Употребляяумения изнания, приобретенные на подготовительном этапе, ученики приведут предложенные уравнения к виду; , но могут затрудниться в нахождении множества решений каждого из полученных уравнений. Можно избежать этих затруднений, если обратиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически или путем тригонометрического круга), но и тогда остается открытым вопрос: нельзя ли получить общие формулы для записи множеств решений тригонометрических уравнений вида, (и), (), которые дадут возможность сразу фиксировать искомые множества.
Во-вторых, нужно обратить внимание учениках, что получение общих формул для записи множеств решений уравнений указанного вида предполагает введение понятий арксинуса, их арккосинуса числа и т. д. Ввести эти понятия должен учитель, демонстрируя школьникам применение теоремы о корне к каждой из тригонометрических функций на определенном множестве. При этом нужно обратиться к графическому способу решения задачи о нахождении множества решений уравнения вида, , на промежутках, и соответственно (решить такую задачу учащиеся могут самостоятельно).
В-третьих, нужно провести работу по формированию у учащихся умений находить значения выражений вида, , при данных значениях. С этой целью полезно предложить учащимся задания типа.
1) Вычислить: ;
2) Найти значение выражения: и т. п.
Учитель должен обратить внимание школьников на способ выполнения каждого из заданий, дать соответственный образец. В первом случае способ задается следующим предписанием: надо найти такое действительное число, которое удовлетворяет 2-ум условиям (укажем эти условия, имея в виду пример: это число принадлежит промежутку; синус искомого числа равен, то есть и. Способ выполнения второго задания основан на применении понятий «арксинус числа», «арккосинус числа» и т. д. и, возможно, тригонометрических тождеств. Особое внимание нужно обратить на выполнение последнего примера этого задания.
В-четвертых, целесообразно провести работу по актуализации у школьников приемов преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение, обратить внимание учеников на роль этих приемов при решении тригонометрических уравнений. Организовать эту работу можно через самостоятельное выполнение учащимися предложенных учителем заданий, среди которых выделим следующие:
1)Разложить на множители: .
2)Решить уравнение: .Выполнение школьниками приведенных заданий следует заключить выводом о том приеме, который лежит в основе решения этий уравнений: привести уравнение к виду, разложить левую часть на множители, воспользоваться условием равенства нулю произведения и заменить уравнение равносильной совокупностью уравнений, каждое из уравнений совокупности решить, употребляя факт о множестве корней соответственной тригонометрической функции.
В-пятых, начать работу по введению способа решения простейших тригонометрических уравнений нужно с постановки вопроса: при каких значениях параметра уравнение вида (,) имеет (не имеет) действительного решения и почему. Выделение множества решений параметра, при которых указанное уравнение разрешимо в, дает основание для поиска способа его решения. Заметим, что в практике обучения учеников достаточно разъяснить суть такого способа для одного из уравнений, например,,. При этом надо лишь обратить внимание учеников на то, что если мы заменим число значением функции синус некоторого аргумента, то это уравнение сводится к уравнению, способ решения которого уже известен. Поэтому, большая часть работы, которая связана с получением формулы решений этого уравнения, может быть выполнена учениками самостоятельно. Учитель выступает в роли консультанта и помогает ученикам сделать обобщения. Получение формул, которые задают множества решений уравнений, целесообразно представить ученикам для самостоятельной работы.
В-шестых, от учеников не рекомендуется требовать обязательной иллюстрации решения каждого простейшего тригонометрического уравнения с путем графика или тригонометрического круга. Ученик обратить внимание на ее целесообразность следует (в особенности на применение круга), так как в последующем при решении тригонометрических неравенств соответствующая иллюстрация предназначается очень удобным средством фиксации множества решений данного неравенства.
Последующее формирование у учеников умений решать простейшие тригонометрические уравнения исполняется в главном в процессе самостоятельного решения учениками уравнений, среди которых — уравнения, которые приводятся к простейшим или их совокупностям после выполнения преобразований тригонометрических выражений. В список предлагаемых ученикам уравнений рекомендуем включить такие, которые сводятся к виду.
и т.п.
Аналогичные задания могут предназначаться средством контроля за сформированностью у ученков умений решать простейшие тригонометрические уравнения.
В связи с реализацией третьего этапа процесса формирования у учеников умений решать тригонометрические уравнения сделаем лишь 2 замечания.
Во-первых, знакомство ученикам с приемами решения тригонометрических уравнений, не являющихся простейшими, целесообразно реализовывать по следующей схеме: обращение к конкретному тригонометрическому уравнению = типичному представителю определенного вида совместный поиск (учитель — ученик) приема решения самостоятельный перенос найденного приема на другие уравнения этого же вида обобщение-вывод о характеристиках уравнений рассматриваемого вида и общем приеме решения этих уравнений.
Во-вторых, чтобы, с одной стороны, систематизировать знания учеников о приемах решения тригонометрических уравнений, а с другой, продемонстрировать достаточную «условность» отнесения ряда уравнений к назначенному виду, рекомендуем специально показать школьникам вероятность применения разных приемов решения к одному и тому же уравнению. Для этого целесообразно обратиться к «хорошему уравнению, установить все те приемы, которые могут быть реализованы в процессе его решения, акцентировать внимание учащихся на их особенностях, выделить прием, который в рассматриваемой ситуации оказывается наиболее рациональным.
В заключение приведем примеры тригонометрических уравнений, которые рекомендуем предложить ученикам для самостоятельного решения:
1 группу составляют тригонометрические уравнения, способ решения которых создан на определениях и некоторых свойствах тригонометрических функций.
а) ;б) ;в) ;г).
2 группу составляют простейшие тригонометрические уравнения, способ решения которых основан на определениях тригонометрических функций и понятиях арктангенса, арксинуса арккосинуса и числа.
a); b); c) ;
d) ;
3 группа задач объединяет тригонометрические уравнения, решение которых потребует выполнения тождественных преобразований алгебраических и тригонометрических выражений для приведения этого уравнения к одному из известных видов.
a); b) ;
c); d) ;
e) .
2.3 Методика формирования умений решать тригонометрические неравенства.
В процессе вырабатывания у учеников умений решать тригонометрические неравенства, также можно выделить 3этапа.
1. подготовительный,.
2. формирование умений решать простейшие тригонометрические неравенства;
3.
введение
тригонометрических неравенствдругих видов.
Цель подготовительного этапа состоит в том, что нужно сформировать у учеников умения употреблять график или тригонометрический круг для решения неравенств, а именно:
умения решать простейшие неравенства вида с помощью свойств функций косинус и синус;
умения составлять 2-ные неравенства для дуг числовой окружности или для дуг графиков функций;
умения осуществлять разные преобразования тригонометрических выражений.
Oсуществить этот этап советуетsq в процессе систематизации знаний учеников о свойствах тригонометрических функций. Главным средством могут предназначаться задания, которые предлагаются ученикам и осуществляемые либо самостоятельно, либо под руководством учителя, а так же навыки, которые наработаны при решении тригонометрических уравнений.
Рассмотрим примеры таких заданий:
1.На единичной окружности отметьте точку, если.
.
2. Точкав какой четверти координатной плоскости расположена, если.
=:
3. На тригонометрической окружности отметить точки, если:
4. Приведеть выражения к тригонометрическим функциям I четверти.
a) b) c).
5. Предоставлена дуга МР. М является серединой I — ой четверти, Р — серединой II-ой четверти.
Ограничивать значение переменной t для: (составить двойное неравенство).
a) дуги РМ;
b) дуги МР.
6. Для выделенных участков графика вписать двойное неравенство:
7. Решить неравенства.
8. Преобразовать выражение Рассмотрим задания 5 и 6, собственно оно лежит в основе решения простейшего тригонометрического неравенства.
Неравенства, которые характеризуют дугу, мы предлагаем составлять в 2 шага. На 1-ом шаге составляется «ядро» записи неравенства; для заданной дуги МР получим. На 2-ом шаге составляется общая запись:
.
Если же речь идёт о дуге РМ, то при записи «ядра» нужно учитывать, что точка А (0) лежит внутри дуги, а потому к началу дуги приходиться двигаться по первой отрицательной окружности. Таким оразом, ядро аналитической записи дуги РМ располагает вид, а общая запись — ,.
При решении задания 7, нужно особо обратить внимание на значимость свойств тригонометрических функций.
На 2-м этапе обучения решению тригонометрических неравенств можно предлагать рекомендации, которые связаны с методикой организации деятельности учеников. Будем ориентироваться на уже имеющиеся у учеников умения работать с графиком или тригонометрической окружностью, сформированные во время решения простейших тригонометрических уравнений.
Во-первых, мотивировать целесообразность получения общего приема решения простейших тригонометрических неравенств можно, устремившись, например, к неравенству вида. Употребляя умения и знания, которые приобретены на подготовительном этапе, ученики приведут предложенное неравенство к виду;, но в нахождении множества решений полученного неравенствамогут затрудниться, т.к. только лишь употребляя свойства функции синус решить его невозможно. Этого затруднения можно избежать, если направиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически или с помощью тригонометрического круга).
Во-вторых, учитель должен обратить внимание учеников наразные способы выполнения задания, дать соответственный образец решения неравенства и графическим способом и путем тригонометрического круга. 29].
Предлагаем такие варианты решения неравенства.
1. Решение неравенства с помощью круга.
Решим тригонометрическое неравенство .
На первом занятии предложение ученикам подробный алгоритм решения, в пошаговом представлении который отражает все основные умения, которые нужны для решения неравенства.
Первый шаг. Начертание единичной окружностьи, отмечание на оси ординат точку и проведение через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Такая прямая пересечет единичную окружность в 2-ух точках. Любая из этих точек представляет числа, синус которых равен .
Второй шаг. Эта прямая разделила окружность на 2 дуги. Выделить ту из них, на которой изображаются числа, которые имеют синус больший, чем. Эта дуга расположена выше проведенной прямой.
Третий шаг. Выберется один из концов отмеченной дуги. Записиваеется одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной окружности .
Четвертый шаг. Для выбирание числа, которое отвечает 2-му концу выделенной дуги, «пройти» по этой дуге из названного конца к другому. При этом, что при движении против часовой стрелки числа, которые будут прохождены, поднимают (при движении в противоположном направлении числа уменьшались бы). Записать число, которое изображается на единичной окружности 2-ым концом отмеченной дуги .
Таким образом, неравенству удовлетворяют числа, для которых справедливым является неравенство. Было решено неравенство для чисел, которые расположены на одном периоде функции синус. Все решения неравенства можно записать в виде Внимательно проанализируйте рисунок и разбирайтесь, почему все решения неравенства можно записать в виде Обратите внимание учеников на то, что при решении неравенствдля функции косинус, прямую проводим параллельно оси ординат.
Графический способ решения неравенства.
Создаем графики и ,.
Затем уравнение записываем и его решение, который найден с помощью формул.
(Придавая n значения 0, 1, 2, находим 3 корня составленного уравнения). Значения предсталяют собой 3 последовательные абсциси точек пересечения графиков и. На интервале () всегда выполняется неравенство, а на интервале () — неравенство. Нас интересует первый случай, и тогда к концам этого промежутка добавив число, который является кратным периоду синуса, получим решение неравенства в виде:;
Подведём итог. Для решения неравенства, нужно составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найдем корни и, и запишем ответ неравенствав виде: .
В-третьих, факт о множестве корней соответствующего тригонометрического неравенства очень наглядно подтверждается при решении его графическим способом.
Нужно показать ученикам, что виток, который является решением неравенства, повторяется через один и тот же промежуток, корорый равен периоду тригонометрической функции. Так же можно рассмотреть аналогичную иллюстрацию для графика функции синус.
В-четвертых, нужно провести работу по актуализации у учеников приемов преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение, обратить внимание учеников на роль этих приемов при решении тригонометрических неравенств.
Организовать такую работу можно через самостоятельное выполнение учащимися предложенных учителем заданий. Рассмотрим:
В-пятых, ученикам нужно требовать обязательной иллюстрации решения каждого простейшего тригонометрического неравенства путемграфика или тригонометрического круга. Обязательно надо обратить внимание на ее целесообразность, в особенности на применение круга, так как при решении тригонометрических неравенств соответствующая иллюстрация служит очень удобным средством фиксации множества решений данного неравенства.
В связи с реализацией третьего этапа процесса формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства можно сделать лишь 2 замечания. 18].
Во-первых, знакомство учеников с приемами решения тригонометрических неравенств, не являющихся простейшими, целесообразно реализовывать по следующей схеме: обращение к конкретному тригонометрическому неравенству обращение к соответственному тригонометрическому уравнению совместный поиск (учитель — ученик) приема решения самостоятельный перенос найденного приема на другие неравенства этого же вида.
Во-вторых, для систематизации знания учеников о тригонометрии, можо рекомендовать подобрать специально такие неравенства, решение которых требует разных преобразований, которые могут быть исполнены в процессе его решения, акцентировать внимание учеников на их особенностях.
В качестве таких продуктивных неравенств можно предложить, например, следующие В заключение приведем примеры тригонометрических неравенств, которые рекомендуем предложить ученикам для самостоятельного решения:
a); b); c) ;
d); e); f) ;
g); h); i) ;
j); k); l) ;
m); n); o) .
Итак, в теме «Тригонометрические неравенства» мы предлагаем изучать только то, чтодаст возможность ученикампочувствовать именно специфику тригонометрических неравенств.
Глава 3. Методика совместного изучения тригонометрических уравнений и неравенств.
3.1 Педагогический эксперимент.
Целью данной работы является разработка методику совместного изучения тригонометрических уравнений и неравенств.
Объектом исследования является процесс обучения математике.
Предметом исследования является методика совместного изучения тригонометрических уравнений и неравенств.
Гипотеза исследования: Если выделить главные навыки, которые нужны при решении тригонометрических уравнений и неравенств и разработать методику совместного изучения тригонометрических уравнений и неравенств, то она будет способствовать эффективному обучению решать тригонометрические уравнения и неравенства.
Для достижения данной целы было поставлено следующие задачи:
Анализирование методической, учебной и психолого-педагогической литературы по проблеме исследования.
Выявление роли тригонометрических уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
Выделение основ формирования умений нужный для решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Классификация методов решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Разработка методику совместного изучения тригонометрических уравнений и неравенств.
Проведение экспериментального исследования разработанной методики.
В работе для решения этих задач были употреблены нижеперечисленные методы исследования:
Анализирование методической и психолого-педагогической литературы.
Анализирование дидактических материалов, учебников, учебно-методических пособий.
Методы наблюдения, беседы с учителями.
База исследования: Средняя общеобразовательная школа № 2107 г. Москва.
3.2 Диагностирующий этап эксперимента.
В качестве испытуемых19 учеников 10 «Б» класса средней школы № 2107 г. Москва. Среди учеников были хорошо успевающие, но преимущественно отстающие ученики.
Целью этапа является выявление уровня сформированности основных умений необходимых для решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Для достиженияпоставленной на данном этапе цели были заданы следующие задачи:
Выявление умениейучеников определять положение точки на единичной окружности, который соответствует данному углу;
Установление уменийучеников отмечать угол соответствующий конкретному значению конкретной тригонометрической функции;
Проверка умений определять принадлежность угла соответствующей четверти и оперировать с формулами приведения;
Вычисление значения тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций некоторых углов (как положительных, так и отрицательных);
Для исполненияэтих задач были употреблены методы:
контрольная работа;
наблюдение.
Ученикам была задана контрольная работа, которая состояла из 7 заданий. Задания контрольной работы были выбраны в соответствии с умениями, нужными для решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Самостоятельная работа.
1. Отметить на единичной окружности точку, если.
.
2. В какой четверти координатной плоскости нахосится точка, если.
=.
Отметить на тригонометрической окружности точки, если:
4. Приведить выражение к тригонометрическим функциям I четверти.
a), b), c), d), e) .
5. Дана дуга МР. М является серединой I — ой четверти, Р — серединой II-ой четверти.
Ограничить значение переменной t для: (составить двойное неравенство).
a) дуги МР;
b) дуги РМ.
6. Записать двойное неравенство для выделенных участков графика:
7.Решите неравенства.
8. Преобразовать выражение.
Результаты диагностирующего эксперимента.
Результаты контрольной работы отражены в таблице в количественном и процентном отношении.
Решили задания на принадлежность угла соответствующей четверти 42.
14% Решили здание на обозначение точки на окружности 73.
63% Преобразование функции к углу I четверти 26.
33% Отметили угол по значению функции 42.
11% Преобразовали выражение 73.
63% Решили неравенства с помощью свойств функции 36.
81% Составили тригонометрические неравенства для дуг графика функции 68.
41% Составили двойные неравенства для дуг окружности 42.
12% В результате наблюдения работы учеников у доски, а так же в ходе устной работы было замечено, что ученики более верно исполняют задания под руководством учителя.
Таким образом, анализ результатов самостоятельной работы инаблюдений показал что:
Ученики не уделяют должного внимания определению области применимости некоторых правилиформул;
Определяют точку на единичной окружности -73,63% учеников;
Определяют принадлежность угла соответствующей четверти — 42,14% учеников;
Отмечают угол по значению функции- 42,11% учеников;
Выполняют задание на преобразование угла к острому — 26,33% учеников;
Составили двойные неравенства для дуг тригонометрической окружности- 42,12% учеников;
Составили двойные неравенства для дуг графикатригонометрической функции- 68,41% учеников;
Решили тригонометрические неравенства с помощью свойств тригонометрических функций-36,81% учеников;
Упрощают выражение — 73,63% учеников.
Это говорит о том, что при обучении учениковрешать тригонометрические неравенства и уравнения нужно акцентировать внимание учениковна работу с тригонометрической окружностью.
Обучающий эксперимент.
Целью этого этапа является формирование у учениковумений решать тригонометрические неравенстваиуравнения.
Для достиженияэтой цели поставлены следующие задачи:
В соответствии с результатамипредыдущего этапа внести коррективы в разработанную методику;
Применять данную методику на уроках и дополнительных занятиях со слабыми учениками.
Организовать деятельность учениковна занятиях, направленную на формирование умений решать тригонометрические неравенства.
Для исполненияэтих задач были проведены уроки и дополнительные занятия. Содержание этих занятий включало в себя практическую и теоретическую часть.
Заключение
.
Изучение соответственной психолого-педагогической и методической литературы по этому вопросу, привел к выводу о том, что навыки и умение решения тригонометрических уравнений и неравенствв школьном курсе математики являются важным, их развитие со стороны учителя математики требует существенных усилий. Учитель должен в достаточной мере обладать методиками формирования навыков и умений решать тригонометрические уравнения и неравенства. От того, чтотригонометрические уравнения и неравенствабываютразных типов, то следовательно и для каждого типа методикаявляется различной.
Таким образом, для достижения поставленнойцели с помощью только методов и средств, которыепредлогают авторы современных учебников, практически является невозможным. Это обусловлено с индивидуальными способностямишкольников. В зависимости от уровня их базовых знаний по тригонометрии устанавливается линия возможностей изучения разных видов неравенств и уравнений на различных уровнях.
Многие задачи тригонометрии связаны с решением уравнений, переменная в которых входит под знак одной или нескольких тригонометрических функций. В процессе решения этих задач синтезирует в себе практически все умения и знания, которые ученики приобретают при изучении элементов тригонометрии. Таким образом, учитель сталкивается с довольно трудной проблемой выделения тех идей изучаемого материала, которые находятся в основе способов решения рассматренных задач, с целью их дальнейшего обобщения исистематизации. Это является важным и для осознанного усвоения учеников теории, и для понимания некоторыми достаточно общими способами решения математических задач. Решение тригонометрических уравнений не только основывает предпосылки для систематизации знаний учеников, которые связаны с материалом тригонометрии, но и создает потенциал установить действенные связи с изученным алгебраическим материалом. В этом состоит одна из особенностей материала, которая связана с рассмотрением тригонометрических уравнений.
Иная особенность — в исключительном многообразии этих уравнений. Именно это многообразие подразумевает определенные трудности в их классификации; его результатом могут быть и затруднения в решении тригонометрических уравнений, особенно в выборе того приема, который целесообразно употреблять для получения искомого множества значений переменной.
Указанные особенности при разработке методики совмесного обучения школьников решению тригонометрических уравнений и неравенствдолжны быть учтеныучителем.
Аджиева А. Тригонометрические уравнения // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 33, 2011 г.
Адрова И.А., Модульный урок в X классе по теме «Решение тригонометрических уравнений» //Математика в школе. 2012. № 4. С. 28−32.
Атанасян Л.С., Геометрия. Ч. 1. 8-ое изд., — М.: Просвещение, 2013.
Баврин И.И., Старинные задачи. 7-ое изд. — М.: Просвещение, 2012.
Балк М.Б., Математика после уроков. 5-ое изд., — М.: Просвещение, 2014.
Балк М.Б., Поиск решения: Для среднего и старшего возраста. 4-ое изд., — М.: ДЛ, 2013.
Балл Г. А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект. 4-ое изд.- М.: Педагогика, 2014.
Болтянский В.Г., Лекции и задачи по элементарной математике. 8-ое ид., — М.: Наука, 2014.
Брушлинский А.В., Психология мышления и проблемное обучение. 8-ое изд., — М.: Просвещение, 2014.
Виленкин Н.Я., Функции в природе и технике. 6-ое изд. — М.: Знание, 2013.
Водинчар М.И. и др. Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств //Математика в школе. 2013. № 4. С. 73−77.
Волович М.Б., Математика без перегрузок. 5-ое изд., — М.: Педагогика, 2013.
Воспитание учащихся при обучении математике. / Сост. Л. Ф. Пичурин. — М.: Просвещение, 2012.
Галицкий М.Л., Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: Методические рекомендации и дидактические материалы.
6-ое изд., — М.: Просвещение, 2012.
Гальперин П.Я., Формирование знаний и умений на основе теорий поэтапного формирования умственных действий. 7-о изд., — М.: МГУ, 2014.
Гилемханов Р.Г., Освободимся от лишней работы (при решении однородных триг.
уравнений) //Математика в школе. 2013. № 10. С. 9.
Глейзер Г. И., История математики в школе. IX-X классы: Пособие для учителя. 7-ое изд., — М.: Просвещение, 2014.
Гнеденко Б.В., Математика и математическое образование в современном мире. 6-ое изд.- М.: Просвещение, 2012.
Груденов Я.И., Психолого-дидактические основы методики обучения математике. 4-ое изд., — М.: Академия, 2013.
Груденов Я.И., Совершенствование методики работы учителя математики. 4-ое изд., — М.: Просвещение, 2013.
Гусев В.А., Психолого-педагогические основы обучения математике. 4-ое изд.- М.: Педагогика, 2014.
Давыдов В.В., Проблемы развивающего обучения. 5-ое изд.- М.: Педагогика, 2014.
Далингер В.А., Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике. 5-ое изд. — М.: Просвещение, 2013.
Депман И.Я., За страницами учебника математики 2-ое изд.- М.: Просвещение, 2014.
Дорофеев Г. В. Понятие функции в математике и школе // Математика в школе. -2013. — № 2.
Дьяченко В. К. Организационная структура учебного процесса и ее развитие. 7-ое изд., — М.: Педагогика, 2014.
Епишева О. Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода. 8-ое изд., — М.: Арзамас, 2012.
Зайкин М.И., Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении (сборник научных и методических работ, предоставленных на региональную научно-практичечскую конференцию).М.: Просвещение, 2013.
Зандер В.К., О блочном изучении математики / на примере изучения темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» //Математика в школе. 2011. № 4, С.38−42.
Звавич В.И., Тригонометрические уравнения //Математика в школе. 2012. № 2. С.23−33.
Зенкевич.И.Г., Эстетика урока математики. 8-ое изд., — М.: Просвещение, 2013.
Зильберберг Н.И., Урок математики, подготовка и проведение. 7-ое изд., — М.: Просвещение, 2012.
Золотухин Е.П., Замечания о решении уравнений вида asinx+bcosx=c //Математика в школе. 2012. № 3. С.
84.
Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. 5-ое изд., — М.: Наука, 2014.
Кабанова-Меллер Е.Н., Формирование приемов умственной деятельности и умственного развития учащихся. 10-ое изд., — М.: Просвещение, 2015.
Калинин А.К., О решении тригонометрических неравенств. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 6, 2013.
Карп А. П,. Даю уроки математики. Книга для учителя: Из опыта работы. 4-ое изд., — М.: Просвещение, 2014.
Клещев В.А., Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности //Математика в школе. 2013. № 6. С. 17−18.
Коваленко В.Г., Дидактические игры на уроках математики. — М.: Просвещение, 2012.
Колмогоров А.Н., Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 10 — 11 кл. средней школы. — М. Просвещение, 2014.
Колягин Ю.М., Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. 4-ое изд., — М.: Просвещение, 2012.
Кордемский Б.А., Математическая смекалка. 5-ое издМ.: Просвещение, 2013.
Кострикина Н.П., Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7−9 классов: Книга для учителя. 4-ое изд., — М.: Наука, 2014.
Крамор B.C. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. 7-ое ид., — М.: Просвещение, 2012.
Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. 5-ое изд., — М.: Просвещение, 2012.
Ксензова Г. Ю., Перспективные школьные технологии. 2-ое изд., — М.: ПОР, 2013.
Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. / Под ред. Е. И. Лященко. 5-ое изд., — М.: Просвещение, 2014.
Леонтьева М.Р., Упражнения в обучении алгебре. -5-ое изд. — М.: Просвещение, 2012.
Литвиненко В.Н., Задачи на развитие пространственных представлений. 9-ое изд., — М: Просвещение, 2014.
Майоров А.Н., Теория и практика создания тестов для системы образования. 7-ое изд., — М.: Просвещение, 2012.
Манвелов С.Г., Конструирование современного урока математики. — М.: Народное образование, 2013.
Махмутов М.И., Организация проблемного обучения, в школе: Книга для учителя. 4-ое изд., — М.: Просвещение, 2014.
Метельский Н.В., Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы. 6-ое изд., — М. Просвещение, 2014., 2013.
Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. / Сост. В. А. Оганесян, — М.: Просвещение, 2015.
Мирошин В. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.// Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 17, 2012.
Монахов В.М., Направления развития системы методической подготовки будущего учителя математики.//Математика в школе. — 2013. — № 3.
Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10−11 кл. 5-ое изд., — М.: Просвещение, 2012.
Немов Р. С. Психология.
6-ое изд., — М.: ВЛАДОС, 2013.
Повышение эффективности обучения математике в школе./ Сост. Г. Д. Глейзер. 4-ое изд.- М.: Мнемозина, 2014.
Пойа Д.Д., Математика и правдоподобные рассуждения. 4-ое изд. — М.: Просвещение, 2014.
Саакян С.М., Изучение геометрии в 10−11 классах. — М.: Наука, 2012.
Смирнова И.М., В мире многогранников. 4-ое изд.- М.: Просвещение, 2014.
Смирнова И.М., Компьютер помогает геометрии. — М.: Дрофа, 2003.
Темербекова А.А., Методика преподавания математики. 4-ое изд. — М.: ВЛАДОС, 2013.
Формирование приемов математического мышления. / Под ред. Н. Ф. Талызиной. 4-ое изд., — М.: ТОО «Вентана-Граф», 2013.
Фридман Л.М., Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. 7-ое изд., — М.: Просвещение, 2014.
Рис. 10.
Рис. 11.
Рис. 12.
;
Рис. 14.
