Вычисление модулей гладкости

1. Вспомогательные леммы

Будем говорить, что, если для функция измерима на отрезке и, а для функция непрерывна на отрезке и .

Будем также говорить, что, если, причем .

Дляи данных чисел и введем оператор обобщенного сдвига по правилу:

1) для ,

2) для ,

3) для ,

4) для, , где

.

. Пусть заданы числа, и такие, что,. Пусть числа выбраны по правилу:

1) если, то при

2) если, то и при, при, при

3) если, то и при, при, при

4) если, то и при и при, и при .

Тогда

где положительная постоянная не зависит от и .

Лемма 2. Пусть и. Тогда

Доказательство. Пусть

1)

Сделаем замену переменной. Тогда

2) ,

Сделаем замену переменных

тогда

3) ,

Сделаем замену переменной

Тогда где

Сделаем еще замену переменных

Тогда

Далее замена переменной

Тогда

Сделав замену переменных Получим Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Если функцияимеет абсолютно непрерывную (производную на каждом отрезке, тогда при фиксированном функция также имеет абсолютно непрерывную производную на каждом отрезке

Доказательство. Пусть. Выберем произвольный отрезок. На нем имеем:

1)

Функции и абсолютно непрерывны на и так как, а то в силу строгой монотонности на и, строгой монотонности на и и строгой монотонности, строго монотонна на и, а строго монотонна на и. В силу теоремы: пусть абсолютно непрерывная функция, заданная на отрезке строго возрастает. Если, абсолютно непрерывна на, то функция, абсолютно непрерывна на (если строго убывает доказательство не меняется) функция абсолютно непрерывна на каждом из отрезков и, а абсолютно непрерывна на и. А поскольку и непрерывны на. Поскольку сумма, разность, произведение и частное, если знаменатель не обращается в нуль, абсолютно непрерывных функций абсолютно непрерывны, то абсолютно непрерывна на .

2)

Пусть Как и в случае 1) доказывается, что абсолютно непрерывна на. Так как по теореме Лагранжа о среднем

то при любых. Тогда по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла при фиксированном на отрезке существует конечная производная В силу абсолютной непрерывности на также абсолютно непрерывна на. 3) и 4) разбираются также как и 2).

б) 1)

В силу абсолютной непрерывности и на каждом отрезке рассуждая как и в случае а) 1) получаем, что абсолютно непрерывна на

2) ,

Таким образом, также абсолютно непрерывна на и воспользовавшись как и в случае а) 2) теоремой Лебега о предельном переходе под знаком интеграла получим, что абсолютно непрерывна на и в этом случае.

1) и 4) разбираются также как и 2). Для произвольного доказывается индукцией по .

Черезобозначим множество таких функций, что, имеет абсолютно непрерывную производную на каждом отрезке и где

Тогда. Действительно, Сделав замену переменной имеем где .

Лемма 4. Пусть Тогда

1) для почти всех и почти всех справедливы равенства:

а)

б)

2) для почти всех и для любых

а) ,

где б)

где

3) если, то для почти всех и для любых

Лемма 9. и

(4)

Доказательство: Из Леммы 8 следует, что. Далее применим индукцию по.

1). Ясно, что функция

абсолютно непрерывна на каждом отрезке и поскольку

то для почти всех .

2) Предположим и

. Тогда имеем:

где .

Так как и по предположению имеет производную, абсолютно непрерывную на каждом, то и абсолютно непрерывна на любом отрезке. На основании 1) и предположения индукции имеем

Лемма 9 доказана.

Для рассмотрим оператор

где

Пусть и

Лемма 10. Пусть, и числа выбраны по правилу Леммы 7. Тогда для и выполнено равенство:

(5)

Доказательство: Применим индукцию по

1). Из равенства (4) Леммы 9 при следует, что И поскольку, то для имеем .

Поэтому

.

По Лемме 9 имеем, что. Применив Лемму 6, получим

2) Предположим

Так же как и при доказательстве равенства (4) при получаем, что

(6)

Из Лемм 1, 3 и 9 следует, что. Поэтому пользуясь предположением индукции, Леммой 4. 2) б) и Леммой 6. 1) имеем:

На основании индукции Лемма 10 доказана.

Лемма 11. Пусть, , выбраны по правилу Леммы 7. Тогда, если, то

и

(7)

Доказательство: То, что следует из Лемм 10, 9, 1 и 3. Из равенства (5), Леммы 4. 2) б) и равенства (4) следует, что Лемма 11 доказана.

2. Теоремы Джексона для к-го обобщенного модуля гладкости

Для и данных чисел введем — функционал по формуле:

Теорема 1. Пусть заданы числа, и такие, что,. Пусть числа выбраны по правилу:

1) если, то при

2) если, то и при, при, при

3) если, то и при, при, при Тогда для справедливы неравенства:

где положительные постоянные и не зависят от и .

Доказательство:

для любой функции. По Лемме 1, где положительная постоянная не зависит от и. Если, то в силу Леммы 7

где положительная постоянная не зависит от и .

Поэтому. Для доказательства правого неравенства рассмотрим функцию где .

Так как имеет абсолютно непрерывную производную на каждом, то применяя Теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла (так же как и при доказательстве случая 2) Леммы 3), Лемму 4. 1) б), обобщенное неравенство Минковского и Лемму 1 имеем для и при

Так как представляет собой сумму произведений, то и применяя равенство (7) Леммы 11 имеем Поскольку для

где положительные постоянныеине зависят от, то где

с другой стороны Так как-то учитывая, что имеем:

Из Леммы 4. 3) получаем Поэтому из равенства (8) и неравенства (****) следует, что Таким образом для

Пусть Тогда, а для имеем:

Итак для любого

Теорема 1 доказана.

Пусть заданы натуральные числа и Известно, что функция есть четный тригонометрический полином порядка Функция, где обладает для и свойствами:

1) ;

2) ,

где положительная постоянная не зависит от

Лемма 12. Если, то есть алгебраический многочлен степени не выше, чем .

Обозначим через наилучшее приближение функции при помощи алгебраических многочленовстепени не выше, чем, в метрике, то есть Лемма 13. Пусть, и .

Тогда Доказательство: Пусть. Положим Для фиксированного подберем так, что. По Лемме 12 есть алгебраический многочлен степени не выше, чем. Используя обобщенное неравенство Минковского, неравенство (3) при и свойство 2) имеем:

Пусть Поскольку любой многочлен можно представить в виде линейной комбинации многочленов Якоби, то Положим Тогда из (9) следует

=

поскольку Таким образом Лемма 13 доказана.

Следствие. Пусть и. Тогда Доказательство: Применяя неравенство (10) раз получаем Следствие доказано.

Лемма 14. Пусть алгебраический полином степени не выше, чем, ,. Тогда справедливы неравенства:

где положительная постоянная не зависит от .

Теорема 2. Пусть даны числа, и такие, что,. Пусть числа выбраны по правилу Теоремы 1Тогда для справедливы неравенства:

где положительные постоянные и не зависят от и

Доказательство: Пусть. Для любой функцииможем записать По следствию Переходя к точной нижней грани по всем, получим

и по теореме 1

Таким образом первое неравенство теоремы доказано. Докажем второе.

Пусть алгебраический многочлен наилучшего приближения для степени не выше, чем. Пусть. Из теоремы 1 следует, что Так как-то используя равенство типа Маркова где многочлен степени, которое сразу следует из Леммы 14, получаем:

Отсюда с учетом (11) имеем Теорема 2 доказана.

3. Вычисление модулей гладкости для некоторых функций

1. Найти модуль непрерывности для функции По определению где Пусть. Тогда обобщенный оператор обобщенного сдвига имеет вид:

Т.к., то окончательно получаем:

Сделаем замену переменных. Тогда Т.к., то. Тогда

2. Найти модуль гладкости 2-го порядка для функции Найдем

Поскольку, то и и и достаточно рассмотреть случай. Тогда

Заключение

Для — периодических функций хорошо известны прямая и обратная теоремы теории приближений, которые можно записать в виде неравенств:

где — наилучшее приближение непрерывной или интегрируемой в — й степени функции при помощи тригонометрических полиномов порядка не выше, чем в метрике , — - й модуль гладкости в метрике и положительные постоянные и не зависят от и .

При рассмотрении непериодических функций уже не удается получить такие же связи, как неравенства, между модулями гладкости функции и ее наилучшими приближениями алгебраическими многочленами. В данной дипломной работе были получены аналоги неравенств, где обычный модуль гладкости заменен обобщенным модулем гладкости. Такие обобщенные модули гладкости были определены при помощи операторов обобщенного сдвига. В ходе выполнения дипломной работы были рассмотрены вспомогательные леммы и с помощью них доказаны аналоги неравенств для обобщенных модулей гладкости.

лемма гладкость полином модуль