Комбинаторное строение и изгибания 1-параметрических многогранников

1. Общая постановка задачи.

Вопросы изгибаемости многогранников относятся к одному из главных и трудных направлений в метрической теории многогранников. В самом общем виде основной предмет рассмотрения — выяснение того, насколько однозначно метрика замкнутой поверхности определяет тело, которое ею ограничено. Основной вопрос звучит следующим образом: верно ли, что если две замкнутые полиэдральные поверхности в евклидовом пространстве с индуцированной метрикой изометричны, то ограниченные этими поверхностями тела равны, то есть одно получается из другого движением всего пространства. В случае положительного ответа поверхности называются однозначно определенными их комбинаторным строением и метрикой. Мы будем рассматривать многогранники и будем требовать, чтобы сравниваемые поверхности были комбинаторно изоморфными (имели одно и то же комбинаторное строение), а их грани были конгруэнтными.

Для такой общей формулировки легко построить контрпример. Рассмотрим многогранник в 3-мерном евклидовом пространстве R3, имеющий не менее шести вершин. Предположим, что он имеет вершину индекса три, то есть из этой вершины выходят ровно три ребра. Тогда концы этих ребер определяют плоскость, и зеркальная симметрия относительно этой плоскости указанной вершины, очевидно, сохраняет метрику поверхности, но изменяет тело ее ограниченное. С другой стороны известно, что выпуклые многогранники однозначно определены своей метрикой и комбинаторным строением (Коши, 1813, [1]).

Из этого рассмотрения можно сделать два вывода. Во-первых, можно ограничить задачу, рассматривая локальную однозначную определенность, то есть сравнивать только достаточно близко расположенные в пространстве поверхности. Например, рассматривать непрерывные изометрические изгибания некоторой исходной поверхности, то есть непрерывное изменение положения поверхности в объемлющем пространстве без разрывов и растяжений с сохранением метрики, причем в случае многогранников грани должны двигаться как абсолютно твердые тела. Во-вторых, основной интерес представляют невыпуклые многогранники.

В 1897 году Брикар ([2]) показал, что существуют непрерывно изгибаемые многогранники, построив изгибаемые октаэдры. Отметим, что его многогранники имеют самопересечения и не являются даже погруженными, и поэтому их нельзя физически реализовать в виде движущихся моделей. Но через 80 лет Р. Коннелли ([7]) удалось построить примеры погруженных изгибаемых многогранников с 14 вершинами, а затем и вложенных с 26 вершинами ([8]). Позже его пример был усовершенствован до 11 вершин. Наконец, на совсем другой идее К. Штефен ([11]) построил вложенный изгибаемый девятивер-шинник (описание многогранника Штефена можно найти во многих статьях и книгах, см., например, [14]). Открытие существования изгибаемых многогранников ставит естественную задачу их изучения и классификации. Один из вопросов — это вопрос о том, является ли многогранник Штефена изгибаемым многогранником с минимальным числом вершин, то есть, существуют ли изгибаемые погруженные или вложенные многогранники с числом вершин меньше 9? Сложность задачи поиска изгибаемых многогранников и уникальность их примеров объясняется теоремой Глюка ([10]), согласно которой почти все гомеоморфные сфере многогранники являются неизгибаемыми. Это утверждение верно и для многогранников любого топологического рода ([20]). Вторая естественная задача — о числе дополнительных ограничений, необходимых для достижения (локальной в нашем случае) однозначности многогранников. Кратко ее можно сформулировать так: какое число параметров определяет многогранник однозначно при любых значениях длин его ребер и 5 при любой его конфигурации в пространстве? Эту задачу рассматривал еще Лежандр ([3]), показавший, что выпуклый многогранник однозначно определяется числом параметров, равным числу его ребер.

Далее мы ограничим рассмотрение полиэдральными замкнутыми поверхностями типа сферы в трехмерном евклидовом пространстве R3 и их непрерывными изгибаниями, причем грани будем считать треугольными. Приведенные выше примеры удовлетворяют всем этим требованиям. Последнее требование о треугольных гранях не ограничивает общности задачи доказательства неизгибаемости, так как грани всегда можно триангулировать, а изгибание исходного многогранника естественным образом становится изгибанием многогранника, полученного в результате триангуляции. В частности, в этом случае достаточно изучать изгибания только каркаса из ребер многогранника.

1. Cauchy A.L., Sur les polygones et polyedres, Second Memoire, J. Ecol. Polytechnique, v. 19 (1813), p .87 — 98.

2. Bricard R., Memoire sur la theory de Voctaedre articule, J. Math. Pures et Appl., v. 5 (1897), № 3, p .113 148.

3. Legendre A., Elements de geometrie, Paris, 1806.

4. Верже M, Геометрия, т. 1, M.: Мир, 1984.

5. Blumental L.M. Theory and Applications of Distance Geometry, New York: Chelsea, 1970.

6. Britton D., Dunitz J.D. A complete catalogue of polyhedra with eight or fewer vertices, Acta Cryst., A29 (1973), p. 362 371. '.

7. Connelly R., An immersed polyhedral surface which flexes, Indiana Univ. Math. J., v. 25 (1976), № 10, p. 965 972.

8. Connelly R., A counter example to the rigidity conjecture for polyhedra, Publ. Math. I.H.E.S., v. 47 (1978), p. 333 338.

9. Connelly R, An attack on rigidity, Preprint. Cornel Univ., 1974. (Пер. на рус. яз. в книге 12], с. 164 209.).

10. Gluck Н., Almost all simply connected closed surfaces are rigid, Lecture Notes in Math., v. 438 (1975), p. 225 238. (Пер. на рус. яз. в книге 12], с. 148 — 163.).

11. Steffen Klaus, A symmetric flexible Connelly sphere with only nine vertices, A letter to I.H.E.S., Bures-sur-Yvette.91.

12. Исследования по метрической теории поверхностей, М.: Мир, 1980.

13. Сабитов И. X., Описание изгибаний вырождающихся подвесок, Мат. заметки, т. 33 (1983), № б, с. 901 914.

14. Сабитов И. X., Локальная теория изгибаний, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, ВИНИТИ, т. 48 (1989), с. 196 270.

15. Сабитов И. X., Алгоритмическая проверка изгибаемости подвесок, Укр. геометр, сб., т. 30 (1987), с. 109 112.

16. Сабитов И. X., Об одном алгоритме проверки изгибаемости многогранников, Вестник МГУ, сер. 1 Математика. Механика, 1994, вып. 2, с. 56 -61.

17. Сабитов И. Х., Новые классы пеизгибаемых многогранников, Всесоюзная конференция по геометрии и анализу. Тезисы, Новосибирск, 1989, с. 72.

18. Сабитов И. X., Объем многогранника как функция его метрики, Фундаментальная и прикладная математика, т.2 (1996), № 4 с. 1235 1246.

19. Сабитов И. Х., Алгоритмическое решение проблемы изометрической реализации двумерных многогранных метрик, Известия РАН, Серия Математика, т. 66 (2002), № 2, с. 159 172.

20. Lawrenchenko S., Negami S. and Sabitov I.Kh., A simpler construction of volume polynomials for a polyhedron, Beitrage zur Algebra und Geometrie, v. 43 (2002), № 1, p. 261 273.

21. Максимов И. Г., Исследование изгибаемости многогранников с малым числом вершин, Всесоюзная конференция по геометрии «в целом»: Тезисы докладов, Новосибирск, сентябрь 1987 г., Новосибирск, 1987, с. 75.

22. Максимов И. Г., Подвески: объемы, погруэ/сенность и неизгибаемость, Мат. заметки, т. 56 (1994), № б, с. 56 63.

23. Максимов И. Г., Изгибаемые многогранники и римановы поверхности, Успехи математических наук, т. 50 (1995), № 4, с. 163 164.

24. Максимов И. Г., Сабитов И. X., Понятие комбинаторной р-параметричности многогранников при исследовании их изгибаемости, Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5−11 сентября 1998, с. 48 49.

25. Maksimov I. G., Sabitov I. Kh., On the definition of combinatorially p-parametric polyhedra, Международная конференция «Геометрия и приложения Тезисы докладов, Новосибирск, март 2000, с. 62−64.

26. Максимов И. Г., Сабитов И. Х., О понятии р-параметричности многогранников, Сибирский математический журнал, т. 43(2002), №. 4, с. 823.

27. Максимов И. Г., Неизгибасмые многогранники с малым числом вершин, Фундаментальная и прикладная математика, т. 12 (2006), № 1, с. 143.

28. Максимов И. Г., Описание строения алгоритмически 1-параметрических многогранников и исследование их изгибаемости, Депонировано в-839.165.ВИНИТИ РАН, 2008, 518-В 200.