Вычисление определенных интегралов. 
Квадратурные формулы

Міністерство освіти і науки України Національний технічний університет

«ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

Кафедра «Обчислювальної техніки та програмування»

Реферат з курсу «Численные методы»

Тема: «Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы«

Виконав:

студент групи

Перевірив:

Харків

• Введение
• 1. Вычисление определенных интегралов
• 2. Построение квадратурных формул с плавающими узлами
• Список использованных источников

Задача вычисления определенного интеграла в случаях, когда невозможно аналитически получить первообразные, может быть решена с помощью квадратурных формул.

Основная идея построения квадратурных формул заключается в том, что вычисление интеграла (площади) заменяется выражением, в котором используются некоторые значения подынтегральной функции. В качестве квадратурного выражения обычно выбирают взвешенную сумму значений подынтегральной функции.

1. Вычисление определенных интегралов

Количество параметров квадратурного выражения тесно связано со степенью подынтегральной функции, если последняя может быть описана степенным полиномом ограниченной степени. В общем случае это невозможно, например, когда подынтегральная функция терпит разрыв.

Для устранения особенности интегрируемой функции, последнюю представляют произведением весового сомножителя, включающего в себя характерную особенность, и части подынтегральной функции, которая после исключения особенности может представляться степенным многочленом.

Возможность представления подынтегральной функции полиномом позволяет оценить минимально необходимое число параметров в квадратурной формуле, исходя из критерия получения по ней абсолютно точного значения интеграла. Так, для подынтегральной функции, представленной полиномом нулевой степени, вычисление площади в интервале [a, b] достаточно одного значения функции (площадь прямоугольника). Для полинома первой степени — два значения (площадь трапеции). Для второй степени — три, и т. д. Последнее следует из того, что через (n+1) точку можно провести единственную кривую n-й степени.

Параметрами квадратурных формул являются коэффициенты при значениях полиномиальной подынтегральной функции и значения независимой переменной, при которых вычисляется подынтегральная функция.

где — параметры квадратурной формулы,

— функция с выделенной особенностью,

— весовая функция, включающая особенность.

Для подынтегральных функций без особенностей p (x) =1.

Квадратурные формулы строятся для пределов интегрирования и . Замена пределов интегрирования на или осуществляется линейным преобразованием, которое выше было уже рассмотрено.

Построение любой квадратурной формулы начинается с решения вопроса о классе подынтегральных функций, для которых формула будет абсолютно точна. Если выбраны функции степенного базиса, то число параметров, которое необходимо ввести в квадратурную формулу, равно наивысшей степени n базисной функции, увеличенной на единицу.

Если точки, в которых вычисляются значения подынтегральной функции, определены условиями удобного положения или простотой вычисления в них, то в квадратурной формуле число слагаемых будет равно числу параметров. Если положения точек тоже взяты в качестве параметров, то число слагаемых может оказаться и вдвое меньше. В квадратурную формулу можно ввести также значения производных подынтегральной функции в заданных точках, если вычисление производных проще, чем вычисление функции.

Когда все условия построения квадратурной формулы оговорены, то, используя метод неопределенных коэффициентов (параметров), составляют систему алгебраических уравнений путем подстановки в интеграл и квадратурную формулу базисных функций. Так как число их равно числу параметров, то система будет определена.

2. Построение квадратурных формул с плавающими узлами

В качестве примера найдем квадратурную формулу с тремя плавающими узлами для функций, принадлежащих множеству, где n=5.

Формула должна иметь 3 слагаемых с шестью параметрами. Интервал интегрирования возьмем .

где — неизвестные весовые коэффициенты,

— неизвестные узловые точки, в которых должна

вычисляться подынтегральная функция.

Вычисляются определенные интегралы для множества базисных функций:

Подстановка базисных функций в выражение с параметрами и их приравнивание соответствующим значениям интегралов от базисных функций приводит к следующей системе нелинейных уравнений:

Решение таких уравнений основано на существовании двух канонических форм записи нулей степенных уравнений:

где — коэффициенты, выражаемые через корни .

И первая и вторая формы обращаются в нуль, если .

Чтобы выделить из системы уравнений узловые многочлены, умножим первые 4 уравнения системы на коэффициенты из левой колонки и найдем их сумму, затем умножим соответствующие уравнения на среднюю колонку и найдем их сумму и, наконец, — на правую колонку и тоже просуммируем:

Все взятые в круглые скобки узловые многочлены обязаны быть равными нулю, так как в них подставлены значения узлов, в которых многочлен обязан обращаться в нуль. Поэтому правые части уравнений равны нулю и после подстановки в левые части числовых значений для получается система линейных алгебраических уравнений относительно пока неизвестных констант :

.

Последнее вытекает из неравенства нулю определителя однородного уравнения. Таким образом, узловые точки, в которых будут вычисляться значения подынтегральной функции, находятся из кубического уравнения:

Корни легко находятся и равны следующим значениям:

.

Теперь остается найти весовые коэффициенты, для чего в первые 3 уравнения подставим найденные значения узловых точек:

. Отсюда: .

В результате квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности приняла следующий окончательный вид:

Оценить погрешность квадратурной формулы можно, если в этих же пределах проинтегрировать отбрасываемую часть разложения в ряд Тейлора подынтегральной функции. Первые n членов ряда определяют максимальную степень базисных функций, а значит, и алгебраическую степень точности полученной на их основе формулы.

Список использованных источников

1. Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П., Ляшко И. И. Справочное пособие по высшей математике. Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. Т.1, 2004. — 360 с.

2. Вержбицкий, В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш. шк., 2001. — 383с.

3. Волков, Е. А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. — 248с.

4. Гаврилов А. В., «Об оптимальных квадратурных формулах», Сиб. журн. индустр. матем., 8: 1 (2005), 50−52

5. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988.