Под частотой понимается количество появлений какого-либо события. Обычно, с частотой появления события имеют дело, когда переменные измерены в шкале наименований и другой их характеристики, кроме частоты подобрать невозможно или проблематично. Другими словами, когда переменная имеет качественные характеристики. Так же многие исследователи склонны переводить баллы теста в уровни (высокий, средний, низкий) и строить таблицы распределений баллов, чтобы узнать количество человек по этим уровням. Чтобы доказать, что в одном из уровней (в одной из категорий) количество человек действительно больше (меньше) так же используется коэффициент Хи-квадрат.
Наша задача проверить, отличаются ли полученные эмпирические данные от теоретических. частоты.
Для нахождения теоретических предварительно произведем расчет математического ожидания, дисперсии, исправленного среднего используя таблицу 1:
№ Интервалы Середина интервала.
Частота.
Накопленные частоты.
нижняя граница верхняя граница 1 -4.8 -4.09 -4.45 1 1 2 -4.09 -2.67 -3.38 3 4 3 -2.67 -1.25 -1.96 3 7 4 -1.25 -0.17 -0.71 5 12 5 -0.17 1.25 0.54 6 18 6 1.25 2.67 1.96 10 28 7 2.67 4.09 3.38 8 36 8 4.09 5.51 4.8 4 40 Квадратического отклонения: .
mэмпирическая частота.
В качестве величины х возьмем середины интервалов.
Вычислим исправленную выборочную дисперсию.
Средняя квадратов:
Выборочная дисперсия:
Исправленное среднее квадратическое отклонение:
Плотность вероятности и функция распределения.
Плотность вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону, имеет вид:
Гипотетичная плотность вероятности:
Функция распределения для СВ, распределенной по нормальному закону, записывается следующим образом:
Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания. Он считается по формуле:
где t — коэффициент Стьюдента.
Для доверительного интервала 0.95 и числа степеней свободы 8 равен t=2.3 (табличные данные).
.
Искомый доверительный интервал математического ожидания:
(1.126−1.9, 1.126+1.9);
(-0.779, 3.026);
Найдем доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения. Он считается по формуле:
где q находим по таблице в зависимости от доверительного интервала 0.95 и степени свободы 8.
Искомый доверительный интервал для среднеквадратического отклонения:
0.8.
Вычислим теоретические частоты. Для этого пронормируем, то есть перейдем к случайной величине, которую можно вычислить по формуле:
Вероятность попадания в соответствующий интервал:
где — функция Лапласа Теоретические частоты:, где m=40 -объем выборки Составим расчетную таблицу:
Интервала -4.8.
— 4.09 -4.09.
— 2.67 -2.67.
— 1.25 -1.25.
— 0.17 -0.17.
1.25 1.25.
2.67 2.67.
4.09 4.09.
5.51 Итого -2.38 -2.09 -1.52 -0.95 -0.52 0.05 0.62 1.19 -2.09 -1.52 -0.95 -0.52 0.05 0.62 1.19 1.76 0.49 0.48 0.43 0.38 0.19 0.02 0.23 0.5 0.48 0.43 0.38 0.19 0.38 0.23 0.5 0.51 0.02 0.05 0.05 0.19 0.19 0.21 0.27 0.02 1 0.8 2 2 7.6 7.6 8.4 10.8 0.8 40.
Вычислим характеристики распределения. Для этого составим расчетную таблицу:
Номер интервала Эмпирич. (Э) Теоретич. (Т) (Э — Т)² / Т 1 1 0.8 0.05 2 3 2 0.5 3 3 2 0.5 4 5 7.6 0.89 5 6 7.6 0.33 6 10 8.4 0.3 7 8 10.8 0.72 8 4 0.8 12.8 Таблица 3.
Находим сумму последнего столбца:
χ2= 16.09.
Теперь нужно найти критическое значение критерия по таблице критических значений (Таблица 1 в приложении). Для этого нам понадобится число степеней свободы (n).
n = (R — 1) * (C — 1), где R — количество строк в таблице, C — количество столбцов.
В нашем случае только один столбец (имеются в виду исходные эмпирические частоты) и 8 строк, поэтому формула изменяется — исключаем столбцы.
к= (8−1)=7;
В таблице 4 (в Приложении) на строке К=7 стоит критическое значение (при уровне значимости р=0,05) равное χ2крит= 14,6.
χ2 > χ2крит (16.09>14,6) говорит о том, что гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности противоречит опытным данным.
На практике критерий хи-квадрат применяют не только в тех случаях, когда требуется сравнить ожидаемые (прогнозируемые) и фактические (наблюдаемые) частоты каких-то явлений. Его применение возможно и для сравнения результатов двух групп испытуемых, если данные одной группы рассматривать в качестве ожидаемых результатов, а данные другой группы принять за фактически наблюдаемые результаты! Поскольку критерий хи-квадрат не требует наличия нормального распределения частот в выборке данных (преобладания средних значений), то он применим для анализа любых частотных распределений. Рассмотрим пример подобного рода, где требуется сравнить результаты двух групп испытуемых, при этом сделаем расчеты критерия с помощью компьютерной программы SPSS.
Заключение
.
Студенты почти всех специальностей изучают в конце курса высшей математики раздел «теория вероятностей и математическая статистика», реально они знакомятся лишь с некоторыми основными понятиями и результатами, которых явно не достаточно для практической работы. С некоторыми математическими методами исследования студенты встречаются в специальных курсах (например, таких, как «Прогнозирование и технико-экономическое планирование», «Технико-экономический анализ», «Контроль качества продукции», «Маркетинг», «Контроллинг», «Математические методы прогнозирования», «Статистика» и др. — в случае студентов экономических специальностей), однако изложение в большинстве случаев носит весьма сокращенный и рецептурный характер. В результате знаний у специалистов по прикладной статистике недостаточно.
Поэтому большое значение имеет курс «Прикладная статистика» в технических вузах, а в экономических вузах — курса «Эконометрика», поскольку эконометрика — это, как известно, статистический анализ конкретных экономических данных.
Теория вероятности и математическая статистика дают фундаментальные знания для прикладной статистики и эконометрики.
Они необходимы специалистам для практической работы.
Я рассмотрела непрерывную вероятностную модель и постаралась на примерах показать ее используемость.
И в конце своей работы я пришла к выводу, что грамотная реализация основных процедур математико-статического анализа данных, статическая проверка гипотез невозможна без знания модели «хи-квадрат», а также умения пользоваться ее таблицей.
Приложение.
Критические точки распределения χ2.
Таблица 4.
Список используемой литературы.
Орлов А. И. Прикладная статистика. М.: Издательство «Экзамен», 2004.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1999. — 479с.
Айвозян С. А. Теория вероятностей и прикладная статистика, т.
1. М.: Юнити, 2001. — 656с.
Хамитов Г. П., Ведерникова Т. И. Вероятности и статистика. Иркутск: БГУЭП, 2006 — 272с.
Ежова Л. Н. Эконометрика. Иркутск: БГУЭП, 2002. — 314с.
Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. М.: Наука, 1975. — 111с.
Мостеллер Ф. Вероятность. М.: Мир, 1969. — 428с.
Яглом А. М. Вероятность и информация. М.: Наука, 1973. — 511с.
Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. — 256с.
Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. — 543с.
Математическая энциклопедия, т.
1. М.: Советская энциклопедия, 1976. — 655с.
