. Выразительностьигрысветаитенизависитотинтенсивностисолнечнойрадиации, отпериодагодаивременидня. Свет-главныйфактор, создающийигрусветаитени. Онпроявляетконтурырастительности, помогаетсоздаватьпластичныесоотношенияобъемов, выявлятьвпейзажесамыекрасивыеэлементы.

Неосвещеннаяповерхностьпредметаназываетсятенью.Значениетенивпарковомпространстве, особенновюжныхрайонах, труднопереоценить.Тениподразделяютсянасобственныеипадающие.Собственнаятеньнаходитсянатойчастиповерхностиосвещенногопредмета, котораяскрытаотпрямыхлучейисточникасвета. Тень, отбрасываемаяосвещеннымпредметомилиобразовывавшаясянаегоповерхностиотдругогопредмета, стоящегонапутисветовоголуча, называетсяпадающейтенью. Формападающейтенизависитотформыосвещенногопредмета, отбрасывающеготень, атакжерельефаповерхности, накоторуютеньпадает. Интенсивностьтенизависитотяркостисвета, плотностипредметаивзаимногорасположенияпредметов. Освещенные (обычнонавозвышенности)изатененные (внизинах)парковыепространстванеобходимогармоничнокомбинировать.

Динамичнаяиграсветотени-эффектноесредствоформированияпарка, влияющеенаразмещениерастительныхгруппировокималыхархитектурныхформ, насоотношениевысотырастительностииплощадиоткрытыхпространств.Наполянахнаиболееэффектнытениотконусообразныхимощныхажурныхкрон.Ширинаоткрытогопространстваприэтомдолжнабытьнеменеетрехкратнойвысотыдерева.Контрастностьсветотениопределяетсяудалениемпредметаотнаблюдателя.Цветтениобусловливаетсяцветомповерхности, накоторуюпадаеттень, нообычноонаимеетсинийоттенок. Вечероминочьюигрусветотенисоздаютискусственныеисточникисвета, обогащающиесветопластикуночногопейзажа.Специалистыпосветовойархитектурерассматриваютискусственныйсветкакполноценноекомпозиционноесредство.Зеленьможноподсвечиватьнесколькимиспособами:спомощьюламп, скрытыхвкронедеревьев, ламп, скрытыхвземле, прожекторовсзащитнымиэкранами. Дляподсветкидорогиобозначениягазоновицветниковустанавливаютнизкиесветильникивысотойдо1м, использующиеотраженныйсвет.

Соотношенияформпофактуре.Фактура, тоестьразличныеповерхностидекоративнойрастительности, можетбытьгладкойилишероховатой, зеркальнойилиматовой.Разнообразныесочетанияразличныхпофактурерастенийзначительнообогащаютпарковыепейзажи.Видысоотношенийпространственныхформнеисчерпываютсяперечисленнымивыше.Здесьописанытолькоосновныеизних.Ноипонимможносудитьобольшомразнообразиивидовсоотношенийпространственныхформ, являющихсядляпаркостроениясвоеобразнойпалитрой.

1.Д.Пидоу.Геометрияиискусство.-М.:Мир, 1989.

3.Журнал"Квант", 1973,№ 8.

4.Журнал"Математикавшколе", 1994,№ 2;№ 3.

5.КеплерИ.Ошестиугольныхснежинках.-М., 1982.

6.КовалевФ.В.Золотоесечениевживописи.К.:Выщашкола, 1989.

7.ДюрерА.Дневники, письма, трактаты-Л., М., 1957.

8.Цеков-КарандашЦ.Овторомзолотомсечении.-София, 1983.

9.СтаховА.Кодызолотойпропорции.

10.Информацияизинтернета.