Пифагореизм и математический платонизм

Самая первая и в то же время до сих пор не утратившая популярность философия математики — это пифагореизм. Центральным пунктом пифагорейской философии является связь представления о мире с идеями порядка (???) и меры (???). Иоанн Стобей (V в. н.э.) в своей антологии греческих авторов сообщает, что «Пифагор первый назвал Вселенную „космосом“ по порядку, который ей присущ», а платоновский Сократ в диалоге «Горгий» учит: «Мудрецы говорят, Калликл, что и небо и земля, и боги и люди связаны в одно целое общностью, дружбой, благочинием, целомудрием и справедливостью, и именно поэтому, друг мой, они называют весь этот видимый мир „космосом“ (порядком), а не „акосмией“ (беспорядком) и распущенностью» [24, с. 147].

Пифагорейская мудрость и состоит в том, чтобы постичь мир как космос, т. е. насквозь упорядоченное, взаимосвязанное и иерархизированное целое, в котором каждому отведено свое, вполне определенное место, предуказана своя, вполне определенная мера. Познание этой положенной богами меры и жизнь в соответствии с этим знанием («умеренность») — вот чему по преданию учили пифагорейцы [45, с. 38, 119]. С представлением о мере тесно связано и еще одно пифагорейское словечко — симметрия (???, дословно — соразмерность, соблюдение взаимной меры).

Следующий ключевой пифагорейский термин это гармония (???, в первоначальном значении — «скрепа», то, что скрепляет, связывает). В основе мироздания лежат противоположные и противоборствующие начала, а гармония — это то, что позволяет им (вопреки их противоположности) образовать единый космос. Установление гармонии представляется как процедура настройки музыкального инструмента, когда каждая струна должна получить требуемое именно для нее натяжение. Великое открытие пифагорейцев состояло в том, что отвечающая за благозвучие мера может быть выражена отношением чисел, по преданию они открыли простейшие музыкальные интервалы. Гармония оказалась связана с числом, выражена посредством чисел, она оказалась числовой, математической гармонией.

Свое наблюдение они распространили затем на космос в целом. Для пифагорейцев, писал Аристотель, «вся Вселенная — гармония и число» [24, с. 467]. Весь космос предстал пифагорейцам как великая божественная лира, многообразие правильным образом настроенных струн, каждую из которых характеризует свое «натяжение» (???) и свое натуральное число. Еще один основополагающий образ из этого же ряда, это образ мирового хоровода, танца, пляски, подчиненной точному музыкальному ритму (???), т. е. опять же числу. Познать мир стало означать для пифагорейцев — познать лежащие в основе его гармонии числа.

Древний пифагореизм VI—IV вв. до н.э. получил распространение и влияние в культуре главным образом благодаря восприятию его идей Платоном. Важнейшую роль при этом сыграл диалог «Тимей», в котором платоновский Демиург (Бог-Творец) представлен как упорядочивающий мир посредством не только чисел, по и геометрических фигур. В дальнейшем геометрия будет играть в пифагореизме не меньшую роль, чем арифметика натуральных чисел (да и пифагорейская арифметика была во многом геометрична по своей природе, поскольку числа мыслились как обладающие определенной геометрической формой или набором форм). От античных платоников и неопифагорейцев это представление унаследовали христианские авторы, а затем и ученые и философы эпохи Возрождения и Нового времени. Яркий пример — И. Кеплер, который писал в изданной в 1619 г. «Гармонии мира» (Harmonice Mundi): «Геометрия существовала до вещей, она совечна (coaeterna) Божественному Уму и есть Бог (что может быть в Боге и не быть Богом?), она снабдила Бога образцами (exempla) для творения и перешла (transivit) к человеку вместе с образом Божиим; она не была воспринята только посредством зрения» [69, с. 304].

Современные ученые и философы чаще всего не верят в Божественность математики в смысле Кеплера, однако пифагореизм по-прежнему имеет сторонников. Один из наиболее ярких современных примеров — американский космолог шведского происхождения М. Тегмарк. Позиция его интересна как радикальная версия современного пифагореизма. Как поясняет он в одном интервью: «Причина, по которой математика столь эффективна при описании реальности, заключается в том, что она и есть реальность». Наша Вселенная — это математический объект, и всякий математический объект, всякая математическая структура — особая вселенная. В результате мы имеем, согласно Тегмарку, мультиверс (систему параллельных вселенных) [41], в отношении которого справедлив строго пифагорейский тезис: «космос есть не более чем математика» (the cosmos is just mathematics) [88]. Тегмарк говорит не о том, что математика «описывает» реальность, он говорит именно о тождестве между ними. Основание для подобного радикализма очень простое: «если две структуры изоморфны, то не существует разумного смысла, в котором они есть не одно и то же». Правда, он признает, что «истинная математическая структура, изоморфная нашему миру пока еще не найдена», ее предстоит найти в будущем [89, с. 106].

Далеко не все разделяют пифагорейский оптимизм, слышны и вовсе скептические оценки подобных настроений. Так, например, известный канадский философ науки Я. Хакинг недавно назвал это «пифагорейским соблазном». Сам он видит в пифагореизме лишь ряд исторически случайных удач плюс теоретически неоправданную экстраполяцию [63].

Хотя главным проводником пифагореизма в европейской культуре оказалась именно философия Платона, однако есть основания отличать математический платонизм от пифагореизма. Они расходятся в том, как эта математическая реальность соотносится с чувственно-воспринимаемым миром. Для пифагорейцев математическая реальность либо совпадает с миром чувственного опыта, либо образует его «скелет», имманентную основу. Для Платона и платоников — математическая реальность отлична и отделена от физического мира, более того, в сильном варианте она даже есть нечто более реальное, чем мир физический, который может мыслиться как зависимый от математической реальности и онтологически вторичный по отношению к ней [2, с. 75−80]. Основную мысль математического платонизма Платон четко выразил в диалоге «Государство»: «геометрия — это познание вечного бытия». Нечто подобное он говорит там же и про другие разделы математики [32, с. 308−315].

Согласно современным представлениям «зрелый» (full-fledged) математический платонизм [55; 73] состоит в признании существования особой математической области (mathematical realm), которая независима от нас (нашего языка, мышления и социальных практик) и «населена» абстрактными объектами. Абстрактность же в данном контексте означает, что объекты математики нс являются конкретными, другими словами, пребывают в некотором смысле «вне» пространства и времени, а также «вне» системы каузальных (причинно-следственных) связей физического мира. Утверждения математиков истинны или ложны в зависимости от того, правильно или нет они описывают эти объекты; деятельность математиков состоит в открытии, а не изобретении.

Американские математики — «мэверики» Филип Дэвис и Рубен Херш высказали предположение о том, что математический платонизм и сейчас остается естественной философией работающего математика: «Большинство из тех, кто писал по этому вопросу, по-видимому, согласны в том, что типичный работающий математик является платоником по рабочим дням и формалистом (см. подпараграф 20.3.3) по выходным. Другими словами, когда он занят математикой, он убежден, что имеет дело с объективной реальностью, свойства которой он и пытается определить. Но когда от него требуют философского осмысления этой реальности, он находит, что проще делать вид, что он, в конечном итоге, не верит в нее» [59, с. 321].

Так ли это? Например, в недавнем споре о математическом платонизме на страницах EMS Newsletter американский математик Б. Мазур высказывается скорее в пользу платонизма, чем его противников. По его словам, он чувствует, что математические идеи могут служить предметом «охоты» (can he hunted down), но где расположены соответствующие «охотничьи угодья» (hunting grounds), сказать затрудняется. Однако никакие теоретические аргументы философов не способны заставить его позабыть «потрясающее чувство независимости, даже автономности, математических понятий, а также трансцендентность, уникальность (и страсть) занятия математикой». Хорошая философия математики не должна игнорировать все это [74].

В пользу платонизма решительно говорит и известный американский математик Д. Мамфорд. В статье под названием «Почему я платоник» он апеллирует к свидетельству истории математики. Последняя убеждает сто в том, что математика «универсальна и неизменна, инвариантна во времени и в пространстве», и математики всех времен и народов «работают с одним и тем же корпусом истин», «постигают одно и то же абстрактное множество математических идей и усматривают одни и те же отношения». Подобно Платону он рассматривает математику лишь как часть универсальной основы всякого мышления вообще, однако дает этой основе не религиозно-мистическое, а натуралистическое истолкование! В основе понятийного мышления лежит система понятийных связей, образующих граф или сеть, которая и есть подлинный ключ к платоновскому миру. В математике эта основа выражена в понятии математической структуры и в теории категорий (см. параграф 20.5). Эта когнитивная сеть находится в соответствии с устройством нейронных связей в коре головного мозга. По поводу последних Мамфорд пишет: «поразительный факт, относящийся к коре головного мозга человека, состоит в том, сколь неизменна ее структура, а также в том, что она, по-видимому, не меняется в какихлибо существенных отношениях в пределах всего класса млекопитающих» (в параллель универсальности математики!). При этом он отказывается считать когнитивную сеть лишь эпифеноменом^[1], она не менее реальна, чем физические нейроны, это «две взаимно перпендикулярных стороны реальности». Причем математика «обеспечивает стабильность» нашей понятийной сети (mathematics provides its anchor) [76]. Вот такой вот «платонизм» !

Наконец, вполне традиционную позицию в обсуждаемом споре отстаивал известный американский популяризатор математики М. Гарднер. Правда, его позиция ближе к пифагореизму, чем к стандартно понимаемому математическому платонизму: математические объекты «запечатлены (are embedded) по всей вселенной». «Я верю в существование Бога — великолепного математика, математические знания которого существенно превосходят наши. Будь я даже атеистом, я и тогда считал бы чудовищной гордыней предполагать, что математика не имеет реальности вне умишек смышленых обезьян» [61].

Как видим, утверждение Дэвиса и Херша может быть несколько скорректировано: различные вариации пифагореизма и математического платонизма остаются популярными не только у философов, но и в среде современных ученых. Однако легко заметить, что главное для математиков — это переживание встречи с некой реальностью, которую они, занимаясь математикой, стремятся познать, и которая оказывает отчетливое сопротивление их усилиям, а также лишает их интеллектуальные построения произвольности. Они — стихийные математические реалисты. Какова же природа этой реальности — для них не столь важно, и по этому вопросу они могут не иметь никакого определенного мнения или занимать весьма разные позиции.

• [1] То есть вторичным явлением, возникающим благодаря некому первичному явлению (в данном случае — сети нейронных связей в коре головного мозга), но не способным оказывать обратное влияние на это первичное явление.