Законы случайных величин

1. Дискретные системы двух случайных величин

Задача 1. По цели производиться два независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна р₁=0.7, при втором р₂=0.8. Рассматривается дискретная система двух случайных величин, где — число попаданий при первом выстреле, — число попаданий при втором выстреле.

Для рассматриваемой дискретной системы случайных величин требуется:

а) описать закон распределения системы ;

б) описать законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему;

в) описать условный закон распределения случайной величины при условии = 1 и при этом условии вычислить условное математическое ожидание ;

г) выяснить, зависимы или нет случайные величины и ;

д) вычислить вероятности и);

е) вычислить основные числовые характеристики для системы :

.

Решение.

а) Для описания закона распределения дискретной системы двух случайных величин необходимо определить множество всех возможных пар значений и соответствующие вероятности. Результат удобно представить в виде таблицы 2.1

Таблица 2.1

В первой строке указываются возможные значения случайной величины, а в первом столбце — возможные значения случайной величины; в последней строке и в последнем столбце указываются безусловные вероятности возможных значений соответственно случайных величин и. В каждой клетке таблицы, стоящей на пересечении i-го столбца и j-й строки, указываются вероятности совместного осуществления события

т. е.,

Заполним таблицу.

Занесем полученные данные в табл. 2.2

Таблица 2.2

По условию нормировки. Сделаем проверку:

Условие нормировки выполняется.

б) Законы распределения отдельных дискретных случайных величин, входящих в систему, получим из закона распределения дискретной системы случайных величин (см. табл. 2.2). Возможные значения случайных величин и известны, найдем соответствующие им вероятности. Для случайной величины вероятности возможных значений определяются по формуле

т.е. суммируем вероятности «по столбцам»:

Аналогично для случайной величины используем формулу

т.е. суммируем вероятности «по строкам»:

Законы распределения случайных величин и представим в виде ряда распределения для каждой величины (табл. 2.3, 2.4).

Таблица 2.3

Таблица 2.4

в) Условным законом распределения случайной величины при условии, что величина приняла определенное значение, называется совокупность возможных значений величины и соответствующих этим значениям условных вероятностей, определяемых по формуле

. (1)

Условный закон распределения случайной величины при условии, что величина приняла значение, равное 1, находим по формуле (1), полагая =0:

.

Тогда Запишем условный закон распределения случайной величины в виде ряда распределения (табл. 2.5).

Таблица 2.5

Используя данные табл. 2.5 и формулу условного математического ожидания случайной величины при условии, что величина приняла определенное значение :

вычислим условное математическое ожидание :

г) Установить зависимость или независимость случайных величин и, входящих в систему, можно, проверив необходимое и достаточное условие независимости

.

Так как

взять, например, следовательно, случайные величины и независимы.

д) Вычислим вероятности

и):

)=

е) Найдем основные числовые характеристики дискретной системы случайных величин и. Используя табл. 2.3 и 2.4, найдем по формулам:

Корреляционный момент вычислим с помощью данных табл. 2.2 и следующей формулы:

Коэффициент корреляции определяется как отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратичных отклонений случайных величин и :

Так как коэффициент корреляции, то можно утверждать, что случайные величины и линейно независимы.

2. Непрерывные системы двух случайных величин

Задача 2. Система случайных величин задана совместной плотностью вероятности в треугольной области АВС с координатами А (-1; 0), В (0; 1), С (-1; 2).

Требуется:

а) вычислить константу, а в выражении для плотности вероятности ;

б) вычислить вероятность попадания случайной точки в треугольную область АВD с координатами D (-1; 1);

в) найти безусловные плотности вероятности и случайных величин и ;

г) найти условные плотности вероятности, ;

д) установить, являются ли случайные величины и независимыми;

е) вычислить основные числовые характеристики системы :

.

ж) найти условные математические ожидания и (случайной величины относительно и случайной величины относительно);

з) построить линии регрессии (по и по).

Решение.

Изобразим треугольную область АВС (рис. 2.1).

а) Для нахождения константы, а в выражении для плотности вероятности, воспользуемся условием нормировки Имеем

и, следовательно,

.

Напоминание. Площадь треугольника, построенного на векторах и, равна Рис. 2.1

б) Вероятность попадания равномерно распределенной в области D случайной точки в некоторую область, найдем по формуле:

.

Точка D (0; 4) (см. рис. 2.1), следовательно,

.

в) Зная совместную плотность вероятности, можно найти безусловную плотность вероятности любой из случайных величин, входящих в систему по формулам:

= ,

= .

Для расстановки пределов интегрирования в последних формулах составим уравнения прямых АВ, ВС и АС.

Напоминания: 1. Уравнение прямой, проходящей через две точки и, имеет вид

2. Уравнение прямой в отрезках имеет вид

где, а — абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох,

b — ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Уравнение прямой АВ имеет вид:

.

Уравнение прямой ВС имеет вид:

.

Уравнение прямой АС: .

Треугольник АВС не является областью, стандартной относительно оси (см. рис. 2.1). Линия входа — отрезок прямой АВ (). Линия выхода — отрезок прямой ВС (), если .

Таким образом,

=, если

Итак,

=

Плотность вероятности должна удовлетворять условию нормировки

.

Для его проверки построим график (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Площадь треугольника, ограниченного графиком и осью Ох, равна 1. Следовательно, условие нормировки выполняется.

Треугольник АВС является областью, стандартной относительно оси Ох (см. рис. 2.1). Линия входа — отрезок оси Оу (), линия выхода — отрезок прямой АВ (), если, и отрезок прямой ВС ()

Таким образом,

=, если

=, если .

Итак,

Для проверки условия нормировки построим график (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Согласно рис. 2.3 площадь треугольника, ограниченного графиком и осью Оу, равна 1. Следовательно, условие нормировки выполняется.

г) Условные плотности вероятности выражаются через безусловные по формулам:

= при ,

= при .

Следовательно, Заметим, что условие нормировки должно выполняться для любого фиксированного у, а условие нормировки должно выполняться для любого фиксированного х.

д) Установить зависимость или независимость случайных величин и, входящих в систему, можно, сравнив условные, и безусловные, плотности, или, проверив необходимое и достаточное условие независимости =•. В нашем случае и, следовательно, и зависимы. Очевидно также, что, что подтверждает сделанный вывод.

е) Вычислим основные числовые характеристики системы :

= ;

= .

Заметим, что если система случайных величин распределена равномерно в треугольной области АВС, где А (х₁, y₁), B (х₂, y₂), C (х₃, y₃), то

=, = ;

(,) — так называемый центр рассеивания.

Проверим:

=, = .

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

= .

Вычислим второй начальный момент :

= .

Тогда

= .

Аналогично вычислим дисперсию случайной величины :

= .

Корреляционный момент, характеризующий связь между случайными величинами и, найдем по формуле

= .

Для этого вычислим сначала второй смешанный начальный момент

=

Тогда

=

Безразмерной характеристикой связи между случайными величинами и служит коэффициент корреляции :

= .

В рассматриваемом случае

= .

Коэффициент корреляции отражает «степень линейной зависимости» случайных величин и. Так как = 0, и независимы.

ж) Условные математические ожидания случайных величин и, входящих в систему, найдем по формулам:

= и = .

Имеем:

=

=

Заметим, что в случае равномерного распределения системы функции и являются линейными.

з) Построим линии регрессии, определяемые уравнениями и. В рассматриваемой задаче

Графики линий регрессии приведены на рис. 2.4.

Рис. 2.4

Заметим, что линия регрессии графически изображает зависимость «в среднем» случайной величины от возможных значений случайной величины. Аналогично для .

3. Нормальный закон на плоскости

Задача 3. Случайная точка распределена по нормальному закону с параметрами, Требуется:

а) написать выражение для плотности вероятности системы ;

б) изобразить на плоскости области и вычислить вероятности попадания случайной точки в эти области, если

;

в) вычислить вероятность того, что при трех независимых опытах случайная точка попадет хотя бы один раз в область ;

г) вычислить вероятность того, что при первых двух опытах случайная точка окажется хотя бы один раз в области, а при третьем опыте — в области ;

д) определить, какое минимальное количество опытов нужно произвести для того, чтобы случайная точка оказалась в области с вероятностью не меньшей 0,95.

Решение.

а) Нормальный закон распределения для системы двух случайных величин имеет плотность вероятности вида

где — математические ожидания случайных величин, — средние квадратические отклонения, — коэффициент корреляции. Поэтому плотность вероятности данной системы имеет вид

.

б) Область является прямоугольником с осями, параллельными главным осям рассеивания (рис. 2.5). По формуле

где — функция Лапласа, значения которой находятся по таблице, вычисляем вероятность попадания случайной точки в данную область:

Рис 2.5

Область является прямоугольником с осями, параллельными главным осям рассеивания и центром в центре рассеивания (рис. 2.6).

Рис. 2.6

Следовательно, для вычисления искомой вероятности целесообразно применение формулы Область является квадрантом с вершиной в точке (-3−2) (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Найдем вероятность попадания в область :

.

Область является квадрантом с вершиной в центре рассеивания Рис. 2.8

Искомую вероятность можно найти, исходя из симметричности поверхности распределения относительно плоскостей :

.

Вероятность попадания случайной точки в эллипс рассеивания (рис. 2.9) вычисляем по соответствующей формуле:

где — размеры полуосей эллипса рассеивания в единицах среднего квадратического отклонения по направлению главных осей рассеивания.

Рис. 2.9

случайный величина распределение дисперсия в) Для определения вероятности хотя бы одного попадания в область при трех независимых опытах перейдем к противоположному событию, т. е. к тому, что в результате трех опытов случайная точка ни разу не окажется в области. Вероятность того, что случайная точка в результате опыта не попадет в область, равна Затем находим вероятность того, что случайная точка при трех опытах ни разу не попадет в :

и, наконец, искомую вероятность:

г) Вероятность того, что при первых двух опытах случайная точка окажется хотя бы один раз в области, а при третьем опыте — в области, равна по теореме умножения вероятностей произведению вероятности того, что при двух опытах случайная точка попадет хотя бы раз в область :

и вероятности попадания случайной точки в область :

.

Итак, искомая вероятность

.

д) Если событие в каждом опыте может наступить с вероятностью, то количество опытов, которые необходимо произвести для того, чтобы с вероятностью можно было утверждать, что данное событие произойдет хотя бы один раз, находится по формуле

.

По условию,, тогда

т.е. необходимо провести как минимум 1 опыта.

4. Закон распределения функции одной случайной величины

Задача 4. Случайная величина задана плотностью вероятности Другая случайная величина связана с функциональной зависимостью =. Требуется:

а) определить плотность вероятности случайной величины ;

б) построить графики функций, и проверить условие нормировки для этих функций;

в) вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал .

Решение.

а) Функция на отрезке [-2; 0] возможных значений случайной величины монотонно возрастает и, следовательно, имеет обратную функцию, которая монотонно возрастает на отрезке и является дифференцируемой. Поэтому искомую плотность вероятности найдем по формуле

.

Подставив сюда и учитывая, что

,

получим

если .

Таким образом, случайная величина = имеет следующую плотность вероятности:

=

б) Графики функций, приведены на рис. 2.10, 2.11.

Рис. 2.10 Рис. 2.11

Проверим условия нормировки для функций и:

Имеем:

в) Используя формулу, находим искомую вероятность:

Однако этот же результат можно получить, применяя формулу

где

(здесь учтено, что функция

убывает на отрезке .

Таким образом,

.

Итак,

.

5. Числовые характеристики функции одной случайной величины

Задача 5. Случайная величина имеет плотность вероятности Другая случайная величина связана с функциональной зависимостью

=.

Требуется:

а) проверить условие нормировки для функции и построить ее график;

б) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение.

а) Если функция является плотностью вероятности случайной величины, то она должна удовлетворять условию нормировки

.

Проверим его выполнение:

.

Строим график функции (рис. 2.12).

Рис. 2.12

Замечание. Опущенные выкладки полного исследования функции предлагается выполнить самостоятельно.

б) Способ 1. Для нахождения математического ожидания и дисперсии случайной величины необязательно находить закон ее распределения; можно воспользоваться формулами

.

Учитывая, что, получим:

.

Замечание. Полученный результат должен принадлежать интервалу возможных значений случайной величины, т. е. .

Находим дисперсию:

.

Способ 2. Пользуясь определением математического ожидания функции случайного аргумента, его свойствами и указанными формулами (способ 1), получим:

.

Аналогично для дисперсии:

.

Итак,, .

6. Числовые характеристики функции двух случайных величин

Задача 6. Случайная величина распределена равномерно в интервале (2;4), а независимая от нее случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами,. Требуется:

а) записать плотности вероятности и для случайных величин и ;

б) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины

;

в) вычислить математическое ожидание случайной величины

.

Решение

а) Так как случайная величина имеет равномерное распределение, а — нормальное распределение, то их плотности вероятности определяются соответственно выражениями:

Следовательно, б) Запишем числовые характеристики исходных случайных величин:

, ,

Используя свойства математического ожидания и дисперсии функции случайных величин, получим:

;

Итак, искомые числовые характеристики

.

в) Зная числовые характеристики исходных случайных величин, пользуясь свойствами и определением математического ожидания функции непрерывной случайной величины, имеем:

==.

Таким образом, .

7. Числовые характеристики функции трех случайных величин

Задача 7. Для системы трех случайных величин (,) даны математические ожидания, , и корреляционная матрица Требуется:

а) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины

;

б) вычислить математическое ожидание случайной величины

.

Решение

Согласно заданной корреляционной матрице имеем:

, ;

,

Искомые числовые характеристики найдем, пользуясь свойствами математического ожидания, дисперсии и корреляционного момента:

а)

;

.

Искомые характеристики, .

б)

=

— 2.

Таким образом,

8. Характеристическая функция

Задача 8. Для данной плотности вероятности найти характеристическую функцию и с её помощью вычислить математическое ожидание .

Решение.

I способ. Воспользуемся методами операционного исчисления. Так как данная плотность вероятности является оригиналом, то характеристическая функция для неё является изображением. Найдём его, учитывая свойство линейности преобразования Лапласа и соотношение

где

II способ. Характеристическую функцию можно найти и по определению:

Вычислим, используя формулу. Имеем:

9. Композиция законов распределения

Задача 9. Независимые случайные величины и распределены равномерно на отрезке [2; 4], т. е. их плотности вероятностей имеют вид:

Определить плотность вероятности случайной величины, проверить условие нормировки для и построить графики функций, .

Решение

Воспользуемся аппаратом характеристических функций и методами операционного исчисления. Для этого найдём характеристические функции и как изображения для плотностей вероятностей и. Далее, учитывая независимость случайных величин и, получим характеристическую функцию как произведение характеристических функций слагаемых случайных величин =•. После этого, совершив обратное преобразование Лапласа, найдём искомую плотность вероятности как оригинал для характеристической функции .

Найдём для и характеристические функции и, используя свойства линейности преобразования Лапласа, запаздывания оригинала и операционное соотношение где:

Следовательно, Далее, используя свойство запаздывания оригинала и операционное соотношение, находим искомую плотность как оригинал для характеристической функции

Проверим условие нормировки для функции :

Графики функций, приведены на рис. 2.13 — 2.15:

Рис. 2.13 Рис. 2.14 Рис. 2.15

10. Предельные теоремы теории вероятностей

Задача 10. По полосе укреплений противника сбрасывается 108 серий бомб. При сбрасывании одной такой серии МО числа попаданий равно m=5, а. Пусть, i=-число попаданий в i-й серии , — общее число попаданий.

Требуется:

а) записать приближенное выражение для плотности вероятности случайной величины ;

б) вычислить приближенно вероятности:, ;

в) определить интервал наименьшей длины, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью, не меньшей 0,9 будет заключена случайная величина .

Решение

а) ,

Таким образом, плотность вероятности случайной величины приближенно равна б) Используя формулу

где — функция Лапласа, при, , получим

.

Так как минимально возможное значение, принимаемое случайной величиной

равно 0, то

.

в) Обозначим через половину длины наименьшего интервала, симметричного относительно математического ожидания, в котором с вероятностью, не меньшей 0,9, будет заключена случайная величина. Тогда по условию.

Используя формулу

получим

.

По таблице значений функции Лапласа находим то значение аргумента х, для которого. Это значение приближенно равно

откуда

.

Таким образом, искомый интервал наименьшей длины, симметричный относительно математического ожидания = 540, следующий:

т. е. .

1. Е. И. Гурский. Высшая математика. Основы теории вероятностей случайных процессов и математической статистики. Изд. МВИЗРУ ПВО, 1983.

2. Е. И. Гурский. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Минск «Вышэйшая школа», 1984.

3. А. А. Гусак, Е. А. Бричикова. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. Минск ТетраСистемс, 1999.

4. В. Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М. «Высшая школа», 1975.

5. Е. И. Гурский, Т. В. Скобля, В. Э. Юшкевич. Методическое пособие по теории вероятностей и математической статистике. Изд. МВИЗРУ ПВО, 1973.

6. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А. А. Свешникова. М.: Наука, 1970.

7. Сборник задач по математике. Теория вероятностей и математическая статистика. Под редакцией А. В. Ефимова. М.: Наука, 1990.