Геометрия поверхности, лежащей на гиперсфере

Актуальность темы

В начале семидесятых годов этого столетия, а также в настоящее время большое внимание зарубежных (Жг/ьШ) Уало /42/, /43/, СА&п -/37/ -/39/, /40/, /43/) и советских (Базылев В.Т. /3/, Белов К. М. /7/, Погорелов А. В. /22/, Лапковский В. К. /13/, Тихонов В. А?) математиков уделяется исследованию геометрии поверхностей, лежащих на гиперсфере в евклидовом пространстве Е^.

Настоящая работа является продолжением и дальнейшим развитием теории таких поверхностей.

Цель работы состоит в том, чтобы исследовать.

— свойства поверхности ifp, лежащей на гиперсфере, как поверхности эллиптического [n-i)-пространства и как поверхности в евклидовом К- -пространстве,.

— свойства проекции рповерхности на гиперсферу.

Общие методы исследования. Работа выполнена методом подвижного репера и внешних форм /34/. Все построения носят локальный характер, а используемые функции предполагаются необходимое число раз дифференцируемыми.

Научная новизна результатов. Основными научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

— критерий принадлежности поверхности Vjo гиперсфере в евклидовом пространстве Е^ ,.

— оценка скалярной кривизны поверхности Vp, лежащей на гиперсфере в евклидовом пространстве Е^ «s — Доклад на научно-исследовательском семинаре при кафедре геометрии МГПИ имени В. И. Ленина.

— свойства поверхности Vp с Е^, плоскость главной нормали Л^(сс) или средняя нормаль (X, И) которой проходит через неподвижную точку,.

— выделение поля особых нормалей поверхности, лежащей на гиперсфере в евклидовом пространстве Е ^ ,.

— свойства проекции р-поверхности на гиперсферу в евклидовом пространстве Е^ ,.

— соответствие линий и сетей в отображении ?

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретических характер. Её результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по геометрии подмногообразий в Е^, а также как материалы для спецкурсов в ВУЗах, где проводятся исследования по близкой тематике.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара при кафедре геометрии МГПИ имени В. И. Ленина.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах /25/ - /30/ автора.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, а также списка литературы из 45 названий. Диссертация изложена на 118 страницах машинописного текста.

1. Базьшев В. Т. О многомерных сетях в евклидовом пространстве. — Литовский матем. сборник, 1966, У1, № 4, с. 475 — 491.

2. Базылев В. Т. Об одном адцитивном представлении тензора Риччи р-поверхности евклидова пространства. Сибирский матем. журнал, 1966, т.7, Ш, с. 499 — 511. .

3. Базылев В. Т. Об одном случае отображений евклидовых пространств. В кн.: Геометрия погруженных многообразий. М., 1972, с. 3 — 9.

4. Базылев В. Т. К геометрии дифференцируемых отображений евклидовых пространств. Ученые записки МГПИ им. В. И. Ленина, 1970, № 374, т.1, с. 41 — 51.

5. Базылев В. Т. Многомерные поверхности, сети и дифференцируемые отображения пространств. Ученые записки МГПИ им. В. И. Ленина, 1970, № 374, т.1, с. 28 — 40.

6. Базылев В. Т. Об одном классе многомерных поверхностей. -Изв. Высш. учеб. заведений. Математика. 1958, ЖЗ, с. 13 23.

7. Белов К. М. Об одном свойстве поверхности постоянной средней кривизны. Изв. Высш. учеб. заведений. Математика. 1968, № 6, с. 19 — 20.

8. Гейдельман P.M. Об одном свойстве квадратичных сопряженных сетей. Изв. Высш. учеб. заведений. Математика. 1968, № 11, с. 48 — 50.

9. Есин В. А. О поверхностях коразмерности два. В кн.: Геометрия погруженных многообразий. М., 1981, с. 40 — 44.

10. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., Наука, 1981, т.2, 416 с.

11. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1971, 431 с.

12. Лазарев А. С. Об одном классе поверхностей, допускающих частично параллельные поверхности. В кн.: Геометрия погруженных многообразий. М., с. 48 — 53.

13. Лапковский В. К. Многообразия с изотропными и комплексно-сопряженными главными направлениями в сферическом пространстве и их приложения к теории гравитации. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Минск, 1982.

14. Локотков Н. Н. О специальном расслоении р-поверхности в евклидовом пространстве. В кн.: Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1982, вып. 13, с. 54 — 59.

15. Либер А. Е. К теории поверхностей в аффинных и центрально-аффинных Кмерных пространствах. В кн.: Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М., 1966, вып. ХШ, изд. МГУ, с. 407 — 446.

16. Лумисте Ю. Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий. -В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 13/Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР/, М., 1975, с. 273 340.

17. Милнор Дж. Теория Морса. М., Мир., 1965, 184 с.

18. Михайлов П. Н. Сети на поверхностях постоянной средней кривизны. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М., 1983.

19. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., Наука, 1976, 432 с.

20. Перепелкин Д. И. Кривизна и нормальные пространства многообразияв. Математический сборник. 1935, т.42, М, с. 100 — 120.

21. Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии. М.-Л., ГЙТТЛ, 1949, т.2, 348 с.

22. Погорелов А. В. О минимальных поверхностях в сферическом пространстве. ДАН СССР. Математика. 1972, т.206, № I — 3, с. 291 — 292.

23. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М., Наука, 1966, 648 с.

24. Рыжков В. В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами. В кн.: Итоги науки. Геометрия. 1963 /ВИНИТИ АН СССР/, М., 1965, с. 65 — 107.

25. Силаев Е. В. О р-сопряженных системах на гиперсфере в евклидовом пространстве Е^. В кн.: Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1981, вып. 12, с. 84 87.

26. Силаев Е. В. О скалярной кривизне поверхности, лежащей на гиперсфере в евклидовом пространстве. В кн.: Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1982, вып. 13, с. 87 — 90.

27. Силаев Е. В. О средней кривизне поверхности, лежащей на гиперсфере в евклидовом пространстве. В кн.: Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1983, вып. 14, с. 92- 96.

28. Силаев Е. В. О поверхности^. В кн.: Геометрия погруженных многообразий. М., 1981, с. 97 — 103.

29. Силаев Е. В. Геометрия поверхности 1/р, лежащей на гиперсфере в евклидовом пространстве. В кн.: Геометрия погруженных многообразий. М., 1983, с. 102 — 106.

30. Силаев Е. В. О проекции р-поверхности на гиперсферу в евклидовом пространстве. М., 1983, 46 с. Рукопись представлена МГПИ им. В. И. Ленина. Деп. в ВИНИТИ 20 декабря 1983 года, № 6897 83 Деп. Реферат в реф журн. «Математика», 1984, № За799.

31. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств, М., Наука, 1979, 256 с.

32. Схоутен Н. А., Стройк Д.Дж.

Введение

в новые методы дифференциальной геометрии. М., Изд. иностранной литературы, 1948, т.2, 348 с.

33. Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. М., Учпедгиз, 1939, 236 с.

34. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.-Л., ГИТТЛ, 1948, 432 с.

35. Шуликовский В. И. Классическая дифференциальная геометрия. М., Физматгиз, 1963, 540 с.

36. Area Giuseppo, Matzeu Paola Maria. Hypersperes partantun champ tangentical quasi-parallele par rapport a la normale.-Rev. roum math, pures et appl. 1979, torn 24, N 2, 183−186.

37. Chen Bang-Yen. On the surface with parallel mean curvature vector. Indiana Univ. math. 1973, vol.22, N 7, p.655−666.

38. Chen Bang-Yen. Submanifolds in a euclidean hypersphere. -Proc. Amer. Math. Soc., 1971, vol.27, N 3, p.627−628.

39. Chen Bang-Yen. Minimal hypersurfaces in a m-sphere. -Proc. Amer. Math. Soc., 1971, vol.29, N 2, p. 375−382.

40. Chen Bang-Yen. Surfaces with parallel mean curvature vector. Bui.Amer. Math. Soc., 1972, vol.78, N 5, p.709−710.

41. Franzke Peter. Miniaale Vntermanningfaltigkeiten von spharen. Hath. Nachr., 1973, 56, N 1−6, 1955;1959.

42. Kentaro Yano. Submanifolds with parallel mean curvature vector of a euclidean space or a sphere. Kodai math, semin. repts., 1971, vol.23, N 1, p. 144−159.

43. Kentaro Yano, Chen Bang-Yen. Minimal submanifolds of a higher dimensional sphere. Jensor, 1971, vol.22, N 3, p. 369−374.

44. Leung Pui-Fai. Minimal submanifolds in a sphere. Math. Z., 1983, vol.183, N 1, p. 75−86.

45. Suwa Mitsuyoshi. Remarks on minimal submanifolds of Sn + TRY Math., 1975, vol. 15, N 1, p.31−40.