Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Построение нижних оценок энергии двухфазных упругих тел и предельных поверхностей фазовых превращений

Диссертация: Построение нижних оценок энергии двухфазных упругих тел и предельных поверхностей фазовых превращений
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В диссертационной работе для нахождения нижних оценок энергии двухфазных материалов предлагается использовать метод построения и оценки квазивыпуклых функций плотности энергии материала, позволяющий оценить экстремальные эффективные свойства двухфазных материалов при заданных объемных долях фаз. Этот метод был использован в работе для нахождения экстремальных свойств упругих пластин. В работе… Читать ещё >

Построение нижних оценок энергии двухфазных упругих тел и предельных поверхностей фазовых превращений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Равновесная цилиндрическая область новой фазы в упругом изотропном теле
    • 1. 1. Условия равновесия на межфазной границе
    • 1. 2. Равновесная цилиндрическая область новой фазы
    • 1. 3. Поверхности возникновения равновесных цилиндрических областей
  • 2. Устойчивость равновесной цилиндрической межфазной границы
    • 2. 1. Постановка задачи об устойчивости цилиндрической межфазной границы
    • 2. 2. Линеаризованные условия равновесия тела с возмущенными межфазной границей и перемещениями
    • 2. 3. Решение возмущенного уравнения равновесия
    • 2. 4. Устойчивость цилиндрической межфазной границы
  • 3. Достижимая нижняя оценка свободной энергии двухфазных упругих тел
    • 3. 1. Постановка задачи
    • 3. 2. Выпуклая и трансляционная оценки энергии двухфазного тела
    • 3. 3. Построение трансляционной оценки энергии деформаций двухфазного материала
      • 3. 3. 1. Транслятор для оценки свободной энергии двухфазного материала
      • 3. 3. 2. Оценка «сдвинутой» свободной энергии
    • 3. 4. Слоистые микроструктуры различных рангов. Условия совместности
    • 3. 5. Нижняя оценка энергии, построенная из условий совместности
    • 3. 6. Энергия слоистых микроструктур
    • 3. 7. Наклонные слои второго ранга
    • 3. 8. Оптимальные слоистые микроструктуры
  • 4. Предельные поверхности превращения
    • 4. 1. Точные нижние оценки энергии в случае произвольных упругих модулей изотропных фаз
    • 4. 2. Предельные поверхности

Актуальность темы

.

Изучение фазовых превращений в процессе деформирования находится в русле решения проблем взаимосвязи структуры материала и его деформационно-прочностных свойств. Характерной особенностью этих исследований является их комплексность: исследования ведутся на стыке механики, физики твердого тела и материаловедения [4,7,27,33,38,39,62]. Следствиями мартенситных фазовых превращений являются сверхупругость (псевдопластичность), эффект памяти формы [4,36], трансформационное упрочнение керамических материалов в результате мартенситного превращения частиц под действием напряжений, индуцированных трещинами [29,56−58,68,130]. В целом исследования фазовых превращений при деформировании ориентированы на развитие стратегии практического использования и создания материалов, в том числе композитных, заданным и нетривиальным образом реагирующих на внешние термомеханические воздействия (например, [70]). При этом речь может идти не только о создании элементов конструкций, выполняющих специфические функции, но и собственно «материале как машине» [82].

Разработка моделей фазовых превращений с позиции механики деформированного твердого тела ведется в русле двух различных направлений. Первое направление основано на разработке феноменологических моделей, полученных в результате добавления к определяющим соотношениям дополнительных параметров, характеризующих те или иные особенности системы и различные структурные уровни протекающих процессов (см. работы А. Е. Волкова [4], В. А. Лихачева [36], В. Г. Малинина [37], Г. А. Малыгина [41] A.A. Мовчана [42−46], А. И. Разова, К. Баттачарьи [131], К. Лекс-лен [117,118,134], К. Танаки, Д. Лагоудаса, Э. Патора (см. библиографию в [4]) и др.). Позволяя выявить важные особенности деформационных процессов, связанных с фазовыми превращениями, эти теории минуют этап явного рассмотрения межфазных границ, что, с одной стороны, избавляет от необходимости решения задач с неизвестными границами, но с другой — исключает из рассмотрения локальные поля напряжений и деформаций на межфазной границе и, собственно, двухфазную структуру, возникающую и развивающуюся по-разному на разных путях деформирования.

Второе направление основано на рассмотрении фазовых превращений с учетом условий равновесия на границе фаз деформированного материала, а также включает детальное описание возникающих под напряжением двухфазных структур. Это направление механики, зародившееся в начале 80-х годов, позволяет непротиворечиво описывать фазовые превращения с точки зрения механики деформируемого твердого тела и в то же время использовать многие идеи классической теории фазовых переходов, восходящей к работам Дж. Гиббса [10]. Значительный вклад в развитие этого направления внесли B.JI. Бердичевский [5,6], A.A. Вакуленко [8], С. Н. Гаврилов [98,99], М. А. Гринфельд [11−15], М. А. Гузев [16,17], В. А. Еремеев [18−20,86], Л. М. Зубов [21,22], В. И. Кондауров, JI.B. Никитин [30−32], Н. Ф. Морозов [49−53], В. Г. Осмоловский [55], Л. М. Трускиновский [61], А. Л. Ройтбурд [28,56−58], A.B. Фрейдин [54,77,94,136], А. Г. Хачатурян [68,108], К. Ватгачарья [85], М. Гартин [103], Р. Д. Джеймс [105,106], Дж. Ноулс [110−113], Р. Абейратне [71−75,125,126], Дж. Болл [81], Дж. Эриксен [87−90], Г. Пэри [124], М. Пит-тери [127−129], Э. Фрид [92] и др.

Данная работа выполнена в русле второго направления, которое естественным образом позволяет ставить следующие два основных вопроса теории фазовых переходов, вызванных деформационными воздействиями: когда и какие двухфазные структуры возникают в данном материале на данном пути деформирования и как материал переходит из одного фазового состояния в другое.

Ответ на первый вопрос связан с рассмотрением зарождения новой фазы, явным рассмотрением межфазных границ и построением в пространстве деформаций поверхностей прямого и обратного превращений. Ответ на второй вопрос подразумевает описание дальнейшего образования и развития областей новой фазы в зависимости от внешних деформаций, построение осредненных макродиаграмм деформирования и оценки локальных полей напряжений и деформаций. Настоящая работа посвящена решению задач, связанных с ответом на первый вопрос.

В диссертационной работе исследуются тела, состоящие из материалов, допускающих фазовое превращение в процессе деформирования. Граница фаз в таких телах рассматривается как поверхность разрыва деформаций при непрерывном поле перемещений. Для такого взгляда имеются как интуитивные, так и формальные основания.

Изменения структуры, вызванные фазовыми превращениями, приводят к изменению модулей упругости и собственным деформациям превращений в некоторых областях рассматриваемых тел. Поэтому область новой фазы с точки зрения расчета напряжений может быть рассмотрена как неоднородность, на границе которой поле деформаций претерпевает разрыв. Принципиальным отличием рассматриваемого двухфазного тела от композитного материала является то, что поверхности разрыва возникают и существуют только при определенных условиях. Это приводит к ограничениям на определяющие соотношения. Возникновение в упругом теле разрывного поля деформаций требует существования в пространстве деформаций областей неэллиптичности материала [110−112], в которых нарушается неравенство Адамара — необходимое условие устойчивости по отношению к бесконечно малым деформациям. Это ограничение на определяющие соотношения материала приводят к диаграммам деформирования, подобным кривым Ван-дер-Ваальса при фазовом превращении «газ — жидкость». В случае малых деформаций это означает необходимость невыпуклости зависимости плотности свободной энергии материала от тензора линейных деформаций. В диссертационной работе плотность свободной энергии материала, допускающего фазовые превращения, представляется набором квадратичных зависимостей.

На границе фаз в случае равновесия помимо обычных кинематического (сохранения сплошности) и силового (непрерывности усилия) ставится дополнительное термодинамическое условие — аналог равенства химических потенциалов при равновесии фаз в теории Гиббса. Термодинамическое условие является дополнительным ограничением на возможные разрывные решения. Оно обсуждалось в работах М. А. Гринфельда [11,15], J1.M. Зубова и В. А. Еремеева [21,22], Р. Джеймса [105], М. Гартина [103], Р. Фосдика [91], В. И. Кондаурова и JI.B. Никитина [30], В. Г. Осмоловского [55] и др. Именно это условие является ограничительным при определении формы границы фаз и соответствующих деформаций на границе.

Система условий равновесия на границе фаз может быть удовлетворена не при всех деформациях и не при всех ориентациях границы. Это обстоятельство привело к понятию зоны фазовых переходов, введенному А. Б. Фрейдиным и A.M. Чискисом [65,66], как области в пространстве деформаций, деформации из которой могут сосуществовать на равновесной границе фаз. Для случая малых деформаций зоны фазовых переходов были построены в работе [64].

Введенное понятие зоны фазовых переходов позволяет решать задачу о фазовом превращении полуобратным методом, который заключается в следующем. Предположим, что в теле возникает область новой фазы заданного типа геометрии. Тогда локальные поля деформаций на межфазной границе должны принадлежать зоне фазовых переходов. Это условие накладывает ограничения на внешние деформации, при которых заданная межфазная граница может существовать, и геометрические характеристики области новой фазы.

Система условий равновесия, включающая термодинамическое условие, является условием стационарности свободной энергии двухфазного тела, в то время как условием устойчивости является условие минимума свободной энергии. Это приводит к необходимости исследования устойчивости найденных полуобратным методом двухфазных конфигураций.

Ранее рассматривались различные вопросы, связанные с устойчивостью деформируемых тел при наличии фазовых превращений [15,18−21,23, 25,47,48,97,102]. Среди них отметим работы [24,25], в которых для случая малых деформаций сформулирована линеаризованная задача, описывающая бесконечно малые возмущения начального термодинамически равновесного двухфазного состояния. В качестве примера была исследована задача о неединственности и потере устойчивости центрально-симметричных равновесных двухфазных деформаций. В работе [97] для случая конечных деформаций была исследована устойчивость плоских межфазных границ при частном виде возмущений равновесных перемещений и положения межфазной границы. В недавней работе [102] выведены условия устойчивости при специальном типе возмущений межфазной границы, называемом игольчатым возмущением Вейерштрасса. Показано, что для устойчивости межфазных границ необходимо, чтобы поля деформаций по обе стороны межфазной границы принадлежали границе зоны фазовых переходов.

В результате использования полуобратного метода естественным образом вводятся поверхности возникновения областей новой фазы, которые состоят из всех внешних деформаций, при которых возможно существование равновесной межфазной границы заданного типа геометрии. Отметим, что поверхностям возникновения могут соответствовать как устойчивые, так и неустойчивые двухфазные конфигурации.

Известно, что поверхностями возникновения слоев новой фазы являются внешние границы зоны фазовых переходов [64]. В статье [34] была решена задача о возникновении эллипсоидальных областей новой фазы и построены поверхности их возникновения. В работе [67] замечено, что огибающая поверхностей возникновения слоев и эллипсоидов новой фазы разрывна. Этот факт ставит вопрос о возможности существования других типов межфазных границ. В диссертационной работе исследуются условия существования и устойчивости равновесных межфазных границ, при которых область новой фазы имеет форму эллиптического цилиндра. Это приводит к возможности построения непрерывной огибающей поверхностей возникновения областей новой фазы.

Огибающая областей возникновения слоев, цилиндров и эллипсоидов новой фазы могла бы рассматриваться как поверхность возникновения областей новой фазы. Но рассматриваемые условия на межфазной границе являются необходимым условием минимума функционала энергии Поэтому остается открытым вопрос о возможности существования областей новой фазы других типов геометрии, которые могут появиться до достижения построенных огибающих поверхностей возникновения слоев, цилиндров и эллипсоидов новой фазы.

Для ответа на поставленный вопрос в диссертационной работе рассматриваются достижимые нижние оценки свободной энергии двухфазного тела, то есть определяются двухфазные микроструктуры, обеспечивающие глобальный минимум энергии при заданных внешних (средних) деформациях и объемных долях фаз. Тогда предельной поверхности фазового превращения соответствуют внешние деформации, при которых двухфазная структура с бесконечно малой объемной долей одной из фаз минимизирует энергию по отношению ко всем остальным двухфазным и однофазным структурам. При достижении предельных поверхностей фазовых превращений на различных путях деформирования в теле впервые возможно фазовое превращение. Такая поверхность является аналогом предельной поверхности пластичности. Отметим, что в случае фазовых переходов имеются две предельных поверхности — для прямого и обратного превращений.

Независимо от рассмотрения фазовых превращений в механике композитных материалов ставилась задача построения композитов оптимальной структуры, то есть композитов, которые при заданных объемных долях компонент и заданных средних деформациях или напряжениях запасают минимальную или максимальную энергию. Для этого предложены и реализованы для частных случаев методы построения нижних оценок энергии (см. работы A.B. Черкаева [84], JI.B. Гибянского [9,100], Ю. Грабовского [101], В. В. Жикова [26], К. А. Лурье [40], Г. А. Серегина [59,132], Р. В. Кона [114,115], Г. В. Ми-лтона [123], JI. Тартара [135], К. Баттачарии [83], Р. Липтона [119,120], 3. Ха-шина и А. Штрикмана [104] и др.).

В диссертационной работе для нахождения нижних оценок энергии двухфазных материалов предлагается использовать метод построения и оценки квазивыпуклых функций плотности энергии материала [80,135], позволяющий оценить экстремальные эффективные свойства двухфазных материалов при заданных объемных долях фаз. Этот метод был использован в работе [9] для нахождения экстремальных свойств упругих пластин. В работе [100] были построены достижимые оценки для трехмерных композитов в случаях, когда одна из фаз или абсолютно жесткая, или имеет нулевые модули упругости. В работах [78,121] для двумерного случая была рассмотрена задача минимизации энергии и были получены достижимые оценки упругих характеристик двухфазного материала. В работах [114,132] рассмотрена минимизация энергии двухфазного материала с одинаковыми модулями упругости фаз, но с различными деформациями в ненапряженном состоянии. В статье [115] были построены двусторонние достижимые оценки энергии для случая несжимаемых фаз, отличающихся только модулем сдвига. Наконец, в монографиях [84,123] изложена общая теория построения трансляционных оценок.

Проведенные исследования оставили открытым вопрос о построении оценок энергии в трехмерном случае для произвольных упругих материалов. В работе [83] после обсуждения двумерного случая рассмотрено построение достижимых нижних оценок энергии для трехмерного случая материала с кубической симметрией. Однако в работе не была доказана достижимость нижних оценок при произвольном внешнем деформировании материала, что привело к потере одного типа оптимальных микроструктур.

В диссертационной работе для всех средних деформаций строятся достижимые нижние оценки свободной энергии двухфазных тел с заданными объемными долями изотропных фаз. Построенные нижние оценки энергии соответствуют глобальному минимуму энергии тела при заданных объемным долях фаз и внешних деформациях. Однако в задачах о фазовых превращениях объемные доли фаз не фиксируются, а изменяются в зависимости от внешних деформаций, минимизируя за счет этого свободную энергию тела. Поэтому для построения предельных поверхностей необходимо «разморозить» объемные доли фаз и провести дополнительную минимизацию построенных нижних оценок энергии по объемным долям фаз. Те деформации, которые соответствуют минимуму энергии при бесконечно малых объемных долях фаз, образуют в пространстве деформаций предельные поверхности фазовых превращений.

В связи с вышеизложенным целью диссертационной работы является нахождение достижимых нижних оценок энергии двухфазных композитных материалов и построение в пространстве деформаций предельных поверхностей фазовых превращений. Задачи работы а) Исследование условий существования и определение геометрических характеристик термодинамически равновесных областей новой фазы, имеющих форму эллиптических цилиндров. б) Исследование устойчивости равновесных цилиндрических межфазных границ. в) Построение достижимых нижних оценок свободной энергии двухфазных композитных материалов, образованных изотропными фазами с произвольными модулями упругости, при заданных объемных долях фаз и произвольных средних деформациях. г) Построение в пространстве деформаций предельных поверхностей фазовых превращений для материалов, допускающих фазовое превращение, и исследование двухфазных структур, соответствующих предельным поверхностям превращения.

Научную новизну диссертации представляют следующие положения, выносимые на защиту:. а) Впервые проведено полное исследование задачи о термодинамически равновесных цилиндрических областях новой фазы в упругом материале, претерпевающем при деформировании фазовое превращение. Найдены геометрические характеристики равновесных цилиндрических областей в зависимости от внешнего поля, и в пространстве деформаций построены поверхности их возникновения. Исследована устойчивость равновесных цилиндрических межфазных границ по отношению к возмущениям формы границы в зависимости от параметров материала, внешних деформаций и типа возмущений. б) Для произвольных деформированных состояний впервые построены достижимые нижние оценки энергии двухфазных композитных материалов, состоящих из изотропных фаз с заданными объемными долями и произвольными упругими модулями. в) Развита и реализована процедура построения в пространстве деформаций предельных поверхностей прямого и обратного фазовых превращений в случае изотропных фаз. Определены двухфазные микроструктуры, соответствующие предельным поверхностям превращения.

Научно-практическая значимость. Построение предельных поверхностей превращения дает возможность прогнозировать начало фазового превращения в зависимости от траектории деформирования и описать влияние вида деформированного состояния на геометрию зарождающихся двухфазных структур при прямом и обратном превращениях.

Нахождение достижимой нижней оценки энергии упругого двухфазного материала означает определение микроструктуры композитного материала, который при заданной внешней деформации имеет наименьшую жесткость. Этот результат полезен при проектировании конструкционных элементов, чувствительных к виду деформированного состояния.

Предложенный сценарий рассмотрения фазовых переходов может быть использован для дальнейшего развития теории, учитывающей анизотропию фаз и поверхностное натяжение, а полученные аналитические решения могут рассматриваться как тестовые при развитии численных процедур описания фазовых превращений в упругих телах.

В первой главе рассматривается термодинамически равновесный двухфазный материал с областью новой фазы, имеющей анизотропные упругие свойства, межфазная граница имеет форму эллиптического цилиндра. Доказывается теорема о свойствах тензора деформаций внутри области новой фазы. В случае изотропной новой фазы условие теоремы приводит к тому, что тензор деформаций в области новой фазы осесимметричный, причем ось симметрии совпадает с осью цилиндра, который в свою очередь соосен тензору внешних деформаций.

В случае изотропных фаз строятся поверхности возникновения цилиндрических областей новой фазы. Эти поверхности соотносятся с поверхностями возникновения эллипсоидов и слоев новой фазы, построенных ранее. Строится замкнутая огибающая поверхностей возникновения, соответствующая поверхности превращения. Показывается невыпуклость построенной поверхности.

Во второй главе исследуется устойчивость цилиндрических межфазных границ. Используется необходимое условие устойчивости всех локальных кусочно-постоянных полей деформаций. Выявляются неустойчивые решения задачи о равновесной цилиндрической межфазной границе. В частном случае двухосного деформированного состояния в зависимости от упругих параметров фаз показывается потеря устойчивости равновесной цилиндрической границы по отношению к возмущениям вдоль оси цилиндра при сохранении устойчивости по отношению к возмущениям в плоскости внешних деформаций.

В третьей главе при всех деформированных состояниях находятся достижимые нижние оценки свободной энергии двухфазных материалов с заданными объемными долями фаз. Рассматривается частный случай фаз с нулевыми коэффициентами Пуассона. Достижимость нижней оценки энергии показывается на классе слоев первого, второго и третьего рангов.

В четвертой главе полученный в предыдущей главе результат обобщается на случай изотропных фаз с произвольными упругими модулями и собственными деформациями в ненапряженном состоянии. На основе нижних оценок строятся предельные поверхности прямого и обратного превращений. Показывается выпуклость этих поверхностей, полученная за счет рассмотрения слоев второго ранга с нормалями, не совпадающими с главными направлениями тензора внешних деформаций. Отмечается эквивалентность слоев различных рангов и областей новой фазы в смысле совпадения их поверхностей возникновения. Так, слои третьего ранга эквивалентны эллипсоидам новой фазы. Слои второго ранга с нормалями, совпадающими с главными направлениями тензора внешних деформаций, эквивалентны цилиндрам новой фазы.

Поверхностям прямого и обратного превращений соответствуют различные двухфазные структуры. В одном том же материале прямое и обратное превращения могут проходить по различным механизмам. Например, при прямом превращении новая фаза может образовываться только в виде простых слоев, а при обратном возможно появление слоев различных рангов, цилиндрических и эллипсоидальных областей новой фазы.

Заключение

.

1) Для двухфазных композитных материалов при произвольных заданных средних деформациях и объемных долях изотропных фаз найдены нижние оценки свободной энергии. Показано, что эти оценки достигаются на микроструктурах, являющихся слоями первого, второго и третьего рангов. Определены параметры микроструктур.

2) В пространстве деформаций построены предельные поверхности прямого и обратного фазовых превращений, впервые позволившие предсказать, при каких деформациях в упругом материале может начаться фазовое превращение и какие микроструктуры соответствуют началу фазового превращения при различных деформированных состояниях. Показано, что в зависимости от знакоопределенности разности тензоров модулей упругости фаз предельная поверхность может быть замкнутой или разомкнутой. Показано, что микроструктуры, возникающие при прямом и обратном превращениях, В зависимости от параметров материала и пути деформирования совпадают или отличаются друг от друга.

3) Проведено полное исследование задачи о термодинамически равновесной цилиндрической области новой фазы в изотропном упругом материале, претерпевающем фазовое превращение. Определены зависимости направления оси и формы основания равновесного цилиндра от деформированного состояния. Исследована устойчивость равновесных цилиндрических областей и в пространстве деформаций построены поверхности их возникновения. Показано, что устойчивые цилиндрические области возникают при тех же деформациях, что и слои второго ранга, то есть являются энергетически эквивалентными слоям второго ранга.

4) Показано, что огибающая поверхностей возникновения равновесных слоев, цилиндров и эллипсоидов новой фазы только частично совпадает с предельной поверхностью фазового превращения. В области несовпадения деформациям на предельной поверхности превращения соответствуют микроструктуры, представляющие собой наклонные слои второго ранга.

Показать весь текст

Список литературы

  1. М.А. О построении предельной поверхности фазовых превращений при деформировании упругих тел // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.— 2011.— № 4.— Ч. 5.
  2. М.А., Черкаев A.B., Фрейдин А. Б. Оптимальные микроструктуры и точная нижняя граница энергии упругих композитов из двух изотропных фаз. Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физ.-мат. науки.- 2010 Вып. 3 — С. 112−122.
  3. М.А., Фрейдин А. Б. Равновесное цилиндрическое включение анизотропной новой фазы в изотропном упругом теле // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физ.-мат. науки.— 2010.— Вып. 4.— С. 37−44.
  4. С.П., Волков А. Е. и др. Материалы с эффектом памяти формы. /Под ред. В. А. Лихачева. СПб.: НИИХ СПбГУ, Т.1. 1997. с.424- Т. 2., 1998. с.374- Т. 3, 1998. с.474- Т. 4, 1998. с. 268.
  5. В. Л. Вариационные принципы механики сплошных сред — М.:Наука.— 1982 — 447 с.
  6. В. Л. Зародыши расплава в твердом теле // Докл. АН СССР.- 1983.- Т. 273.- № 1.- С. 80−84.
  7. B.C., Гарбер Р. И., Косевич A.M. Обратимая пластичность кристаллов.- М — 1991.- 280 с.
  8. A.A. О микро- и макрокинетике мартенситных превращений // Изв. РАН. МТТ.- 2001.- № 5.- С. 43−62
  9. Л.В., Черкаев A.B. Проектирование композитных пластин экстремальной прочности // Препринт ФТИ 914.— Л.— 1984.— 60 с.
  10. Дж. Термодинамика. Статистическая механика.— М.: Наука.— 1982.- 584 с.
  11. М.А. Об условиях термодинамического равновесия фаз нелинейно-упругого материала // Докл. АН СССР.— 1980.— Т. 251 — № 4.- С. 824−827.
  12. М.А. Асимптотика малой разности плотностей в проблеме когерентных фазовых превращений // ПММ.— 1985.— Т. 49.— Вып. 4.— С. 582−592.
  13. М.А. О гетерогенном равновесии нелинейно-упругих фаз и тензорах химического потенциала // Вопросы нелинейной механики сплошной среды. Таллин: Валгус.— 1985.— С. 33−47.
  14. М.А. Построение физически линейной теории когерентных переходов // Изв. АН СССР.— Механика тверд, тела.— 1986.— № 5.— С. 79−91.
  15. М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М.: Наука. 1990. 312 с.
  16. М.А. Условия на границе раздела фаз нелинейно-упругого материала в динамическом случае // ДАН — 2007 — Т. 416.— № 6 — С. 1−3.
  17. М.А. Структура тензора химического потенциала для двухфазной упругой среды в динамических условиях // ЖФХ.— 2005.— Т. 79.— № 9.- С. 1−5.
  18. В.А. Выпучивание нелинейноупругой плиты, лежащей на поверхности жидкости, с учетом фазового перехода // ПМТФ — 1991.— N 3.- С. 141−147
  19. В.А. О влиянии микроструктуры материала на потерю устойчивости двухфазных нелинейно-упругих тел // Фундамент, и прикл. проблемы деформируемых сред и конструкций. Труды межвузовской научной программы — Вып. 1.— 1993.— Н-Новгород.— С. 187−193.
  20. В.А. Равновесие и устойчивость микронеоднородных упругих тел, испытывающих фазовое превращение // Мат. моделирование, — 1997.- Т. 9.- № 2.- С. 66−69.*
  21. В.А., Зубов JI.M. Об устойчивости равновесия нелинейно-упругих тел, испытывающих фазовые превращения // Изв. РАН. МТТ.— 1991.- № 2.- С. 56−65
  22. В.А., Зубов JI.M. Условия фазового равновесия в нелинейно-упругих средах с микроструктурой // Доклады АН (Россия).— 1992.— Т. 322.- № 6.- С. 1052−1056.
  23. В.А., Фрейдип A.B., Шарипова J1.JI. О центрально-симметричных двухфазных полях деформаций // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Межвуз. сб-к к 70-летию акад. Морозова Н. Ф. СПб.: Изд-во СПб ун-та.- 2002.- С. 111−122.
  24. В.А., Фрейдин A.B., Шарипова JI.JI. О неединственности и устойчивости в задачах равновесия упругих двухфазных тел // Докл. РАН.- 2003.- Т. 391.- № 2. С. 189−193.
  25. В.А., Фрейдин A.B., Шарипова JI.JI. Об устойчивости равновесия двухфазных упругих тел // ПММ.— 2007 — Т. 71 — Вып. 1. С. 66−92.
  26. В.В. Об оценках для усредненной матрицы и усредненного тензора. Успехи мат. наук.- 1991.- Т. 46.- Вып. 3(279).- С. 49−107.
  27. Ф. Физика металлов — М.ЮГИЗ — 1995 — 364 с.
  28. И.М., Ройтбурд А. Л. Равновесие упруго взаимодействующих фаз // ЖЭТФ.- 1988.- Т. 94.- Вып. 6.- С. 156−173.
  29. Л., Коэн М. Термодинамика и кинетика мартенситных превращений. // Успехи физики металлов.— Т. 4.— М.:Металлургиздат.— 1961.- С. 192−289.
  30. В.И., Никитин Л. В. О фазовых переходах первого рода в нелинейно-упругих средах // Докл. АН СССР— 1982 — Т. 262 — № 6 — С. 1348−1351.
  31. В.И., Никитин Л. В. Фазовые переходы первого рода в упру-говязкопластической среде // Изв. АН СССР. МТТ— 1986 — № 4 — С. 130−139.
  32. В.И., Никитин Л. В. Термомеханика фазовых переходов в упруговязкопластической среде при конечных деформациях // Матем. методы мех. деформ. тверд, тела.— М.: Наука.— 1986.— С. 56−63.
  33. Дж. Теория превращений в металлах и сплавах.— М.: Мир.- 1979.- 806 с.
  34. Л.Б., Фрейдин A.B. Зародыши твердой фазы в деформируемом материале // ПММ — 1988.- Т. 52 Вып. 3 — С. 493−501.
  35. ИА., Соснина Э. Г. Эллипсоидальная неоднородность в упругой среде// Докл. АН СССР.- 1971.- Т. 199, — Ж 3.- С. 571−574. ПММА // ФТТ- 1961.- Т. 3.- N. 9.- С. 2672−2679.
  36. В.А., Кузьмин С. Л., Каменцева З. П. Эффект памяти формы.- Л.: Изд-во ЛГУ.- 1987.- 216 с.
  37. Лихачев В А., Малинин В. Г. Структурно-аналитическая теория прочности.- СПб.: Наука.- 1993 471 с.
  38. ВА., Эстрин Э. И. Изотермическое мартенситное превращение. // УФН- 2005 Т. 175.- Вып. 7.- С. 745−765.
  39. Лободюк В А., Эстрин Э. И. Мартенситные превращения. // Москва. Физматлит 2009 — 352 с.
  40. К .А., Федоров A.B., Черкаев A.B. Регуляризация оптимальных задач проектирования стержней и пластин и устранение противоречий в системе необходимых условий оптимальности // Препринт ФТИ 667. Л.- 1980.- 60 с.
  41. Г. А. Размытые мартенситные переходы и пластичность кристаллов с эффектом памти формы. Успехи физических наук.— 2001— Т. 171- № 2 С. 187−212.
  42. A.A. Микромеханический подход к описанию деформации мар-тенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. АН. Механика тверд, тела — 1995 — № 1.— С. 197−205.
  43. A.A. Аналитическое решение задач о прямом и обратном превращении для сплавов с памятью формы // Изв. РАН. МТТ — 1996— № 4.- С. 136−144.
  44. A.A. Некоторые проявления способности к ориентированному превращению для сплавов с памятью формы // Прикл. мех. и тех. физ.— 1996.- Т. 37.- № 6.- С. 181−189.
  45. A.A. Исследование эффектов связности в задачах изгиба балок из сплава с памятью формы // Прикл. мех. и тех. физ.— 1998.— Т. 39.— № 1.- С. 164−173.
  46. A.A. Учет переменности упругих модулей и влияния напряжений на фазовый состав в материалах с памятью формы // МТТ.— 1998 — № 1.- С. 70−90.
  47. A.A., Казарина С. А. Экспериментальные исследования явления потери устойчивости, вызванной термоупругими фазовым превращением под действием сжимающих напряжений // Пробл. машиностроения и надежности машин.— 2002.— № 6.— С. 82−89.
  48. A.A., Силтенко Л. Г. Устойчивость стержня, претерпевающего прямое или обратное мартенситное превращение под действием сжимающих напряжений // Прикл. мех. и тех. физ.— 2003.— Т. 44.— № 3.— С. 169−178.
  49. Н.Ф., Осмоловский В. Г. Уравнение колебания упругого тела, допускающего двухфазовое состояние // Изв. АН. Механика тверд, тела.- 1994, — № 1- С. 38−41.
  50. Н.Ф., Осмоловский В. Г. О постановке и теореме существования для вариационной задачи о фазовых переходах в механике сплошных сред // Прикл. мат. мех 1994 — Т. 58 — № 5 — С. 125−132.
  51. Н.Ф., Фрейдин A.B. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния// Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова — 1998 — Т. 223 С. 220−232.
  52. Н.Ф., Назыров И. Р., Фрейдин А. Б. Одномерная задача о фазовом превращении упругого шара // Докл. АН.— 1996.— Т. 346.— № 2.— С. 188−191.
  53. И.Р., Фрейдин А. Б. Фазовые превращения при деформировании твердых тел в модельной задаче об упругом шаре // Изв. РАН. МТТ.- 1998.- № 5.- С. 52−71.
  54. В.Г. Вариационная задача о фазовых переходах в механики сплошной среды. СПб: Изд-во СПб ун-та.— 2000.— 262с.
  55. А.Л. Теория формирования гетерофазноий структуры при фазовых превращениях в твердом состоянии // УФН.— 1974.— Т. ИЗ.— Вып. 1.- С. 105−128.
  56. А.Л. Современное состояние теории мартенситных превращений // Несовершенства кристалического строения и мартенситные превращения. М.: Наука.— 1972 — С. 7−32.
  57. А.Л., Эстрин Э. И. Мартенситные превращения. Итоги науки и техники. Металловедение и термообработка.— ВИНИТИ. М — 1968.
  58. Г. А. Вариационная задача о фазовом равновесии упругого тела // Алгебра и анализ 1998.- Т. 10.- Вып. 3.- С. 92−132.
  59. К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.Изд."Мир".— 1975.- 592 с.
  60. Л.М. Равновесные межфазные границы. // Докл. АН СССР.- 1982.- Т. 265.—№ 2.- С. 306−310.
  61. Ю.И., Пушкарев Б. Е. Упорядочение, расслоение и фазовые превращения в сплавах Fе-М // УФН.— 2006.— Т. 176.— Вып. 6.—1. С. 611−621.
  62. А.Б. Механика разрушения. Задача Эшелби.— Санкт-Петербург. Изд. Политехнического Университета.— 2010.— 238 с.
  63. А.Б., Чискис A.M. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих изотропных материалах. 4.1. Основные соотношения. // Изв. РАН. МТТ.- 1994.- № 4.- С. 91−109.
  64. А.Б., Чискис A.M. Зоны фазовых переходов в нелинейно-упругих изотропных материалах. 4.2. Несжимаемые материалы с потенциалом, зависящим только от одного из инвариантов тензора деформаций. // Изв. РАН. МТТ.- 1994.- № 5.- С. 46−58.
  65. А.Б., Шарипова JI.J1. Равновесные двухфазные деформации и зоны фазовых переходов в приближении малых деформаций. // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы механики сплошных сред.— 2003.— С. 291−298.
  66. А.Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.— М.: Наука. 1974.— 384 с.
  67. Дж. Континуальная теория дислокаций — М. Изд-во иностр. лит.- 1963.- 247 с.
  68. Abadiea J., Chailleta N., Lexcellent C. An integrated shape memory alloy micro-actuator controlled by thermoelectric effect // Sensors and Actuators A.- 2002.- Vol. 99.- P. 297−303.
  69. Abeyaratne R. Discontinuous deformation gradients in plane finite elastostatics of incompressible materials // J. of Elasticity.— 1980.— Vol. 10.- № 3.- P. 255−293.1. U'
  70. Abeyaratne R. Discontinuous deformation gradients in the finite twisting of an incompressible elastic tube // J. of Elasticity — 1981 — Vol. 11.— № 1.— P. 43−80.
  71. Abeyaratne R., Knowles J.K. Equilibrium shoks in plane deformation of incompressible elastic materials // J. of Elasticity.— 1989.— Vol. 22.— No. 2.- P. 193−200.
  72. Abeyaratne R., Knowles J.K. Kinetic relations and the propagation of phase boundaries in solids // Arch. Rational Mech. Anal — 1991 — Vol. 114(2).— P. 119−154.
  73. R. Abeyaratne, J. K. Knowles Evolution of phase transitions.— Cambridge University Press.— 2006.
  74. Antimonov M.A., Freidin A.B. Equilibrium cylindrical new phase inclusion // Proc. XXXVII Int. Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (APM 2009). St. Petersburg.- 2010.- P. 57−64.
  75. Antimonov M.A., Cherkaev A.V., Freidin A.B. On transformation surfaces construction for phase transitions in deformable solids // Proc. XXXVIII Int. Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (APM 2010). St. Petersburg 2010.- P. 23−29.
  76. Avellaneda M., Cherkaev A.V., Gibiansky L. V., Milton G. W., Rudelson M. A complete characterization of the possible bulk and shear moduli of planar polycrystals // Journal of the Mechanics and Physics of Solids.— 1996.— Vol. 44.- No. 7 P. 1179−1218.
  77. Ball J. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity 11 Arch. Rational Mech. Anal 1977.- Vol. 100.- P. 337−403.
  78. Ball J. M., Currie J. C., and Oliver P. J. Null-lagrangians, weak continuity, and variational problems of arbitrary order // Journal of Functional Analysis. Vol.- 1981- Vol. 41.- P. 4989−5003.
  79. Ball J.M., James R.D. Fine Mixtures as Minimizers of Energy // Arch. Rat. Mech. Anal. 1988. Vol. 100. No. 1. P. 13−52.
  80. Bhattacharya K., James R.D. The material is the machine // Science.— 2005.— Vol. 307.— P. 53−54.
  81. Chenchiah I. V., Bhattacharya K. The relaxation of two-well energies with possibility unequal moduli. // Archive for Rational Mechanics and Analysis.- 2008.- Vol. 187.- № 3.- P. 409−479.
  82. A. V. Cherkaev Variational methods for structural optimization — New York: Springer-Verlag.— 2000 546 p.
  83. Dondl P. W., Bhattacharya K. A Sharp Interface Model for the Propagation of Martensitic Phase Boundaries // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2010. 197 (2). P. 599−617.
  84. Eremeyev V.A., Pietraszkiewicz W. The nonlinear theory of elastic shells with phase transitions // J. Elasticity- 2004 Vol. 74 — № 1 — 67−86.
  85. Eriksen J.L. On the symmetry of deformable crystals // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1979.- Vol. 72.- № 1- P. 1−13.
  86. Eriksen J.L. Some phase transitions in crystals // Arch. Rat. Mech. Anal.— 1980.- Vol. 73, — № 2.- P. 99−124.
  87. Eriksen J.L. Stable equilibrium configurations of elastic crystals // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1986.- Vol. 94, — P. 1−14.
  88. Eriksen J.L. Twinning of crystals // Metastability and incompletely posed problems. Ed. S.S.Antman, J.L.Eriksen, D. Kinderleher, I.Muller. IMA Vol. Math. Appl.— 1987.- Vol. 3.- P. 77−93.
  89. Fosdick R. and Hertog B. The Maxwell relation and Eshelby’s conservation law for minimizers in elasticity theory //J. Elasticity.— 1989.— Vol. 22.— P. 193−200.
  90. Fried E., Gurtin M.E. Coherent solid-state phase transitions with atomic diffusion: a thermomechanical treatment // J. of Stat. Physics.— 1999.— Vol. 95, — № 5/6.- P. 1361−1427
  91. Freidin A.B.On new phase inclusions in elastic solids // ZAMM.— 2007 — Vol. 87.- № 2.- P. 102−116.
  92. Freidin A.B., Fu Y.B., Sharipova L.L., Vilchevskaya E.N. Spherically symmetric two-phase deformations ans phase transition zones // Int. J. Solids and Struct.- 2006.- Vol. 43.- P. 4484−4508.
  93. Freidin A.B., Sharipova L.L. On a model of heterogenous deformation of elastic bodies by the mechanism of multiple appearance of new phase layers. // Meccanica.- 2006.- Vol. 41.- P. 321−339.
  94. Freidin A.B., Vilchevskaya E.N. Multiple development of new phase inclusions in elastic solids. IJES.- 2009 — Vol. 47 — P. 240−260
  95. Fu Y.B., Freidin A.B. Characterization and stability of two-phase piecewise-homogeneous deformations// Proc. Roy. Soc. London. Ser. A.— 2004.— Vol. 460 P. 3065−3094.
  96. Gavrilov S.N. Dynamics of a free phase boundary in an infinite bar with variable cross-sectional area // ZAMM — 2007 — Vol. 87(2).— P. 117−127.
  97. Gavrilov S.N., Shishkina E. V. On stretching of a bar capable of undergoing phase transitions // Continuum Mechanics and Thermodynamics — 2010.— Vol. 22.- № 4.- P. 299−316.
  98. Grabovsky Yu., Kohn R. V. Microstructures minimizing the energy of a two phase elastic composite in two space dimensions. I: The confocal ellipse construction // J. Mech. Phys. Solids.- Vol. 43.- № 6.- 1995.- P. 933−947.
  99. Grabovsky Yu., Truskinovsky L. Roughening Instability of Broken Extremals. Archive for rational mechanics and analysis.— Vol. 200 — № 1.— P. 183−202.
  100. Gurtin M.E. Two-phase deformations of elastic solids // Arch. Rat. Mech. Analysis 1983.- Vol. 84.- № 1.- P. 1−29.
  101. Hashin Z, Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. Vol. 11, Issue 2. 1963. P. 127−140.
  102. James R.D. Finite deformation by mechanical twinning // Arch. Rat. Mech. Anal. 77 (1981) P. 143−177.
  103. James R.D. and Hane K.F. Martensitic transformations and shape-memory materials // Acta mater 48 (2000) P. 197−222.
  104. S. K. Kanaun, V. M. Levin. Self-consistent methods for composites, Static Problems. Vol. 1- Springer.- 2007.
  105. Ni Yong, Khachaturyan A.G. Mechanism and conditions of the chessboard structure formation // Acta Materialia 2008 — Vol. 56 — P. 4498−4509.
  106. Kienzler R., Herrmann G. Mechanics in Material Space with Application to Defect and Fracture Mechanics. Springer, Berlin, 2000.
  107. Knowles J.K., Sternberg E. On the ellipticity of the equation of nonlinear elastostatics for a special material // J. of Elasticity— 1975.— Vol. 5.— № 3−4.
  108. Knowles J.K., Sternberg E. On the failure of ellipticity of the equation for finite elastostatics plane strain // Arch. Rat. Mech. Anal.— 1977.— Vol. 63.— № 4.
  109. Knowles J.K., Sternberg E. On the failure of ellipticity and the emergence of discontinuous deformation gradients in plane finite elastostatics // J. of Elasticity.- 1980.- Vol. 10.- № 3.- P. 255−293.
  110. Knowles J.K. On the dissipation associated with equilibrium shocks in finite elasticity // J. of Elasticity- 1979 Vol. 9.- P. 131−158.
  111. R. V. Kohn. The relaxation of a double-well energy. // Continuum Mech. Thermodyn.- 1991- Vol. 3 P. 193−236.
  112. R.V. Kohn, R. Lipton. Optimal bounds for the effective energy of a mixture of isotropic, incompressible, elastic materials. // Archive for Rational Mechanics and Analysis 1988.— Vol. 102 — № 4 — P. 331−350.
  113. Kunin I.A. Elastic media with Microstructure II.— Verlag, Berlin, New York, etc.: Springer 1983 — 272 p.
  114. Lexcellent C., Schldmerkemper A. Comparison of several models for the determination of the phase transformation yield surface in shape-memory alloys with experimental data // Acta Materialia.— 2007.— Vol. 55.— P. 2995−3006.
  115. Lipton, R. On the effective elasticity of a two-dimensional homogenised incompressible elastic composite // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. Section A, Mathematical and Physical Sciences.— 1988.— Vol. 110(1−2).- P. 45−61.
  116. Lipton, R. Optimal bounds on effective elastic tensors for orthotropic composites // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences — 1994 444(1921).— P. 399−410.
  117. Maugin G. Material Inhomogeneities in Elasticity. Chapman&Hall, London. 1993.
  118. Milton G. W. The theory of composites. // Cambridge Monogr. Appl. Comput. Math.— 2004.— Vol. 6.— Cambridge University Press, Cambridge.— 719p.
  119. Parry G.P. On phase transitions involving internal strain // Int. J. Solids Structures.- 1981.- Vol. 17.- № 4.- P. 361−378
  120. Pettinger A., Abeyaratne R. On the nucleation and propagation of thermoelastic phase transformations in anti-plane shear. Parti. Couple-stress theory // Computational Mechanics — 2000.— Vol. 26 — P. 13−24.
  121. Pettinger A., Abeyaratne R. On the nucleation and propagation of thermoelastic phase transformations in anti-plane shear. Part2. Problems // Computational Mechanics 2000 — Vol. 26 — P. 25−38.
  122. Pitteri M. Reconciliation of local and global symmetries of crystals // Journal of Elasticity.- 1984.- Vol. 14.- № 2.- P. 175−190.
  123. Pitteri M. On the kinematics of mechanical twinning in crystals // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1985.- Vol. 88.- № 1.- P. 25−57.
  124. Roitburd A.L. Martensitic transformation as a typical phase transformation in solids // Solid state physics: advances in research and research and application. New York: Acad. Press.— 1978 — Vol. 33 — P. 317−390.
  125. Sadjadpour A., Bhattacharya K. A micromechanics inspired constitutive model for shape-memory alloys // Smart Materials and Structures.— 2007.— 16 (1).- P. 1751−1765.
  126. G.A. Seregin. The uniqueness of solutions of some variational problems of the theory of phase equilibrium in solid bodies. // J. Math. Sci — 1996 — Vol. 80.- № 6.- P. 2333−2348.
  127. Shilhavy M. The Mechanics and Thermodynamics of Continuous Media. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg — New York.— 1997.— 516 p.
  128. Taillard K., Blanc P., Calloch S., Lexcellent C. Phase transformation yield surface of anisotropic shape memory alloys // Materials Science and Engineering A.- 2006 Vol. 438−440.- P. 436−440.
  129. Tartar, L. Estimation fines des coefficients homogeneises, in P. Kree (ed.), E. De Giorgi colloquium (Paris, 1983), Pitman Publishing Ltd., London.— P. 168−187.
  130. Vilchevskaya E.N., Freidin A.B. Multiple Appearances of Ellipsoidal Nuclei of a New Phase // Doklady Physics.- 2006, — Vol. 51.- № 12-P. 692−696.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!