Геометрическое конструирование в детском саду как средство пропедевтики для изучения геометрии в средней школе в условиях непрерывного образования

Геометрическое конструирование в детском саду как средство пропедевтики для изучения геометрии в средней школе в условиях непрерывного образования

1. Анализ ситуации Систематическое изучение геометрии начинается только в средней школе, и оно происходит на символическом познавательном уровне, когда для обозначения геометрических фигур используются буквы латинского алфавита. Детский сад лишь знакомит ребенка с видовыми формами пространственных материальных тел. Интересно, что в старших классах средней школы при изучении стереометрии снова появляются пространственные материальные формы.

В старших классах при решении геометрических задач выясняется, что ученики не умеют строить сечения куба, призмы и пирамиды плоскостями поскольку у них не сформировано пространственное воображение. Именно поэтому решение задач по стереометрии всегда вызывало и продолжает вызывать большие трудности.

Совершенно очевидно, что разрезание материального куба на части с заданным срезом представляет интересную задачу на формирование пространственного воображения для мвлышей. Возникает вопрос: почему же задачи такого типа не решаются в детском саду. Ответ будет весьма простой: потому что они составляют часть системного подхода при изучении геометрии на сенсорном познавательном уровне, а образовательная информация не представлена на этом познавательном уровне ни в одной области знания, изучаемой в процессе обучения.

Известно, что в средних классах при изучении признаков равенства треугольников дети мысленно накладывают один треугольник на другой. Возникает опять вопрос: почему такое наложение не применяется в детском саду и не мысленное, а вролне непосредственное? Ответ будет тот же самый.

Больше того, не понимая того факта что геометрическое содержание неотделимо от логической формы дети осваивают в детском саду натуральные числа в виде самостоятельных логических форм, а не как величины геометрических фигур. В средней школе геометрия отделяется от алгебры и этот отрыв весьма серьезно подрывает интуитивное понимание математики.

Причина всего этого состоит в идеалистическом подходе к изучению математики, когда логические формы рассматриваются в виде самостоятельных объектов, лишенных геометрического содержания. Такой идеалистический подход превращает изучение математики в некоторую игру, в которой зная правила нужно уметь манипулировать логическими формами.

Это принципиально неверное понимание содержания математического знания. Геометрическая основа этого знания всегда существует. Именно эта основа и порождает логические формы. Другой взгляд на математическое знание превращает ее в догмат и схоластику.

Поэтому авторы данной статьи представляют базовое содержание математического образования, построенное на первой геометрической основе, которую составляют пространственные материальные тела.

Мы видим два уровня изучения геометрического конструирования. Первый уровень связан с конструированием объемных тел и при этом не происходит различия между плоскими и пространственными телами. Это означает что из кубиков собирается как квадрат так и куб хотя квадрат и представляет прямоугольный рараллелепипед с единичной высотой, а в кубе эта высота уже отлична от единицы.

На следующем уровне мы уже занимаемся только конструированием плоских материальных форм. Это означает что высота параллелепипеда практически мала и составляет 1 мм. Или 2 мм.

Переход от существенно объемных пространственных форм к существенно плоским происходит по мере возрастного развития ибо связан с абстрагированием. В этой статье мы ограничимся рассмотрением существенно объемных форм и логикой развития объемной формы.

Чтобы читателю не было скучно мы перемежаем текст практическими заданиями, которые уже можно делать с детьми.

2. Геометрическое конструирование с существенно объемными формами геометрический конструирование пространственный форма Возьмем кубик с длиной ребра 3 см.-наиболее психологически удобный размер для малышей. Будем строить из кубиков разные фигуры.

Задание 1

Цель задания: Сформировать представление о величине геометрической фигуры, о равновеликости геометрических фигур и о подобии таких фигур.

Пропедевтическая цель: Подготовить к пониманию натурального числа, как логической формы, определяющей величину геометрической фигуры, к пониманию иррациональных чисел вида

.

Воспитательная цель: Формирование метрического мышления с помощью математического отношения однородности, представленного парой «одинаково-разное»

Содержание задания:

Построй из кубиков 2 ряда фигур по правилу:

1. В первый ряд поставь фигуры, построенные из одинакового количества кубиков, но все они имеют разный вид.

2. Во второй ряд поставь фигуры, построенные из разного количества кубиков, но все они имеют одинаковый вид.

Вопросы к заданию:

1. Можно ли построить фигуры, несчитая кубики в них?

2. Можно ли построить фигуры с закрытыми глазами?

3. Как ты назовешь одинаковое количество кубиков в фигурах первого ряда и что показывает это количество?

4. Как ты назовешь фигуры одинакового вида?

5. Из любого ли количества кубиков можно построить квадрат и прямоугольник?

6. Из любого и количества кубиков можно построить куб и ящик (параллелепипед)?

Перейдем к развитию мышления. Теперь нас интересует связь между величинами и способ установления такой связи.

Задание 2

Цель задания: Сформировать представление об удвоении величины геометрической фигуры, о четных и нечетных количествах, об умножении и делении на 2.

Пропедевтическая цель: Подготовить к пониманию четного и нечетного натурального числа, к таблице умножения на 2, к делению на 2 нацело и с остатком, Воспитательная цель: Формирование топологического мышления с помощью математического отношения связности, представленного парой «связано-несвязано»

Содержание задания:

Построй из кубиков любую фигуру. Потом построй 2 фигуры по правилу:

1. Справа от этойфигуры построй такую фигуру, в которой столько же кубиков сколько в 2 построенных тобой.

2. Слева от нее построй такую фигуры, в которой столько же кубиков сколько в половине фигуры построенной тобой.

Вопросы к заданию:

1. Всегда ли можно построить правую фигуру?

2. Всегда ли можно построить левую фигуру и что означает слово «половина»?

3. Можно ли построить эти фигуры не считая кубиков?

4. Можно ли построить такие фигуры с закрытыми глазами?

5. Как ты назовешь количество, которое можно всегда разделить на 2 одинаковые по количеству кубиков части?

6. Как ты назовешь количество, для которого такие деление сделать нельзя?

А теперь мы хотим обратить внимание на самый важный объект: количественное движение. Такое движение исключительно важно для поддержания диалектического мышления малыша.

Задание 3

Цель задания: Сформировать представление об процессе удвоении величины геометрической фигуры, закрепить умножение и деление на 2.

Пропедевтическая цель: Подготовить к пониманию геометрической прогрессии. Воспитательная цель: Формирование аналитического мышления с помощью математического отношения сложности, представленного парой «сложное-простое»

Содержание задания:

Построй из кубиков любую фигуру. Затем построй справа и слева от нее 2 ряда фигур по правилу:

1. Построение правого ряда: первая фигра вдвое больше построенной, вторая фигура вдвое больше первой, третья фигура вдвое больше второй и так далее

2. Построение левого ряда: первая фигра вдвое меньше построенной, вторая фигура вдвое меньше первой, третья фигура вдвое меньше второй и так далее Вопросы к заданию:

1. Можно ли сказать что в правом ряду фигуры получаются соединением других фигур?

2. Можно ли сказать что в девом ряду фигуры получаются разделением других фигур?

3. Можно ли в правом ряду построить любое число фигур?

4. Можно ли в левом ряду построить любое число фигур?

5. Если построенная фигура состоит из одного кубика то какой ряд нельзя построить?

6. Сколько кубиков должно быть в построенной фигуре чтобы в последней фигуре правого ряда было столько же кубиков сколько пальцев на двух руках?

Теперь мы научим ребенка строить системы счета м помощью трех процессов: удвоения, утроения, упятирения.

Задание 4

Цель задания: Сформировать представление о проектировании счет и умении пользоваться ими.

Пропедевтическая цель: Подготовить к пониманию представления натурального числа разрядами в разных системах счета, подготовить к пониманию квадратного трехчлена в алгебре.

Воспитательная цель: Формирование структурное мышления с помощью математического отношения структурности, представленного парой «сформировано-несформировано»

Содержание задания:

Возьми кубик и используя удвоение, утроение и упятирение построй 3 ряда фигур по правилу:

1. Первый ряд фигур: первая фигура-кубик, вторая фигура вдвое больше первой, третья фигура вдвое больше второй.

2. Второй ряд фигур: первая фигура-кубик, вторая фигура втрое больше первой, третья фигура втрое больше второй.

3. Третий ряд фигур: первая фигура-кубик, вторая фигура впятеро больше первой, третья фигура впятеро больше второй.

Вопросы к заданию:

1. Могут ли вторые фигуры быть не столбиками, состоящими из кубиков?

2. Могут ли третьи фигуры быть не квадратами, состоящими из столбиков?

3. Сколько разныхпо виду фигур можно построить из фигур первого ряда?

4. Возьмем по 2 каждой фигуры второго ряда. Сколько различных фигур можно построить из этих фигур?

5. Возьмем по 4 каждой фигуры третьего ряда. Сколько различных фигур можно построить из таких фигур?

6. Возьмем некоторое количество кружочков. Можно ли их подсчитать с помощью построенный фигур в рядах?

Теперь мыбудем из известных уже фигур конструировать новые.

Задание 5

Цель задания: Сформировать представление о построении одних фигур с помощью других.

Пропедевтическая цель: Подготовить к пониманию формул сокращенного умножения в алгебре Воспитательная цель: Формирование процедурное мышления с помощью математического отношения конструктивности, представленного парой «возможное-невозможное»

Содержание задания:

Построй различные фигуры из кубиков, столбиков и квадратов.

Вопросы к заданию:

1. Из каких деталей можно собрать квадрат?

2. Из каких деталей можно собрать прямоугольник?

3. Можно ли собрать квадрат из одинаковых квадратов и разных прямоугольников?

4.Можно ли собрать квадрат из разных квадратов и одинаковых прямоугольников?

5. Из каких деталей можно собрать куб?

6. Из каких деталей можно собрать ящик?

Теперь мы покажем закономерность в повторении форм хотя в повторенияхони будутменять качество.

Задание 6

Цель задания: Сформировать представление о закономерномизменении геометрической формы.

Пропедевтическая цель: Подготовить к пониманию периодичности функции Воспитательная цель: Формирование системного мышления с помощью математического отношения системности, представленного парой «циклично-нециклично»

Содержание задания:

Построй следующий ряд фигур:

Первая фигура-кубик, вторая фигура-столбик из двух кубиков, третья фигура-квадрат из двух столбиков, четвертая фигура-куб из двух квадратов и так далее.

Вопросы к заданию:

1. На каких местах будут все время строиться кубы?

2. На каких местах будут все время строиться столбы?

3. На каких местах будут все время строиться квадраты?

4. Верно ли это для утроения?

5. Верно ли это для упятирения?

6. Верно ли это вообще для любого изменения?

Теперь мы покажем логику построения пространственных фигур.

3. Логика построения пространственных фигур.

Известно, что куб можно разделить на 2 равные части и эти части являются треугольными призмами. Программист Марк Арест показал возможность деления куба на три одинаковые четырехугольные пирамиды. Ниже мы приводим развертку такой пирамиды.

Уже из этого подхода видно что дети в детскомсаду узнают что объем пирамиды составляет треть от объема куба.

Рассмотрим конструирование правильной многоугольной призмы. Для этого необходимо сделать следующие треугольные призмы, высота которых равна 5 см, а в основании которых лежит равнобедренный треугольник со стороной 5 см. и углом при вершине, принмающим различные значения. В зависимости от этих значений будет конструироваться многоугольная призма.

Если угол при вершине основания треугольника равен то из трех таких призм собирается правильная треугольная призма. Основанием ее становится правильный треугольник с длиной стороны 5 см. Эта фигура часто используется при решении задач по стереометрии.

Если угол при вершине то из четырех таких призм собирается куб. В этом примере мы видим деление куба на 4 равные части. Если угол при вершине равен то из шести таких призм собирается правильная шестиугольная призма. При угле из восьми призм собирается правильная восьмиугольная призма. Наконец для угла из 12 таких призм собирается правильная двенадцатиугольная призма. Мы видим из такого конструирование превращение многоугольной призмы в цилиндр с помощью движения.

Рассмотрим теперь пирамиды с таким же треугольником в основании и с таким же изменением угла. Мы увидим конструирование многоугольной пирамиды от правильной треугольной до правильной двенадцатиугольной. Такая пирамида в процессе движения медленно превращается в конус.

Сделать такой конструктор несложно. Он имеет большое познавательное значение когда показывает превращение многоугольных фигур в круглые.

Мы подробно рассмотрели конструирование пространственных фигур. Объем статьи не позволяет изучить конструирование плоских геометрических фигур. Эта тема будет рассмотрена вследующей статье.

Выводы

1. Авторы выдвинули положение о необходимости геометрического конструирования в детском саду.

2. Авторы представили интересный случай деления куба на 3 одинаковые пирамиды.

3. Авторы представили схему проектирования интересного геометрического конструктора, развивающего пространственное воображение дошкольника.