В этом случае любое число удовлетворяет определению частного, данной в главе «Натуральные числа». Например, можно положить 0:0=5, ибо 5*0=0; но с равным правом 0:0=, ибо *0=0. Можно сказать, что задача деления нуля на нуль имеет бесконечное множество решений, и без указания дополнительных данных действие 0:0 не имеет смысла. Дополнительные данные должны стоять в указании того, каким образом изменялись величины делимого и делителя до того, как они стали нулями. Если это известно, то в большинстве случаев можно выражению 0:0 придать смысл.
Так, если известно, что делимое принимало последовательно значения и т. д., а делитель и т. д., то частное в это время было и т. д., т. е. оставалось равным, поэтому и частное 0:0 считается равным. В таких случаях говорят о «раскрытии неопределенности». Частное от деления какого-либо числа, отличного от нуля, на нуль не существует, так как в этом случае никакое число не может удовлетворять определению частного. Однако число, близкое к нулю, можно разделить на число, как угодно близкое к нулю, и чем ближе делитель к нулю, тем больше будет частное. Так, если будем делить 7 на и т. д., то получим частные 70, 700, 7000, 70 000 и т. д., которые неограниченно возрастают. Поэтому говорят, что частное отделения 7 на 0 «бесконечно велико» или равно «бесконечности», и пишут 7:0=. Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным 7 (или приближается к 7), то частное неограниченно увеличивается.
Целое и часть Нахождение части по целому. Чтобы найти некоторую часть числа, умножают его на дробь, выражающую эту часть. Пример 1. Найти от числа 520. Решение:. Нахождение целого по части.
Чтобы найти число по величине данной его части, делят эту величину на дробь, выражающую данную часть. Пример 2. Найти число, если его равно 63. Решение:. Выражение части в долях целого. Чтобы выразить часть в долях целого, часть делят на целое. Пример 3.
Какую часть от числа 45 оставляет число 27? Решение:. Десятичная дробь есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т. д. частей. Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционной системе, на которой построены счет и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставится десятичная точка. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая — число сотых, третья — число тысячных и т. д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками.
Пример:. Одно из преимуществ десятичных дробей — они легко приводятся к виду обыкновенных: число после десятичной точки (в нашем случае 4102) — это числитель; знаменатель же равен n-ой степени 10, где n — количество десятичных знаков (в нашем случае n=4):.Если десятичная дробь не содержит целой части, то перед десятичной точкой ставится ноль:.
Свойства десятичных дробей Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули:
12,7=12,70=12,700=12,7000 и т. д.
Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби:
0,830=0,0083
Внимание! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!
Десятичная дробь возрастает в 10, 100, 1000 и т. д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т. д. позиций вправо:
13,581 305,8 (число увеличилось в 100 раз).
Десятичная дробь уменьшается в 10, 100, 1000 и т. д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т. д. позиций влево:
176,2417,624 (уменьшилось в 10 раз);176,240,17 624 (уменьшилось в 1000 раз).
Эти свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом. Период записывается в скобках. Например, 0.12 345 123 451 234 512 896… = 0.(12 345).Пример. Если разделить 10 на 3, то получим 3,33 333 333 333… = 3.(3).Сложение и вычитание десятичных дробей. Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим, учитывая разрядность.
Пример.. Умножение десятичных дробей. На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях. Замечание: до простановки десятичной точки в произведении нельзя отбрасывать нули в конце.
Пример. Обратить в десятичную дробь. Решение. Делим 5 на 8, получаем 0,625.В большинстве случаев этот процесс может продолжаться бесконечно. Тогда невозможно точно обратить обыкновенную дробь в десятичную. Но на практике это никогда и не требуется. Деление прерывается, если представляющие интерес десятичные знаки уже получены.
Пример 2. Обратить 1/3 в десятичную дробь. Решение. Деление 1 на 3 будет бесконечным: 1:3 = 0.3333…Деление одной десятичной дроби на другую. Сначала переносим десятичные точки в делимом и делителе на число десятичных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом. Теперь выполняем деление, как в предыдущем случае.
Пример 3. Разделить 0.4 569 на 0.
Решение. Переносим десятичные точки на 4 позиции вправо и делим 456.
9 на 6:
Заключение
Первыми записями чисел можно считать зарубки на древних бирках или костях, а позднее — черточки. Но большие числа изображать таким способом было неудобно, поэтому стали применять особые знаки (цифры) для некоторых совокупностей черточек.
Овладение счетом долго находилось в стадии: один, два, много. Позже «много" — это уже семь и больше. Следы этого находят и в наше время в пословицах, поговорках, стихах о числе семь, где «семь» — математический символ множественности. Например, в поговорках «Одним махом семерых убивахал», «Один с сошкой, семеро с ложкой», «Семь бед, один ответ», «Лук — от семи недуг», «Сам дерусь, семерых не боюсь», «Семеро одного не ждут», «Семь чудес света».
В развитии теории чисел особую роль сыграли Пифагор и его школа. О подлинной жизни Пифагора известно немного. Родился он около 580 года до н.
э. на острове Самосее, но совсем юным покинул родину. Сначала он жил в Египте, а потом попал в Вавилон. Здесь у халдейских жрецов он изучал правила решения уравнений (квадратных и некоторых кубических), теорию чисел. После возвращения на родину он создает школу.
В основе философии этой школы лежало мистическое учение о числе.
Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: [в 2 ч.] / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я.
Кожевникова, С. П. Данко. — 6-е изд.
— М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2007.
Демидович, Б. П. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для вузов / Б. П. Демидович, В.
А. Кудрявцев. — М.: Астрель: АСТ, 2007. — 654 с.
Ильин, В. А. Высшая математика: учеб. для студентов вузов / В. А. Ильин, А. В.
Куркина. — 2-е изд., перераб. и доп. -
М.: Проспект: Изд — во Московского университета, 2004. — 591 с.
Кремер, Н. Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.
справ. пособие / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И.
М. Тришин; под ред. Н. Ш. Кремера.
— М.: Юрайт, 2010. — 646 с.
Кузнецов, А. В. Высшая математика: математическое программирование: учеб. / А. В.
Кузнецов, В. А. Сакович, Н. И. Холод; под общ. ред.
А. В. Кузнецова. -
Изд. 3-е, стер. — СПб.
[и др.]: Лань, 2010. — 351 с.
Малыхин, В. И. Высшая математика: учеб. пособие для студентов / В. И. Малыхин. -
2-е изд., перераб. и доп. — М. :
Инфра-М, 2009. — 363 с.
Кремер, Н. Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.
справ. пособие / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И.
М. Тришин; под ред. Н. Ш. Кремера. -
М.: Юрайт, 2010. — 646 с.
Демидович, Б. П. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для вузов / Б.
П. Демидович, В. А. Кудрявцев. -
М.: Астрель: АСТ, 2007. — 654 с.
Кузнецов, А. В. Высшая математика: математическое программирование: учеб. / А. В. Кузнецов, В. А.
Сакович, Н. И. Холод; под общ. ред. А. В. Кузнецова. -
Изд. 3-е, стер. — СПб. [и др.]: Лань, 2010. — 351 с.
Ильин, В. А. Высшая математика: учеб. для студентов вузов / В.
А. Ильин, А. В. Куркина. — 2-е изд., перераб.
и доп. — М.: Проспект: Изд — во Московского университета, 2004. — 591 с.
Малыхин, В. И. Высшая математика: учеб. пособие для студентов / В. И. Малыхин. — 2-е изд., перераб. и доп. -
М.: Инфра-М, 2009. — 363 с.
Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: [в 2 ч.] / П. Е. Данко, А. Г.
Попов, Т. Я. Кожевникова, С. П.
Данко. — 6-е изд. — М.: ОНИКС: Мир и Образование, 2007.
