Классы точек компактификаций счетных дискретных пространств

Бикомпактным расширением или компактификацией топологического пространства X называется бикомпактное пространство Y, содержащее X в качестве всюду плотного подмножества.

Особое место в теории бикомпактных расширений занимают расширения дискретных пространств, и прежде всего стоун-чеховское бикомпактное расширение? uj счётного дискретного пространства ш.

Одной из главных проблем, которые изучаются в теории бикомпактных расширений является отыскание свойств расширений, позволяющих выделить различные типы его точек, что определяет степень неоднородности расширения.

Первым результатом в этом направлении для пространства? co является теорема У. Рудина [19] о существовании, в предположении континуум-гипотезы, р-точек нароста и* = ?u и расширения? co. Точка х называется р-точкой ос пространства X, если х 6 Int П Oxi для всякого счётного семейства окрестноi стей {Oxi}Zi точки.

После того, как С. Шелах [22] показал невозможность «наивного» доказательства существования р-точек в со*, начался поиск точек, близких по свойствам к р-точкам. Так, К. Кунен [14] доказал существование слабых р-точек в пространстве си*, то есть точек, не являющихся предельными ни для какого счётного подмножества и*. А. Грызлов [3] доказал существование 0-точек в си*, характеризующихся тем, что при любой нумерации точек со у 0-точки, как ультрафильтра на и, найдётся элемент плотности 0.

З.Фролик в работах [8, 9], М. Е. Рудин [20, 21], Я. ван Милл [17], К. Кунен [13] и А. Грызлов [10] изучали различные частичные порядки на множестве? co со, ими были выделены и изучены несравнимые в различных порядках точки этого пространства.

М.Белл в работе [7] построил бикомпактное расширение счётного дискретного пространства, нарост которого несепарабелен, но обладает счётным числом Суслина. Вопрос о существовании такого расширения был поставлен Я. ван Миллом в [15].

Компактификация Белла позволила решить ряд важных вопросов теории бикомпактных расширений счётных дискретных пространств.

Я.ван Милл [16, 18] и А. Грызлов [4, 11] получили несколько новых типов точек в классе слабых р-точек, являющихся предельными для различных подмножеств си* со счётным числом Суслина.

Поскольку расширение Белла стало важной частью теории бикомпактных расширений, возникла необходимость в более детальном его изучении.

Компактификация В N была построена М. Беллом как пространство Стоуна некоторой булевой алгебры, состоящей из подмножеств частично упорядоченного множества N.

Свойства расширения ВЫ, доказанные М. Беллом, являются следствием существования базы пространства ВА', представляющей собой объединением счётного числа 2-сцепленных семейств.

Первой задачей, рассматриваемой в работе, является построение базы пространства ВАГ, которая и сама, и семейство дополнений до её элементов, являются счётным объединением п-сцепленных семейств. Такая база объединяет свойства компактификации В А1, полученные М. Беллом в [7] и А. Грызловым в [4].

Основной проблемой, как и в случае других бикомпактных расширений, является поиск различных типов точек компактификации В1V и изучение свойств этих точек.

В связи с этим возникли следующие вопросы:

Что из себя представляет замыкания различных счётных подмножеств ТУ, в частности цепей и антицепей?

Каковы свойства и характеристики точек, лежащих в замыканиях подмножеств N различного вида?

Поскольку булева алгебра В расширения Белла порождена семейством, состоящим из двух подсемейств множеств различного типа, возникают вопросы.

Существует ли в BN N точки, то есть ультрафильтры на В, обладающие базами, состоящими из множеств только одного из подсемейств?

Замыканию каких подсемейств (цепей, антицепей) множеств N принадлежат эти точки?

Каковы характеристики и свойства этих точек?

Существуют ли в наросте BN Ат копии расширения? u и сходящиеся последовательности, состоящие из точек различных типов?

Решению этих вопросов и посвящена настоящая диссертация.

1. Архангельский, А. В. Строение и классификация топологических пространств и кардинальные инварианты / А. В. Архангельский // Успехи мат. наук. -1978. — Т. 33, № 6. — С. 29−34.

2. Архангельский, А. В. Основы общей топологии в задачах и упражнениях / А. В. Архангельский, В. И. Пономарёв — М.: «Наука», 1974. — 424 с.

3. Грызлов, А.А. К теории пространства 8N / А. А. Грызлов // Общая топология. Отображения топологических пространств. — М.: МГУ, 1986. — С.20−34.

4. Грызлов, А. А. О бикомпактах расширениях дискретных пространств / А. А. Грызлов // Фундаментальная и прикладная математика. — 1996. — Т. 2, № 3.-С. 803−848.

5. Сикорский, Р. Булевы алгебры / Р. Сикорский —М.: «Мир», 1969. — 375 с.

6. Энгелькинг, Р. Общая топология / Р. Энгелькинг — М.: «Мир», 1986. — 751 с.

7. Bell, М. G. Compact ссс non-separable spaces of small weight / M. G. Bell // Topology Proceedings. 1980. — Vol. 5. — P. l 1−25.

8. Frolik, Z. Homogenity problems for extremally disconnected spaces / Z. Frolik // Comment. Math. Univ. Carolinae. -1967. Vol. 8. — P. 757−763.

9. Frolik, Z. Sums of ultrafilters / Z. Frolik // Bull. Amer. Math. Soc.- 1967.— Vol. 73. — P. 87−91.

10. Gryzlov, A. A. On the Rudin-Keisler order on ultrafilters / A. A. Gryzlov // Topol. Appl. — 1997. — Vol. 76. — P. 151−155.

11. Gryzlov, A. A. Independent matrices and some points of 0 т / A. A. Gryzlov 11 Topol. Appl. 2002. — Vol. 107. — P. 79−81.

12. Kunen, K. Ultrafilters and independent sets / K. Kunen // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. — Vol. 172. — P. 295−306.

13. Rudin, W. Homogenety problems in the theory of Cech compactifications / W. Rudin // Duke Math. J. 1956. — Vol. 23, № 3. — P. 409−426.

14. Rudin, M. E. Types of ultrafilters / M. E. Rudin // Topology Seminar. — Wisconsin, 1965.-P. 145.

15. Rudin, M. E. Partial orders on the types in (3N / M. E. Rudin // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. — Vol. 155, № 2. — P. 353−362.

16. Shelah, S. On p-points ви and other results in general topology / S. Shelah 11 Notices Amer. Math. Soc. 1978. — Vol. 35 A-365, № 87T-G. — P. 49.

17. Bastrykov, E. S. On Bell’s compactification of N / A. A. Gryzlov, E. S. Bastrykov, R. A. Golovastov I I Topology Proceedings. — 2010. — Vol. 35. — P. 177−185.

18. Бастрыков, E. С. О некоторых точках расширения Белла счётного дискретного пространства / Е. С. Бастрыков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2009. — Т. 4. — С. 3−6.

19. Бастрыков, Е. С. О точках одного бикомпактного расширения N / А. А. Грызлов, Е. С. Бастрыков, Р. А. Головастов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.—2010. — Т.З.-С. 10−17.

20. Бастрыков, Е. С. О замыканиях счетных подмножеств BN / Е. С. Бастрыков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2011. — Т. 3. — С. 15−20.

21. Бастрыков, Е. С. О замыканиях счётных множеств в пространстве Стоуна одной булевой алгебры / А. А. Грызлов, Е. С. Бастрыков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2011.-Т.З.-С. 37−42.

22. Бастрыков, Е. С. Некоторые центрированные системы множеств и определяемые ими точки / А. А. Грызлов, Е. С. Бастрыков // Труды ИММ. — 2011. Т. 17, № 4. — С. 76−82.

23. Бастрыков, Е. С. О некоторых бикомпактных расширениях счётных дискретных пространств / Е. С. Бастрыков, Р. А. Головастов // Труды мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 36. — 2007. — С. 23−24.

24. Бастрыков, Е. С. Об одной базе расширения Белла / Е. С. Бастрыков // XXXVI итоговая студенческая научная конференция. — Ижевск: Удмуртский государственный университет, 2008. — С. 5−6.

25. Bastrykov, Е. S. The limits of convergent sequences in Bell’s compactification / E. S. Bastrykov // 24th Summer Conference on Topology and Its Applications. — Brno: Brno University of Technology, 2009.— P. 19.

26. Бастрыков, E. С. О пределах сходящихся последовательностей в расширении Белла счётного дискретного пространства / Е. С. Бастрыков // Тезисы 41-й всероссийской школы-конференции. — Екатеринбург, 2010.— С. 99 103.

27. Бастрыков, Е. С. О подмножествах расширения Белла, не гомеоморф-ных ¡-Зш / Е. С. Бастрыков // Тезисы 42-й всероссийской школы-конференции. — Екатеринбург, 2011. — С. 257.