Графические работы на уроках стереометрии в средней школе

• Оглавление
• Введение 3
• Глава 1. Проявление пространственного мышления в учебной деятельности 5
• 1.1. Модель формирования пространственного образа 7
• 1.1.1. Внимание 8
• 1.1.2. Психологические особенности пространственного мышления 9
• 1.2. Особенности пространственного образа 11
• Глава 2. Основные показатели и условия развития пространственного мышления, формируемого на графической основе 14
• 2.1. Типы оперирования пространственными образами 15
• 2.2. Широта оперирования геометрическим образом и полнота образа 17
• 2.3. Использование разных систем отсчета при оперировании пространственными образами 21
• Глава 3. Зависимость структуры пространственного образа от его функций в решении графических задач 23
• Глава 4. Методика работы с геометрическими образами 27
• 4.1. Задания на создание геометрических образов 27
• 4.1.1. Задания на перевод словесных данных задачи в графический образ 27
• 4.1.2. Задания на выделение существенных признаков геометрических понятий, их актуализацию 28
• 4.1.3. Задания на вычленение фигуры из состава других фигур чертежа 29
• 4.1.4. Задания на сравнение фигур чертежа 30
• 4.1.5. Задания на построение недостающих фигур чертежа в ходе решения задачи 32
• 4.1.6. Задания на рассмотрение фигур чертежа с разных точек зрения 33
• 4.2. Задания на оперирование геометрическими образами 36
• 4.2.1. Задания на мысленное видоизменение пространственного положения исходного образа 37
• 4.2.2. Задания на мысленное видоизменение структуры геометрического образа 38
• 4.2.3. Задания на мысленное изменение пространственного положения и структуры геометрического образа 39
• Глава 5. Дидактические материалы по теме «Параллельность в пространстве» 41
• 5.1. Уроки изучения нового материала 43
• 5.2. Уроки применения знаний, умений и навыков 47
• 5.3. Уроки проверки знаний, умений и навыков 57
• Заключение 60
• Библиографический список 61

Очень многие «беды» начинающих изучать стереометрию про-исходят от неумения сделать правильный и удобный («конст-руктивный» для решения задачи) рисунок, или чертеж (мы не различаем эти понятия). Часто учащиеся не понимают, как пространственные фигуры изобразить на плоскости, правильно оперировать ими, так как чертеж несет в себе смысловую нагрузку, не понятную школьникам. Наглядные и правильно выполненные чертежи обладают определенной спецификой изображения на них пространственных фигур, и очень важно овладеть этой спецификой изображать верно и наглядно пространственные фигуры. Поэтому изучение проблемы изображения геометрических фигур актуально и необходимо для развития образного мышления школьников.

Образное мышление в математике реализуется через создание (построение) образов геометрических объектов, оперирование ими при усвоении знаний, решении задач. В этом процессе особое значение имеет ориентация в пространстве. Поэтому в математике образное мышление выступает прежде всего, как пространственное, интегрирующее в себе проективные и метрические представления о геометрических объектах (их свойствах и отношениях). Пространственное мышление обеспечивает взаимопереход от двухк трехмерным образам и обратно, а также произвольное изменение точки отсчета.

Целью работы является изучение влияния графических работ на развитие образного мышления школьника.

Для реализации цели поставлены следующие задачи:

1. изучить теоретический материал, освещающий психологические закономерности создания образов, оперирования ими при решении задач;

2. изучить типы оперирования образами, отражающие разные уровни развития математического мышления;

3. составить типологию заданий на чтение (восприятие) геометрического чертежа, его преобразование, свободное конструирование;

4. разработать дидактический материал по одной из тем курса стереометрии, направленный на формирование различных способов создания образов и оперирования ими.

Глава 1. Проявление пространственного мышления в учебной деятельности

Пространственное мышление — вид умственной деятельности, обеспечивающий создание пространственных образов и оперирование ими в процессе решения различных практических и теоретических задач.

Особенности пространственного мышления ярко выступают в процессе решения графических задач, где вычленение пространственных соотношений, их преобразование осуществляется на основе условных изображений (рисунков, чертежей и т. п.). В процессе деятельности человек выделяет пространственные соотношения в воспринимаемом пространстве, отражает их в представлениях или понятиях. Но ему нередко приходится не только их фиксировать и соответственно регулировать свою деятельность, но и прогнозировать новые соотношения, ранее невоспринимаемые. На основе чувственного познания заданных пространственных соотношений с помощью сложной системы умственных действий человек создает новые пространственные образы и выражает их в словесной или графической форме. Это достигается специальной деятельностью представливания Термин «представливание» был введен Б. М. Тепловым для описания сложной интеллектуальной деятельности по созданию образов и оперированию ими. В дальнейшем он стал широко использоваться для обозначения процесса преднамеренного, произвольного воспроизведения образа и мысленного оперирования им при решении графических задач., обеспечивающей восприятие заданных пространственных соотношений, их мысленную переработку и создание на основе новых пространственных образов.

Деятельность представливания есть основной механизм пространственного мышления. Его содержанием является оперирование образами, их преобразование, причем нередко длительное и многократное. В этот процесс вовлекаются образы, возникающие на различной графической основе, поэтому в пространственном мышлении происходит постоянное перекодирование образов, т. е. переход от пространственных образов реальных объектов к их условно-графическим изображениям; от трехмерных изображений к двухмерным и обратно.

Пространственное мышление в своей наиболее развитой форме оперирует образами, содержанием которых является воспроизведение и преобразование пространственных свойств и отношений объектов: их формы, величины, взаимного расположения частей. Под пространственными соотношениями понимаются соотношения между объектами пространства или между пространственными признаками этих объектов. Они выражаются понятиями о направлении (вперед-назад, вверх-вниз, налево-направо), о расстояниях (близко-далеко), об их отношениях (ближе-дальше), о местоположении (в середине), о протяженности объектов пространства (высокий-низкий, длинный-короткий) и т. п.

Пространственное мышление в своих наиболее развитых формах проявляется в процессе решения графических задач, где происходит создание образов и оперирование ими.

При чтении и построении чертежа необходимо менять единую зрительную позицию и рассматривать объект с разных точек зрения. Здесь происходит «преобразование» образов сразу и одновременно в трех разных направлениях при переходе:

· от реального объекта к его условно — графическому изображению;

· от трехмерных изображений к двумерным и обратно;

· от фиксированной «в себе» точки отсчета к другим системам отсчета, произвольной их смене.

Пространственное мышление, обладая всеми характерными особенностями образного мышления, имеет свои специфические черты, что связано с содержанием самих образов, условиями их создания и оперирования ими. Основной оперативной единицей пространственного мышления являются пространственные образы, в которых отражаются пространственные образы и отношения. Пространственное мышление в своих наиболее развитых формах формируется на графической основе, поэтому ведущими образами являются для него зрительные образы. Переход от одних зрительных образов к другим постоянно наблюдается при решении тех задач, где используются разнотипные графические изображения. На их основе возникают не только отдельные образы, адекватные каждому изображению, но и их целостная система. Умение мыслить в системе этих образов и характеризует пространственное мышление.

1.1. Модель формирования пространственного образа

Первым шагом на любом этапе познания, в том числе и при формировании представлений, является восприятие, «живое созерцание» определённой визуальной информации, например, чертежа, схемы, модели, рисунка и т. п. Для того чтобы сделать его действенным, необходимо не просто смотреть на предлагаемые для восприятия зрительные образы, а видеть заложенную в них информацию, то есть осуществлять анализ визуальной информации.

Анализ визуальной информации начинается с создания общей структуры информационного сообщения, заложенного в данном зрительном образе (модели, рисунке, чертеже, схеме и пр.) и выделения его элементов. Учебная математическая информация, задаваемая наглядным образом, довольно четко подразделяется на элементы. Например, при изображении пространственных или плоских геометрических конфигураций, в одних случаях к элементам можно отнести сами эти фигуры, в других — выделенные на чертеже их составляющие (высоты, углы, стороны, вершины и пр.). Таким образом, происходит расчленение, в котором важную роль играет опознание отдельных ее фрагментов (узнавание), отождествление одинаковых, сходных по форме или по смыслу ее элементов. Система связей выделенных элементов будет составлять структуру данной визуальной информации. Осознание структуры исходной визуальной информации заключается в определении связей между ее элементами.

В ходе активного зрительного восприятия визуальной информации учащийся отождествляет отдельные ее фрагменты с известными ему достаточно простыми объектами и понятиями. Распознавание стандартной ситуации, стандарта может происходить как при постановке задачи (применить признак параллельности для построения сечения куба), так и неявно, в процессе выделения знакомого представления в новых условиях (стороны треугольника — отрезки, вершины — точки), уяснения частного вида более общего знакомого понятия (треугольник — равносторонний треугольник).

Таким образом, в посильном для изучения материале обучаемый находит некоторые известные ему объекты в виде элементов чертежа, схемы, графика, модели; выделяет их, дифференцирует по степени сходства, определяет известный ему структурный стандарт по отношению ко всей представленной визуальной информации. Получение начальных, явным способом предлагаемых данных информации приводит к вычленению признаков геометрического объекта, которые являются основой для формирования его первичного образа.

Далее учащийся приступает к уточнению и детализации исходной визуальной информации, сравнивает ее с некоторым обобщенным образом (стандартом, эталоном). Таким образом, в памяти учащегося происходит окончательное закрепление — образование содержательных образов (пространственных представлений).

Вся деятельность пространственного мышления при работе с наглядным материалом направлена на формирование обобщенных пространственных представлений.

Для обобщения и систематизации всего вышесказанного, нами выработана общая схема формирования пространственного образа. Не последнюю роль в формировании пространственного мышления играет внимание, пространственное мышление и пространственные представления. Остановимся подробнее на этих понятиях.

1.1.1. Внимание

Для восприятия любого явления необходимо, чтобы оно смогло вызвать ориентировочную реакцию, которая и позволит нам «настроить» на него свои органы чувств. Подобная произвольная или непроизвольная направленность и сосредоточенность психической деятельности на каком-либо объекте восприятия и называется вниманием. Без него восприятие невозможно.

Внимание обусловливает избирательность, сознательный или полусознательный отбор информации, поступающей через органы чувств.

Внимание обладает определёнными параметрами и особенностями, которые во многом являются характеристикой человеческих способностей и возможностей. К основным свойствам внимания обычно относят следующие: концентрированность, интенсивность, устойчивость, объем, переключение внимания, распределение внимания.

Особый интерес всегда привлекало произвольное внимание, требующее сознательного самоконтроля и сопровождаемое чувством усилия над собой, в некотором смысле самопринуждением индивида, который в этом случае подавляет свои непроизвольные реакции во имя долга, разумной необходимости.

1.1.2. Психологические особенности пространственного мышления

Пространственное мышление — вид умственной деятельности, обеспечивающей создание пространственных образов и оперирование ими в процессе решения различных практических и теоретических задач. Пространственное мышление есть такое психологическое образование, которое формируется в различных видах деятельности (практической и теоретической). Для его развития большое значение имеют продуктивные формы деятельности: конструирование, изобразительное (графическое). В ходе овладения ими, целенаправленно формируются умения представлять в пространстве результаты своих действий и воплощать их в рисунке, чертеже, постройке, поделке. Мысленно видоизменять их и создавать на этой основе новые, в соответствии с созданным образом, планировать результаты своего труда, а также основные этапы его осуществления, учитывая не только временную, но и пространственную последовательность их выполнения.

Пространственное мышление в своей развитой форме оперирует образами, содержанием которых является воспроизведение и преобразование пространственных свойств и отношений объектов: их формы, величины, взаимного положения частей. Оперирование пространственными образами в видимом или воображаемом пространстве, является содержанием пространственного мышления. Выделение пространственных зависимостей из объекта восприятия часто затруднено ввиду сложности его конструкции. Многие особенности (например, внутреннее строение) скрыты от непосредственного наблюдения. Поэтому выделять пространственные зависимости, присущие объекту, нередко приходится опосредствованно, через сравнение, сопоставление различных частей и элементов конструкции. Общее, что характеризует любой пространственный образ — это отражение в нём объективных законов пространства. Однако это отражение определяется деятельностным отношением субъекта к окружающему его пространству, разнообразием условий, форм и способов отражения, что определяет различия в конкретном содержании пространственного образа. Пространственные свойства и отношения неотделимы от конкретных вещей и предметов — их носителей, но наиболее отчётливо они выступают в геометрических объектах (объёмных телах, плоскостных моделях, чертежах, схемах и т. п.), которые являются своеобразными абстракциями от реальных предметов. Не случайно, поэтому геометрические объекты (их различные сочетания) служат тем основным материалом, на котором создаются пространственные образы и происходит оперирование ими.

В современной психологии понятие пространственных представлений связывается с понятием образа объекта или явления, который возникает в результате восприятия. При этом большое внимание уделяется зрительным образам, так как их информационная ёмкость особенно велика. Они позволяют мгновенно схватывать отношения между реальной и представляемой ситуацией. Пространственные представления являются целостными субъективными образами пространственных объектов или явлений, которые отражены и закреплены в памяти на основе восприятия наглядного материала в процессе деятельности. Тогда формирование и развитие пространственных представлений можно рассматривать как процесс создания образов и оперирование ими.

Познавательная природа представлений раскрывается в том, что они являются промежуточным звеном при переходе от ощущения к мысли. Ясные и отчётливые представления о геометрических объектах, последовательно образованные в сознании обучаемых, являются прочной основой для усвоения научных знаний. Представление, как важный элемент познания, призвано связывать образы предметов и явлений со смыслом и содержанием понятия о них. Но, в свою очередь, формирование представлений требует овладения понятием, поскольку понятие определяет содержание образа. Пространственные представления по отношению к мышлению являются исходной базой, условием развития, но, в то же время, и формирование представлений требует предварительного овладения понятиями и фактами. Можно сказать, что процесс формирования пространственных представлений о геометрических объектах проходит на основе знаний о них.

На основе вышесказанного можно сделать вывод, что содержание пространственных представлений следует рассматривать как образ отраженного объекта или явления, в совокупности со знаниями об объекте, извлеченные в процессе его восприятия. Это результат визуального мышления, сочетающего в себе взаимосвязанные пространственный и логический компоненты мышления.

Итак, под пространственным представлением, формируемым в процессе обучения геометрии, будем понимать обобщенный образ геометрического объекта, складывающийся в результате переработки (анализа) информации о нем, поступающей через органы чувств.

1.2. Особенности пространственного образа

Содержанием пространственного мышления является оперирование пространственными образами в видимом или воображаемом пространстве на основе различных графических изображений, что связано с необходимостью «перекодирования» образов, создаваемых на разной наглядной основе.

Выделение пространственных зависимостей из объекта восприятия часто затруднено ввиду сложности его конструкции. Многие особенности (например, внутреннее строение) скрыты от непосредственного наблюдения. Поэтому выделять пространственные зависимости, присущие объекту, нередко приходится опосредствованно, через сравнение, сопоставление различных частей и элементов конструкции.

Пространственные свойства и отношения выявляются как путем восприятия реальных объектов, так и их заменителей, причем графическое изображение реального объекта может значительно расходиться с обозначаемым объектом, создавая специфические сложности для возникновения на этой основе адекватных пространственных образов.

Пространственные свойства и отношения неотделимы от конкретных вещей и предметов — их носителей, но наиболее отчет-ливо они выступают в геометрических объектах (объемных телах, плоскостных моделях, чертежах, схемах и т. п.), которые являются своеобразными абстракциями от реальных предметов. Не случайно, поэтому геометрические объекты (их различные сочетания) служат тем основным материалом, на котором создаются пространственные образы и происходит оперирование ими.

Предметную очерченность любого объекта создает его контур, что позволяет отличать один предмет от другого, сравнивать их между собой путем применения общественно выработанных сенсорных эталонов.

Пространственные свойства характеризуют не только внешний вид (конфигурацию) предмета, но и его структуру (строение), что во многом определяет функциональную значимость этого предмета (его назначение, область применения). В ряду других свойств (цвет, масса, фактура поверхности и т. п.) пространственные свойства занимают ведущее место в характеристике предмета. Опираясь на эти свойства, человек распознает различные предметы, классифицирует их, широко использует геометрические знания в различных видах как теоретической, так и практической деятельности.

Положение объекта по отношению к другим объектам определяется его размещенностью в пространстве. Определить его положение — это и значит указать его место в совокупности мест, занимаемых другими, окружающими его объектами. Пространственные соотношения характеризуют не столько сам объект, сколько его положение в системе других объектов (если объект сложный по структуре, то внутри этой структуры устанавливаются пространственные соотношения его частей, части и целого). Пространственные соотношения нередко имеют сложную структуру, оперирование ими опосредствуется специальными знаниями и умениями. Особенности пространственного образа определяются не только его содержанием и условиями возникновения. Как уже отмечалось, важной характеристикой пространственного мышления является перекодирование образов, возникающих на различной наглядной основе. В ходе усвоения знаний в качестве наглядной основы может выступать и реальный (конкретный) предмет, и теоретическая модель, воспроизводящая его строение (конструкцию), происходящие в нем, скрытые от непосредственного наблюдения процессы и графическое изображение отдельного объекта или целой совокупности объектов.

Условные графические изображения способствуют передаче более скрытых от непосредственного восприятия свойств изучаемого объекта. Освобожденные от конкретных «телесных» особенностей объекта, они передают главным образом конструкцию (строение) объекта, его геометрическую форму, пропорции, пространственное положение его отдельных частей.

Условные графические изображения объектов дают возможность выявить скрытые пространственные связи и отношения, как бы перейти от явления к сущности.

Пространственные образы, создаваемые на различной графической основе, являются сложными по своей природе. В них фиксируются пространственные зависимости, присущие как отдельным предметам, так и целому классу предметов, имеющих общие геометрические конструктивно-технические особенности.

Геометрический чертеж может выступать как

1. специальный предмет изучения;

2. просто наглядная опора для отвлеченного хода мысли, своеобразный образ-схема;

3. условие для воспроизведения по нему различных наглядных образов конкретного объекта.

Во всех рассмотренных случаях происходит перекодирование образов, различающихся содержанием и уровнем обобщенности пространственных свойств и отношений. Все это указывает на то, что использование в учебных целях различной наглядности, на основе которой создаются пространственные образы и осуществляется оперирование ими, требует анализа ее психологического содержания. К сожалению, в школе учебная наглядность классифицируется лишь по ее предметному (графическому) содержанию и часто используется только в качестве иллюстративного материала, ее функции в развитии пространственного мышления учащихся исследованы недостаточно.

Глава 2. Основные показатели и условия развития пространственного мышления, формируемого на графической основе

При характеристике уровня развития пространственного мышления в качестве основного показателя развития пространственного мышления, осуществляемого в условиях графической деятельности, принят тип оперирования образом. Для того чтобы этот показатель был надежным, используются еще два тесно связанных с ним показателя — широта оперирования образом и полнота образа.

2.1. Типы оперирования пространственными образами

При создании любого образа, в том числе и пространственного, мысленному преобразованию подвергается наглядная основа, на базе которой образ возникает. При оперировании образом мысленно видоизменяется уже созданный на этой образ, нередко в условиях полного отвлечения от нее.

Выделяя оперирование образами в особый вид деятельности представливания, не совпадающий ни по своему содержанию, ни по условиям осуществления, ни по результатам с процессом создания образа, тем самым получаем возможность определить основную функцию пространственного мышления. Под пространственным мышлением подразумевается свободное оперирование пространственными образами, созданными на различной наглядной основе, их преобразование с учетом требований задачи.

Все многообразие случаев оперирования пространственными образами можно свести к трем основным: приводящим к изменению положения воображаемого объекта (I тип), изменению его структуры (II тип) и к комбинации этих преобразований (III тип). Остановимся на описании каждого типа оперирования.

Первый тип оперирования характеризуется тем, что исходный образ, уже созданный на графической наглядной основе, в процессе решения задачи мысленно видоизменяется в соответствии с условиями задачи. Эти изменения касаются в основном пространственного положения и не затрагивают структурных особенностей образа. Типичными случаями такого оперирования являются различные мысленные вращения, перемещения уже созданного образа как в пределах одной плоскости, так и с выходом из нее, что приводит к существенному видоизменению исходного образа, созданного на графической основе, которая объективно остается при этом неизменной. Следует отметить, что приемы мысленного вращения (смещения) применяются при создании пространственного образа. Но в этом случае они используются применительно к изображению (например, чертежу) или отдельным его элементам. В процессе оперирования изменению подлежат не столько элементы воспринимаемого изображения, сколько уже созданный на их основе образ. Мысленное вращение осуществляется при этом без непосредственной опоры на наглядность.

Второй тип оперирования характеризуется тем, что исходный образ под влиянием задачи преобразуется в основном по структуре. Это достигается благодаря различным трансформациям исходного образа путем мысленной перегруппировки его составных элементов с помощью применения различных приемов наложения, совмещения, добавления (усечения) и т. п. При втором типе оперирования образ изменяется настолько, что становится мало похожим на исходный. Степень новизны создаваемого образа в этом случае намного выше той, которая наблюдалась при первом типе оперирования, так как исходный образ подвергается здесь более радикальному преобразованию. Намного выше также и умственная активность, поскольку все преобразования образа осуществляются, как правило, в уме, без непосредственной опоры на изображение. Все производимые преобразования и их результаты приходится удерживать в памяти, как бы видеть их мысленным взором.

Третий тип оперирования характеризуется тем, что преобразования исходного образа выполняются длительно и неоднократно. Они представляют собой целую серию умственных действий, последовательно сменяющих друг друга и направленных на преобразования исходного образа одновременно и по пространственному положению, и по структуре.

Сравнительный анализ трех типов оперирования пространственными образами показывает, что оперирование может осуществляться применительно к разным элементам в структуре образа: его форме, положению, их сочетаниям. Выделенные типы оперирования пространственными образами, их доступность учащимся рассматриваются как один из важных и весьма надежных показателей, характеризующих уровень развития пространственного мышления.

В соответствии с тремя типами оперирования выделены три уровня развития пространственного мышления (низкий, средний, высокий). Этот показатель положительно коррелирует с другими показателями, такими, как широта оперирования пространственным образом, полнота образа, его динамичность, обобщенность, обратимость и т. п.

Итак, рассмотрены основные типы оперирования пространственными образами, встречающиеся в процессе решения графических задач, различных по своему предметному содержанию. Исследование реальных механизмов, обеспечивающих возможность оперировать образами, поможет понять психологическую природу затруднений, разработать надежные критерии для определения уровня развития пространственного мышления.

2.2. Широта оперирования геометрическим образом и полнота образа

Представим, что учащийся хорошо выполняет преобразования по тому или иному типу. Чтобы убедиться в том, что данный тип оперирования для него не случаен, необходимо проверить его устойчивость, т. е. возможность выполнять данные преобразования на различном графическом материале. В этих целях используется такой показатель, как широта оперирования. Кроме того, оперирование пространственным образом предполагает, что учащиеся мысленно преобразуют заданную графическую наглядность в трех тесно взаимосвязанных направлениях: по форме, величине, пространственному положению. Отражение этих признаков в образе, мысленно преобразуемом, и характеризует полноту образа. Если эти признаки не теряются человеком в процессе преобразования образа, то можно наняться на успешность его преобразования.

Вот почему тип, широта оперирования и полнота образа приняты в качестве основных показателей развития пространственного мышления.

Тип оперирования образом есть доступный ученику способ преобразования созданного образа. С помощью данного показателя удается не только выявлять намеченный тип оперирования образом, сложившийся испытуемого к моменту проверки, но и следить за динамикой его изменений в процессе обучения.

Широта оперирования есть степень свободы манипулирования образом с учетом той графической основы, на которой образ первоначально создавался. Данный показатель дает возможность выявить степень устойчивости в оперировании образом по тому или иному типу, независимо от характера изображения. Свобода такого оперирования, проявляющаяся в легкости и быстроте перехода от одного графического изображения к другому, своеобразное «перекодирование» их содержания типичны для развитого мышления. На основании этого показателя легко установить, является ли данный тип оперирования образом, результатом непосредственного обучения или же это есть проявление индивидуальной способности ученика, который самостоятельно, по собственной инициативе осуществляет подобные преобразования на разнотипных изображениях. Важным здесь является умение создавать образы и оперировать ими, используя для этого разные виды графических изображений.

Оценивая уровень развития пространственного мышления учитывается также содержание пространственного образа, который создается на различной графической основе, а затем преобразуется. Ведь от того, каков образ по содержанию (насколько в нем полно отражены все пространственные характеристики объекта), во многом зависит успешность оперирования им. Для выявления структуры образа использовалась такая его характеристика, как полнота.

Полнота образа характеризует его структуру, т. е. набор элементов, связи между ними, их динамическое соотношение. В образе отражается не только состав входящих в его структуру элементов (форма, величина), но и их пространственная размещенность (относительно заданной плоскости или взаимного расположения элементов).

Умение вычленять пространственные соотношения и оперировать ими прямо не зависит от усвоения знаний, в то время как умение вычленять форму и размеры изображенного объекта опосредствуется целой системой усвоенных знаний, приемов и способов действий.

Относительная «независимость» умения к вычленению пространственных свойств и отношений от специальных знаний выступает в качестве показателя, характеризующего наиболее устойчивую индивидуально-психологическую особенность людей, связанную с ориентацией в пространстве. Эта способность носит устойчивый характер и проявляется при работе с разным учебным материалом. Под влиянием специального обучения она может успешно развиваться, но темпы и характер ее развития во многом определяются исходной основой, выявление которой очень важно для правильной индивидуализации обучения, что особенно существенно при обучении графическим дисциплинам в школе.

Важной характеристикой полноты образа является его динамичность, выражающаяся в умении:

мысленно фиксировать изменения в содержании образа;

произвольно изменять точку отсчета.

Выделенные показатели: широта и тип оперирования образом, отражающиеся в его полноте и динамичности, характеризуют уровень развития пространственного мышления.

Овладение специальной системой графических знаний, умений и навыков является важнейшим условием, вне которого не может быть развития пространственного мышления. Однако последнее зависит не только от усвоения специальных знаний, но и от структуры пространственных образов.

Создание соответствующих упражнений на основе классификации различных видов изображений и типов их преобразований не только способствовало правильному и более раннему усвоению учащимися основополагающих понятий о пространстве и его элементах (таких, например, как пространственное тело, плоскость и т. п.), но играло бы большую роль в развитии пространственного мышления школьников.

Для формирования пространственного мышления важно не только уметь абстрагировать признаки пространственных объектов, но и понимать относительность границ между отдельными группами объектов, возможность использования для их анализа различных критериев, тесно взаимосвязанных. Относительность пространственных характеристик объектов обусловлена динамикой объектов, их постоянным движением, перемещением, преобразованием. К сожалению, развитию этой важной особенности пространственного мышления не уделяется пока должного внимания. А между тем понимание учащимися не только способа существования, но и происхождения различных геометрических форм, возможность их преобразования является важной предпосылкой для формирования динамичности (обратимости, взаимозаменяемости) пространственных образов.

Ориентация по схеме тела оказывает существенное влияние на формирование и развитие всей системы пространственных образов. Будучи прочно закрепленной, она переносится с практических действий с предметами на анализ геометрического пространства, что вызывает значительные трудности, которые проявляются у школьников при усвоении геометрии.

Итак, создание и оперирование пространственными образами опирается на сложную систему знаний о пространственных свойствах и отношениях, на формирование специальных приемов их восприятия и представливания. Но этого оказывается недостаточно. Нужна сложная, кропотливая и систематическая работа по формированию умений использовать различные графические изображения, произвольно изменять систему отсчета (см. ниже).

Это требует существенного изменения содержания и методов обучения. По-видимому, отсутствием в должной мере этих изменений можно объяснить психологическую природу многих трудностей, связанных, в частности, с овладением графической деятельностью. Так, становится, например, понятной причина массовой ошибки, которую допускают учащиеся, когда вид слева называют видом справа. При ориентировке по схеме тела вид сбоку располагается на чертеже справа, если плоскость чертежа представить в прямоугольной системе координат. Но при составлении проекций чертежа за основную систему отсчета принимается не позиция наблюдателя, а фиксированная позиция объекта (выбирается его главный вид). По отношению к нему строится вид сверху и слева.

Отсутствие у учащихся динамической смены точек отсчета и порождает многие трудности, встречающиеся при овладении графической деятельностью.

Развитие пространственного мышления в процессе обучения идет по следующим основным направлениям:

овладение произвольностью в использовании систем отсчета;

формирование обобщенных способов создания пространственных образов и оперирования ими, т. е. совершенствование деятельности представливания;

усвоение графической культуры, что обеспечивает возможность оперирования пространственными образами разной меры конкретности, наглядности, перекодирование этих образов в соответствии с требованиями графической деятельности.

2.3. Использование разных систем отсчета при оперировании пространственными образами

Одной из особенностей пространственного мышления является использование разных систем ориентации в пространстве (видимом или воображаемом). Наиболее естественной, закрепленной всем опытом человека системой ориентации является схема тела (исходная позиция наблюдателя), которая лежит в основе практической ориентации в системе предметов и явлений. Ее изменение нередко влечет за собой перестройку всей системы пространственных отношений. Пространственная размещенность предметов объективно остается неизменной, но их мысленное отражение в образе будет меняться при изменении точки отсчета.

То же самое можно наблюдать при создании образов на графической основе. Чертеж будет различным, если изменяется позиция наблюдателя относительно одного и того же объекта. По своей структуре объект не изменяется, но в зависимости от того, какой вид его принимается за главный, изменяются изображения его проекций на плоскость, а вместе с тем и образы этих проекций.

При переходе к геометрическому пространству учащиеся наряду с опорой на схему тела вынуждены часто абстрагироваться от нее. Так, при определении пространственной размещенности геометрических объектов за исходную точку отсчета часто принимается не наблюдатель, а любой, абстрактный, произвольно выбранный элемент (точка, отрезок, угол и т. п.), по отношению к которому пространственно размещаются все другие элементы. Это особенно четко обнаруживается, когда образы геометрических объектов формируются на основе условно — графических изображений (чертежей, схем, графиков и т. п.).

При усвоении курса начертательной геометрии основные трудности возникают при необходимости изменить базу отсчета, выйти мысленно за пределы трехгранного угла, обращенного к наблюдателю, и представить расположение геометрических фигур в других октантах. Оставаясь в пределах эмпирической системы отсчета, человек не сможет овладеть геометрическим пространством в его теоретическом содержании. В ходе решения графических задач учащиеся постоянно изменяют базу отсчета, принимая за исходные не только реальные объекты, но и абстрактные геометрические фигуры.

Переход от реального пространства к системе его условно — графических заменителей связан с формированием адекватных средств, направленных на произвольное создание образов и оперирование ими. Этот переход не осуществляется автоматически. Он обеспечивается в процессе усвоения специального понятийного аппарата, использованием систем отсчета, способов представливания.

Для более эффективного развития пространственного мышления необходима классификация разных типов пространственных задач с учетом всех требований, предъявляемых к использованию различных систем отсчета на основе анализа каждой из них.

Глава 3. Зависимость структуры пространственного образа от его функций в решении графических задач

Выше были рассмотрены условия, в которых осуществляется возникновение образа и оперирование им. Среди этих условий можно выделить следующие:

характер наглядной основы, на которой образ впервые воз-никает;

особенности графической задачи, определяющей требования к созданию образа и оперированию им.

В процессе решения задач часто используется не один, а несколько видов графических изображений (рисунок, чертеж и др.), что требует не только создания образов, адекватных заданным изображениям, но и перекодирования их.

В процессе решения задачи необходимо, опираясь на разные графические изображения, увидеть объект многопланово, причем образы, возникающие на основе изображений, должны сливаться в единый, целостный образ. Единичные образы, полученные от восприятия каждого изображения, различаются уровнем наглядности, обобщенности, схематичности. Они не просто рядоположно существуют, а видоизме-няются, преобразуются в процессе решения. Поэтому в конечном образе — образе-результате — отражается в снятом виде вся логика преобразований исходных образов. Структура этих образов зависит от содержания исходной наглядности, на которой они возникают.

Структура пространственного образа существенно зави-сит от характера наглядной основы, на которой образ возникает. В процессе решения графических задач используются не одно, а несколько изображений разного типа, требуется переход от одно-го к другому, что обусловливает изменения в структуре образа. В каждом графическом образе отражаются по преимуществу те свойства объекта, которые фиксируются графическим изображением. Однако структура пространственного образа определяется не только характером наглядной основы. Она определяется также той функцией, которую образ выполняет в процессе решения графической задачи. В зависимости от функции в образе фиксируются не все свойства и признаки отображаемого объекта, а лишь те, которые необходимы для реализации деятельности, ее успешного осуществления. Избирательность психического отражения — фундаментальная закономерность, выражающаяся в за-висимости структуры образа от его функции в деятельности. Эта закономерность в специфическом виде проявляется и при созда-нии пространственных образов.

Образ «рождается» под влиянием двух тесно взаимосвязанных детерминант: наглядной основы и требований деятельности, обусловленных конкретными условиями задачи. Это важно иметь в виду при использовании принципа наглядности в обучении. Нередко выбор наглядного графического изображения диктуется только его иллюстративной функцией. Но важно учитывать также требования учебной задачи и, исходя из этого, выбирать адекватное графическое изображение.

Выбор графической иллюстрации должен опираться на анализ содержания учебной деятельности, с учетом той реальной задачи, которую выполняет ученик. Необходимо предоставлять ученикам свободу выбора в использовании графических изображений с учетом их функции в усвоении заданного учебного материала, легкости оперирования ими.

После рассмотрения сложных зависимостей, которые имеют место в процессе создания образа с учетом исходной графической основы и содержания задачи, проанализируем, как проявляются эти зависимости при решении графических задач, где создание пространственных образов и оперирование ими являются основной целью.

Следует подчеркнуть, что в задачах начертательной геометрии образ, возникающий первоначально на заданной графической основе, является лишь исходной моделью, обладающей различным набором пространственных и проекционных признаков. Какие из них будут использованы — это зависит от конкретного условия задачи, где фиксируется направление мысленного преобразования исходного образа — модели.

Все выполняемые преобразования, требующие деятельности представливания, непосредственно не заданы исходным изобра-жением. Конечный образ, фиксирующий результат решения, конструируется (строится) с учетом требований задачи. Поэтому структура образа (набор отображаемых им элементов, признаков, свойств) зависит от функции образа в системе задачи. Причем в процессе решения задачи может происходить переориентация на различные признаки и свойства.

Таким образом, в задачах по начертательной геометрии имеет место динамическое соотношение пространственных признаков и свойств, которые непосредственно фиксируются в ходе решения задачи. Здесь также наблюдается своеобразное перекодирование, но выражается оно не только в переходе от одного графического образа к другому, но и в переходе от одних пространственных признаков к другим.

Структура пространственного образа, создаваемого на различной графической основе, определяется конкретными условиями и требованиями деятельности. Она динамически меняется в зависимости от содержания графической задачи, по-скольку имеет место постоянный переход:

от наглядных изображений к условно-схематическим;

от трехмерных (объемных) к двухмерным (плоскостным);

от одной системы ориентации к другой, используя различные свойства изображенного объекта (его форму, величину, пространственные соотношения).

Необходимость изменения структуры пространственных образов определяется их функцией в деятельности (в процессе решения задачи). Первоначально возникший образ (на основе чтения исходного изображения) может только тогда выполнять функцию контроля, коррекции, прогнозирования деятельности (т.е. регулирующую функцию), когда он в процессе решения задачи по-стоянно преобразуется.

Во многих графических задачах логика движения образов (их видоизменение, взаимопревращение) и есть по существу основной механизм решения.

С одной стороны, образ не может быть инвариантным по отношению к той наглядной (графической) основе, на которой он создается. Он должен быть адекватен этой основе. С другой — образ не может быть чем-то неподвижным, статичным, застывшим. Он должен быть динамичным, подвижным, оперативным. В противном случае он не сможет выполнять свою функцию в процессе решения задачи, где требуется не просто зафиксировать наличную, исходную ситуацию, а ее преобразовать.

Если исходная графическая наглядность в условии задачи зада-ется, как правило, стабильной, неизмененной, то функция образа постоянно меняется, что требует непрерывного переструктурирования образов. Статичность и динамичность образа выступают здесь в единстве. Там, где они рассогласованы, возникают трудности в решении графических задач.

Исходная наглядность является лишь первичной основой со-здания образа. В процессе решения задачи образ неоднократно преобразуется. Его преобразования тесно связаны не только с со-хранением образа в памяти, но и с использованием понятийного аппарата, определяющего способы преобразования образа в логике задачи.

В основе решения графических задач лежит деятельность представливания, приобретающая сложную структуру. Процесс решения графических задач складывается из своеобразного сочетания исходных образов, возникающих на заданной наглядной основе, выбора способов их преобразования (графического моделирования) и образов, представляющих собой графические схемы движений, воспроизводящих логику мысленного построения изображения. Единство и взаимопроникновение этих образов на основе широкого использования знаний, понятий о видах изображений, способов их построений обеспечивают нахождение правильных стратегий решения графических задач, где образные и понятийные компоненты сливаются в единое целое.

Глава 4. Методика работы с геометрическими образами

Работа с геометрическими образами при усвоении математики предполагает значительную нагрузку на интеллект, поэтому «насыщение» урока учебным материалом, требующим работы с образом, должно опираться на четкое осознание учителем того, какой тип заданий он предлагает ученику.

Таких заданий в геометрии используется много. Они содержатся в учебниках, анализируются учителем на уроке, задаются в виде контрольных (самостоятельных) работ, как домашние задания. Они различаются своим математическим содержанием. Они неоднородны и по составу той реальной деятельности, которая обеспечивает создание по чертежу образов. Но именно с этой точки зрения задания в учебниках недостаточно систематизированы ни в пределах одной темы, ни курса в целом. Задавая их ученикам, учитель не всегда отдает себе отчет в том, какие требования они предъявляют к созданию образа. Конечно, образ возникает у ученика по чертежу (в большинстве случаев) адекватный, но как именно он возникает, этого, как правило, не знают ни авторы учебников, ни учителя. Констатируя конечный результат — созданный образ (правильный или неправильный), учитель не располагает набором заданий, который позволил бы ему «зондировать» сам процесс создания геометрического образа. Целесообразно различать две системы заданий (см. 4.1 и 4.2).

4.1. Задания на создание геометрических образов

4.1.1. Задания на перевод словесных данных задачи в графический

образ

Эти задания широко используются в школьной геометрии. Они предполагают выполнение чертежа в соответствии с условием задачи, заданным в словесной или символьной форме. Есть такие задачи, которые задаются словами и не содержат ни букв, ни символов в тексте («Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится в этой точке пополам»).

Пример1: Сделайте чертежи по условиям задач, используя данные в них обозначения:

1. Прямая АВ пересекает плоскость б в точке М (рис. 1).

2. Плоскости б и в пересекаются по прямой МР, а плоскости б и г пересекаются по другой прямой МТ (рис. 2).

4.1.2. Задания на выделение существенных признаков

геометрических понятий, их актуализацию

Выделение существенных признаков может осуществляться:

а) по словесному описанию условий задачи;

б) по графическому изображению фигуры.

Ученик по словесному описанию задачи должен выделить (подчеркнуть) те слова, в которых заключены существенные признаки понятий, опознать их; уметь дифференцировать словесно те условия (их совокупность), которые определяют, что «дано», а что «требуется найти» (доказать, вычислить и т. п.). Это необходимо, чтобы ученик мог сознательно отчленять известное от искомого. Вычленение существенных признаков понятий можно организовать и по чертежу.

Пример 2: На рисунке изображены три попарно пересекающиеся прямые, которые пересекают плоскость б. Верно ли сделан рисунок? (рис. 3)

Решение: При внимательном изучении рисунка видно, что прямые а, b и c лежат в одной плоскости (используется аксиома задания плоскости).

Прямые а, b и c пересекают плоскость б по прямой, на которой лежат точки А, В и С (аксиома пересечения плоскостей). Но по чертежу видно, что через точки А, В и С невозможно провести единственной прямой. Следовательно, рисунок сделан неверно.

4.1.3. Задания на вычленение фигуры из состава других фигур

чертежа

Очень часто чертеж представляет собой не одну (однородную) фигуру, а их совокупность. Для решения задачи не все фигуры одинаково значимы. Необходимо зрительно выделить эту фигуру из состава других, мысленно ее «подчеркнуть»; удержать в образе, чтобы работать с ней. Для этого необходимо фиксировать внимание не на всех, а лишь на отдельных фигурах; причем на разных этапах решения задачи может происходить как бы смена «фигуры и фона»: те фигуры, которые рассматривались как значимые для решения задачи, должны сменяться другими. Для этого ученику нужно от них отвлечься, чтобы перейти к другим. Необходимы специальные упражнения, обеспечивающие возможность не только продуктивного выделения фигуры из фона, но и динамической смены их (то, что было «фоном» становится «фигурой», и наоборот). Такие задания полезны как в целях дифференциации учащихся, так и для развития у них умения последовательно, логично, обоснованно переходить в образах от одной фигуры к другой, подобно тому, как они учатся строго, логично, последовательно словесно излагать свои мысли. Переход от одной фигуры к другой в образах должен быть аргументирован опознаванием существенных признаков, детерминирован требованиями задачи.