Изгиб. 
Прикладная механика

Основные понятия

Изгибом называется деформация, связанная с искривлением оси бруса (или изменением его кривизны). Прямой брус, воспринимающий в основном изгибающую нагрузку, называется балкой. В общем случае при изгибе в поперечных сечениях балки имеют место два внутренних силовых фактора: перерезывающая сила Q и изгибающий момент . Если в поперечных сечениях балки действует только один силовой фактор , а , то изгиб называется чистым. Если в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, то изгиб называется поперечным.

Изгибающий момент и поперечная сила Q определяются методом сечений. В произвольном поперечном сечении бруса величина Q численно равна алгебраической сумме проекций на вертикальную ось всех внешних (активных и реактивных) сил приложенных к отсеченной части; изгибающий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментоЕ всех внешних сил и пар сил, расположенных по одну сторону от сечения.

Для системы координат, ноказанно) на рис. 2.25, изгибающий момент от нагрузок, расположенных в плоскости хОу, действует относительно оси г, а перерезывающая сила — по направлению оси у. Поэтому обозначим перерезывающую силу , изгибающий момент

Если поперечная нагрузка действует так, что ее плоскость совпадает с плоскостью, содержащей одну из главных центральных осей инерции сечений, то изгиб называетсяпрямым.

Для изгиба характерны два вида перемещений:

• • искривление продольной оси бруса Ох, соответствующее перемещениям точек оси бруса в направлении Оу,
• • поворот в пространстве одного поперечного сечения относительно другого, т. е. поворот сечения относительно оси г в плоскости XОу.

Рис. 2.25.

Дифференциальные и интегральные зависимости при изгибе

Пусть на балку действует непрерывная распределенная нагрузка q (x) (рис. 2.26, а). Двумя поперечными сечениями т-т и п-п выделим участок балки длиной dx. Полагаем, что на этом участке д (х) = const ввиду малости длины участка.

Внутренние силовые факторы и , действующие в сечении п-п, получают некоторое приращение и будут равны . Рассмотрим равновесие элемента (рис. 2.26, б):

а) , отсюда.

(2.68).

б)

Рис. 2.26.

Член можно опустить, так как он имеет второй порядок малости по сравнению с остальными. Тогда.

(2.69).

Подставляя равенство (2.69) в выражение (2.68), получаем.

(2.70).

Выражения (2.68)-(2.70) называются дифференциальными зависимостями при изгибе балки. Они справедливы только для балок с первоначально прямолинейной продольной осью.

Правило знаков для и носит условный характер:

• • считаются положительными, если они стремятся повернуть элемент балки по часовой стрелке. На рис. 2.27, а, б показаны положительные иотрицательные направления
• • Изгибающий момент считается положительным, если элемент балки изгибается выпуклостью вниз, т. е. его сжатые волокна расположены в верхней части. На рис. 2.27, в, г представлены направления , принятые за положительные и отрицательные.

Графически и изображаются в виде эпюр. Положительные значения откладываются вверх от оси бруса, отрицательные — вниз.

Рис. 2.27.

Нормальные напряжения при чистом изгибе балки

Рассмотрим модель чистого изгиба (рис. 2.28, а, б). После окончания процесса нагружения продольная ось балки X искривится, а ее поперечные сечения повернутся относительно своего первоначального положения на уголг/О. Для выяснения закона распределения нормальных напряжений по поперечному сечению балки примем следующие допущения:

• • при чистом прямом изгибе сира ведлива гипотеза плоских сечений: поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси во время и после деформации;
• • волокна бруса при его деформации не надавливают друг на друга;
• • материал работает в пределах упругости.

В результате деформации изгиба ось х искривится и сечение повернется относительно условно защемленного сечения на угол . Определим продольную деформацию произвольного волокна АВ, расположенного на расстоянии у от продольной оси (см. рис. 2.28, а).

Пусть — радиус кривизны оси бруса (см. рис. 2.28, б). Абсолютное удлинение волокна АВ равно . Относительное удлинение этого волокна.

Так как согласно допущению волокна друг на друга не надавливают, то они находятся в состоянии одноосного растяжения или сжатия. Используя закон Гука, получим зависимость изменения напряжений по поперечному сечению батки:

(2.71).

Величина постоянна для данного сечения, поэтому изменяется по высоте сечения в зависимости от координа;

Рис. 2.28.

Рис. 2.29.

ты у. При изгибе часть волокон бруса растягивается, часть — сжимается. Границей между областями растяжения и сжатия является слой волокон, который лишь искривляется, не изменяя своей длины. Этот слой называется нейтральным.

Напряжения ?* в нейтральном слое должны равняться нулю, соответственно Этот результат следует из выражения (2.71) при . Рассмотрим выражения для Поскольку при чистом изгибе продольная сила равна нулю, то запишем: (рис. 2.29), а так как ', то , т. е. . Отсюда следует, что ось ?? является центральной. Эта ось в поперечном сечении называется нейтральной линией. Для чистого прямого изгиба Тогда.

Поскольку , то

Отсюда следует, что оси ?? и Оу сечения являются не только центральными, но и главными осями инерции. Это предположение делалось выше при определении понятия «прямой изгиб». Подставив в выражение для изгибающего момента значение из выражения (2.71), получим.

или , (2.72).

где  — момент инерции относительно главной центральной оси сечения ??.

Подставляя равенство (2.72) в выражение (2.71), получаем.

(2.73).

Выражение (2.73) определяет закон изменения напряжения по сечению. Видно, что изменяется не по координате 2 (т.е. по ширине сечения нормальные напряжения постоянны), а по высоте сечения в зависимости от координаты у

Рис. 2.30.

(рис. 2.30). Значения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной линии, т. е. при . Тогда . Обозначив , получим.

(2.74).

где - момент сопротивления сечения изгибу.

Воспользовавшись формулами для главных центральных моментов инерции основных геометрических форм сечений, получим следующие выражения для :

• прямоугольное сечение: , где - сторона, параллельная оси г; h — высота прямоугольника. Так как ось г проходит по середине высоты прямоугольника, то

Тогда момент сопротивления прямоугольника

• • круг: . Так как , то
• • кольцо: , где - соответственно внешний и внутренний диаметры кольца; . Тогда .