Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной

Диссертация: Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Для решения краевых задач (первой и третьей) для уравнения (0.1) получены априорные оценки, откуда следует единственность решения рассматриваемых задач. В частности, для гиперболического уравнения третьего порядка получена априорная оценка из класса £Г22(0,/). Для решения начально-краевых задач для различных классов обобщенных уравнений переноса получены априорные оценки, откуда следует… Читать ещё >

Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава 1. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса
    • 1. Третья краевая задача. Априорная оценка в дифференциальной форме
    • 2. Априорная оценка в Ж>2(0,1) в случае первой краевой задачи
    • 3. Случай незнакоопределенного оператора
    • 4. Нелокальные задачи для модифицированного уравнения влагопереноса
  • Глава 2. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной
    • 1. Метод разделения переменных для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной
    • 2. Единственность решения первой краевой задачи
    • 3. Метод прямых для решения первой краевой задачи
      • 3. 1. Априорная оценка для системы разностных уравнений
      • 3. 2. Решение системы разностных уравнений, возникающих в методе прямых
    • 4. Априорная оценка для решения третьей краевой задачи
    • 5. Случай незнакоопределенного оператора
    • 6. Нелокальная краевая задача. Априорная оценка
    • 7. Метод прямых для решения третьей краевой задачи
  • Глава 3. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной в главной части
    • 1. Первая краевая задача для уравнения диффузии дробного порядка
      • 1. 1. Метод разделения переменных для обобщенного уравнения влагопереноса
      • 1. 2. Неоднородное уравнение влагопереноса
    • 2. Априорная оценка для решения первой краевой задачи
    • 3. Третья краевая задача. Априорная оценка
    • 4. Существование и единственность решения первой краевой задачи для обобщенного уравнения влагопереноса

Многие вопросы, связанные с передачей тепла в гетерогенной среде [38], с переносом влаги в почво-грунтах [43], [56] приводят к модифицированному уравнению диффузии где к — коэффициент влагопроводности, А — коэффициент пропорциональности Аллера. В настоящее время стало очевидным, что при решении многих задач в физике, биологии часто встречаются среды и системы, которые хорошо интерпретируются как фракталы, примерами которых могут служить полимерные материалы [7], сильно пористые среды. При решении таких задач возникла необходимость изучения краевых задач для дифференциальных уравнений с дробной производной [6], [16], [27]-[30], [45].

Уравнениям переноса в средах с фрактальной геометрией посвящены ряд интересных работ [18]-[22], [44], [58].

В [46], [47] предложена физическая интерпретация дробной производной, не связанная с той или иной конкретной проблемой. Обобщение уравнений переноса можно проводить по-разному. В [46] дается обобщение потока (закон Фурье-Фика), вводя дробную производную по времени в виде где — оператор дробного интегрирования (при, а < 0) и дробного дифференцирования (при а> 0) порядка, а с началом в точке а, определяемый как в [34] формулой и.

0.1) = (*,/), 0 < а < 1.

0.2).

— а) 'ги (х, т) й Г, а — 0, где [а]- целая часть числа а, а < а < а + 1, Г (г) — гамма-функция Эйлера.

Подставляя (0.2) в уравнение неразрывности и (- -]х, получаем ди 1 д2и.

Действуя на обе части (0.3) оператором ?>07, получим ^ + (0.4).

0/ Эх2 Г (аУ~а.

Уравнение (0.4) описывает медленный случайный процесс. Поэтому это уравнение называют сейчас уравнением субдиффузии.

Теория развития дифференциальных уравнений дробного порядка началась, по-видимому, с работы L. O'Shaughnesse [59] в 1918 году. Несколько позже к дифференциальному уравнению дробного порядка пришел С. Ман-дельброт (1925 г.) [57].

Из более поздних работ следует отметить работу Нахушева A.M. [31], где изучена задача Штурма — Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах т.

Lu = и" + а0 (х)и' + ^ а. со. [х)и + ат+1 (х)и = /(*),.

7=1 p0u'(0) + q0u (0) = rQ, plu'(l)+qlu () = rx, где 0 < ат <.<ах< 1.

Для весьма общего линейного дифференциального уравнения в работе [15] Джрбашяна М. М., Нерсесяна А. Б. доказана теорема существования и единственности задачи типа Коши.

Алероев Т.С. [1], [2] исследовал спектральные вопросы для уравнения и" (х)+ ci{x)Dqxu — fix). л.

Он показал, что при /? > 0 в классе функций С[0Д] п С [ОД] задача г/(о)+ О) = w (l) = 0, f{x) = 0, а (х) = X не имеет отрицательных собственных значений и имеет не более чем счетное множество собственных значений.

Еще раньше Нахушевым A.M. [31] показано, что число Л является собственным значением последней задачи тогда и только тогда, когда Я является нулем функции Миттаг-Леффлера Е2а 2(- Л).

Ряд работ Вебера В. К. [8]- [13], Иманалиева М. Н. [17] посвящен исследованию дифференциальных уравнений дробного порядка в пространствах обобщенных функций.

Бабенко Ю.А. в работе [3] применил для определения тепловых потоков метод расщепления оператора уравнения теплопроводности на два множителя, каждый из которых содержит только первую производную по х и производную порядка ^ по t. Подход Бабенко Ю. А. позволяет определить тепловой поток на границе х = О дТ дх х=0 J Ч дТ дх без решения задачи.

1 d |Г0(г)й?т х=0.

К dt о (t г)>2' гДе rL=0 = Ш.

Изложенный результат Бабенко Ю. А. справедлив только тогда, когда температура удовлетворяет уравнению гд д2 ^ dt дх2.

Т = О, 0 < х < со, 0 < i < со и дополнительным условиям г (о, 0 = Щ тх=оо = о, тх=0 — о.

Тот же результат еще раньше получен в [25] с помощью операторного метода Хевисайда.

В данной диссертационной работе наряду с модифицированным уравнением влагопереноса (0.1), для описания процессов в сильно пористой среде со структурой, обладающей фрактальной геометрией рассматриваются обобщенные уравнения переноса с дробной по времени производной.

В> = (ких)х + Аих:&bdquo-+/(*, О,.

К" = (К)л- +оХ, + /М.

0.7).

0.6).

0.5).

Целью работы является исследование краевых задач для модифицированного уравнения влагопереноса, а также обобщенных уравнений диффузии дробного порядка.

В диссертации получены следующие результаты:

1. Для решения краевых задач (первой и третьей) для уравнения (0.1) получены априорные оценки, откуда следует единственность решения рассматриваемых задач. В частности, для гиперболического уравнения третьего порядка получена априорная оценка из класса £Г22(0,/).

2. Методом Фурье доказано существование решения первой краевой задачи для некоторых классов обобщенных уравнений диффузии дробного поряд.

3. Для решения начально-краевых задач для различных классов обобщенных уравнений переноса получены априорные оценки, откуда следует единственность решения рассматриваемых задач. Отдельно изучен случай, когда знак эллиптической части оператора неопределен.

4. Доказана сходимость метода прямых для первой и третьей краевых задач для обобщенного уравнения диффузии дробного порядка (0.5). Перейдем к более детальному изложению диссертации.

и результаты работы [55].

Единственность решения первой краевой задачи для уравнения (3.26) с ненулевым начальным условием реализуем методом априорных оценок. То есть в той же области ()т = (0, /) х (О, Т) рассмотрим следующую задачу для уравнения (3.26): м (0,0 = м (/, 0 = 0 (3−34).

АзТУ-М)!^ =и0{х) (3.35).

Получим априорную оценку для решения этой задачи. Для чего умнои (х, т) с1т.

1 V жим уравнение (3.26) скалярно на II = —-г.

Г (1 — а) ' (/ - т) а и) = 0ихх, и) + Ф1ихх, и) + (/, и),.

3.36) где (м, у)= uvdx, (и, и) — ||м||2. о.

Преобразуем слагаемые тождества (3.35) с учетом (3.33): 1 — М-а Ы (.-гГ Т (-а)1и-тГ №.

1-Мо 2 а?" 110 1 I и (х, т) с1г 1 | / ги (х, т) с! сЬс —.

Г (1 — а).

М{.

1 V / гих (х, т) с1т.

Г (1 — «) о о (* - г) а х,?)] —-г-=.

О О г-гУ х. I, а 1 1гихх (х, т) с1т 1 а? Г (1 — а) 5 — а) $ (/-г) I х, т)(Л т с! х.

1 'г, а 'гИ^ (х, г) с/г т) с1т.

1 ] Л/ ] /, а .).

Г2 (1 —) о * (, г)".

Г2(1 — a) d z) dr z) di dti [t-rf I (t-T)c lrd lrUx (x, r) dT 'rUx (x, dt! (t-rf I (t-zf X.

—ЦС/ II2 2 dt «f^)<\fW2pt.

С учетом полученных неравенств из (3.36) получим.

1 ^ !|тИ|2 1.

— а ux (x, t)[ lrUx{x, t) dT 1 д И, 2 1 и 1,2 1 о о {t — т).

Проинтегрируем (3.36) по гот 0 до t t i.

1 и «, 2 dx +—t/JL <

2 dt 2 + 2.

3.37).

I t l T.

—dTux (x, T).

Ч1 — a) 0J о о u.

2″ 110 2 t-Tx)'.

Введем обозначение:

Ж У? oJ ' о^ о (^г — ^п) ' ' T-f (h)dT.

Г (1.

Рассмотрим интеграл.

Ь M/MJ.

0 0 о r-rj i/wjf^^.

V «о (х- —) Пользуясь формулой для гамма-функции t~a cos ktdt = ^^ cos —, к > 0, 0 < и < 1,.

I к" 2 при к = {т — т{), jLi = а получаем 1.

71 т-тх)а r (a)cos an 2 0.

J.

3.38).

3.39).

3.40).

Из (3.39) с помощью (3.40) находим.

1 j/® ^ г t Т СО.

-— J/(Гf{zx)i/rj cos ?(r — r,)d? =.

Г (ог)Г (1 — ос) cos ~ * 0j 0j.

CO t т f{z)cos%zdz Jf (zx)cos%zxdzx +.

Г (а)Г (1 — a) cos jg ad^Jf (z) sin?-zdz jf (zx) sin %zxdzx.

0 0 0.

Преобразуем внутренний интеграл таким образом: t г.

J/® cos %zdz |/(r i) cos ?, zx dzx =.

J] i. jf (zx) cos %zxdzx 2.

V0 1 2 i/r = ^ J.

J./ (tj) cos %zxdzx.

Vo 2 t jf (zx) cos? zxdzx vo.

Итак, окончательно получаем, что.

J = к.

2r (a)r (l — a) cos an.

2 0.

J //(rOcosr^r,.

Л2.

VO (t + f (zx)smz^dzx vo.

V2 d: t>0 так как имеем сумму двух неотрицательных слагаемых: Г (а) > 0 и.

0<1..

Усиливая неравенство (3.38), получаем mi^MI^II/L н- ?u (x, T) idT+\"0(4i+KWo <3−41).

Откуда следует I о где +КМ|о +КМ1о •.

На основании леммы из (3.41) окончательно находим.

Нх, 01о2 +|с/, М1о +КМо +КМ1- или.

Если / -и0 = 0 из (3.42) получаем.

А2 (I (т 2.

1 |м (х, т) с1т 1.

Г (1 а их (х, т) с1 t-rf.

В дальнейшем нам потребуется следующая теорема из [40]. Теорема. Уравнение Абеля.

1 V (р{т)с1т 0 Ь.

М-а.

-оо<�а<1<�Ь, 0 < а < 1 разрешимо в Ь[а, Ь] тогда и только тогда, когда.

0"~1/еАС[а, Ь1 ш1%Г1/ = 0..

3.42).

3.43).

3.44).

При выполнении (3.44) единственное решение уравнения Абеля задается формулой.

1 д /{т)с1т р (!) = Ь.

Здесь АС[а, Ь]~ класс абсолютно непрерывных на отрезке [а, Ъ] функций. На основании теоремы из (3.43) следует, что и (х, 0=О..

Показать весь текст

Список литературы

  1. Т.С. Задачи Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах. //Дифференц. уравнения. 1982, т. 18, № 2. С. 341.
  2. Т.С. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных операторов. //Дифференц. уравнения. 1984, т.20, № 1. С. 171−172.
  3. Ю.И. Тепломассообмен. Метод расчета тепловых и диффузионных потоков. Л.:"Химия", 1986,144с.
  4. И.С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т.2. ГИФМЛ, 1962, 640с.
  5. Н.Ф. и др. Расчетные методы прогноза водного режима и его регулирование // В сб. «Физика, химия, биология и минералогия почв СССР», М., 1964.
  6. А.Л. Влияние особенности структуры порового пространства на фильтрационные характеристики низкопроницаемых коллекторов Красноле-нинского свода. Диссерт.канд. геол.-мат.наук. М., 1989.
  7. Р.Л., Товик П. Дж. Дифференциальное исчисление, основанное на производных дробного порядка-новый подход к расчету конструкций с вязко-упругим демпфированием. //Аэрокосмическая техника. 1984, т.2, № 2, С.84−93.
  8. В.К. Асимптотическое поведение решений линейной системы дифференциальных уравнений дробного порядка. Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16,1. С.119−125.
  9. В.К. К общей теории линейных систем с дробными производными. Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып. 18, С.301−305.
  10. B.K. Линейные уравнения с дробными производными и постоянными коэффициентами в пространстве обобщенных функций. Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1985, вып. 18, С. 306−312.
  11. В.К. Об одном дифференциальном уравнении нецелого порядка. Сб. трудов аспирантов и соискателей Кирг. ун.-та. Сер.мат. наук. 1973, вып. 10,1. С.7−14.
  12. В.К. Пассивность линейных систем дифференциальных уравнений с дробными производными квазиасимптотика решений. Исследование по ин-тегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1983, вып. 16, С.349−356.
  13. В.К. Структура общего решения системы у^ = Ау, 0 < а < 1. Сб. трудов аспирантов и соискателей Кирг. ун.-та. Сер.мат. наук. 1976, вып.11, С.26−32.
  14. М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области.М., 1966.
  15. М.М., Нерсесян А. Б. // Изв.АН АрмССР. Математика. 1968, т. З, № 1, С.3−29.
  16. О.Ю. // Изв. АН СССР, МЖГ. 1990, № 5, С.66−70.
  17. М.И., Вебер В. К. Об одном обобщении функции типа Миттаг-Леффлера и его применение. Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии. Фрунзе: Илим, 1980, вып. 13, С.49−59.
  18. В. Л., Кобелева О. Л., Кобелев Я. Л., Кобелев Л .Я.// ДАН, 1987, т.355, № 3, С.326−327
  19. В.Л., Романов Е. П., Кобелев Я. Л., Кобелев Л. Я. //ДАН, 1998, т.361, № 6, С.755−758
  20. Я.Л., Кобелев Л. Я., Романов Е. П. //ДАН, 1999, т.369, № 6, С.332−333
  21. А.Н. Диффузия дробного порядка //Дифференц. уравнения, 1990, т.26, № 4, С.660−670
  22. А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка //Дифференц. уравнения, 1989, т.25, № 8, С. 1359−1368
  23. В.Я. Исследование движения почвенной влаги с точки зрения инвариантности относительно непрерывных групп преобразований // В сб. «Исследование процессов обмена энергией и веществом в системе почва-растение-грунт». Л.:Наука, 1972
  24. С.К., Об одной краевой задаче для уравнения Signymuxx +иуу = 0. //Дифференц. уравнения. 1976, т.12, № 1. С.79−88
  25. Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. 1,2. Гостехиз-дат, 1951,220 с.
  26. O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.
  27. A.B., Ефимов В. А. //ИФЖ. 1991, т.61, № 4, С.635−640
  28. A.B. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой порового пространства, обладающей фрактальной геометрией. //ИФЖ. 1992, т.62, № 3, С.405−410
  29. А.Б., Динариев О.Ю.//ЖТФ.1987, т.57, вып.9, С. 1679−1685
  30. А.Б., Динариев О. Ю. //ЖТФ.1988, т.58, вып.2, С.233−237
  31. A.M. Задача Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах. //ДАН СССР, 1977, т.234, № 2, С.308−311
  32. A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их приложениях. Нальчик, 1995, 50 с.
  33. A.M. О справедливости одной априорной оценки. // ДАН СССР, 1981, т.257, № 1, С.45−47
  34. A.M. Уравнения математической биологии. М. Высшая школа, 1995,301с.
  35. C.B., Юзефович Г. И. О расчете нестационарного движения влаги в почве // Докл. ВАСХНИЛ, № 6, 1966
  36. A.A. Основы учения о почвенной влаге. Л.: Гидрометеоиздат, 1965
  37. Е.С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород. Недра, 1966
  38. Л.И. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах. Изв. АН СССР.сер.Геогр., 1948, т. 12. № 1. С.27−45
  39. A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989, 616 с.
  40. С.Г., Килбас A.A., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: «Наука и техника», 1987,688с.
  41. В.И. Курс высшей математики, т.2, М.:Наука, 1967,628 с.
  42. А.П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // ДАН СССР, 1987, т.297, № 3. С.547−552
  43. А.Ф. Теплофизика почв. М.:Наука, 1976, 352 с.
  44. К.В. ЖЭТФ. 1995, т. 108, вып. 5(11), С. 1875−1884
  45. Д., Кефер К. Фракталы в физике. Труды 6-го Междунар. симпоз. по фракталам в физике (МЦТФ. Триест, Италия, 9−12 июня 1985) М., 1988, С.62−71
  46. В.Х., Кумыкова С. К., Шхануков-Лафишев М.Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные // Доклады АМАН, т.2 № 6, 1996, С.43−45
  47. В.Х., Шхануков-Лафишев М.Х., Бештоев Х. М. Дробные производные: интерпритация и некоторые применения в физике. Препринт. Сообщения объединенного института ядерных исследований. Дубна, 1997, Р. 497−81
  48. М.Х. Исследование краевых задач для уравнения третьего порядка методом функции Римана // Сообщение АН ГССР, 1983
  49. М.Х. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка. Докт. диссертация. Москва: МГУ, 1985
  50. М.Х. Об одном методе решения краевых задачах для уравнения третьего порядка // ДАН СССР, 1982, т.265, № 6. С.1327−1330
  51. М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах// Дифференц. уравнения, 1982, т. 18, № 4. С.689−699
  52. М.Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальные свойсва его решений // ДАН СССР, 1982, т.267, № 3. С.567−570
  53. Г. И., Янгарбер В. А. Исследование нелинейного уравнения вла-гопереноса. //Сб." Труды по агрофизике", вып. 14, «Колос», 1967
  54. А.И. Расчет годового хода влажности почв и грунтов. // Вестник с.-х наук, № 8, 1961
  55. В.А. О смешанной задаче для модифицированного уравнения влагопереноса // ЖПМиМФ, 1967, № 1
  56. Hallaire M Leanetla production vegetable.- Institut National dela Recherahe Agronomique. 1964, № 9
  57. Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del calcolo delle variazione // Atti Reale Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Vat. Enatur. Ser. 6.1925. Vol. 1. p. 151−156
  58. Nigmatullin R.R. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry. // Phys. Status Solidi. B. 1986. Vol. 133, № 1. P.425−430
  59. O’Shaughnessy L. Problem #433 //Amer. Math. Moth. 1918. Vol. 25 P172−173
  60. M. А. Решение одной краевой задачи для волнового уравнения дробного порядка // Сб. научных трудов института математики Нац. АН Украины. Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики Киев, 1997, С. 144−145.
  61. М. А., Шхануков M. X. Априорные оценки для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной // Вестник СОГУ Владикавказ, 1999, С 17−21.
  62. М. А. Об одной краевой задаче для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной // Доклады АМАН Нальчик, 1999, т.4, № 1, С. 12−14.
  63. М. А. Первая краевая задача для обобщенного уравнения влагопереноса // Сб. научных трудов института математики Нац. АН Украины. Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики -Киев, 2000, С. 79−81.
  64. М. А. Третья краевая задача для модифицированного уравнения влагопереноса // Сб. научных трудов. 4 Всероссийский симпозиум «Математическое моделирование и компьютерные технологии» Кисловодск, 2000 С 64−65.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!