Равновеликие и равносоставленные многоугольники

Так как, то. Таким образом, образ прямой при повороте на относительно центра квадрата совпадает с прямой. Докажем, что прямая проходит через центр квадрата. Пусть прямая не проходит через центр квадрата. Рассмотрим образы прямых при повороте на, обозначив площади частей, как представлено на рисунке 21. Рисунок 21 — Варианты расположения прямых.

Согласно построениям прямые делят квадрат на четыре части, для которых площади равны.

При этом числа a, b и c ненулевые. Но три из четырехуказанных чисел не могут быть равны. Получено противоречие. Задача 10. Параллелограммы АВСD и, у которых стороны АD и лежат на одной прямой, равновелики (рисунок 22).Рисунок 22 — Параллелограммы АВСD и Трапеция АВСD есть, с одной стороны, объединение треугольника АВА и параллелограмма, с другой стороны, объединение треугольника DCDи параллелограмма АВСD. Поскольку треугольники АВА и DCD1 равны, то площади параллелограммов АВСD и равны, т. е. они равновелики. Задача 11. Дан параллелограмм АВСD. Рассмотрим новый параллелограмм, у которого одна вершина совпадает с вершиной В, соседняя с ней вершина М лежит на стороне АD, а сторона КL, противоположная ВМ, лежит на прямой, проходящей через вершину С (рисунок 23). Докажите, что параллелограммы АВСD и ВКLM равновелики. Рисунок 23 — Исходные данные и результаты построений.

Согласно задаче 10 можно считать, что сторона КL содержит точку С. Треугольник ВСМ — общий для обоих параллелограммов, и. Задача 12.Каждая сторона треугольника АВС продолжена на свою длину так, что точка В — середина отрезка, С — середина, точка, А — середина (рисунок 24). Площадь треугольника АВС равна S. Найти площадь треугольника. Рисунок 24Проведем отрезки и. СВ — медиана треугольника, поэтому. медиана треугольника, поэтому. Рассуждая аналогично, получаем, что, ,, .Следовательно, /Задача 13. Пусть диагонали трапеции АВСD (АD — ВС) пересекаются в точке О. Докажите что тогда треугольники АОВ и DОС равновелики. Проведем через точку В прямую, параллельную АС, а через точку С — прямую, параллельную ВD (рисунок 25).Рисунок 25Точки пересечения этих прямых с прямой АD обозначим соответственно и .

Параллелограммы и равновелики, значит, равновелики их «половинки» — треугольники АВС и DСВ. &# 171;Выбрасывая" из этих треугольников один и тот же треугольник ВОС, убеждаемся, что треугольники АОВ и DОС также равновелики; другими словами, .Задача 14. Через произвольную точку на стороне треугольника провести прямую, которая делит его на две равновеликие части. Пусть Р — точка на стороне АC треугольника АВС, М — середина АС. Если Р совпадает с М, то ВМ — искомая прямая.

Рассмотрим случай, когда Р лежит между точками М и С (если Р лежит на отрезке АМ, рассуждения аналогичны). Тогда площадь треугольника АРВ больше половины площади треугольника АВС. Если вращать прямую РN вокруг точки Р (точка N скользит по отрезку АВ), площадь треугольника АРN будет убывать. В начале движения. Когда точка N совпадала с В, эта площадь была больше, в конце, при N = А, эта площадь станет равной нулю (треугольник вырождается).

По принципу непрерывности должен наступить момент, когда эта площадь равна .На основе предыдущей задачи можно доказать, что это произойдет, когда четырехугольник ВРМN превратится в трапецию (рисунок 22). Действительно, поскольку (О — точка пересечения диагоналей трапеции) Задача 15. Через вершину выпуклого четырехугольника провести прямую, которая делит его на две равновеликие части. Рисунок 26Проведем эту прямую через вершину, А четырехугольника АВСD. Если диагональ Ас делит площадь АВСD пополам, задача решена. Пусть О — точка пересечения диагоналей АВСD, М — середина ВD.

Ломаная АМС делит четырехугольник на равновеликие части. Допустим. Что точка М лежит на отрезке ОD (рисунок 25). Проведем через точку М прямую, параллельную АС, К — точка пересечения этой прямой со стороной С. Тогда Задача 16. Через точку на стороне выпуклого четырехугольника провести прямую, которая делит его на две равновеликие части. Пусть М — данная точка на стороне АD четырехугольника АВСD. Проведем через точки В и С прямые, которые делят площадь четырехугольника пополам. Рассмотрим сначала случай, когда эти прямые пересекают сторону АD точках и соответственно (рисунок 27). Пусть точка М лежит на отрезке .

Если точка М совпадает с точкой, то искомая прямая. Если М не совпадает с точкой, то можно провести прямую, параллельную прямой СМ (К — точка на стороне СD), и (О — точка пересечения диагоналей трапеции).Если точка М лежит на отрезке, то проведем прямую параллельно ВМ, и искомой прямой будет прямая МК (рисунок 27).Рисунок 27 В случае, когда точка М лежит на отрезке, можно проводить прямую параллельно МС, и прямую параллельно МВ; оба построения приводят к одной и той же точке К. Описанный прием построения подходит и в случае, когда только одна из прямых, проходящих через точки В и С и делящих четырехугольник АВСD на две равновеликие части, пересекает сторону АD (рисунок 28).Рисунок 28И, наконец, рассмотрим случай, когда ни одна из этих прямых не пересекает сторону АD четырехугольника АВСD (рисунок 28). В этой ситуации проведем через вершину, А прямую, которая делит четырехугольник на две равновеликие части. Прямая АК, параллельная, пересекает сторону ВС в точке К. МК — искомая прямая.

Заключение

.

В рамках настоящего исследования в соответствии с целью и задачами сформирован теоретический аппаратисследования равновеликих и равносоставленных многоугольников, подробно изучены леммы, которые используются для доказательства теоремы Бояи — Гервина. Теорема Бояи — Гервина однозначно определяет, что равновеликость фигур в стереометрии можно доказывать только с помощью метода разложения и метода дополнения.

На основе указанных теоретических аспектов реализовано решение практических задач на доказательство равновеликости и равносоставленности многоугольников, на построение с учетом особенностей указанной группы многоугольников. Список использованной литературы.

Болтянский В. Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры // Популярные лекции по математики № 22. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956 г. — с. 64. Вавилов В. В., Красников П. М. Математические коллоквиумы. -М.: Школа им. А. Н. Колмогорова СУНЦ МГУ, 2006.

Прасолов В. В. Задачи по планиметрии // Учебное пособие № 5. М.: МЦНМО 2006, 610 с.