Дюрация облигации: понятие и основные свойства

Категория дюрации была введена в экономическую теорию и практику в 1938 г. американским экономистом Ф. Маколи (Frederick R. Macauley). Он показал, что дюрация является более приемлемой мерой временного элемента облигации, чем срок ее погашения, ибо дюрация учитывает не только полное возмещение инвестиционных затрат в срок погашения, но и размеры поступления купонных выплат, происходящих до погашения.

Принято считать, что дюрация характеризует «средний срок погашения» всего потока денежных выплат, обеспечиваемых облигацией. Сам Маколи определял дюрацию как «средний взвешенный срок погашения денежных потоков облигации, где „весами“ служат доли приведенных стоимостей этих потоков денег в цене облигации». Иными словами, если известны временны? е моменты , после которых инвестор получает купонные выплаты и номинал Мn, то дюрация — это средневзвешенная величина этих промежутков времени по долям цены Р" которую вносит соответствующий денежный поток (купонная выплата и номинал) в начальную стоимость Р0 облигации.

Дюрация любой облигации рассчитывается по формуле.

(4.14).

где Р0 - рыночная цена облигации; t — период времени, в течение которого поступает денежный поток, лет; денежный поток в момент t составляют купонные выплаты Сt и номинал Мn; п — количество лет, в течение которых поступают купонные выплаты; i — годовая доходность к погашению.

Иными словами,.

(4.14а) Оценим дюрацию бескупонных облигаций. Поскольку для этих облигаций все величины Ct = 0, то.

Следовательно, дюрация бескупонных облигаций всегда равняется сроку погашения этой облигации — п лет.

Сложнее вычислить дюрацию для купонной облигации. Предположим, что инвестор желает определить дюрацию купонной облигации Е номинальной стоимостью 1000 руб., сроком погашения пять лет, с купонным процентом 7%, выпла;

чиваемым ежегодно, и доходностью к погашению г = 5%. Цена такой облигации.

Для вычисления дюрации D найдем факторы дисконта и приведенные стоимости потоков денег, обеспечиваемых облигацией (в табл. 4.2 данные по потокам денег приведены в рублях).

Таблица 4.2

Расчет дюрации облигации Е

Дюрация D = 4797,127/1086,558 = 4,415 годам. Колонка 5 в табл. 4.2 показывает долю PV каждой ежегодной выплаты в начальной цене облигации, иными словами, величину.

Но ведь формулу вычисления дюрации можно представить в виде.

Тогда становится понятным определение дюрации как средневзвешенного срока получения всех денежных выплат: каждый срок выплаты (один год — для первой выплаты, два года — для второй и т. д.) умножается на «вес», равный

(сумма этих весов равна единице, или 100%), и затем полученные произведения складываются. Тогда и дюрацию D можно находить, умножая данные столбца 1 на величины столбца 5 и складывая затем полученные результаты:

Заметим, что способ вычисления дюрации облигации остается таким же, если купонные выплаты будут осуществляться раз в полгода, или облигация будет иметь какие-то специфические свойства (например, амортизацию долга) — в любом случае время получения каждого денежного потока взвешивается долей этого денежного потока в цене облигации.

Для выявления сущности дюрации можно поступить следующим образом: возьмем рассмотренную выше облигацию Е и оценим, какую отдачу от нее будет получать инвестор (в виде цены продажи и суммы реинвестированных купонов), если облигация будет продаваться в разные годы. Кроме того, выясним, каким образом на эту отдачу будут воздействовать колебания доходности к погашению i.

Сведем полученные данные в табл. 4.3^[1].

Таблица 4.3

Зависимость отдачи облигации от времени ее продажи и доходности к погашению

Перенесем полученные данные на график (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Зависимость отдачи облигации от времени ее продажи и доходности к погашению.

И данные таблицы, и рисунок свидетельствуют об интересном факте: по мере приближения срока продажи облигации к величине 4,415 лет суммарная отдача облигации вне зависимости от величины доходности к погашению становится практически одинаковой — около 134.79 (1347,9 руб.). На графике видно, что две линии, отражающие суммарную отдачу облигации при разных ставках доходности к погашению, пересекаются в точке, соответствующей сроку продажи облигации, точно равному дюрации облигации. Иными словами, можно сделать заключение, что дюрация облигации представляет промежуток времени (в годах), при котором суммарная отдача облигации (цена продажи плюс реинвестированные купонные суммы) почти не реагирует на изменения доходности к погашению.

Можно сделать в этой связи и другой вывод: облигация Е приобретается по цене 108.66 (1086,6 руб.), когда текущая доходность к погашению составляет 5%, что, как было показано ранее, представляет среднюю геометрическую доходность облигации. Тогда любые перемены доходности к погашению (колебания процентной ставки) не изменят начальную среднюю геометрическую доходность облигации (5%), если облигация будет храниться инвестором в течение срока, точно равного ее дюрации. Действительно, если доходность к погашению повысится до 9%, и инвестор реализует облигацию точно через 4,415 лет, то полученная им средняя геометрическая доходность составит величину Дюрация зависит от следующих факторов:

• а) доходности к погашению;
• б) срока погашения;
• в) процента купонных выплат.

Свойства дюрации

Дюрации присущи следующие свойства.

• 1. Дюрация D бескупонных (чисто дисконтных) облигаций всегда равна сроку их погашения.
• 2. Дюрация D купонных облигаций всегда ниже их срока погашения Т. При этом если величина периодических купонных выплат Сt остается неизменной, то с повышением срока погашения Г различие между дюрацией D и сроком погашения Г возрастает. Например, для облигации с доходностью к погашению i = 6%, купонной ставкой С, = 8% и сроком погашения Т=5 лет дюрация D составляет 4,254 года; если срок погашения облигации возрастает до Г = 20 лет и при этом величины I и Сt остаются неизменными, то D = 11,232 года. В первом случае различие между дюрацией D и сроком погашения Т составляет 0,746 года, а во втором — 9,768 года.

Как следует из приведенного примера, с увеличением срока Т погашения облигации приращение дюрации происходит.

с затухающим темпом — при Т= 5 лет дюрация D = 4,254 года, а при 7= 20 лет она составляет лишь 11,232 года. В этой связи дюрация не может становиться бесконечно большой — своей предельной величины она достигает, если поток будущих доходов не имеет ограничения во времени (например, как уже указывалось, в Великобритании имеются облигации без срока погашения; по ним выплачиваются купонные суммы бесконечно долго). Доказывается, что дюрация не ограниченного во времени потока купонных выплат находится по формуле.

где i — ставка дисконта.

Отметим также, что если облигация продается по номиналу или выше номинала, то с повышением срока погашения Т дюрация облигации постоянно возрастает (с затухающим темпом). Если же облигации реализуются с дисконтом (ниже номинала), то с увеличением срока Г дюрация облигации сначала также возрастает, но затем может снижаться.

Графически зависимость дюрации D от срока погашения облигаций при различных соотношениях величин Ct и i представлена на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Зависимость дюрации D от срока погашения облигации Т

• 3. Как правило, для одного и того же срока погашения Т дюрация D облигации будет тем ниже, чем выше величина купонных выплат (и наоборот). Необходимо также заметить, что это свойство может нарушаться для случаев высоких значений доходности к погашению г (когда облигации продаются с большим дисконтом) и значительным сроком до погашения (о чем говорилось выше).
• 4. При неизменных величинах купонных выплат С, и срока погашения Т чем ниже величина доходности к погашению i, тем выше значение дюрации D.

Следует отметить, что использованные до этого формулы (4.14) и (4.14,а) применяются в том случае, если облигация приобретается в день купонных выплат. Если дата покупки облигации не совпадает с днем купонной выплаты, то дюрацию облигации определяют по более сложной формуле:

(4.146).

Использование дюрации для оценки риска облигаций

Категория дюрации D используется в оценке волатильности цены облигации. В основу таких оценок можно положить тот факт, что дюрация облигации представляет собой эластичность цены облигации Р0 по фактору дисконта Действительно, цена облигации определяется по формуле.

где ,

По общему определению, эластичность? величины по фактору дисконта (т.е. дюрацию D) можно найти из выражения

Поскольку эластичность показывает, на сколько процентов изменится функция при изменении аргумента на 1%, то дюрация также должна показывать, на сколько процентов изменится цена облигации Р0 (функция) при изменении фактора дисконта (аргумента) на 1%. Однако, как указывалось выше, фактор дисконта и ставка дисконта связаны нелинейной зависимостью, поэтому при оценке волатильности облигации, т. е. и степени реакции ее цены на изменения доходности к погашению, используют линейную зависимость Р (1 и i. Тогда связь между изменениями доходности к погашению i облигации и изменениями ее цены Р0 можно представить в виде следующего равенства:

(4.15).

Величину принято называть модифицированной

дюрацией (MD).

Тогда.

(4.15а) В данной формуле знак «минус» свидетельствует, что изменения величин i и происходит в обратном направлении.

Метод использования модифицированной дюрации MD для оценки процентного изменения цены облигаций при колебаниях рыночной процентной ставки (что найдет отражение в изменениях доходности к погашению) дает более точные результаты в случае его применения для относительно краткосрочных облигаций с высокими ставками купонных выплат, чем для долгосрочных облигаций с низкими купонными выплатами.

Волатильность облигации можно определить как дисперсию величин (), которая с учетом соотношения (4.15а) будет зависеть от модифицированной дюрации MD и дисперсии величин i следующим образом:

Поэтому, если облигации имеют одинаковые доходности к погашению, по различные дюрации, то их волатильность может отличаться.

Формула с использованием модифицированной дюрации для оценки риска облигаций обеспечивает приблизительные оценки, поскольку она дает только линейную аппроксимацию изменений цены облигации.

• [1] Цена продажи облигации находится как приведенная стоимость денежных сумм, которые обеспечивает облигация от момента ее продажи до погашения. Реинвестированные купонные суммы определяются по формуле, где п — год продажи облигации.