Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта

Теория расслоенных пространств — одна из наиболее быстро развивающихся областей в современной математике, которая в настоящее время активно исследуется. Теория расслоений возникла на стыке геометрии, анализа, теории дифференциальных уравнений, теории групп и других разделов математики и механики. Методы расслоенных пространств использует гамильтонова механика и физика, [1].

Первые результаты по теории касательных расслоений принадлежат японским математикам: Сасаки, [23], Яно, Ишихара, [26]. Наряду с касательными расслоениями с конца 60-х годов прошлого века началось изучение двойственных им кокасательных расслоений, к числу первых можно отнести работы Яно, Мока [27], [22]. В указанных работах авторы рассматривали теорию продолжения тензорных полей и аффинных связностей из дифференцируемого многообразия в его касательное и кокасательное расслоение. В известной работе Яно и Ишихара [25] подведены итоги развития геометрии касательных и кокасательных расслоений до 1973 года.

Общая теория тензорных расслоений была рассмотрена Б. Л. Лаптевым. В работе [8] он, обобщая понятие пространств Финслера, Бервальда, Картана, вводит понятие пространства тензорных опорных элементов, аксиоматически строит аффинную связность в таких пространствах путем обобщения понятия ковариантного дифференцирования. Исходя из ряда требований, определяющих строение ковариантного дифференциала относительного тензора, им было показано, что указанная связность определяется заданием некоторых пфаффовых форм [8]. Такую связность называют внутренней (инфинитезимальной) связностью расслоенного пространства.

Существенные результаты по теории внутренних связностей векторных расслоений получил Тонг, итоги его исследований подведены в работе [24]. Им построена операция внутреннего ковариантного дифференцирования на модуле сечений векторного расслоения. Операция ковариантного дифференцирования в свою очередь может быть положена в основу определения внутренней связности.

Обобщения понятия внутренней связности начались с работ Вонга и Молино. Общую конструкцию обобщенной связности в векторных расслоениях предложил Спесивых В. Л., задавая ее с помощью аффинора [10].

Вопросами построения и изучения внешней связности на векторных расслоениях занимался Б. Н. Шапуков [12]. Им показано, что если на векторном расслоении задана внешняя связность, то при некоторых условиях в расслоении определяется, некоторая внутренняя связность, в общем случае нелинейная.

При изучении векторных расслоений особое внимание Б. Н. Шапуковым уделено тензорным расслоениям, поскольку здесь появляются специфические структуры [13], [14]. Обзор результатов по дифференциальной геометрии тензорных расслоений изложен Б. Н. Шапуковым в работе [15].

Одним из способов получения внешней связности на расслоении является поднятие базовых связностей в расслоенное пространство. Общая теория лифтов тензорных полей и аффинных связностей с дифференцируемого многообразия в его касательное расслоение была разработана К. Яно, А. Леджером, Ш. Кобаяси, Ш. Ишихарой.

Неоднократно, с различных точек зрения рассматривался полный лифт линейной связности на касательных расслоениях различного порядка, [4]. На расслоении линейных реперов он был построен в работе Мока [21], на тензорных расслоениях полный лифт построен Б. Н. Шапуковым в работе [16]. Проблему построения полного лифта в аффинорное расслоение рассматривал П. Л. Беляев в [2].

Горизонтальный лифт линейной связности, заданной на базе, в касательное и кокасательное расслоение построен в работе [25] К. Яно и Ш. Ишихара, в тензорном расслоении произвольного типа (p, q) горизонтальная связность изучена Б. Н. Шапуковым в работе [19].

В работе [20] изучаются обобщения расслоения аффиноровтензорные расслоения типа (1,<7), определяется диагональный лифт римановой метрики с базы в это расслоение.

Вопрос об инфинитезимальных преобразованиях расслоений над дифференцируемым многообразием с заданной связностью имеет большое значение. Он достаточно подробно изучен для касательных расслоений, [25]. И. П. Егоров изучал преобразования в пространствах аффинной связности, а также в различных обобщениях пространств аффинной связности, [6].

Целью представленной работы является изучение инфинитезимальных аффинных преобразований расслоения дважды ковариантных тензоров со связностью горизонтального лифта.

Методы исследования. Исследования проводятся в основном локально, с использованием аппарата тензорного анализа. Функции, тензорные поля предполагаются гладкими класса С°°.

Научная новизна. В работе построен горизонтальный лифт линейной связности, заданной на гладком многообразии, с помощью другой линейной связности, заданной на базе, в расслоение дважды ковариантных тензоров.

Получено разложение произвольных инфинитезимальных аффинных преобразований расслоения (7,20(МИ), Vй). Найдены необходимые и достаточные условия существования этого преобразования. Выяснена структура тензорных полей, входящих в разложение этого преобразования.

Теоретическое значение. Работа носит теоретический характер, является продолжением изучения тензорных расслоений типа (0,2) и инфинитезимальных аффинных преобразований этих расслоений. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего развития теории тензорных расслоений.

Диссертация изложена на 107 страницах и состоит из введения, трех глав, содержащих 20 параграфов и списка литературы.

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. — М.: Наука, 1974. — 322 с.

2. Беляев П. Л. Аффинорные расслоения: дисс.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.04: защищена 22.12.93 / П.Л. БеляевКазан, гос. ун-т. Казань, 1993.-107 с.

3. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра / Н. Бурбакиперевод с фр. Д. А. Райкова. М.: Физ-мат. издат., 1962. — 516 с.

4. Евтугаик JI.E. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик и др. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. — Т. 9. — С. 5−247.

5. Егоров И. П. Геометрия / И. П. Егоров. М., 1979. 256 с.

6. Егоров И. П. Движения в пространствах аффинной связности. Ученые записки / И. П. Егоров. Казань: Изд. КГУ, 1965. — 206 с.

7. Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. М., 1976.-423 с.

8. Спесивых В. Л. Обобщение понятия связности в векторном расслоении / В. Л. Спесивых // Известия вузов. Мат. 1979. -№ 6. — С. 74−77.

9. Султанов А. Я. Некоторые лифты в расслоении линейных реперов/ А. Я. Султанов // Движения в обобщенных пространствах. Пенза, 1991. -С. 150−157.

10. Шапуков Б. Н. Связности на дифференцируемых расслоениях / Б. Н. Шапуков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ. -М., 1983.-Т 15.-С. 61−93.

11. Шапуков Б. Н. Структура тензорных расслоений, I / Б. Н. Шапуков // Известия вузов. Мат. 1979. — № 5. — С. 63−73.

12. Шапуков Б. Н. Структура тензорных расслоений, II / Б. Н. Шапуков // Известия вузов. Мат. 1981. — № 9. С. 56 — 63.

13. Шапуков Б. Н. Тензорные расслоения / Б. Н. Шапуков // Памяти Лобачевского посвящается. Казань: Изд-во КГУ, 1992. — Вып. I. — С. 104−125.

14. Шапуков Б. Н. Лифт связности на тензорных расслоениях / Б. Н. Шапуков // Известия вузов. Мат. 1986. — № 12. — С. 70−72.

15. Шапуков Б. Н. О структуре тензорного пространства / Б. Н. Шапуков // Труды геометрического семинара. Изд-во КГУ, 1978. — Вып. 10. — С. 97−106.

16. Шапуков Б. Н. Связности на дифференцируемых расслоениях / Б. Н. Шапуков // Проблемы геометрии. М., 1983. — Т. 15. — С. 61−93.

17. Шапуков Б. Н. Структуры на расслоенных многообразиях и вопросы редукции: дисс.. докт. физ.-мат. наук: 01.01.04 / Б. Н. Шапуков. -Казань, 1990.-283 с.

18. Cengiz N. Diagonal lift in the tensor bundle and its applications / N. Cengiz, A.A. Salimov// Appl. Math. Computation. 142 (2003). — P. 309−319.

19. MokK. Complete lifts of tensor fields and connections to the frame bundle / K. Mok. // Proc. London Math. Soc. 1979. — V. 38. — № 1. — P. 72 — 88.

20. MokK. Metrics and connections on the cotangent bundle / K. Mok. // Kodai Math. Sem. Rep., 1977. V. 28. — P. 226−238.

21. Sasaki Sh. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds / Sasaki Sh. // Tohoku Math. J. 1958. — № 3. — P. 338−354.

22. Tong V.D. Sur la geometrie differentielle des fibres vectoriels / V.D. Tong // Kodai Math. Semin. Repts, 1975. — № 4. — C. 349 — 408 (РЖМат, 1976, 5A657).

23. Yano K. Tangent and cotangent bundles. / K. Yano, S. Ishihara // Differential geometry. New York, 1973. — 423 p.

24. Yano K. Fibred spaces and projectable tensor fields / K. Yano, S. Ishihara I I Perspectives geometry and relativity. Bloomington — London: Indiana Univ. Press, 1966. (РЖМат, 1968, 5A617).

25. Yano K. Horizontal lift from a manifold to its cotangent bundle / K. Yano, E.M. Patterson // Jour. Math. Soc. Japan, 1967. — V. 19. — P. 91−113.