Прямые SK, Sa, Sb … равны боковому ребру пирамиды (или образующей конуса), а длина ломаной Kab… L равна периметру основания пирамиды. При неограниченном уменьшении боковых граней вписанной пирамиды развертка ее увеличивается, приближаясь к предельному сектору SKM, у которого дуга KM равна окружности основания, а радиус SK — образующей конуса. Этот сектор называется разверткой боковой поверхности конуса. Подобно этому можно получить развертку боковой поверхности усеченного конуса (рис.
19) в виде части кругового кольца KMNP. Лемма 2. Объем конуса есть общий предел объемов правильных вписанных и описанных пирамид при неограниченном удвоении числа их боковых граней. Впишем в конус и опишем около него по какой-нибудь правильной одноименной пирамиде. Употребляя те же обозначения, как и в предыдущем параграфе, будем иметь: V2=13B2HV1 =13B1HОткуда:V2 — V1=13H (V2 — V1) Из этого равенства видно, что разность V2 — V1 стремится к нулю, когда число боковых граней вписанной и описанной пирамиды неограниченно удваивается. А так как каждая из разностей: V2 — V и V — V1 меньше V2 — V1, эти разности и подавно стремятся к нулю. А это значит, чтоV = пред. V1 = пред V2Теорема. Объем конуса равен произведению площади основания на треть высоты. Впишем в конус правильную пирамиду. Тогда, употребляя прежние обозначения, будем иметь:
для пирамидыV1 = 1/3B1HЭти равенства остаются верными, сколько бы мы ни удваивали числа боковых граней пирамиды. Поэтому они останутся верными и тогда, когда вместо переменных подставим их пределы, следовательно:
для конусаV = 1/3BHСледствие. Если радиусы основания цилиндра или конуса обозначим через R, то B = R2. Поэтому:
об. кон. V = 1/3R2HЗадачи на тему «Конус"Задача 1Объем конуса V. Высота его разделена на три равные части и через точки деления проведены плоскости параллельно основанию. Найти объем средней части. Плоскости A1B1 и A2B2 отделили от конуса АСВ, конус A1CB1 и конус А2СВ2, подобные данному конусу. Их объемы (V, V1 и V2) относятся, как кубы высот:
Объем Vcp средней части A1A2B2B1 равен V1— V2. Вычитая из первой пропорции вторую, найдем VcpЗадача 2Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2α, а сумма длин его высоты и образующей равна т. Найти объем и полную поверхность конуса. Из треугольника АОЕ находим.
Из треугольника OBD имеем H = Rctgβ, Задача 3На одном и том же основании построены два конуса (один внутри другого); угол между высотой и образующей меньшего конуса равен α, а угол между высотой и образующей большего конуса равен β. Разность высот конусов равна h. Найти объем, заключенный между боковыми поверхностями этих конусов. По условию OC—OC1= h. ИмеемOC = R ctg βOC1= RctgαСледовательно, Искомый объем V равен разности объемов конусов АСВ и AC1B. Следовательно, Задача 4Боковая поверхность конуса, будучи развернута на плоскость, представляет круговой сектор с углом α и хордой а. Определить объем конуса.
Из равнобедренного треугольника ADA1 находим.
Если α есть радианная мера угла ADA1, то.
До развертывания боковой поверхности отрезок AD был образующей конуса, так чтодуга АВСА1 была окружностью основания, так что.
Высота Н конуса равнагде α— радианная мера данного угла. Задача 5Через вершину конуса под углом φ к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу α; расстояние плоскости от центра основания равно а. Найти объем конуса.
Угол DOM равен углу φ= / DEO. Из / ODM и / ОЕМ находим.
Задачи на комбинации круглых тел.
Задача 1Радиус основания конуса равен R, а угол при вершине осевого сечения равен α. Найти объем правильной треугольной пирамиды, описанной вокруг конуса. Так как радиус ОE окружности, вписанной в основание, равен R, то AB = 2R√3. Из /DOE находим DO = H = Rctgα/2.Отв. V =√ 3 R3ctgα/2 .Задача 2 В усеченный конус вписан шар радиуса r. Образующая конус наклонена к основанию под углом α. Найти боковую поверхность усеченного конуса.
На рис. изображено осевое сечение. ИмеемSбок. = π
l (r1 + r2) = π • АD • (АМ + DN).Ho AM+DN=AF+DF=AD. Поэтому Sбок. = π • АD2 .
Из трeугольника AED, где DE = MТ = 2r, находим AD = 2r/sin α Задача 3Около шара описан усеченный конус, у которого образующие наклонены к основанию под углом α. Определить полную поверхность этого усеченного конуса, если радиус шара равен r. Имеем Sп. = Sбок. + π(r12 + r22) .
Из треугольника АОМ находимAM = r1 = OM • ctg α/2 = r ctg α/2 .Из треугольника DON, где, имеемDN = r2 = rctg (90°— α/2) = rtgα/2Вычисления упростятся, если выражение r12 + r22 преобразовать, так: r12 + r22 = (r1 + r2)2 — 2r1r2. Так как r1 + r2 = l и Sбок. = π l2(см. предыдущую задачу) и из прямоугольного треугольника AOD имеем AF • FD = OF 2 или r1r2 = r2, тоSп. = π l2 + πl2 — 2πr2 = 2π (l2 — r2).Сюда подставим Задача 4 В усеченный конус вписан шар радиуса r.
Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом α. Найти объем конуса.См. предыдущую задачу. Имеем.
Сюда подставляем Задача 5 В шар вписан конус, объем которого равен ¼ объема шара. Найти объем шара, если высота конуса равна Н. При обозначениях на рисунке объем шара равен 4/3πR3, а объем конуса AСВ равен 1/3πr2 • СО1 = 1/3πr2H. По условию1/3πr2H = ¼ •4/3πR3т. е. r2H = R3. Еще одну зависимость между r и R мы получим из прямоугольного треугольника CAD; именно, АО12 =CO1 • DO1 т. е.
r2 = H (2R — Н). Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим R3 — 2H2R + H3= 0. Хотя это уравнение третьей степени относительно неизвестного R, но одно его решение R = H сразу усматривается (его можно было угадать и непосредственно по условию, так как конус, у которого радиус основания и высота равны радиусу шара, составляет по объему ¼ шара). Следовательно (по теореме Безу), левую часть можно разложить на множители, один из которых равен R — H.
Для этого достаточно разделить R3 — 2H2R + H3 на R — H или применить такое преобразование: R3 — 2H2R + H3 = (R3 — H2R) — (H2R — H3) = R (R— Н) (R + H) — H2(R — H) = =(R — H) (R2+ RH — H2)=0.Уравнение R2+ RH — H2 = 0 имеет один положительный корень (отрицательный корень не годится). Геометрически это означает, что радиус шара равен большей части высоты конуса, разделенной в крайнем и среднем отношении.Отв. Задача имеет два решения: V = 4/3πH3 и V = 4/3π (√5 — 2) H3.
Заключение
.
Изучая свойства геометрических фигур — воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т. д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. В этом состоит практическое (прикладное) значение геометрии. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники. При изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их изображениями на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирается то из них, которое создает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования ее свойств. В результате работы рассмотрены круглые тела в геометрии: шар, цилиндр и конус. Даны ихз определения, получены формулы прощади поверхности и объема, приведены примеры решения задач.
Список литературы
Азевич А. И. 20 уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. -.
М.: «Школа-Пресс», 2005. (серия «Готовимся к ЕГЭ.).Азевич А. И.
Задачи по геометрии. 10−11классы. Дидактические материалы и контрольные работы. — М.: «Школьная пресса», 2005.
Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Стереометрия. Геометрия в пространстве. ;
Висагинас, Аlfa, 1998. — 576с. (Библиотека школьника) Алексеев А. С., И. Г. Вяльцева, Г. Д. Глейзер, В. И. Каетченко. Дидактические материалы по математике для 12 класса вечерней (сменной) общеобразовательной школы.
— М.: Просвещение, 1990.
Амелькин В. В., Т. И. Рабцевич, В.
Л. Тимохович Геометрия на плоскости: Теория, задачи, решения: Учеб. пособие по математике Мн.: ООО «Асар», 2003. —.
592 е.:Габович И. Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.—192 сГеометрия 10−11 Учебник для общеобразовательных учреждений. Л.
С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кодомцев и др.
М.: Просвещение.
Геометрия. Базовый курс с решениями и указаниями. (ЕГЭ, олимпиады, экзамены в вуз).: Учебно-методическое пособие / Золотарёва Н. Д., Семендяева Н. Л., Федотов М. В. — М: Изд-во Фойлис, 2010.
Готман Э. Г. Стереометрические задачи и методы их решения.—М.:МЦНМО, 2006.—160 сГусев В. А., В. Н. Литвиненко, А. Г Мордкович Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей.— 2-е изд., перераб. и доп.—.
М.: Просвещение, 1992.— 352 сЕременко С. В., Сохет А. М, Ушаков В. Г. Элементы геометрии в задачах. ;
М. МЦНМО, 2003. — 168 с. Игровые уроки математики 5−11 классы (пособие для учителей математики) Е. В. Ерохина. Издательство: «Грамотей», 2004.
Калинин А.Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. — М., МФТИ, 1996. — 256 с. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии / В. С.
Крамор. — 4-е изд. —.
М.: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. — 336 сМатематика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы Д. И. Аверьянов, П. И. Алтынов, И. И. Бабрин и др. М.:Дрофа.
Полонский В.Б., Рабинович Е. М., Якир М. С. Учимся решать задачи по геометрии.— К.: «Магистр-S», 1996. — 256 с. Поурочная разработка по геометрии: 10 класс (сост. В. А. Яровенко) в помощь школьному учителюМ.: ВАКО, 2010.
Прасолов В. В. Задачи по стереометрии: Учебное пособие. — М.: МЦНМО, 2010. — 352 с. Прасолов В. В., Шарыгин И.
Ф. Задачи по стереометрии.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989.— (Б-ка мат. кружка).—288 сСмирнов В.А. ЕГЭ-2011.
Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия/ под редакцией А. Л. Семёнова и И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2011.
Фискович Т. Т. Геометрия без репетитора.
УНЦ ДО МГУ, 1998. — 152 сФискович Т. Т. Геометрия для старшеклассников и абитуриентов.
— Добросвет, 2000. — 192 сЧерняк А.А., Ж. А. Черняк. Геометрия 7−11 классы. — М.: Дрофа, 2011 (ЕГЭ: Шаг за шагом).Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики.
Геометрия (стереометрия). — 2-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. — 280 сЯщенко И.В., Шестаков С. А., Захаров П. И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010 году.
Методические указания. — М.: МЦНМО, 2009.
