ΠΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
SHAPE * MERGEFORMAT ΠΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ w = z + c, Π³Π΄Π΅ Ρ — ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ). ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ z Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ w. ΠΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ z ΠΎΠ½Π° ΡΡΠ°Π²ΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΡ w = z + Ρ. ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ z ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ w ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π° (ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ°) Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ, Ρ. Π΅. ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠ£Π Π‘ΠΠΠ Π ΠΠΠΠ’Π.
Π½Π° ΡΠ΅ΠΌΡ:
ΠΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠ»Π°Π½ ΠΠΈΠ½ΠΈΠΊΠ½Π΅Π½Π½Ρ ΡΠ° ΡΠΎΠ·Π²ΠΈΡΠΎΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠΎΠ½ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΡΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΈΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Π΅ Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Ρ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Π° ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠ°ΡΡΠΎΡΡΠ²Π°Π½Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠΈΠ½ΠΈΠΊΠ½Π΅Π½Π½Ρ ΡΠ° ΡΠΎΠ·Π²ΠΈΡΠΎΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
«ΠΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Π²ΠΎΠ»ΠΈ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°, ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΈ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½Π° Π²ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ°Ρ , ΠΈ Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·Π° ΠΎΡ ΠΈΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅».
Π€. ΠΠ»Π΅ΠΉΠ½.
ΠΡΠ΅Π²Π½Π΅Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠΈΡΠ°Π»ΠΈ «Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠΈΠΌΠΈ» ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠΎΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π»ΠΎΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
. ΠΠ°ΡΡΠ΄Ρ Ρ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ — ΡΠΈΡΠ»Π°, ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΄ΠΎΠ»Π΅ΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ. Π ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ°Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π° Π΄Π²Π΅ ΡΡΡΡΡΠΈ Π»Π΅Ρ Π΄ΠΎ Π½. Ρ. Π² Π΄ΡΠ΅Π²Π½Π΅ΠΌ ΠΠ³ΠΈΠΏΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΡΠ΅Π²Π½Π΅ΠΌ ΠΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠ½Π΅. ΠΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΈΠ»ΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ. ΠΡΠ΅Π²Π½Π΅Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΈΠ»ΠΎΡΠΎΡ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡ ΡΡΠΈΠ», ΡΡΠΎ «…ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΠΉ ΠΈ Π²Π΅ΡΡ ΠΌΠΈΡ Π² ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³Π°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ. Π‘ΠΈΠ»ΡΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠΉ ΡΠ΄Π°Ρ ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π·Π³Π»ΡΠ΄Ρ Π±ΡΠ» Π½Π°Π½Π΅ΡΠ΅Π½ ΠΎΡΠΊΡΡΡΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π². ΠΠ½ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», ΡΡΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° Π½Π΅ΡΠΎΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌΠ° ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΠΉ. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ, Π΄Π»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ΠΎΠΉ 1. ΠΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠΊΡΡΡΠΈΡ Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ° ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ: ΠΎΡΠΊΡΡΡΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠΎΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΡΡΠ°, Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π΅Π³Π°Ρ ΠΊ Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π±ΡΠ»ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.
.
Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ; ΡΠΎΡΠ½Π΅Π΅: Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π±ΡΠΊΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ a, b, c, d, e Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΡΡΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ (ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ).
Π 1830 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΠΠ°Π»ΡΠ° (Π€ΡΠ°Π½ΡΠΈΡ) Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», ΡΡΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΌ 4, Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ n-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ (Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°) n ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ (ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅). Π ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠ±Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½Ρ Π΅ΡΠ΅ Π² XVII Π²Π΅ΠΊΠ΅ (ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°Π·Π±ΠΎΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π²), Π½ΠΎ Π»ΠΈΡΡ Π½Π° ΡΡΠ±Π΅ΠΆΠ΅ XVIII ΠΈ XIX Π²Π΅ΠΊΠΎΠ² ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π±ΡΠ»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΠΠ°ΡΡΡΠΎΠΌ.
(ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ). ΠΡΠΎΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» Π²ΠΎΡΠ΅Π» Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ Π. ΠΠ°ΡΡΡΡ. Π’Π΅ΡΠΌΠΈΠ½ «ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°» ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π±ΡΠ» Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ ΠΠ°ΡΡΡΠΎΠΌ Π² 1831 Π³ΠΎΠ΄Ρ. Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ (ΠΎΡ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ complexus) ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠ²ΡΠ·Ρ, ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ², ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ. Π΄. ΠΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅.
Π ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ XVII Π²Π΅ΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π»ΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΡΠΎΠ΄Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π°ΡΡ ΠΈΠΌ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.
. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ sin ΠΈ cos ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ.
Π ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ XVIII Π²Π΅ΠΊΠ° ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ·ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ Π. ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆ ΡΠΌΠΎΠ³ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΡΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π·Π°ΡΡΡΠ΄Π½ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π°ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π² ΡΠΎΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π»ΡΡΡΠ΅ΠΉΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Π΅. ΠΡΠ΅ ΡΠ°Π½ΡΡΠ΅ ΡΠ²Π΅ΠΉΡΠ°ΡΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ Π―. ΠΠ΅ΡΠ½ΡΠ»Π»ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ» ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΠΎΠ².
Π₯ΠΎΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ XVIII Π²Π΅ΠΊΠ° Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ, Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ, Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠΈ Ρ. Π΄., ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠΎ ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ·ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΡΠ΅Π½ΡΠΉ Π. ΠΠ°ΠΏΠ»Π°Ρ ΡΡΠΈΡΠ°Π», ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», — ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠΈΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠ΅Π΅ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠΈΡ ΠΈΡΡΠΈΠ½ Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ.
«ΠΠΈΠΊΡΠΎ Π²Π΅Π΄Ρ Π½Π΅ ΡΠΎΠΌΠ½Π΅Π²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΡ Ρ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ, Ρ ΠΎΡΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΈΠ΅ΡΠΎΠ³Π»ΠΈΡΡ Π½Π΅Π»Π΅ΠΏΡΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²» Π. ΠΠ°ΡΠ½ΠΎ.
(ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°).
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΎΠ»ΠΊΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ.
Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ: ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠΏΡΡΠ³ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠ» Π² 1843 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΡΠ»Π°Π½Π΄ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ Π£. ΠΠ°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½Π°Π·Π²Π°Π» ΠΈΡ «ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ».
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π½Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π½ΡΠ΅ Π. Π. ΠΡΡΡ Π΅Π»ΠΈΡΠ²ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΡ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΊ ΡΠΏΡΡΠ³ΠΎΡΡΠΈ, Π. Π. ΠΠ΅Π»Π΄ΡΡ ΠΈ Π. Π. ΠΠ°Π²ΡΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π² — ΠΊ Π°ΡΡΠΎΠΈ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅, Π. Π. ΠΠΎΠ³ΠΎΠΌΠΎΠ»ΠΎΠ² ΠΈ Π. Π‘. ΠΠ»Π°Π΄ΠΈΠΌΠΈΡΠΎΠ² — ΠΊ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π½ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»Ρ.
ΠΠΎΠ½ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
«ΠΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠΎΠΌΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π²ΡΠ΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ , Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΠΎΠΉ, Π° ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΠΉ b, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π² ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ a+ib».
ΠΠ°ΡΡΡ Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ Π°, b, Ρ, …, Π° ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» — Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ x03B1, x03B2, x03B3, … ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ x03B1=(a, b), x03B2 =(c, d) ΠΈ Ρ. Π΄. Π’Π°ΠΊΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» (a, b) Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». Π‘ΡΠΌΠΌΠΎΠΉ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ x03B1= (Π°, b) ΠΈ x03B2 = (Ρ, d) Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ x03B3 = (a+c, b+d):
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (1).
Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ — ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ x03B4 = (Π°Ρ — bd, ad + bc):
(a, b)(c, d) = (ac — bd, ad + bc). (2).
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ.
ΠΠ»Ρ ΡΡΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ — Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ). Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡΡ x03B1 — x03B2 Π΄Π²ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ x03B1 = (a, b) ΠΈ x03B2 = (Ρ, d) Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ (Ρ , y), Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ (Ρ, d) + (x, y) = (a, b). ΠΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (1), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Ρ + Ρ = a, d + y = b, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° x = Π° — c, y = b — d. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡΡ x03B1 — x03B2 ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ x03B1 = (Π°, b) ΠΈ x03B2 = (Ρ, d) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ° (Π° — c, b — d):
(a, b) — (c, d) = (a — c, b — d). (3).
ΠΡΠ»Π΅ΠΌ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ° 0 = (0, 0). Π£ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΡ x03B1 = (Π°, b) Π±ΡΠ΄Π΅Ρ, ΠΏΠ°ΡΠ° — x03B1 = (-Π°, -b), ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ x03B1 + (-x03B1) = (Π°, b) + (-Π°, -b) = (0,0) = 0.
0 (Ρ. Π΅. Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ΅Π» Ρ, d ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ° (x, y) ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ, ΡΡΠΎ (Ρ, d) (x, y) = (Π°, b). ΠΡΡΡΠ΄Π° Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (2) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ cx — dy = a, cy — dx = b. ΠΠ· ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ x ΠΈ y:
.
0, ΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ x03B1/x03B2 Π΄Π²ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ x03B1 = (Π°, b), x03B2 = (Ρ, d) ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ:
. (4).
0 ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠΎΠΉ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ x03B2, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°.
.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΈΡΠ΅Π», Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ (1) — (4). ΠΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° (a, 0). ΠΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ΅ (a, 0) ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π°, Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π²ΡΠ΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΊ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΌ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (1) ΠΈ (2), Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ;
(Π°, 0) + (b, 0) = (Π° + b, 0); (Π°, 0) (b, 0) = (ab, 0).
ΠΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° (Π°, 0) ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΏΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ Π½Π΅ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΡΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ.
(Π°, 0) = Π°, (5).
Ρ. Π΅. Π½Π΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ (a, 0) Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ a. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π½ΡΠ»Ρ (0, 0) ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ° (1, 0) ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ 0 ΠΈ 1.
+ 1 = 0 ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ —1. ΠΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠΎΠΉ (0, 1). Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (2), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ.
(0, 1) (0, 1) = (-1, 0) = -1.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· i, Ρ. Π΅. i = (0, 1), ΡΠΎΠ³Π΄Π°.
(6).
ΡΠΈΡΠ»ΠΎ x03AF Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ΠΉ.
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° b Π½Π° ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°ΡΡ (0, 1) = x03AF — ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ:
bi = (b, 0)(0, 1) = (0, b), ib = (0, 1)(b, 0) = (0, b). (7).
ΠΡΠ»ΠΈ (Π°, b) — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°, ΡΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (Π°, b) = (a, 0) + (0, b) ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» (5), (7) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ.
(a, b) = a + bi. (8).
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ x03B1 = (a, b) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ a + bi = a + ib, Π³Π΄Π΅ a ΠΈ b — Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, x03AF — ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ°, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (6). ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ a + bi Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ a Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠΈΡΠ»ΠΎ b — ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° a + bi. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ a + bi ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ x03B1, ΠΏΠΈΡΡΡ:
a = Rex03B1, b = Imx03B1,.
Π³Π΄Π΅ Re — Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π±ΡΠΊΠ²Ρ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° realis (Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ), Im — Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π±ΡΠΊΠ²Ρ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° imaginarius (Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΠΉ). ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅: a = R (x03B1), b = I (x03B1), Π³Π΄Π΅ (a, b) = a + bi. Π§ΠΈΡΠ»Π° Π²ΠΈΠ΄Π° bi Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΈ.
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ a + bi ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°, Π° = 0, b = 0:
. (9).
ΠΠ²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° a + bi ΠΈ c + di ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ, Ρ. Π΅. a = Ρ, b = d:
. (10).
.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ 3 + 5i ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΡΠ½Π½ΡΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ 3 — 5i ;
ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ 4 — 7i ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΡΠ½Π½ΡΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ 4 + 7i .
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° x03B1 = a + bi ΠΈ x03B2 = c + di, ΡΠΎ.
x03B1 + x03B2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i,.
x03B1 — x03B2 = (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d) i. (11).
ΠΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» (ΡΠΌ. ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (1) ΠΈ (3)). ΠΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»: ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ; ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ.
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ — x03B1 = - a — bi Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Ρ x03B1 = a + bi. Π‘ΡΠΌΠΌΠ° Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ: — x03B1 + x03B1 = (- a — bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.
ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ (6), Ρ. Π΅. ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ i2 = -1. Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc) i — bd, Ρ. Π΅.
(a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + bc) i. (12).
ΠΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (2), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ»ΠΎΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
= (a + bi) + (a — bi) = (a + a) + (b — b) i = 2a, Ρ. Π΅.
= a2 + b2. (13).
R. ΠΡΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° x03B1 = a + bi, x03B2 = c + di, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ x03B2 x2260 0, Ρ. Π΅. c2 + d2 x2260 0. ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ c ΠΈ d ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π² Π½ΡΠ»Ρ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ (ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ = 0, d = 0). ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (12) ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² (13), Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ:
(14).
ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (4).
Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° x03B2 = Ρ + di ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΅ΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ x03B2−1 = 1/x03B2. ΠΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (14) Π° = 1, b = 0, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ.
.
ΠΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ; ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) — (3 + 8i) = 3 — 3i;
(5 — 4i)(8 — 9i) = 4 — 77i;
.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΠ»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» x03B1 = a + bi, x03B2 = Ρ + di, x03B3 = e + fi Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
1) x03B1 + x03B2 = x03B2 + x03B1 — ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ (ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅) ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ;
2) (x03B1 + x03B2) + x03B3 = x03B1 + (x03B2 + x03B3) — ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ (Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅) ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ;
3) x03B1x03B2 = x03B2x03B1 — ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ (ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅) ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ;
4) (x03B1x03B2)x03B3 = x03B1(x03B2x03B3) — ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ (Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅) ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ;
5) (x03B1 + x03B2) x03B3 = x03B1x03B3 + x03B2x03B3 — ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ (Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅) ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ². ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ.
x03B1 + x03B2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i,.
x03B2 + x03B1 = (c + di) + (a + bi) = (c + a) + (d + b) i = (a + c) + (b + d) i = x03B1 + x03B2,.
ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ + a = a + Ρ, d + b = b + d, Ρ. Π΅. Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ (ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅) ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°Π»Π΅Π΅,.
x03B1x03B2 = (a + bi)(c + di) = aΡ + adi + bci + bdi2 = (ac — bd) + (ad + bc) i,.
x03B2x03B1 = (c + di) (a + bi) = Ρa + cbi + dai + dbi2 = (ca — db) + (cb + da) i = (ac — bd) + (ad + bc) i = x03B1x03B2,.
ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ac = ca, bd = db, Ρ. Π΅. Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ (ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅) ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
ΠΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°:
.
Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡΡΡΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ.
.
Π ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ i ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΡΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ i2 = - 1, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ i3 = i2 x2219 i = -1×2219 i = - i, i4 = i3 x2219 i = -i x2219 i = -i2 = 1, i5 = i4 x2219 i = i, i6 = i5 x2219 i = i2 = -1, i7 = i6 x2219 i = -i, i8 = i7 x2219i = - i2 = 1 ΠΈ Ρ. Π΄. Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
i4k = 1, i4k+1 = i, i4k+2 = -1, i4k+3 = - i (k = 0, 1, 2, …).
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: (3 + 4i)2 = 32 + 2×2219 3×2219 4i + (4i)2 = 9 + 24i + 16i2 = 9 + 24i — 16 = -7 + 24i;
(1 + i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = 1 + 3i — 3 — i = - 2 + 2i.
ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° a + bi. ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· u + vi, Ρ. Π΅.
.
ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
u2 + 2uvi + v2i2 = a + bi, u2 — v2 + 2uvi = a + bi.
Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» (ΡΠΌ. (10)), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ.
u2 — v2 = a, 2uv = b. (15).
ΠΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ², ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈΡ , ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ:
.
ΠΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ (15) Π΄Π°ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ u2 ΠΈ v2 :
. (16).
ΠΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄Π²Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ u, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ, Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ Π΄Π²Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ v. ΠΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΡΡ a ΠΈ b.
.
ΠΠ½Π°ΠΊΠΈ u ΠΈ v ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ»ΠΎΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² (15). ΠΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ Π΄Π²Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ u ΠΈ v, Ρ. Π΅. Π΄Π²Π° ΡΠΈΡΠ»Π° u1 + v1i, u2 + v2i, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ Π΄Π²Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³Π° ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΏΡΡΡΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° 3 — 4i, Ρ. Π΅. Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ u + vi ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ (u + vi)2 = 3 — 4i. Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ a = 3, b = -4, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (16) ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π²ΠΈΠ΄.
.
ΠΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² (15) Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ: 2uv = - 4, uv =-2; ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ u ΠΈ v ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ u2 = 4, v2 = 1, ΡΠΎ Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° uv = -2 Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ u1 = 2, v1 = -1, u2 = -2, v2 = 1, Ρ. Π΅. 2 — i ΠΈ -2 + i — Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° 3 — 4i.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° x03B1 ΠΈ -x03B1 ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ z ΠΈ ΠΏΠΈΡΡΡ z = x + iy, Π³Π΄Π΅ x — Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ (x = Rez), y — ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ (y = Imz).
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· |z|. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
0. (17).
(ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ: 0 (0, 0) ΠΈ z (x, y)), ΡΠΎ.
. (18).
ΠΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z = x + iy ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΅Π³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (18) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ»: ΠΎΠ½Π° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π³ΠΈΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ·Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ |Ρ | ΠΈ |y| (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 2).
ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ.
0 ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ —x03C0, +x03C0, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ³ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ argz. ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ:
2, …).
ΠΠ»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 0, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°Π²Π½ΠΎ x03C0, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° bi (b > 0) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ x03C0/2, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° -bi (b > 0) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ -x03C0/2.
ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z = x + iy ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ. ΠΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° z ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z = x + iy (ΡΠΈΡ. 2). ΠΠ· ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠAz ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ.
x = r cosx03C6, y = r sinx03C6, (19).
Π³Π΄Π΅ r = |z|. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ» (17), (18) ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ:
.
. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ.
2, …);
ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ Π² III ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ.
2, …).
Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
z = x + iy. (20).
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΡΠ΄Π° Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ x ΠΈ y ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° (ΡΠΌ. ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (19)), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ z = r cosx03C6 + ir sinx03C6, ΠΈΠ»ΠΈ.
0). (21).
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (21) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ Π²ΡΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° x03AF Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅.
).
Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ ΡΠΈΡΠ»Π° i: Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Ρ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ° ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ, Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌ — ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° i ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° x03C0/2 + 2kx03C0 (k = 0, ±1, ±2, …) ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ, ΠΈ |i| = 1, ΡΠΎ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΡΠΈΡΠ»Π° i ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄.
+ 2kx03C0) (k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ).
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ.
r (cosx03C6 + isinx03C6) = r (cos (x03C6 +2kx03C0) + isin (x03C6 +2kx03C0)).
ΠΠ²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅, ΡΠ°Π²Π½Ρ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ, Π° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΡ 2×03C0. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ.
r1 (cosx03C61 + isinx03C61) = r2 (cosx03C62 + isinx03C62), (22).
ΡΠΎ.
r1 = r2, x03C62 = x03C61 + 2kx03C0 (k = 0, ±1, ±2, …). (23).
= x — iy Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
= r (cos (-x03C6) + isin (-x03C6)),.
ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ.
.
Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, Π° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 2).
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅. ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π°.
z1 = r (cosx03C6 + isinx03C6), z2 = x03C1 (cosx03C8 + isinx03C8), (24).
Π³Π΄Π΅ r = |z1|, x03C6 = Argz1, x03C1 = |z2|, x03C8 = Argz2.
ΠΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ.
z1z2 = r (cosx03C6 + isinx03C6) x03C1(cosx03C8 + isinx03C8) = rx03C1(cosx03C6cosx03C8 + icosx03C6sinx03C8 + isinx03C6cosx03C8 + i2sinx03C6sinx03C8) = rx03C1(cosx03C6cosx03C8 — sinx03C6sinx03C8) + i (cosx03C6sinx03C8 + sinx03C6cosx03C8)),.
ΠΈΠ»ΠΈ.
z1z2 = rx03C1 (cos (x03C6 + x03C8) + isin (x03C6 + x03C8)). (25).
ΠΠ· ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ.
|z1z2| = rx03C1 ΠΈΠ»ΠΈ |z1z2| = |z1| |z2|, (x03C6 + x03C8) = Arg (z1z2),.
Ρ. Π΅. ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ, Π° ΡΡΠΌΠΌΠ° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
0, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» z1 ΠΈ z2, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ (24):
ΠΈΠ»ΠΈ.
. (26).
ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (26) ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ.
; (27).
. (28).
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (27) ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (28) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (26) ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ. ΠΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ z1 = l = l (cos0 + isin0), z2 = z = r (cosx03C6 + isinx03C6), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ.
(cos (0-x03C6) + isin (0-x03C6)),.
z-1 = r-1 (cos (-x03C6) + isin (-x03C6)), (29).
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° |z-1| = r-1, argz-1 = -x03C6, Ρ. Π΅.
|z-1| = |z|-1, argz-1 = -argz.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z-1, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Ρ z, ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° z, Π° Π΅Π³ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° z Π»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z = r (cos x03C6 + isin x03C6), Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ n — ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (25) ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
zn = (r (cosx03C6 + isinx03C6))n = rn (cosnx03C6 + isinnx03C6), (30).
ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° |zn| = rn, Arg zn = nx03C6.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΡ ΠΆΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ, Π° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (30) ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π° ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ. Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ z-n = (z-1)n, ΡΠΎ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (30) ΠΊ ΡΠΈΡΠ»Ρ z-1, ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ (29).
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (30) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΠΡΠ°Π²ΡΠ°. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΏΡΠΈ r = 1, ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ.
(cos x03C6 + isin x03C6) n = cos nx03C6 + isin nx03C6.
Ρ;
ΠΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ n-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°.
ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
.
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (30), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ.
.
ΠΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» (22) ΠΈ (23) ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ.
x03C1n = r, nx03C8 = x03C6 + 2kx03C0 (k = 0, ± 1, ± 2, …), ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π°.
(k = 0, ± 1, ± 2, …). (31).
ΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΡΠ΅Π»ΠΎΠΌ k, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ, n-Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠΈΡΠ»Ρ z = r (cosx03C6 + isinx03C6). ΠΡΠ°ΠΊ,.
(32).
— Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ k ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ (ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅), ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ n-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ n. ΠΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ.
k = 0, 1, 2, …, n — 1, (33).
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ n Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ:
.
.
(34).
…
.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ x03B1i (i = 0, 1, …, n — 1) Π½Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ. ΠΡΡΡΡ p ΠΈ q — Π»ΡΠ±ΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ΅Π» k = 0, 1, 2, …, n — 1, ΡΠΎΠ³Π΄Π°.
.
2x03C0 Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ 2×03C0. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°.
.
Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ 2×03C0 (ΡΠΌ. (22) ΠΈ (23)).
Ρ. Π΅. Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ k ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΏΡΠΈ k = r Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ 2×03C0. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ k ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡΠΈ k = r, Ρ. Π΅. ΠΏΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ k=0, 1, 2, …, n — 1.
Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΡΡ ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ Π½Π° n ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ.
.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ n-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ»Π° 1. ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ 1=cos0+isin0 ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (34), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ n Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ:
k = 0, 1, 2, …, n — 1. (35).
ΠΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ n-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π½Π° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° R = 1 ΠΈ Π΄Π΅Π»ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π΅Π΅ Π½Π° n ΡΠ°Π²Π½ΡΡ Π΄ΡΠ³. ΠΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ°Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 1.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΡΠ΅ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ. ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (35), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄.
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5,.
ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ:
ΠΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΠΈΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ (ΡΠΈΡ. 3).
ΠΠ΄Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°?
Π ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΡ Π»Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅, Π° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΠ°ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ΅Π» ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ: ΠΏΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ n ΡΠΈΡΠΊΡΠ»Π΅ΠΌ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ n-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ? ΠΠ· ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΈΡΠΊΡΠ»Π΅ΠΌ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ: ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΡΡΠΈΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ (Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ). ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΈΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΡΡΠ½Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠΠ°ΡΡΠΈΠ²ΡΠΈΡΡ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΈ, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½: Π²ΠΎΡΡΠΌΠΈΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π΄Π΅ΡΡΡΠΈΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Ρ. ΠΏ. ΠΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½Π° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½Ρ Π΅ΡΠ΅ Π² ΠΡΠ΅Π²Π½Π΅ΠΉ ΠΡΠ΅ΡΠΈΠΈ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π½Π΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° ΠΎΠ³ΡΠΎΠΌΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π΄ΡΠ΅Π²Π½Π΅Π³ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π½ΡΡ , Π½ΠΈΠΊΠΎΠΌΡ Π½Π΅ ΡΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π½ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅ΠΌΠΈΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ, Π½ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ Π΄Π΅Π²ΡΡΠΈΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ. ΠΠ΅ ΡΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ Ρ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ p = 3 ΠΈ p = 5. ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΡΡΡ Π»Π΅Ρ Π½ΠΈΠΊΡΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ ΠΏΡΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ. Π 1796 Π³. ΠΠ°ΡΠ» Π€ΡΠΈΠ΄ΡΠΈΡ ΠΠ°ΡΡΡ, 19-Π»Π΅ΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½Ρ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΠ΅ΡΡΠΈΠ½Π³Π΅Π½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠ°, Π²ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΠΌΠ½Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠΊΡΠ»Ρ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ. ΠΡΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΌΡΡ ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΊΡΡΡΠΈΠΉ Π² ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ. Π ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π»Π΅Ρ ΠΠ°ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΠ» ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΡ n-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
+ 1 Β· ΠΡΠΈ n = 0, 1, 2, 3, 4 ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ, ΠΏΡΠΈ n = 5 ΡΠΈΡΠ»ΠΎ F5 Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ. ΠΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ° ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈ N = 7, 9, 11, 13.
ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ n-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½Π° Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° R = 1 Π½Π° n ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ. ΠΡΡΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ n-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ n Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ; ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ (Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π΄Π²ΡΡ ) ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ. Π’ΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ n-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ, ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° R = 1 ΠΈ Π΄Π΅Π»ΡΡ Π΅Π΅ Π½Π° n ΡΠ°Π²Π½ΡΡ Π΄ΡΠ³, Ρ. Π΅. ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ n-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π²ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² ΡΡΡ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 3). ΠΡΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ 17-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠ°ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ 17-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ.
— ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ°. ΠΠ°ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Oxy (ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ z), O «uv (ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ w) Ρ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π½Π° Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π½Π° ΡΡΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ : D ΠΈ D «ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ (ΡΠΈΡ. 4).
D ", ΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ w Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ z ΠΈ ΠΏΠΈΡΡΡ: w = f (z). ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ D Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ w = f (z), Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ D ". ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ f (z) ΠΈΡΡΠ΅ΡΠΏΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ D ", ΡΠΎ D «Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ (ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (z). B ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΠΈΡΡΡ: D «= f (D). ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° D ΠΈ D «ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ² D ΠΈ D «ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅. ΠΠ»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Π½Π°ΡΠΊΠ°Ρ , ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π°ΡΡΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Ρ ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ Π³Π°Π·Π°).
Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ Π²Π°ΠΆΠ½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°: ΠΡΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Ρ Π»ΡΠ±ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ, Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΉ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n (n x2265 1):
f (x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an. (36).
ΠΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Ρ (Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅: Ρ = a + bi), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Π² Π½ΡΠ»Ρ:
a0cn + a1cn-1 + … + an-1c + an x2261 0.
ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ n-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ (n x2265 1).
a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0 37).
ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ.
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ n-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΠ²Π½ΠΎ n ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ f (Ρ ) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ x03B11, ΡΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ f (Ρ ) = (Ρ — x03B11) x03C61(x), Π³Π΄Π΅ x03C61(x) — ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n — 1. ΠΡΠΎΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° x03C61(x) ΡΠ΅ΡΠ΅Π· x03B12, ΡΠΎΠ³Π΄Π° x03C61(x) = (Ρ — x03B12) x03C62(x), Π³Π΄Π΅ x03C62(x) — ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n — 2. ΠΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ f (x) = a0(x — a1)(x — a2)…(x — an). ΠΡΡΡΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ f (x03B1i) = 0 ΠΏΡΠΈ i — 1, 2, …, n, Ρ. Π΅. x03B1i — ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° (36) ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (37). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (37) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ n ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ.
ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Π²ΡΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Ρ: Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ = a — bi — ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ Ρ = Π°-bi — ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Π° Π²Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ Π²ΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠ°Π½ΡΡΠ΅Π½Π΄Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ΅ (Π½Π΅Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅) ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°x = 0 (Π° > 0) Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ (Π½ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ , Π½ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ).
SHAPE * MERGEFORMAT ΠΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ w = z + c, Π³Π΄Π΅ Ρ — ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ (ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ). ΠΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ z Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ w. ΠΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ z ΠΎΠ½Π° ΡΡΠ°Π²ΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΡ w = z + Ρ. ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ z ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ w ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π° (ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠ°) Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ, Ρ. Π΅. ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ z ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Ρ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (ΡΠΈΡ. 5). ΠΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° ΡΠΈΡΠ»Π° Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΡ z Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡΠΈ Ox Π½Π° Π΄Π²Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ, ΡΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ Π²Π·ΡΡΡ Ρ = 2; ΡΠΎΡΠΊΠ° w = z + 2 Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ (ΡΠΈΡ. 6). ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΡ z Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡΡ Π² ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡΠΈ Oy Π½Π° ΡΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ, ΡΠΎ Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌ c = -3i; ΡΠΎΡΠΊΠ° w «= z + (-3i) = z — 3i Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠΉ (ΡΠΈΡ. 6). ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ w = z + c ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ (ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅) ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³ΠΎΠΌ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π»ΡΠ±ΡΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΌΠΈΡΡ Π² ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΈΠ³ΡΡΠ΅, Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. (ΠΠΎΠ΄ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠΈΠΌΠΈΡΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊ ΡΡΠΈΠΌ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌ, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅.) ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΡΠ»ΡΠΆΠΈΡΡ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³ (ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡ), Π³ΠΎΠΌΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ w = z + Ρ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅; ΡΡΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ.
ΡΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ, ΠΊ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΠΌ Π² ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΊΡΡΠ»ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ»Π΅ΡΠ°, ΠΈ ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΌΡΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ.
ΠΠΎΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡ ΠΎΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅Π» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ (Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ) ΠΊ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΌ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ.
Π ΡΡΡΠΊΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΊΠΈΠΉ ΡΡΠ΅Π½ΡΠΉ H. E. ΠΡΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ (1847−1921) ΡΡΠΏΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ» ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ. Π’Π°ΠΊ, ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Π΅ ΠΊΡΡΠ»Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠ»Π΅ΡΠ°. Π. Π. ΠΠ΅Π½ΠΈΠ½ Π½Π°Π·Π²Π°Π» H. E. ΠΡΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ «ΠΎΡΡΠΎΠΌ ΡΡΡΡΠΊΠΎΠΉ Π°Π²ΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ». Π ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ²ΠΎΠΈΡ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ H. E. ΠΡΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ»: «…ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΡΡΠ»ΡΠ΅Π² ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΡΠ° ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅Π»Π° ΠΊ Π²Π΅ΡΡ ΠΌΡΡΠΊΡΠ»ΠΎΠ² ΠΎΠ½ Π² 72 ΡΠ°Π·Π° ΡΠ»Π°Π±Π΅Π΅ ΠΏΡΠΈΡΡ; …ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΡΡΠΈ ΠΈ 800 ΡΠ°Π· ΡΡΠΆΠ΅Π»Π΅Π΅ Π²ΠΎΠ·Π΄ΡΡ Π°, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈΡΠ° ΡΡΠΆΠ΅Π»Π΅Π΅ Π²ΠΎΠ·Π΄ΡΡ Π° Π² 200 ΡΠ°Π·. ΠΠΎ, Ρ Π΄ΡΠΌΠ°Ρ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΡΠΈΡ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΡ Π½Π΅ Π½Π° ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ ΠΌΡΡΠΊΡΠ»ΠΎΠ², Π° Π½Π° ΡΠΈΠ»Ρ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ°». (ΠΡΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ H.E. Π‘ΠΎΠ±ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ. — Π. — Π.: ΠΠΎΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·Π΄Π°Ρ, 1950. -T. 7. — Π‘. 16.) Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ H.E. ΠΡΠΊΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ΅ΡΠ°Π» Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ°ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π²ΠΎΠ΄Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΏΠ»ΠΎΡΠΈΠ½Ρ.
PAGE.
PAGE 7.
— 1.
— i.
i.
x.
y.
(a, b).
(a, b).
Π ΠΈΡ. 1.
Π ΠΈΡ. 2.
x03C6.
— x03C6.
y.
x.
A.
z.
z=|z|.
z.
Π ΠΈΡ. 3.
x03B15.
x03B14.
y.
x.
x03B11.
x03B12.
x03B10.
x03B13.
y.
x.
v.
u.
0 «.
D «.
D.
Π ΠΈΡ. 4.
z.
y.
x.
c.
w = z + c.
Π ΠΈΡ. 5.
Π ΠΈΡ. 6.
w = z + 2.
z.
y.
x.
w «= z — 3i.
Π ΠΈΡ. 7.
Π± Π°.